2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題1(含解析)

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x,則lim+3-阿=()

Ax->oAr

A.-6B.-3C.3D.6

【正確答案】c

根據(jù)瞬時(shí)變化率的求解方法求解即可.

【詳解】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：

"*")一/(1)=lim(i)2g一2

x->0%XTO%

=lim'+3x=]jm/工+3)=3,

x-0X10''

故選：c

本題考查函數(shù)的瞬時(shí)變化率的求解問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.已知瑪=C*,則,"等于()

A.1B.3C.1或3D.1或4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由C；=C『T可知:加=2〃?-1或者加+2〃?-1=8,解得:=1或加=3

故選：C

3.設(shè)｛?！埃堑缺葦?shù)列，且《+。2+%=1，%+%+為=2,則。6+%+。8=()

A.12B.24C.30D.32

【正確答案】D

【分析】根據(jù)已知條件求得4的值，再由4+%+4=(q+%+%)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛見(jiàn)｝的公比為4,則《+生+43=%(|+4+/)=1,

3

=axq+aAq-+atq=a｝q[\+q+q-^=q=2,

h5

因止匕，+a7+a8=+axq+a^=axq(x+q+q-^q>=32.

故選：D.

本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法

有（）

A.10種B.20種C.25種D.32種

【正確答案】D

【分析】該事件用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，結(jié)合每個(gè)同學(xué)有2種選擇，即可得出結(jié)果

【詳解】由題，每個(gè)同學(xué)有2種選擇，故不同報(bào)名方式為25=32,

故選：D

5.若（6-/）"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則"的值為（）

A.14B.16C.18D.20

【正確答案】C

【分析】寫出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令人=3時(shí)x的指數(shù)位置等于0即可求解.

〃（1Y"〃6k

M展開(kāi)式的通項(xiàng)為九尸C：X，（-1）'/=《（-1）*必/，

n18n18

令人二3可得『盤（_1）3/方為常數(shù)項(xiàng)，可得.1=0,可得〃=18,

故選：C.

6.y=-5?在（［,_2）處的切線方程是（）

x2

A.y=4xB.y=4x-4

C.y=4x+4D.y=2x-4

【正確答案】B

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出直線方程整理即可.

【詳解】由已知夕'=二，

X

則叫!=4,

2

所以切線方程為P+2=4（x-g）,

整理得V=4x-4

故選：B.

7.3名男生和2名女生排成一隊(duì)照相，要求女生相鄰，共有排法（）種

A.120B.24C.48D.96

【正確答案】C

【分析】利用捆綁法可得答案.

【詳解】將兩名女生當(dāng)成一個(gè)元素和3名男生全排列得A：=24種排法,

兩名女生排序有A；=2種排法,

所以共有24x2=48種排法.

故選：C.

8.已知數(shù)列｛%｝滿足%=—J,則%+魯+暮+…+-^()

〃+1232020P20212

2020c201820192021

A.------B.------C.D.

2021201920202022

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列,再利用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算作答.

【詳解】因見(jiàn)=含，則%許=7用，

所以

+…+盟+繇=*)+(5)+?%+(11

Q+幺+幺)

122322020~2021

(1112021

+

2021~2022-2022~2022

所以%+4尹??+翁+繇二卷

故選：D

9.關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.C；二C7B.C3=C；7+C：

_Am加

C.AiA；：D-A”=『

【正確答案】C

【分析】運(yùn)用排列組合數(shù)公式展開(kāi)化簡(jiǎn)，結(jié)合選項(xiàng)辨析即可.

n\n\

【詳解】。"逅即，cr

=7\n—myw.\n-n7―\\=7—Ti—；，故A正確；

c：r'+c>n\n\

tnn\（〃-加+1）〃！伍+1）!

=71幣—j+777T；―7~T~.；—LC〃+i,故B正確;

[n-m+ly.m!（n-m+lJim!Q?+l—〃？J〃？！

A；'=TJ，而mA：：；="；.（”?!,故c錯(cuò)誤，D正確；

故選：C.

二、多選題

10.（多選）數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列,S”為其前"項(xiàng)和,已知0=5,57=21,則（）

2

A.ai—\B."=-1

C.02+0/2=1。D.S/o=40

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)所給條件，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，直接計(jì)算即可得解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛a”｝的公差為的

則由己知得$7=嗎㈤，

即21=12,解得幻=1.

