2022-2023學年寧夏石嘴山市高二年級下冊聯(lián)考數(shù)學（文）試題【含答案】

2022-2023學年寧夏石嘴山市高二下學期聯(lián)考數(shù)學(文)試題

一、單選題

1.在復平面內，復數(shù)(l+2i)i對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【詳解】利用復數(shù)的四則運算化簡(l+2i)i,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得解.

【分析】因為(l+2i)i=-2+i,

所以-2+i對應的點為(-2,1),它位于第二象限.

故選：B

2.設集合M={x|(x+3)(x—2)<0},W={A-|1<X<3},則McN等于()

A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]

【答案】A

【解析】解不等式化簡集合M，再由交集的概念，即可得出結果.

【詳解】VM={x|(x+3)(x-2)<0}=(-3,2),

MN=[l,2).

故選：A.

3.拋物線y=4f的焦點坐標為

A.(I，。)B.(2,0)C.[o.l]D.(0,1y

【答案】D

【解析】拋物線的標準方程為從而可得其焦點坐標.

4

【詳解】拋物線y=4—的標準方程為故其焦點坐標為(0,上〕，故選D.

4116；

【點睛】本題考查拋物線的性質，屬基礎題.

2

4.已知雙曲線Wr-y2=i(。>0)的離心率是右則。=

A.76B.4C.2D.y

【答案】D

【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關于。的方程求解.

【詳解】:?雙曲線的離心率e=￡=逐，C=，

a

：.^m=45，

a

解得a，

故選D.

【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中。力，。的關系，方程的數(shù)學思想等知識，意

在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

5.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

><>>?>?<>

①②③

按照上面的規(guī)律，第"個"金魚''圖需要火柴棒的根數(shù)為

A.8/7-2B.6"-2

C.8〃+2D.6〃+2

【答案】D

【分析】由圖形間的關系可以看出，每多出一個小金魚，則要多出6根火柴棒，則火柴棒的個數(shù)組

成了一個首項是8,公差是6的等差數(shù)列，寫出通項，求出第n項的火柴根數(shù)即可.

【詳解】由圖形間的關系可以看出，每多出一個小金魚，則要多出6根火柴棒，第一個圖中有8根

火柴棒組成，第二個圖中有8+6個火柴棒組成，第三個圖中有8+2X6個火柴組成，以此類推：組成

n個系列正方形形的火柴棒的根數(shù)是8+6(n-1).?.第n個圖中的火柴棒有6n+2.

故選D.

【點睛】本題考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項，解題的關鍵是看清隨著小金魚的增加，火柴的

根數(shù)的變化趨勢，屬于基礎題.

f4，-2x

6.在平面直角坐標系中，經(jīng)討伸縮變換，-，，后，圓/+丁=4變成曲線()

[y=4y

丫'2v'2

A./+4y，2=1B.—+^-=1

■416

【答案】C

【分析】根據(jù)伸縮變換的知識求得正確答案.

x'

（x'=2x4-2

【詳解】，4口，，

代入X”-得任T+田=4《+E=L

[2J1664

故選：C

7.若函數(shù)>=/+/+如；+1是R上的增函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（*8）B.1局C.g+8）D.

【答案】c

【分析】根據(jù)題意轉化為>20在R上恒成立，得到〃?2-3一一2》在R上恒成立，結合二次函數(shù)的性

質，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)y=V+f+如+1,可得y'=3/+2x+〃2,

因為函數(shù)丁=1+%2+如；+1是R上的增函數(shù)，可得y'20在R上恒成立，

即3f+2x+機20在R上恒成立，即m>-3f一2x在A上恒成立，

令g（x）=-3f—2x,由二次函數(shù)的性質，可得當x=-；時，可得g（x）3=g,

所以,“zg,即實數(shù)機的取值范圍是今,用）.

故選：C.

8.設”和寫為雙曲線「■-/=1（">0，匕>0）的兩個焦點，若斗6,40,26）是正三角形的三個頂點，

則雙曲線的漸近線方程是（）

aA?yv—-+x-立---XxB.y=±>/3x

3

一后n9

Cr.y—±---xD.y=±---x

73

【答案】B

【分析】設￡（一。,0）,必。,0）廁恒尸|=G+4從，由E、F2、尸（0,2切是正三角形的三個頂點可知

忻尸上“2+4/=2c,由此可求出/>=必二7=小，進而得到雙曲線的漸近線方程.

