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文檔簡介
北京交大附中如23-2024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)
高一數(shù)學(xué)2023.10
說明:本試卷共4頁,共120分??荚嚂r(shí)長90分鐘。
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題
目要求的)
1.已知集合”={-2,-1,0,1},N={x卜34x<0},則()
A.卜2}B.{-2,-1}C.{0,1}D.{-2,-1,0,1}
2.命題“肛)€(0,”),*+142%”的否定為()
A.VXG(0,-H?),2B.Vxe(0,4<o),2
X+\>2XX+I<2X
2
C.e(-?,0),—+142XD.Vxe(-<n,0],x+}>2x
3.已知關(guān)于x的方程X?-2x+m=0的兩根同號(hào),則m的取值范圍是()
A.m<\B.C.0</w<lD.0<m<l
4.已知函數(shù)x:;,貝的值為()
A.3B.0C.-1D.-2
5.已知acR,則“a>l”是的()
a
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
6.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+?0上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是()
A.y=x+lB.y=x~~c.y=ND.y=x2
7.已知實(shí)數(shù)a,6,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是()
cbao
A.6-avc+aB.c2<abC.D.|6|c<|a|c
ba
8.設(shè)〃幻為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),/(x)=3x-1,則/(0)+/(4)=()
A.12B.-12C.13D.-13
9.已知當(dāng)x>0時(shí),不等式,一機(jī)x+16>0恒成立,則實(shí)數(shù)所的取值范圍是(
A.~,8)B.(y\8]C.[8,+00)D.(6,+<o)
I(xeA),
10.對(duì)于全集U的子集A定義函數(shù)Zjx)=,0(L£)為人的特征函數(shù),設(shè)4B為全巢U的子集,下列結(jié)論
中錯(cuò)誤的是(
A.若則力(x)4/(x)B.兀”(x)=l-Z((x)
c.Z(n?(x)=Z<(x)-4WD.Z<us(x)=Z*(x)+f?(x)
填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填在題中橫線上)
>>.函數(shù)/(x)=WT的定義域是..(用區(qū)間形式表示)
4
3
12-如圖,函數(shù)“X)的圖象是折線段4BC,其中48,C的坐標(biāo)分別為2
(0,4),(2,0),(6,4),則/(x)42的解集為_______.(用區(qū)間形式表示)pyJ???>
U12343bX
13.定義在R上的函數(shù)/5),給出下列三個(gè)論斷:
①"X)在R上單調(diào)遞增;②x>l;③/'(X)〉/。).以其中的兩個(gè)論斷為條件,余下的一個(gè)論斷為結(jié)論,
寫出一個(gè)正確的命題:,推出.(把序號(hào)寫在橫線上)
14.為了保護(hù)水資源,提倡節(jié)約用水,某城市對(duì)居民生活用水,實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表;
每戶每月用水量水價(jià)
不超過12m3的部分3元/n?
超過12m3但不超過18mJ的部分6元/n?
超過18m3的部分9元/n?
若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則此戶居民本月用水量為
xJ+4x+3,xsO
15.設(shè)函數(shù)/(x)=,i,給出下列四個(gè)結(jié)論,
一-,x>0
,x
①函數(shù)/(X)的值域是RI
②\/%,項(xiàng)€(々2)(玉*丫2),有△5)-/(與)>01
③遲>0,使得/(f)=/(X。);
④若互不相等的實(shí)數(shù)再、電,弓滿足/(*)=f(x2)=/(xj,則%+%+匕的取值范圍是(一3,*°)?
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是L.
三、解答題(本大題共5小題,共60分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.(本小題12分)
設(shè)關(guān)于x的不等式卜-司<2的解集為4,不等式妙_工-6<0的解集為B
(1)求集合4B;
(U)若ZuB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17.(本小題12分)
已知函數(shù)〃x)=w^
(I)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:/(X)在(-1,+8)上是增函數(shù);
(II)求函數(shù)”X)在區(qū)間[1,4]上的值域.
