2023-2024學(xué)年青海省西寧市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年青海省西寧市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線/垂直于平面a,另一直線“也垂直于平面a,則直線/,加的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.異面

【正確答案】A

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的直線平行，理解判斷.

【詳解】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的直線平行.

故選:A.

2.已知等邊Z8C的直觀圖的面積為卡，則/8C的面積為（）

A.立B."C.26D,4石

22

【正確答案】D

【分析】由原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系S1s=乎5悚即可得結(jié)果.

【詳解】因為直觀圖?8'C'的面積為#,

所以#S葭解得%=4石，

故選：D.

3.設(shè)命題?：玉0?11,芯+1=0,則命題p的否定為（）

A.Vx￡R,X2+1=0B.VxeR,x2+1^0

C.3x0R,XQ+1=0D.3x0eR,x^+1*0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可求解.

【詳解】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得，

命題p的否定為VxeRX+lxO.

故選：B.

4.若a,beR且"片0,則畔<1”是“a<6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若〃=1力=-1，滿足此時。>分，排除充分性，

b

若a=-2,b=-l,滿足“<b,此時￡>1,排除必要性，

b

故選：D

5.已知拋物線/=2々5>0）上一點/（皿1）到其焦點的距離為2,則P=（）

A.2B.-2C.4D.±4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求得答案.

【詳解】由題意，拋物線的準線方程為尸-j由拋物線的定義可知尸|=l+5=2,；.p=2.

故選：A.

3

6.已知橢圓的長軸長為10,離心率為（，則橢圓的短軸長為（）

A.3B.4C.6D.8

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知求出凡。，再求出6即得解.

【詳解】由題意，得2。=10,-=j,所以。=5,c=3,所以b=G77=4，

a5

所以橢圓的短軸長為8.

故選：D.

7.設(shè)耳，E分別是雙曲線二-仁=1的左、右焦點，P是該雙曲線上的一點，且

445

31P娟=5歸用，則譙的面積等于（）

A.1473B.75/15C.15bD.55/15

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線定義得到1pHi=10，儼用=6,用余弦定理和面積公式求出答案.

【詳解】設(shè)|尸周=5x,|PR|=3x,則由雙曲線的定義可得：

閡-陶=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故閥|=10,|p周=6,又陽閶=14,故

._100+36—1961..ll-Ar>r-rr->J,--r.-.

cosZFtPF2==,故sin/6PF,=X-,所以△咫鳥的面積為

2x10x622

-xl0x6x—=15^.

22

故選：C.

8.已知拋物線C:y=〃*(加>0)上的點力(凡2)到其準線的距離為4,則加=()

A.-B.8C.-D.4

48

【正確答案】C

【分析】首先根據(jù)拋物線的標準方程的形式，確定5的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.

【詳解】x2=-y,(〃?>0),

m

因為點/(a,2)到C的準線的距離為4,所以-^+2=4,得加=1.

4m8

故選：C

9.如圖，在矩形Z8C。中，AB=2,8c=3,沿8。將矩形N8C。折疊，連接/C,所得

三棱錐/-8CO正視圖和俯視圖如圖所示，則三棱錐/-8CO的側(cè)視圖為()

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正視圖和俯視圖得到該幾何體的直觀圖，然后確定側(cè)視圖即可.

【詳解】由正視圖和俯視圖得到該幾何體的直觀圖如下圖所示：

A

所以該幾何體的側(cè)視圖是等腰直角三角形，選項D符合，

故選：D

10.過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的

側(cè)面積是（）

A.12A/2TTB.16〃C.84D.10乃

【正確答案】B

【分析】根據(jù)截面是面積為16的正方形可求底面圓的半徑以及圓柱的高，進而可求圓柱的

側(cè)面積.

【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形*5。，

面積為16,故邊長Z8=/C=4,

即底面半徑R=2,側(cè)棱長為XC=4,

則圓柱的側(cè)面積是S=2iR/C=16;r,

故選：B.

11.過點（1,0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0C.2x+y-2=0D.x+2y-l=0

【正確答案】A

【分析】設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)與直線萬一2〉-2=°平行的直線方程為4一21，+0=0,億*—2）,

將點（1°）代入直線方程x-2y+c=°可得l-2x0+c=0,解得c=-l.

則所求直線方程為x-2p-l=0.故A正確.

本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題.兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不

存在.所以與直線本+為，+C=0平行的直線方程可設(shè)為,4x+By+C'=0.

