有限元原理及其在中的應(yīng)用

關(guān)于有限元原理及其在中的應(yīng)用11.1有限元概述有限元法（或稱有限單元法、有線元素法）是求解復(fù)雜工程問題的一種近似數(shù)值值分析方法它的基本概念是將一個形狀復(fù)雜的連續(xù)體的求解區(qū)域分解成有限個單元組成的等效組合體，通過將連續(xù)體離散化，把求解連續(xù)體的場變量（應(yīng)力、位移、壓力和溫度等）問題簡化為求解有限個單元節(jié)點(diǎn)上的場變量值此時求解的基本方程將是一個代數(shù)方程組，而不是原來的描述真實連續(xù)體場變量的微分方程組第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.1有限元概述大大降低求解的難度，其解的精度取決于所采用的單元類型、數(shù)量以及對單元的插值函數(shù)有限元法是近30年來工程計算方法領(lǐng)域中的一項重大的成就第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.1有限元概述它不僅廣泛的應(yīng)用在機(jī)械設(shè)計的力學(xué)分析中，而且也成功應(yīng)用在求解復(fù)雜的非線性工程中有限元軟件則是有限元法及其應(yīng)用的集中和完善的體現(xiàn)，它是CAD/CAM系統(tǒng)中的重要組成部分利用有限元這一先進(jìn)的技術(shù)，我們在設(shè)計階段就可以預(yù)測產(chǎn)品的性能，減少許多原型制造及測試實驗工作這樣既可以縮短產(chǎn)品設(shè)計周期節(jié)省實驗費(fèi)用，又可以優(yōu)化產(chǎn)品的設(shè)計，避免了產(chǎn)品的大儲備設(shè)計及不足設(shè)計第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.2有限元分析的原理及步驟通過對彈性力學(xué)領(lǐng)域中最簡單的平面靜力問題的討論，來說明有限元方法的基本思路和主要概念它推導(dǎo)過程與空間三維等其它問題是一致的第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.2.1彈性力學(xué)平面問題的類型實際上任何彈性物體都是處在三維受力狀態(tài)，因而都是空間問題但是在一定條件下，相當(dāng)多的實際問題可以近似地按平面問題處理，從而使問題大大簡化平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天平面應(yīng)力問題如圖所示的薄板，板的厚度z方向的尺寸相對尺寸很小，板邊上受有平行于oxy平面并沿z軸均勻分布的載荷可以將板內(nèi)各點(diǎn)上沿z軸方向的應(yīng)力分量近似處理為零，而各點(diǎn)上的三個應(yīng)力分量都平行于oxy平面，故稱之為平面應(yīng)力問題在平面應(yīng)力問題中，雖然應(yīng)力，但應(yīng)變第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天平面應(yīng)變問題例如如圖所示的圓柱體，其長度z方向比直徑大很多，載荷平行于截面oxy，且沿著z軸均勻分布這時，可以將體內(nèi)各點(diǎn)上沿著z軸方向的三個應(yīng)變分量近似地處理為零，而各點(diǎn)上其他的三個應(yīng)變分量都平行與oxy面，故而稱為平面應(yīng)變問題在平面應(yīng)變問題中，雖然，但應(yīng)力有些機(jī)械零件如花鍵軸等，可以簡化為平面應(yīng)變問題來處理第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.2.2平面問題有限元分析的步驟基本問題：已知物體區(qū)域的邊界上的約束條件所受的作用力，求解區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的位移和應(yīng)力解決這個基本問題的有限元分析過程一般遵循下列步驟離散化單元分析整體分析求解未知量第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天離散化由無限個質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)體簡化為有限個單元在節(jié)點(diǎn)出連接而成的集合體，稱為離散化離散化的總目標(biāo)是：將物體分解成充分小的單元，使得簡化的位移模型能夠在單元內(nèi)足夠近似地來表示精確解，從而在整體上獲得滿意的計算結(jié)果另一方面又必須注意到，單元不能分得太細(xì)，以免工作量過大，充分小而有限小，這是離散化的基本原則第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天離散化有限元分析的結(jié)果是在物體的這些離散點(diǎn)出計算出位移和應(yīng)力的近似值有限元平面問題中常用的單元形式有三角形三節(jié)點(diǎn)單元，矩形四節(jié)點(diǎn)單元，三角形六節(jié)點(diǎn)單元，等參四邊形八節(jié)點(diǎn)單元等三角形三節(jié)點(diǎn)單元在平面問題中是最簡單