2023-2024學(xué)年北京海淀區(qū)交大附中高一(上)期中數(shù)學(xué)試題及答案_第1頁
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文檔簡介

北京交大附中如23-2024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)

高一數(shù)學(xué)2023.10

說明:本試卷共4頁,共120分??荚嚂r(shí)長90分鐘。

一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題

目要求的)

1.已知集合”={-2,-1,0,1},N={x卜34x<0},則()

A.卜2}B.{-2,-1}C.{0,1}D.{-2,-1,0,1}

2.命題“肛)€(0,”),*+142%”的否定為()

A.VXG(0,-H?),2B.Vxe(0,4<o),2

X+\>2XX+I<2X

2

C.e(-?,0),—+142XD.Vxe(-<n,0],x+}>2x

3.已知關(guān)于x的方程X?-2x+m=0的兩根同號(hào),則m的取值范圍是()

A.m<\B.C.0</w<lD.0<m<l

4.已知函數(shù)x:;,貝的值為()

A.3B.0C.-1D.-2

5.已知acR,則“a>l”是的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+?0上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是()

A.y=x+lB.y=x~~c.y=ND.y=x2

7.已知實(shí)數(shù)a,6,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是()

cbao

A.6-avc+aB.c2<abC.D.|6|c<|a|c

ba

8.設(shè)〃幻為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),/(x)=3x-1,則/(0)+/(4)=()

A.12B.-12C.13D.-13

9.已知當(dāng)x>0時(shí),不等式,一機(jī)x+16>0恒成立,則實(shí)數(shù)所的取值范圍是(

A.~,8)B.(y\8]C.[8,+00)D.(6,+<o)

I(xeA),

10.對(duì)于全集U的子集A定義函數(shù)Zjx)=,0(L£)為人的特征函數(shù),設(shè)4B為全巢U的子集,下列結(jié)論

中錯(cuò)誤的是(

A.若則力(x)4/(x)B.兀”(x)=l-Z((x)

c.Z(n?(x)=Z<(x)-4WD.Z<us(x)=Z*(x)+f?(x)

填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填在題中橫線上)

>>.函數(shù)/(x)=WT的定義域是..(用區(qū)間形式表示)

4

3

12-如圖,函數(shù)“X)的圖象是折線段4BC,其中48,C的坐標(biāo)分別為2

(0,4),(2,0),(6,4),則/(x)42的解集為_______.(用區(qū)間形式表示)pyJ???>

U12343bX

13.定義在R上的函數(shù)/5),給出下列三個(gè)論斷:

①"X)在R上單調(diào)遞增;②x>l;③/'(X)〉/。).以其中的兩個(gè)論斷為條件,余下的一個(gè)論斷為結(jié)論,

寫出一個(gè)正確的命題:,推出.(把序號(hào)寫在橫線上)

14.為了保護(hù)水資源,提倡節(jié)約用水,某城市對(duì)居民生活用水,實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如下表;

每戶每月用水量水價(jià)

不超過12m3的部分3元/n?

超過12m3但不超過18mJ的部分6元/n?

超過18m3的部分9元/n?

若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則此戶居民本月用水量為

xJ+4x+3,xsO

15.設(shè)函數(shù)/(x)=,i,給出下列四個(gè)結(jié)論,

一-,x>0

,x

①函數(shù)/(X)的值域是RI

②\/%,項(xiàng)€(々2)(玉*丫2),有△5)-/(與)>01

③遲>0,使得/(f)=/(X。);

④若互不相等的實(shí)數(shù)再、電,弓滿足/(*)=f(x2)=/(xj,則%+%+匕的取值范圍是(一3,*°)?

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是L.

三、解答題(本大題共5小題,共60分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)

16.(本小題12分)

設(shè)關(guān)于x的不等式卜-司<2的解集為4,不等式妙_工-6<0的解集為B

(1)求集合4B;

(U)若ZuB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)〃x)=w^

(I)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:/(X)在(-1,+8)上是增函數(shù);

(II)求函數(shù)”X)在區(qū)間[1,4]上的值域.