2

7

又。7=。/+6%所以

10x910x99

所以與。=10。/+上上d=10+=40.

223

由｛“"｝為等差數(shù)列，知42+田2=2。7=10.

故選：ACD

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.88x89x90xxlOO可表示為A盤

B.若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種

C.10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握?5次

D.將5名醫(yī)護(hù)人員安排到呼吸、感染、檢驗(yàn)三個(gè)科室，要求每個(gè)科室至少有1人，共有150

種不同安排方法

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)A,由排列數(shù)的定義判斷；對(duì)B,可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤種樹(shù)為A：-l,對(duì)C,10人兩

兩握手共C：0次，對(duì)D,先分組成3、1、1或2、2、1,再將組排列到科室去.

【詳解】對(duì)A,A京=100x99xx89,A錯(cuò)；

對(duì)B,四個(gè)字母全排列共有A：=24種，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有24-1=23種，B對(duì)；

對(duì)C,10人兩兩握手，共C；()=45次，C對(duì)；

對(duì)D,將5人按3、1、1分組，共有C；=10種分法，再分到科室有A；=6種分法；

C2c2

將5人按2、2、1分組，共有工/=15種分法，再分到科室有A；=6種分法.

故每個(gè)科室至少有1人共有10'6+15'6=150種安排方法，D對(duì).

故選：BCD

12.設(shè)函數(shù)/'(A在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),且函數(shù)y=(l-x)/'(x)的圖像如圖所示，則

下列結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)有極大值”2)B.函數(shù)/(x)有極大值八-2)

C.函數(shù)“X)有極小值/(-2)D.函數(shù)“X)有極小值/(2)

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)函數(shù)N=(l-x)/'(x)的圖像判斷導(dǎo)數(shù)/(x)在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)極值的

定義即可求解.

【詳解】由圖可知，當(dāng)x<-2時(shí)，J^>0,i-x>0,貝U/'(x)>0,

當(dāng)時(shí)，y<0,i-x>o,則/'(x)<0,

當(dāng)l<x<2時(shí)，y>0,l-x<0,則/'(x)<0,

當(dāng)x>2時(shí)，^<0,1-%<0,貝!!/'(x)>0,

綜上當(dāng)x<-2時(shí)/'(x)>0,當(dāng)-2<x<2時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)/'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)有極大值/(-2),有極小值/(2),

故選：BD

三、填空題

13.計(jì)算：C：。-C；xA；=.

【正確答案】0

【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)計(jì)算公式可得答案.

【詳解】解：原式=乎等1-2字，（3x2x1）=210-210=0.

4x3x2xl3x2x1

故0.

14.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，且貝IJ當(dāng)〃=,￡有最大值.

【正確答案】5.

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，求得S“=-/+i（）〃，結(jié)合〃eN*和二次函數(shù)的性質(zhì),

即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)歹=可得S"="（%；%）="⑵）；2〃）=_/+10”,

因?yàn)椤╳N*,所以當(dāng)〃=5時(shí)，數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和為S”最大.

故答案為.5

15.設(shè)（X-2）"=%x"+4/3+0/2+婚+40,貝!]%+。2+“3+。4=_?

【正確答案】-15.

在原式中令x=0和x=l即可解得答案.

【詳解】在+*中，

4

令x=0得：a0=2=16,

令x=l得：a4+a｝+a2+a,+a0=1,

所以對(duì)+a3+a2+q=1-g=-15.

故答案為.-15

求解與二項(xiàng)式定理有關(guān)的系數(shù)和問(wèn)題時(shí)，要注意系數(shù)的正負(fù)規(guī)律，通過(guò)賦值法來(lái)求解，一般

地假設(shè)令x=l便可得到項(xiàng)的系數(shù)和，分別令x=l和x=-l,然后通過(guò)兩式相加減便可得到x

的奇數(shù)次方項(xiàng)的系數(shù)和與偶次方項(xiàng)的系數(shù)和.