最常用的單元形式第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天離散化要注意以下問題當(dāng)分析對象的結(jié)構(gòu)具有對稱性時，結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支撐條件，外載荷的大小和分布對稱于x軸和y軸,這是只需對四分之一的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，這樣可節(jié)省近四分之三的計算工作量，如果只對稱于某一軸也可計算一半任意三角形單元的頂點(diǎn)，必須是相鄰單元的頂點(diǎn)，而不能是相鄰單元的內(nèi)點(diǎn)，三角形單元各邊邊長不應(yīng)相差太大，不要出現(xiàn)鈍角第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天離散化要注意以下問題在應(yīng)力集中或應(yīng)力變化較大的區(qū)域，單元應(yīng)分得細(xì)一點(diǎn)，厚度成材料發(fā)生突變的地方，應(yīng)規(guī)定為單元的邊界線節(jié)點(diǎn)是一個很重要的概念，單元之間僅在節(jié)點(diǎn)處鉸接，單元之間的力只通過節(jié)點(diǎn)傳遞，每個單元所受的載荷均應(yīng)該按精力等效原則移置到節(jié)點(diǎn)上。在位移受約束的節(jié)點(diǎn)上，應(yīng)根據(jù)實際情況設(shè)置約束條件，當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿某一方向上的位移為零時，則設(shè)置相應(yīng)的連桿支座；當(dāng)節(jié)點(diǎn)為固定點(diǎn)，即在oxy平面上不能移動時，則設(shè)一個鉸鏈支座第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天離散化要注意以下問題單元劃分之后，要對全部單元和全部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編碼，要總體節(jié)點(diǎn)編碼和局部節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的總體編碼是由人們自行選定的，然而編碼安排得適當(dāng)，得到的總體剛度矩陣回緊湊得多，可以接生計算機(jī)存儲量和計算時間離散化是一個重要的環(huán)節(jié)，單元劃分的形式、大小及節(jié)點(diǎn)排列對有限元分析計算的結(jié)果有很大的影響第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天單元分析單元分析的基本任務(wù)是：對于基本未知量與其對應(yīng)量，推導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系——單位剛度矩陣，并建立單元的平衡方程式單元位移模式幾何方程彈性方程虛功方程第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天單元位移模式對整個彈性體而言，內(nèi)部各點(diǎn)的位移情況極為復(fù)雜，不大可能用某種函數(shù)來描述由于進(jìn)行了離散化，整個彈性體分割成為細(xì)小的單元，在細(xì)小的單元內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的變化情況比較簡單，因而可以用單元內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)來表示內(nèi)點(diǎn)的唯一，這種函數(shù)關(guān)系稱為單元位移模式第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天單元位移模式由于彈性體的化整為零，是我們可以對內(nèi)點(diǎn)位移函數(shù)關(guān)系進(jìn)行簡化，這是有限元素法的關(guān)鍵技術(shù)之一，選擇位移模式時，簡便的方法是將位移u,v表示為坐標(biāo)x,y的函數(shù)，即采用多項式模式而最簡單的，則是采用線性函數(shù)選擇位移模式時，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解的收斂性，即當(dāng)單元劃分趨向于無窮小時，有限元素法的結(jié)果應(yīng)趨向于問題的正確解答可以證明，對于三角形三節(jié)點(diǎn)單元，上述線性函數(shù)位移模式是滿足收斂條件的第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天幾何方程由彈性力學(xué)理論可知，平面內(nèi)的應(yīng)變?yōu)橛镁仃嚳珊唽憺閇B]稱為應(yīng)變矩陣，是形狀函數(shù)經(jīng)微分算子矩陣作用的結(jié)果由于采用線性位移模式，矩陣[B]中各個元素均為常數(shù)，因而單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