【詳解】設耳（—0）,5（c,0）,則陽p|=Jc2+4廬,

七、尸2、PQ2A）是正三角形的三個頂點，

.?.Jc」+畫=2c，

c2+4〃=4c2,

.,./+4卜2一/）=402,

c2=4c/，

即c=2a,

b=y/c2—a2=8a，

?.?雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

a

即為y=土百x

故選8

【點睛】本題考查了雙曲線里的。，仇。與漸近線方程的聯(lián)系，注意幾何關系的運用，屬于基礎題.

9.有下列說法：

①若某商品的銷售量y（件）關于銷售價格4元/件）的線性回歸方程為》=一5、+350,當銷售價格為10

元時，銷售量一定為300件：

②線性回歸直線：夕=公苫+&一定過樣本點中心（無,5）；

③在殘差圖中，殘差點比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區(qū)域

的寬度無關；

④在線性回歸模型中，相關指數(shù)k表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，？越接近于］,表示

回歸的效果越好.

其中正確的結論個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)線性回歸方程的意義，以及殘差，相關系數(shù)的意義，判斷選項.

【詳解】對于①，線性回歸方程為夕=-5x+350,當銷售價格為10元時，銷售量近似為300件，

故①錯誤；

對于②，線性回歸直線：一定過樣本點中心（元了），故②正確；

對于③，與帶狀區(qū)域的寬度有關，帶狀區(qū)域越窄，說明回歸方程的預報精確度越高，故③錯誤；

對于④，R2越接近于1,表示回歸的效果越好，故④正確.

所以正確的結論有2個.

故選：B.

10.若函數(shù)犬幻=丁+62+》既有極大值又有極小值，則”的取值范圍是()

A.(—00,—5/3)B.(—no,—5/3)U(73,+℃)

C.(-V3,⑸D.(5+8)

【答案】B

【分析】求出導函數(shù)盟x),根據(jù)函數(shù)於)=2+"2+》既有極大值又有極小值，則函數(shù)制x)有兩

不同的零點，即A>0,從而可得答案.

【詳解】解：廣(同=3/+2公+1,

因為函數(shù)犬x)=/+0+x既有極大值又有極小值，

所以函數(shù)，'(司=3/+2辦+1有兩不同的零點，

即△=4/-12>0,解得“>G或a<-6，

所以a的取值范圍是(一8,-G)U(G，+<?).

故選：B.

11.已知尸是橢圓宗+卷=1上一點，耳,名為橢圓的兩焦點，且60°,則小叫面積為

A.3百B.C.73口.坐

【答案】A

【分析】由橢圓的標準方程可得：C=4,設|PF/|=",\PF2\-t2,根據(jù)橢圓的定義可得："+f2=10,

再根據(jù)余弦定理可得：標+/一取2=64,再聯(lián)立兩個方程求出/"2=12,進而結合三角形的面積公式

求出三角形的面積.

【詳解】由橢圓的標準方程可得：”=5,6=3,

；.c=4,

設|PF/|=〃，\PF2\=t2,

所以根據(jù)橢圓的定義可得：力+/2=10①，

在4FIPF2中,NFIPF2=60。,

所以根據(jù)余弦定理可得：IPF/F+i尸產(chǎn)#-21PBi|PF21cos60。=尸尼|2=(2c)2=64,

整理可得：。2+及2-「"2=64,②

把①兩邊平方得。2+序+2?！?=100,③

所以③-②得〃，=12,

S"嗎=^t1t2sinZFIPF2=36.

故選A.

【點睛】本題考查橢圓的幾何性質與橢圓的定義，考查了解三角形的有關知識點，以及考查學生的

基本運算能力與運算技巧，屬于中檔題.