18.(本小題12分)
已知二次函數(shù)/(x)的最小值為1,且〃°)=/(2)=3.
(1)求/門)的解析式;
(H)在區(qū)間[-3,-I]上,y=/(x)的圖象恒在P=2x+2m+l的圖象上方,確定實(shí)數(shù)加的取值范圍.
北京交大附中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)
高一數(shù)學(xué)2023.10
說明:本試卷共4頁,共120分??荚嚂r(shí)長90分鐘。
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題
目要求的)
1,已知集合M21,0,1,Nx|3x0,貝(]MN
A.2C.0,1D.2,1,0,1
B.2,1
【答案】B
【詳解】因?yàn)榧螹210.1,Nx|3x0,則M1、
21
2.命題“%(Q),2
x120x
A,”的否定為/
A.x(Q)、,x2o12x0B.x(Q)
c.X(,0),X2I2xD.人
12x
【答案】A
【詳解】命題“xo(0,),片12%x(Q)212x”.頻:A.
”的否定為“,x
【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的書寫,是基礎(chǔ)題
3.已知關(guān)于x的方程x?2xm0的兩根同號(hào),則m的取值范圍是()
A.m1B,m0C.0ml0ml
D.
【答案】C
【詳解】關(guān)于X的方程x22xm0的兩根同號(hào),則判別式大于等于0且兩根之積大于零,
A44m0
則有皿0,解得。m1-
故選:C
x22x
X1
4.已知函數(shù)fxf1的值為(
A.3B.0C.1D,2
【答案】D
【詳解】由題意得,f1I2213,則ff1f3312
故選:D.
試卷第1頁,共8頁
19.(本小題12分)
為了減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層,某地正在建設(shè)一座購物中心,現(xiàn)在計(jì)劃
對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層,已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消
耗費(fèi)用P(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位?cm)滿足關(guān)系tP(x)=-^-(xeR,04x48)?若
''4x+5
不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為9萬元.設(shè)/(x)為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求所的值及/(0的表達(dá)式.
(II)當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí),總費(fèi)用/(x)達(dá)到最小,并求最小值.
20.(本小題12分)
已知/(x)定義域?yàn)镽的函數(shù),若對(duì)任意不,%wR,玉-毛eS,均有/(xJ-/(X2)eS,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).
(I)判斷和證明函數(shù)/(x)=2x+l是否是[0,2)關(guān)聯(lián)?是否是關(guān)聯(lián)?
(11)若/5)是{3}關(guān)聯(lián),當(dāng)xe[0,3)時(shí),f(x)=x2-2x,解不等式:2^/(x)<3.
5.已知aR,則“a1”是41”的()
a
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷
【詳解】對(duì)于不等式11,可解得a1或a〈0,所以a1可以推出L1,而L1。1
aaa不可以推出a1
所以“a1”是01”的充分不必要條件.故選:A.
a
上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是()
6下列函數(shù)中,在區(qū)間0,
A.yX1B.yX1c.y|x|D.y=x2
X1
【答案】B
7,已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是
CC
(A)baca(B)c2ab(C)——(D)b|c|a|c,,,,、
bacba0
【答案】D
8.設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)3x1,則f(0)f(4)()
A.12B.12C.13D.13
【答案】c
【詳解】因?yàn)閒x為R上的奇函數(shù),所以f00,f4f413,所以f0f413.