變亦為常數(shù)，所以三角形三節(jié)點(diǎn)單元通常稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天彈性方程這里討論單元內(nèi)點(diǎn)應(yīng)變和單元內(nèi)點(diǎn)應(yīng)力的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即推導(dǎo)出其轉(zhuǎn)換矩陣——彈性矩陣[D]，使[D]稱為彈性矩陣，它反映了應(yīng)變與應(yīng)力的內(nèi)在轉(zhuǎn)換關(guān)系由于應(yīng)變是常數(shù)，相應(yīng)應(yīng)力也當(dāng)然是常數(shù)，這常數(shù)可認(rèn)為是單元形心處的應(yīng)力值，在相鄰的各單元中，應(yīng)力可能是不同的常數(shù)，因而在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)力有突變，隨著單元減小，突變的程度也相應(yīng)減小第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天虛功方程單元節(jié)點(diǎn)力是作用于單元頂點(diǎn)的外力，必然在單元內(nèi)部引起相應(yīng)的應(yīng)力設(shè)此單元各節(jié)點(diǎn)有虛位移，則在單元內(nèi)有相應(yīng)的虛應(yīng)變根據(jù)虛功原理，節(jié)點(diǎn)力在頂點(diǎn)的虛位移上所作的虛功應(yīng)與單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功相等，以此可以推導(dǎo)出單元內(nèi)點(diǎn)應(yīng)力與單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天整體分析顯然，單元分析得出的僅僅是局部的信息，各個單元靠節(jié)點(diǎn)連接起來組成整體，因而必須從全局進(jìn)行分析將各個單元的方程（單元剛度矩陣）按照保持節(jié)點(diǎn)處位移連續(xù)性的方式組合起來，就可以得到整個物體的平衡方程（整體剛度矩陣），再按照給頂?shù)奈灰七吔鐥l件修改這些方程，使平衡方程有解第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求解未知量求解位移求解應(yīng)力、應(yīng)變和約束力第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求解位移求解未知位移向量的關(guān)鍵在于求解平衡方程組，當(dāng)單元個數(shù)越多時，節(jié)點(diǎn)未知量個數(shù)也越多，由此建立起來的平衡方程組，將是一個高階的線性代數(shù)方程組求解這樣的方程組，即使利用大型計算機(jī)來運(yùn)算，也存在著存儲容量大和計算速度慢的問題針對這兩個問題，可以采取以下措施：利用整體剛度矩陣的特性，尋找接生存儲容量的措施選擇有效的計算方法和優(yōu)良軟件，以克服計算速度的困難第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天求解位移考察整體剛度矩陣可以看出存在如下特點(diǎn)：對稱性：整體剛度矩陣是一個對稱矩陣，利用這個特性，可以在計算機(jī)中只存儲矩陣的上三角部分，從而節(jié)省近一半的存儲容量稀疏性：整體剛度矩陣是一個稀疏矩陣，其決大多數(shù)元素為零，對于大多數(shù)問題來說，非零元素占元素總數(shù)的50%，若設(shè)法只存儲非零元素，存儲信息又大大減少帶狀分布性：剛度矩陣的非零元素分布在以主對角線為中心的帶型區(qū)域內(nèi)，這個矩陣稱為帶狀矩陣，利用帶狀矩陣的對稱性，可在計算機(jī)中只存儲半帶區(qū)域的元素第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天計算應(yīng)力、應(yīng)變和約束力采用位移法，一旦位移計算出以后，則其他各量均可以計算由于采用線性位移模式，各單元的應(yīng)變與應(yīng)力為常量在這種情況下，應(yīng)把算出的應(yīng)力看成為單元形心處的應(yīng)力第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天計算應(yīng)力、應(yīng)變和約束力如果欲求出接點(diǎn)上的應(yīng)力，還必須運(yùn)用插值計算出每一個單元的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值后，再將相鄰單元共用的節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力值進(jìn)行平均也可以計算出主應(yīng)力及按照某種強(qiáng)度理論計算的復(fù)合應(yīng)力，以便為后處理做準(zhǔn)備將計算出的位移代入，即可求出各約束反力第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.3有限元分析的前處理有限元分析