18.(本小題12分)

已知二次函數(shù)/(x)的最小值為1,且〃°)=/(2)=3.

(1)求/門)的解析式;

(H)在區(qū)間[-3,-I]上,y=/(x)的圖象恒在P=2x+2m+l的圖象上方,確定實(shí)數(shù)加的取值范圍.

北京交大附中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中練習(xí)

高一數(shù)學(xué)2023.10

說明:本試卷共4頁,共120分??荚嚂r(shí)長90分鐘。

一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題

目要求的)

1,已知集合M21,0,1,Nx|3x0,貝(]MN

A.2C.0,1D.2,1,0,1

B.2,1

【答案】B

【詳解】因?yàn)榧螹210.1,Nx|3x0,則M1、

21

2.命題“%(Q),2

x120x

A,”的否定為/

A.x(Q)、,x2o12x0B.x(Q)

c.X(,0),X2I2xD.人

12x

【答案】A

【詳解】命題“xo(0,),片12%x(Q)212x”.頻:A.

”的否定為“,x

【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的書寫,是基礎(chǔ)題

3.已知關(guān)于x的方程x?2xm0的兩根同號(hào),則m的取值范圍是()

A.m1B,m0C.0ml0ml

D.

【答案】C

【詳解】關(guān)于X的方程x22xm0的兩根同號(hào),則判別式大于等于0且兩根之積大于零,

A44m0

則有皿0,解得。m1-

故選:C

x22x

X1

4.已知函數(shù)fxf1的值為(

A.3B.0C.1D,2

【答案】D

【詳解】由題意得,f1I2213,則ff1f3312

故選:D.

試卷第1頁,共8頁

19.(本小題12分)

為了減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層,某地正在建設(shè)一座購物中心,現(xiàn)在計(jì)劃

對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層,已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消

耗費(fèi)用P(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位?cm)滿足關(guān)系tP(x)=-^-(xeR,04x48)?若

''4x+5

不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為9萬元.設(shè)/(x)為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和.

(1)求所的值及/(0的表達(dá)式.

(II)當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí),總費(fèi)用/(x)達(dá)到最小,并求最小值.

20.(本小題12分)

已知/(x)定義域?yàn)镽的函數(shù),若對(duì)任意不,%wR,玉-毛eS,均有/(xJ-/(X2)eS,則稱f(x)是S關(guān)聯(lián).

(I)判斷和證明函數(shù)/(x)=2x+l是否是[0,2)關(guān)聯(lián)?是否是關(guān)聯(lián)?

(11)若/5)是{3}關(guān)聯(lián),當(dāng)xe[0,3)時(shí),f(x)=x2-2x,解不等式:2^/(x)<3.

5.已知aR,則“a1”是41”的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷

【詳解】對(duì)于不等式11,可解得a1或a〈0,所以a1可以推出L1,而L1。1

aaa不可以推出a1

所以“a1”是01”的充分不必要條件.故選:A.

a

上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是()

6下列函數(shù)中,在區(qū)間0,

A.yX1B.yX1c.y|x|D.y=x2

X1

【答案】B

7,已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是

CC

(A)baca(B)c2ab(C)——(D)b|c|a|c,,,,、

bacba0

【答案】D

8.設(shè)f(x)為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)3x1,則f(0)f(4)()

A.12B.12C.13D.13

【答案】c

【詳解】因?yàn)閒x為R上的奇函數(shù),所以f00,f4f413,所以f0f413.