12.若函數(shù)/(x)=f-or+lnx在區(qū)間(l,e)上單調遞增，則。的取值范圍是()

A.[3,+oo)B.(—,3]C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

【答案】B

【分析】由導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系結合條件可得/'(x)NO在(Le)上恒成立，由此可得“42x+g

在區(qū)間(l,e)上恒成立，求函數(shù)g(x)=2x+l(l<x<e)的值域可得a的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=x2-or+lnx在區(qū)間(l,e)上單調遞增，

所以1(x)=2x-a+:20在區(qū)間(l,e)上恒成立，

即在區(qū)間(l,e)上恒成立，

X

令g(x)=2x+1(l<x<e),

則g，(」)=2-=>0,

XX("XgT

所以g(x)在(l,e)上遞增,又g(l)=3,

所以aV3.

所以。的取值范圍是(—,3].

故選：B

二、填空題

13.復數(shù)W土的共輾復數(shù)為_____

2+1

【答案】2-iZ-i+2

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則，結合共輒復數(shù)的定義進行求解即可.

3+4i（3+4i）（2-i）6-3i+8i+4

【詳解】因為2+i,

2+i-（2+i）（2-i）5

3+4；

所以復數(shù)多竺的共軌復數(shù)為2-i,

故答案為：2-i

14.在極坐標系中，點A(虛到直線psin(0+j=3的距離為

【答案】2

【分析】把點A坐標和直線方程轉化為直角坐標系下的點坐標和直線方程，利用點到直線距離公式,

即得解

【詳解】由題意，計算點的直角坐標為

XA=41COSy=0,力=0si吟=&

即4（0,a）

JIJI

直線夕sin(6+：=3=夕sinOcos—+pcos6sin—=3

44

即也嚴也1_3=0

22

=2

由點到直線距離公式可得:

故答案為：2

15.函數(shù)/(x)=cosx-sinx的圖象在點管,/圖]

處的切線方程為

【答案】x+y+l-=0

【分析】求出/(])、/'(5)的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.

【詳解】因為/(x)=cosx-sinx,則/'(x)=-sinx-c°sx,所以，=,

右,佃)處的切線方程為y+i=-

所以，函數(shù)/(x)=cosx—sinx的圖象在點

即x+y+l-]=0.

TT

故答案為：x+y+1---=0.

16.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)人幻滿足/(1)=3,且凡r)的導數(shù)在R上恒有f(x)<2(x￡R),

則不等式y(tǒng)u)<2x+i的解集為.

【答案】(1，+8)

【分析】構造函數(shù)g(x)=Ax)-2xT,則原不等式可化為g(x)<g⑴.利用導數(shù)判斷出g(x)在R上為

減函數(shù)，直接利用單調性解不等式即可

【詳解】令g(x)=_/(x)—2x—l,則g(1)=/(1)—2—1=0.

所以原不等式可化為g(x)<g(D.

因為g'(x)=f'(x)—2<0,所以g(x)在R上為減函數(shù).

由g(x)<g⑴解得：x>l.

故答案為：(L+8).

三、解答題

17.在直角坐標系WV中，直線/的參數(shù)方程為(，為參數(shù)).再以原點為極點，以x正

半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系xoy有相同的長度單位.在該極坐標系中圓C的方

程為夕=4sin〃.

(1)求圓C的直角坐標方程；

(2)設圓C與直線/交于點A、B,若點M的坐標為(-2,1),求的值.

【答案】(1)d+(y-2尸=4(2)3拒

【分析】(1)由題中已知條件圓C的極坐標方程為夕=4sin。，對其平方并利用二倍角公式進行化簡,

再用X=/JCOS6),y=psin。代入即可；

(2)利用直線的參數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】解：(1)由極坐標與直角坐標互化公式得

圓的直角坐標方程式為V+(>-2)2=4

多

(2)直線/參數(shù)方程，

代入圓方程得：/-3"+1=0

設A、8對應的參數(shù)分別為則％+/2=30,，也=1

于是+|例即=,|+%|=乙+，2=3底.

【點睛】本題考查了由極坐標方程轉為直角坐標方程以及直線參數(shù)方程的幾何意義，考查了學生的

計算能力，屬于一般題.

18.已知等差數(shù)列｛4｝中，/=3,%=8.

(1)求數(shù)列｛4〃｝的通項公式；

(2)設b?=——，求數(shù)列也｝的前”項和小

anan+\

【答案】⑴=〃+1

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質計算即可求解公差，進而可求通項，

(2)由裂項相消即可求解.