16.若點(diǎn)P是曲線y=x2-hu-l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線y=x-3的最小距離為

【正確答案】V2

【分析】由已知，先在曲線上設(shè)出點(diǎn)。（x°,%）,然后寫出以。（%,比）點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線的切線

方程，根據(jù)題意，找到距離直線y=x-3最近的點(diǎn)，^]k=2x0--=\,從而求解出切點(diǎn)以及

X。

切線方程，最后計(jì)算兩條平行線之間的距離即可.

【詳解】由己知，設(shè)點(diǎn)。（X。,％））曲線卜=/-向-]上一點(diǎn)，則有為=年—1喊-1,

因?yàn)閥=x2-lnx-l,所以y'=2x-L,所以y'k&=2xo-■-,

xxo

所以曲線y=x2-lnx-l在。（％,%）處的切線斜率為左=2%一,，

xo

則曲線y=X?-Inx-1在。（X。,為）處的切線方程為y-（%2-1叫T）=（2x°-；）（x-X。），即

y=（2x--）x-x2-lnx.

0x°00

要求得曲線上任意一點(diǎn)，到直線y=x-3的最小距離即找到曲線上距離直線最

近的點(diǎn)，即4=2%-'=1,解得%=1或%=（舍去），

X。2

此時(shí)，以點(diǎn)。（1,0）為切點(diǎn)，曲線的切線方程為：y=x-i,

此時(shí)，切點(diǎn)。（L0）為曲線上距離直線y=x-3最近的點(diǎn)，即點(diǎn)p與點(diǎn)。重合，

最小距離為直線y=x-3與直線y=x-l之間的距離，設(shè)最小距離為"，

所以d=廣（-3）|=五

切以#+（7）2

故答案為.0

四、解答題

17.已知函數(shù)/（耳=（。-"/77111口若曲線夕=/河在點(diǎn)（1,.八1））處的切線與》軸平行,

且求的值.

【正確答案】a=-l,b=-l

【分析】求導(dǎo)，然后通過(guò)列方程組求解.

【詳解】由已矢口/''(x)=2(a-b)x-l-(l+lnx)=2(a-6)x-lnx,

,/',(l)=2(a-6)-lnl=0

/'(l)=(a-ft)-1-In1=a

18.給出下列條件:①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16；②若展開(kāi)式中倒數(shù)第三項(xiàng)

與倒數(shù)第二項(xiàng)的系數(shù)比為4:1.從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答（注:若選擇多

個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分）

（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

【正確答案】（1）4=5/和7；

54

（2）7；=x,7；=（x,7；=AX3

210

【分析】（1）無(wú)論選①還是選②，根據(jù)題設(shè)條件可求"=5,從而可求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

【詳解】（1）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

乙=3,閨=需卜！=0,1,2,,n.

若選①，則由題得C：+C"C：=16,

???1+〃+"（”“=16,即30=0,

2

解得〃=5或〃=-6（舍去），n=5.

C：噌「小

若選②，則由題得一為7二一2—="1=4,.?.〃=5,

。吧&

展開(kāi)式共有6項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為7；=C；（；jd=|x4,

(2)由(1)可得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

"C；產(chǎn)佶)=<；)—/=0,1,2,,￡

當(dāng)5-1eZ即，?=0,2,4時(shí)得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，

所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為：

z;=vJq；)2『cgJjLQ.

72)216

19.已知數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和E,滿足S,=/+〃，數(shù)列｛1%〃,｝是公差為1的等差數(shù)列，4=1.

⑴求數(shù)列｛&｝,低｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)％=a?+%,求數(shù)歹lj｛的｝的前〃項(xiàng)和刀,.

【正確答案】⑴%=2〃；b?=2"-'

(2)n2+n+2"-I

【分析】(1)利用an=S,-Si可得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，通過(guò)數(shù)列｛log?4｝為等差數(shù)列及

對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式：

(2)利用分組求和法可得數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和7；.

【詳解】(1)當(dāng)〃22時(shí)，a?=S?-S?_,=(n2+?)-[(n-1)2+(n-1)]=2n,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=2,符合上式，

故a?=2n；

又log也=k>g21+〃-l=〃-I,

?"A'，

(2)由(1)知c“=2w+2"

2W1XI22

:.Tn=(at+a2++%)+(4+4++^)=^^^-+1=n+n+2"-I-

z1—Z

r2

20.已知函數(shù)/(x)=—.

ex

(1)求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/⑴在區(qū)間-；