故選:C

9.已知當(dāng)x。時(shí),不等式X?mx160恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.,8B',8C'8D'6

【答案】A

【分析】將參數(shù)m與自變量分離,利用基本不等式求得最值即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意當(dāng)x0時(shí),不等式x2mx160恒成立,

21/21/216

貝——x—,x>0恒成立,只需x—即可;

XXX

_min

易知當(dāng)X0時(shí),由基本不等式可得X72,78,當(dāng)且僅當(dāng)X4時(shí)取等號(hào);

16

所以x—8,即小8,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是

x.,8

min'

故選:A

試卷第2頁,共8頁

10.對(duì)于全集U的子集A定義函數(shù)fAXXA為A的特征函數(shù)設(shè)A,B為全集U的子集下列結(jié)論

xaA

中錯(cuò)誤的是()

A.若AB,則集x£xfx1fAx

B./

6

C.fABXfAxfBxD.fABfAfBX

XX

【解析】根據(jù)fAXxA,逐項(xiàng)分析即可求得答案

xSJA

【詳解】以XxA

xaA

對(duì)于A,AB,分類討論:

①當(dāng)xA,則xB,此時(shí)1(x)£(x)1

②當(dāng)xA且xB,即xQB,此時(shí)f(x)f(x)0

AB'

③當(dāng)XA且XB,即X(GA)B時(shí),。(x)QfB(x)1f(x)f(x)

,此時(shí)

AB

綜合所述有fA(x)fB(x),故A正確;

J,Xo

對(duì)于B,1A(X)AQA01fA(x),故⑵正確;

,、lxABlxABlxAlxB,、,、_

對(duì)于C,fAB(x)八nrnnr§&)£(x),故C正確;

0,xECU/(AA%B)0,xRqAACuBD0,xLUAA0,xCUIlBR

..QxAB/、/、

對(duì)于D,fAB(X)fA(X)fB(X),故D錯(cuò)誤

L1xCU(AB)

故選:D.

二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填在題中橫線上)

11.函數(shù)fXJ的定義域是________-

2x1

【答案】?

x|x—

2

12.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中AB,C的坐標(biāo)分別為

,b,4,f(X)2

則的解集為

A答案2dxi1x4}

試卷第3頁,共8頁

【詳解】當(dāng)fX2時(shí),由圖象可知,即2{xl1X4}.

的解集為

13.定義在R上的函數(shù)f(x),給出下刻三個(gè)"斷:在R上單調(diào)遞增;②x1;③f(x)-1).

以其中的兩個(gè)論斷為條件,余下的一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:—,—推出—.(把序號(hào)

寫在橫線上)

【答案】①②推出③;

【詳解】①②推出③;

證明:f(x)在R單調(diào)遞增且當(dāng)X1時(shí),有f(x)f(l),得證.故答案為①②推出③

【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性判斷命題,意在考查學(xué)生的推斷能力.

14.為了保護(hù)水資源,提倡節(jié)約用水,某城市對(duì)居民生活用水,實(shí)行‘階梯水價(jià)’.計(jì)算方法如下表:

每戶每月用水量水價(jià)

不超過12m3的部分37L/m3

超過12m3但不超過18m3的部分6元/n?

超過18m3的部分9TL/HI3

若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則此戶居民本月用水量為.

【答案】20m3/20立方米

xy

【詳解】設(shè)用水量為立方米,水價(jià)為元,

3^0x12訊0x12

則y366x12,12x18

729(x18),x18丫顛翦?18

,整理得到:,

當(dāng)0x12時(shí),0y36;12x18時(shí),36y72;

故某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元,則用水量大于18立方米,令9x9090,則x=20(立方米)

故答案為:20m3.

x?4x3x0

15.設(shè)函數(shù)fx1.給出下列四個(gè)結(jié)論:

—,x0

x

①函數(shù)fX的值域是R;

②X1,X2(2,7A1x,,有U―U-0

xlx2?

/

③W0,使得fxfx

/

00

試卷第4頁,共8頁

④若互不相等的實(shí)數(shù)看,X2,X3滿足fX1fX2fX3,則占%X3

的取值范圍是

3

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【分析】對(duì)于①,利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)畫出函數(shù)圖1,結(jié)合圖像即可判斷;

對(duì)于②,舉反例排除即可;

對(duì)于③,將問題轉(zhuǎn)化為yf型。與yl有交點(diǎn),作出圖2即可判斷;

X

對(duì)于④,結(jié)合圖1對(duì)X],孫可進(jìn)行分析即可.

x24x3x0

【詳解】對(duì)于①,因?yàn)閒X1c

—,x0

x

所以由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可畫出函數(shù)圖象,如圖1,

圖1

由fX的圖像易知fx的值域是R,故①正確;