故選:C
9.已知當(dāng)x。時(shí),不等式X?mx160恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.,8B',8C'8D'6
【答案】A
【分析】將參數(shù)m與自變量分離,利用基本不等式求得最值即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意當(dāng)x0時(shí),不等式x2mx160恒成立,
21/21/216
貝——x—,x>0恒成立,只需x—即可;
XXX
_min
易知當(dāng)X0時(shí),由基本不等式可得X72,78,當(dāng)且僅當(dāng)X4時(shí)取等號(hào);
16
所以x—8,即小8,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是
x.,8
min'
故選:A
試卷第2頁,共8頁
10.對(duì)于全集U的子集A定義函數(shù)fAXXA為A的特征函數(shù)設(shè)A,B為全集U的子集下列結(jié)論
xaA
中錯(cuò)誤的是()
A.若AB,則集x£xfx1fAx
B./
6
C.fABXfAxfBxD.fABfAfBX
XX
【解析】根據(jù)fAXxA,逐項(xiàng)分析即可求得答案
xSJA
【詳解】以XxA
xaA
對(duì)于A,AB,分類討論:
①當(dāng)xA,則xB,此時(shí)1(x)£(x)1
②當(dāng)xA且xB,即xQB,此時(shí)f(x)f(x)0
AB'
③當(dāng)XA且XB,即X(GA)B時(shí),。(x)QfB(x)1f(x)f(x)
,此時(shí)
AB
綜合所述有fA(x)fB(x),故A正確;
J,Xo
對(duì)于B,1A(X)AQA01fA(x),故⑵正確;
,、lxABlxABlxAlxB,、,、_
對(duì)于C,fAB(x)八nrnnr§&)£(x),故C正確;
0,xECU/(AA%B)0,xRqAACuBD0,xLUAA0,xCUIlBR
..QxAB/、/、
對(duì)于D,fAB(X)fA(X)fB(X),故D錯(cuò)誤
L1xCU(AB)
故選:D.
二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填在題中橫線上)
11.函數(shù)fXJ的定義域是________-
2x1
【答案】?
x|x—
2
12.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中AB,C的坐標(biāo)分別為
,b,4,f(X)2
則的解集為
A答案2dxi1x4}
試卷第3頁,共8頁
【詳解】當(dāng)fX2時(shí),由圖象可知,即2{xl1X4}.
的解集為
13.定義在R上的函數(shù)f(x),給出下刻三個(gè)"斷:在R上單調(diào)遞增;②x1;③f(x)-1).
以其中的兩個(gè)論斷為條件,余下的一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:—,—推出—.(把序號(hào)
寫在橫線上)
【答案】①②推出③;
【詳解】①②推出③;
證明:f(x)在R單調(diào)遞增且當(dāng)X1時(shí),有f(x)f(l),得證.故答案為①②推出③
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性判斷命題,意在考查學(xué)生的推斷能力.
14.為了保護(hù)水資源,提倡節(jié)約用水,某城市對(duì)居民生活用水,實(shí)行‘階梯水價(jià)’.計(jì)算方法如下表:
每戶每月用水量水價(jià)
不超過12m3的部分37L/m3
超過12m3但不超過18m3的部分6元/n?
超過18m3的部分9TL/HI3
若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則此戶居民本月用水量為.
【答案】20m3/20立方米
xy
【詳解】設(shè)用水量為立方米,水價(jià)為元,
3^0x12訊0x12
則y366x12,12x18
729(x18),x18丫顛翦?18
,整理得到:,
當(dāng)0x12時(shí),0y36;12x18時(shí),36y72;
故某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則用水量大于18立方米,令9x9090,則x=20(立方米)
故答案為:20m3.
x?4x3x0
15.設(shè)函數(shù)fx1.給出下列四個(gè)結(jié)論:
—,x0
x
①函數(shù)fX的值域是R;
②X1,X2(2,7A1x,,有U―U-0
xlx2?
/
③W0,使得fxfx
/
00
試卷第4頁,共8頁
④若互不相等的實(shí)數(shù)看,X2,X3滿足fX1fX2fX3,則占%X3
的取值范圍是
3
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
【答案】①③④
【分析】對(duì)于①,利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)畫出函數(shù)圖1,結(jié)合圖像即可判斷;
對(duì)于②,舉反例排除即可;
對(duì)于③,將問題轉(zhuǎn)化為yf型。與yl有交點(diǎn),作出圖2即可判斷;
X
對(duì)于④,結(jié)合圖1對(duì)X],孫可進(jìn)行分析即可.