的前置處理實質(zhì)有限元分析置前的諸多數(shù)據(jù)處理過程過去進(jìn)行有限元分析時，常常采用人工生成有限元模型的數(shù)據(jù)，既耗費(fèi)時間又易出錯，特別是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計算精度要求高時，元素網(wǎng)格的劃分時間顯著增加第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天11.3有限元分析的前處理手工劃分有限元網(wǎng)格占有限元分析的工作量的45%，有限元分析結(jié)果的判斷和輸出占50%，而有限元分析本身只占5%因此為減少數(shù)據(jù)輸入的準(zhǔn)備工作和提高分析、處理結(jié)果的效率，有限元系統(tǒng)都應(yīng)配有使用方便、功能齊全的前、后置處理程序第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天有限元分析前處理的基本內(nèi)容幾何模型生成有限元網(wǎng)格的自動生成有限元屬性數(shù)據(jù)的生成模型檢驗、錯誤診斷與修改第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天幾何模型生成這個環(huán)節(jié)主要是生成有限元計算的結(jié)構(gòu)模型，有了結(jié)構(gòu)模型后，可以按照許多方法生成有限元的計算數(shù)據(jù)一種途徑是設(shè)計專用的有限元模型交互生成軟件，實現(xiàn)造型與有限元前處理一體化另一種方法是利用目前已經(jīng)有的商品化的圖形軟件（例如AutoCAD）通過的三維實體造型生成模型，在通過模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換與有限元網(wǎng)格劃分軟件相連接第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天有限元網(wǎng)格的自動生成要求生成節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和編號，自動生成單元拓?fù)湫畔⒛軌虍a(chǎn)生多種類型的單元及其組合而成的網(wǎng)格，網(wǎng)格的疏密分布應(yīng)能由用戶控制對生成的節(jié)點(diǎn)應(yīng)能優(yōu)化編號，以減少總剛度矩陣帶寬，節(jié)省內(nèi)存第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天有限元屬性數(shù)據(jù)的生成將載荷、材料和邊界約束條件等屬性數(shù)據(jù)放入數(shù)據(jù)文件第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天模型檢驗、錯誤診斷與修改一般使用計算機(jī)圖形顯示方法來顯示結(jié)構(gòu)輪廓線圖及網(wǎng)格劃分圖（還可包括節(jié)點(diǎn)編號、約束與載荷情況等），這樣可直觀的檢驗網(wǎng)格劃分正確與否此過程主要是發(fā)現(xiàn)并修正重復(fù)單元、重復(fù)節(jié)點(diǎn)、孤立單元、孤立節(jié)點(diǎn)、單元翹曲、單元法線不一致、單元內(nèi)角與長度比異常、單元方向與自由面定義異常等第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天有限元網(wǎng)格的自動生成有限元網(wǎng)格的自動生成是建立有限元模型的重要技術(shù)，它在有限元前處理中占據(jù)極其重要的地位，目前常用的網(wǎng)格生成方法有以下幾種：以幾何模型的輸入數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的方法以幾何模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的方法第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天以幾何模型的輸入數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)可分為自底向上的自頂向下兩中方法自底向上法：是指先定義節(jié)點(diǎn)，再定義元素，最后形成有限元模型自頂向下法：是指在已定義的結(jié)構(gòu)上，根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，自動生成網(wǎng)格的方法在實際應(yīng)用中兩者可以結(jié)合使用第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天以幾何模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)可分為分塊分割法和整體分割法分塊分割法，是指先把組成復(fù)雜形體的幾何模型分割成若干適于自動生成網(wǎng)格的基本子形體，然后對子形體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最后組合成完整