22

12.已知斜率為方的直線/與橢圓E:[+方=1（°＞人＞0）相交于4,8兩點，與x軸，y軸

分別交于C,。兩點，若C,。恰好是線段的兩個三等分點，則楠圓E的離心率6為（）

A.yB.—C.—D.3

2223

【正確答案】C

【分析】設(shè)4（占,弘），8（七,%）,由三等分點可用不表示范，必表示力，一方面由兩點坐

標得直線斜率，另一方面用點差法求得直線斜率，從而得dAc的關(guān)系式，求得離心

率.

【詳解】如圖，設(shè)，（再,必），8（Z,8）,分別是線段的兩個三等分點，...aF，。），

則8,2》],-劣，

x2=-2X|53乂

得v=_A左==」.』，

%29玉一工23X12X]

W+*=L

b

利用點差法，由":[兩式相減得x「》2)(x+%)(M-%)_n

1b2

[a2b2~'

整理得至1」號=駕，即第=4&2=^￡1=公=所以e=3.

玉aa2a242

故選：C.

y

4J.

13.若曲線夕=-/的切線方程為夕=履+2,貝必=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【正確答案】C

【分析】先切點為（%,打），利用斜率相等，切點即在直線上，又在曲線上，即可求解.

,一k=—3%A[k=—?>

【詳解】解：設(shè)切點為（x0,y。），又了=-3/,則有,、，解得：,,

-x0=o0+2[x0=1

故選：C

二、填空題

14.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

如果兩個平面垂直，那么其中一個平面上垂直于兩平面交線的直線與另一個平面.

【正確答案】垂直

【分析】根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得.

【詳解】平面與平面垂直的性質(zhì)定理為：如果兩個平面垂直，那么其中一個平面上垂直于兩

平面交線的直線與另一個平面垂直，

故垂直.

15.圓》2+/_2》-3=0與工2+/-4*+2尹3=0的交點坐標為.

【正確答案】（1，-2）和（3,0）

【分析】聯(lián)立兩圓的方程即可求解.

22

Y+v_2r-3=0

2二；cc八，兩式相減得產(chǎn)y+3,將其代入一+/_2》_3=0中

）x2+y2-4x+2y+3=0

（x=3fx=1

得y=o或尸-2,進而得c或,

1^=0卜=-2

所以交點坐標為（1，-2）,（30）

故（1,-2）和（3,0）

16.已知圓+/=過點PQ1）作圓。的切線，則切線方程為.

【正確答案】、=1或4x-3y-5=0

【分析】首先判斷點圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程A=0求參

數(shù)%,即可寫出切線方程.

【詳解】由題設(shè)，22+l2=5>B故P在圓外，

根據(jù)圓0:/+/=1及P(2,1),知：過p作圓。的切線斜率一定存在，

二可設(shè)切線為…(x-2)+1,聯(lián)立圓的方程，

整理得(1+k')x2+2k(1-2k)x+4k(k-1)=0,

4

AA=4Ar2(l-2k)2-16k(k-1)(1+)=0,解得左=0或左=§.

：.切線方程為N=1或4x-3y-5=0.

故N=1或4x-3y-5=0.

17.已知長方體N8CD-外接球的體積為36”，AA、=2后，則矩形面積的最

大值為.

【正確答案】8

【分析】先根據(jù)條件分析出外接球的半徑，然后根據(jù)長方體外接球的半徑與棱長的關(guān)系，求

解出+的值，利用基本不等式可求解出/8/O的最大值，從而矩形面積的

最大值可求.

【詳解】設(shè)長方體的外接球的半徑為R,

又長方體檢CZ)-45CQ外接球的體積為36萬，所以?*=36萬，所以R=3,

又因為長方體的體對角線為外接球的直徑，所以(2尺)2=44：+/14+/。2,

所以=4x9-20=16，所以2N8WO416,

所以/8YOW8,取等號時/5=4。=2/，

所以矩形/8CO面積的最大值為8,

故答案為.8

Di

Bi

D

結(jié)論點睛：長方體、正方體的外接球的半徑和棱長的關(guān)系:

（1）已知長方體的長、寬、高分別為凡Ac,則長方體外接球的半徑R二五運運

2

⑵已知正方體的棱長為。，則正方體外接球的半徑為人與

三、解答題

18.如圖，空間四邊形/8C。中，E、F、G、，分別是Z8、BC、CD、的中點.

求證：（1）￡4〃平面BCD；

（2）BD〃平面EFGH.

【正確答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）推導(dǎo)出由此能證明E”〃平面8。；

（2）由BD〃EH,由此能證明平面EFG，.

【詳解】（1）為△480的中位線,

J.EH//BD.