x24x3x0
【詳解】對(duì)于①,因?yàn)閒X1c
—,x0
x
所以由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可畫出函數(shù)圖象,如圖1,
圖1
由fX的圖像易知fx的值域是R,故①正確;
對(duì)于②,易得f03f1L顯然fX2上并不單調(diào)遞增,所以②說法不成立,故②錯(cuò)誤;
在
2,1A2%Xo1
對(duì)于③,假設(shè)存在xO0,f%f不,則與4%30£,即0o3高,
即y寸型。與yL有交點(diǎn),作出圖像,如圖2,顯然假設(shè)成立,故③正確;
X
對(duì)于④,由圖1易知土產(chǎn)2,則X1%4,
因?yàn)閒21,所以1fx301-0,解得
,即X3x1
3,故④正確;
所以占%覆4毛413,即入馬x
的取值范圍是
3
綜上:①③④正確.
故答案為:①③④
三、解答題(本大題共5小題,共60分解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
試卷第5頁,共8頁
16.設(shè)關(guān)于x的不等式Wal2的解集為A,不等式;*60的解集為B.
(1)求集合A,B;
(2)若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
|xa|22xa2A{x|a2xa2)
【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式和分式不等式的解法,考查集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的
理解掌握水平.
,2x3
17.已知函數(shù)fx--.
x1
⑴用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:fX在(-1,+8)上是增函數(shù);
⑵求函數(shù)fX在區(qū)間[1,4]上的值域.
r*融】、口日?f2x32(x1)5_5
【1羊解】(1)證明.fx-----=-----------2—,
X1X1X71
任取XI,X2d(-1,+8),且應(yīng)〈范
55555(x])5(%D5(xx)
f⑶)一f(X2)=(2-)-(2--)=-(xi1)(X21)力r
又由T<X1<X2,則X「X2<0,Xi+1>0,X2+1>0,
故f(Xl)-f(X2)<0,即f(Xl)<f(X2),
所以在(-1,+8)是增函數(shù);
(2)由⑵知,的在[1,4]上單調(diào)遞增,
所以f(x)min=?)=寺,f(x)max=f(4)=1,
故f(x)在[1,4]上的值域是[4,1].
18.已知二次函數(shù)fx的最小值為1,且f0
f23.
⑴求fx的解析式;
⑵在區(qū)間3,1±,yfx的圖象恒在y2x2m1的圖象上方,確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【詳解】(1)解:根據(jù)題意,二次函數(shù)fx滿足f0f23,可得函數(shù)fx的對(duì)稱軸為x1,
因?yàn)楹瘮?shù)fx的最小值為1,可設(shè),1
a(x1)2
fx
又因?yàn)?,可得fxa13
f03,解得a2,
試卷第6頁,共8頁
所以函數(shù)fX的解析式為2(X1;21
fx2x24x3.
(2)解:由函數(shù)fx2x2*4x3
yfx的圖象恒在y2x2m1的圖象上方,
若在區(qū)間31上,
則由2x2
4x32x2m1在區(qū)間31上恒成立,
即mx23x1在區(qū)間31上恒成立,
設(shè)gxx23x1,其對(duì)稱軸為x-gx在31上單調(diào)遞減,
2,則*
所以函數(shù)g*的最小值為g15,則有m5,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為
,5.
19.為了減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層,某地正在建設(shè)一座購物中心,現(xiàn)在計(jì)劃
對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層,已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元該建筑物每年的能源消
3n
耗費(fèi)用P(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:Px7l(xR,0x8)若
4x5
不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為9萬元設(shè)fx為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和
⑴求m的值及fx的表達(dá)式
⑵當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí),總費(fèi)用fx達(dá)到最小,并求最小值
【詳解】(1)設(shè)隔熱層厚度x,由題設(shè),每年的能源消耗費(fèi)用為:Px-―-
4x5
令9,解得m15,
由P0b
建造費(fèi)用為8x,最后得隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和為
fx40Px8x40—8xl80°8x(0x8)
4x54x5
c,?01800門1800
⑵由⑴知fXL8x「
2
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