【詳解】(1)由%=3,%=8可得公差4=生表=1,所以%=%+(〃—2)xl=〃+1

,1111

(0)b=-----=-----------=----------

ana,^\(〃+1)(〃+2)71+1〃+2'

所以(=4+仇++(乙--=；--

(23)\34/+1714-2/2〃+2

19.某中學高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人.為了研究學生的數(shù)學成績是否與

性別有關，采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù)，然后

按照性別分為男，女兩組，再將兩組的分數(shù)分成5組：[1(X),110),[110,120),[120,130),[130,140),

[14(),150]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成2x2列聯(lián)表:

數(shù)學尖子生非數(shù)學尖子生合計

男生

女生

合計

（2）判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”?

n(ad-be}

參考公式：K2=(其中〃=a+〃+c+d)

(a+/)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k.)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析；（2）沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”.

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到抽取的100名學生中，男數(shù)學尖子生15人，女數(shù)學尖子生15人；再

填寫列聯(lián)表即可.

（2）根據(jù)列聯(lián)表計算得K2=10°X（15X25-15X45）2179V2.706,從而得到答案.

60x40x30x70

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

在抽取的100名學生中，男生60x0.25=15（人），女生40x0.375=15（人）；

據(jù)此可得2x2列聯(lián)表如下:

數(shù)學尖子生非數(shù)學尖子生合計

男生154560

女生152540

合計3070100

(2)K2="(ad-beY=100x(15x25-15x45)2廿"，

e+/?)(c，+d)(a+c)(〃+d)60x40x30x70

因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”.

20.如圖，在三棱柱ABC-A/G中，AAJ平面ABC,分別為AC,AG的中點，AB=BCf,

AC=AA,=2.

⑴求證：ACmBDE；

⑵求點。到平面ABE的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵邁

3

【分析】（1）通過證明AC_LQ8,ACIDE,得證ACJ?平面8OE.

（2）由VD.ABE=VE_ABD,利用體積法求點D到平面ABE的距離.

【詳解】（1）證明：：AB=8C,D,E分別為AC,AC的中點，

/.AC1.DB,且力E//4A，

又AAJL平面ABC,平面ABC,

又ACu平面ABC,Z.ACA.DE,

又AC工DB,且DEcDB=D,DE,DBu平面BDE,

：.ACJ_平面3OE.

（2）VACVDB,AB=y[5,AC=2AD=2,

BD=\IAB2-AD2=2>

:?BEZDE'BD?=2。AE=^DE2+AD1=y[5'九。=gxlx2=l.

在“ABE中，AB=AE=亞,BE=2五,

8E邊上的高為，（后丫-（夜J=6

54他&=gx20xV3=V6.

設點。到平面A8E的距離為d,

根據(jù)丫3=%如得:x"xd=gxlx2,解得

333

所以點。到平面A8E的距離為好.

3

21.已知橢圓C:[+與=l(a>6>0),點尸(指,-1)是橢圓C上一點，離心率為也.

abL2

(I)求橢圓c的標準方程；

(2)直線/：y=x+%與橢圓C相交于A,B兩點，且在y軸上有一點”(0,2機)，當..ABM面積最

大時，求“7的值.

【答案】(1)—+—=1；(2)土娓.

84

【解析】⑴根據(jù)點尸(指,-1)是橢圓C上一點，離心率為五，由e=￡=立，且2+4=1求解.

2a2a2b2

(2)先求得(。,26)到直線/的方程為y=x+帆的距離，再將直線丁=工+小代入橢圓方程，結合韋

達定理，利用弦長公式求得|AB|,再利用50.=3|人8|^求解.

【詳解】(1)由題意可得e=￡=4Z,且金+』=1，a2-b2=c2,

a2a-b-

解得a=2&，h=c=2,

22

則橢圓的方程為二+—=1；

84

(2)由直線/的方程為'=犬+根，則(0,2時到直線/的距離”=量，

將直線y=X+%代入橢圓方程可得3x?+4iwc+2m2_8=0,

由判另I]式△=16W-12(2病一8)>0,

解得-26<機<2行，

設A(%,yj,8(七,必)，

UI,,‘4，"