'：EM平面8。，BZJU平面8C￡）,

，￡7/〃平面BCD；

(2)為△C8。的中位線，

J.FG//BD,

：.FG//EH,

:.E、F、G、〃四點共面，

'：BD//EH,BDQ平面EFG，，E”U平面EFG”,

平面EFGH.

本題考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查化

歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

19.已知圓C:(x-4)2+(y-2)2=4,圓M:f_4x+/-5=0.

(1)試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若過點(6,-2)的直線/與圓C相切，求直線I的方程.

【正確答案】(1)圓C與圓/相交，理由見解析

(2)3x+4y-10=0或x=6

【分析】(1)利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；

(2)討論，當(dāng)直線/的斜率不存在時則方程為x=6,當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為

y+2=k(x-6),利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)把圓〃的方程化成標準方程，得(X-2>+V=9,

圓心為"(2,0),半徑4=3.

圓C的圓心為C(4,2),半徑4=2,

因為1<|A/C|=j(4-2)2+22=272<5,

所以圓C與圓M相交，

(2)①當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=6到圓心C距離為2,滿足題意；

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為N+2=MX-6),

由題意得做二白亭3=2,解得上=_曰,

Jl+公4

故直線)的方程為3x+4y-10=。

綜上，直線/的方程為3x+4y-10=0或x=6.

20.已知函數(shù)/(x)=-；x3+x2.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線的斜率；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

【正確答案】(1)1

(2)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-%0),(2,+oo),極小值為0,極大值

【分析】(1)求導(dǎo)，求出/'(1)=-1+2=1即為切線斜率；(2)求導(dǎo)，列出表格，得到單調(diào)

區(qū)間和極值.

【詳解】(1)因為/'(x)=f2+2x,所以/⑴=-1+2=1,因此曲線y=/(x)在點(1,|)

處的切線的斜率為1:

(2)令/'(x)=-x，+2x=0,解得：x=0或2.

X(-0)0(0.2)2(2,+8)

/'(X)——0+0—

/(X)極小值/極大值X

所以/(x)在(-8,0),(2,+oo)內(nèi)是減函數(shù)，在(0,2)內(nèi)是增函數(shù).

因此函數(shù)/(x)在x=0處取得極小值/(0),且/(0)=0,函數(shù)/(x)在x=2處取得極大

4

值，且/(2)=—；

綜上：〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(2,+8),極小值為0,極

4

大值為

21.如圖，在正方體/BCD—44GA中，。是4c與8。的交點，M是CG的中點.求證：

4。，平面池。.

【正確答案】證明見解析

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法來證得4。，平面MB。.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，

設(shè)正方體的邊長為2,則。(LL0),4(2,0,2),8(2,2,0)/(0,2,1),

OA,=(1,-1,2),08=0,04。〃=0,

由于。所以4。，平面

22.(1)設(shè)拋物線/=2py(p>0)上第一象限的點M與焦點廠的距離為4,點”到夕軸的

距離為回，求拋物線方程；

(2)求與雙曲線《-乙=1有共同的漸近線，且過點(-3,26)的雙曲線標準方程.

【正確答案】①/=10y；②至=1

4

【分析】(1)設(shè)根據(jù)拋物線上第一象限的點〃到V軸的距離為廊，求得M的

坐標，再利用拋物線的定義求解；

(2)設(shè)與雙曲線二-己=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為工-乙=2,再由雙曲線過

916916

點(-3,26)求解.

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),

因為拋物線V=2抄(p>0)上第一象限的點〃到歹軸的距離為歷，

所以x="jj,

則(回)=2py,

3

解得y=；,

又因為點M與焦點F的距離為4,

由拋物線的定義得［+4=4,

22

解得P=5,

所以拋物線方程是f=10y；

(2)設(shè)與雙曲線上-二=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為=-或=2,

916916

因為雙曲線過點(-3,26)，

所卜I29121

所以一記="

占-乙-1

所以所求雙曲線標準方程是勺一彳一.

4

23.在長方體初CD-44GA中，己知。4=。。=4,。4=3,求異面直線48與四。所成角

的余弦值.

【正確答案】

【分析】連接4。，由4。//5c可得，N84。是異面直線45與8c所成的角，利用余弦

定理可得結(jié)果.

【詳解】連接小。，'：AiD//BiC,

NBAQ是異面直線AiB與B,C所成的角

連接BD,K^AiDB中，Ai=AiD=5,BD=4y/2

25+25-329

—-2S5—-25

.?.異面直線48與B/C所成角的余弦值是會

本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.求異面直線所成的角先要利用三角形中位線

定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，

如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕

對值.

圓上一點.拋物線N:/=2px（p>0）的焦點廠與點M