對(duì)于②,易得f03f1L顯然fX2上并不單調(diào)遞增,所以②說法不成立,故②錯(cuò)誤;

2,1A2%Xo1

對(duì)于③,假設(shè)存在xO0,f%f不,則與4%30£,即0o3高,

即y寸型。與yL有交點(diǎn),作出圖像,如圖2,顯然假設(shè)成立,故③正確;

X

對(duì)于④,由圖1易知土產(chǎn)2,則X1%4,

因?yàn)閒21,所以1fx301-0,解得

,即X3x1

3,故④正確;

所以占%覆4毛413,即入馬x

的取值范圍是

3

綜上:①③④正確.

故答案為:①③④

三、解答題(本大題共5小題,共60分解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)

試卷第5頁,共8頁

16.設(shè)關(guān)于x的不等式Wal2的解集為A,不等式;*60的解集為B.

(1)求集合A,B;

(2)若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

|xa|22xa2A{x|a2xa2)

【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式和分式不等式的解法,考查集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平.

,2x3

17.已知函數(shù)fx--.

x1

⑴用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:fX在(-1,+8)上是增函數(shù);

⑵求函數(shù)fX在區(qū)間[1,4]上的值域.

r*融】、口日?f2x32(x1)5_5

【1羊解】(1)證明.fx-----=-----------2—,

X1X1X71

任取XI,X2d(-1,+8),且應(yīng)〈范

55555(x])5(%D5(xx)

f⑶)一f(X2)=(2-)-(2--)=-(xi1)(X21)力r

又由T<X1<X2,則X「X2<0,Xi+1>0,X2+1>0,

故f(Xl)-f(X2)<0,即f(Xl)<f(X2),

所以在(-1,+8)是增函數(shù);

(2)由⑵知,的在[1,4]上單調(diào)遞增,

所以f(x)min=?)=寺,f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在[1,4]上的值域是[4,1].

18.已知二次函數(shù)fx的最小值為1,且f0

f23.

⑴求fx的解析式;

⑵在區(qū)間3,1±,yfx的圖象恒在y2x2m1的圖象上方,確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】(1)解:根據(jù)題意,二次函數(shù)fx滿足f0f23,可得函數(shù)fx的對(duì)稱軸為x1,

因?yàn)楹瘮?shù)fx的最小值為1,可設(shè),1

a(x1)2

fx

又因?yàn)?,可得fxa13

f03,解得a2,

試卷第6頁,共8頁

所以函數(shù)fX的解析式為2(X1;21

fx2x24x3.

(2)解:由函數(shù)fx2x2*4x3

yfx的圖象恒在y2x2m1的圖象上方,

若在區(qū)間31上,

則由2x2

4x32x2m1在區(qū)間31上恒成立,

即mx23x1在區(qū)間31上恒成立,

設(shè)gxx23x1,其對(duì)稱軸為x-gx在31上單調(diào)遞減,

2,則*

所以函數(shù)g*的最小值為g15,則有m5,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為

,5.

19.為了減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層,某地正在建設(shè)一座購物中心,現(xiàn)在計(jì)劃

對(duì)其建筑物建造可使用40年的隔熱層,已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元該建筑物每年的能源消

3n

耗費(fèi)用P(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:Px7l(xR,0x8)若

4x5

不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為9萬元設(shè)fx為隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和

⑴求m的值及fx的表達(dá)式

⑵當(dāng)隔熱層的厚度為多少時(shí),總費(fèi)用fx達(dá)到最小,并求最小值

【詳解】(1)設(shè)隔熱層厚度x,由題設(shè),每年的能源消耗費(fèi)用為:Px-―-

4x5

令9,解得m15,

由P0b

建造費(fèi)用為8x,最后得隔熱層建造費(fèi)用與40年的能源消耗費(fèi)用之和為

fx40Px8x40—8xl80°8x(0x8)

4x54x5

c,?01800門1800

⑵由⑴知fXL8x「

2

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