18.1.1 平行四邊形的性質(zhì) （第1課時(shí)） 課件 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)

）平行四邊形（第1課時(shí)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．ABCD平行四邊形的定義可以看作是判定，也可以看作是性質(zhì)，即兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行．

性質(zhì)：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知ABCD

如圖，_______________________________________________是?ABCD

的四組鄰邊．

對(duì)邊鄰邊有公共頂點(diǎn)的邊沒(méi)有公共頂點(diǎn)的邊邊

_____________________是?ABCD

的兩組對(duì)邊．平行四邊形的基本元素：AB

和AD，AD

和CD，CD

和BC，BC

和ABAB

和CD，AD

和BCABCD

如圖，_______________________________________________是?ABCD

的四組鄰角．對(duì)角鄰角有公共邊的角沒(méi)有公共邊的角角

______________________是?ABCD

的兩組對(duì)角．平行四邊形的基本元素：∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B∠B

和∠D，∠A和∠C問(wèn)題由平行四邊形的定義，我們知道平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行．除此之外，平行四邊形還有什么性質(zhì)呢？ABCD探究根據(jù)定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察它，除了“兩組對(duì)邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關(guān)系？它的角之間有什么關(guān)系？度量一下，和你的猜想一致嗎？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°∠B＝∠D，∠A＝∠C．

探究根據(jù)定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察它，除了“兩組對(duì)邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關(guān)系？它的角之間有什么關(guān)系？度量一下，和你的猜想一致嗎？

猜想：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等．

思考：你能證明這些猜想嗎？ABCD思考不添加輔助線，你能否直接運(yùn)用平行四邊形的定義，證明其對(duì)角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．ABCD∴∠B＝∠D．同理可證明∠A＝∠C．

符號(hào)語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD

是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等．新知

例1

如圖，在?ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三個(gè)角的度數(shù)；（2）若AD＝8，?ABCD

的周長(zhǎng)為24，求其余三條邊的長(zhǎng)度．

解：（1）∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD

例1

如圖，在?ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三個(gè)角的度數(shù)；（2）若AD＝8，?ABCD

的周長(zhǎng)為24，求其余三條邊的長(zhǎng)度．

解：（2）∵四邊形ABCD

是平行四邊形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵?ABCD

的周長(zhǎng)為24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD總結(jié)在平行四邊形中，可“知一求三”

在平行四邊形中，已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用平行四邊形的性質(zhì)，可以求出其余三個(gè)內(nèi)角的大小．

例2

如圖，在?ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證AE＝CF．ABCDEF

解：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB

＝90°．∴△AED≌△CFB

（AAS）．∴AE＝CF．

DE＝BF嗎？相等，理由如下：如圖，直線a∥b，c∥d，c，d與a，b分別相交于A，B，C，D四點(diǎn)，AB和CD相等嗎？為什么？問(wèn)題∵AB∥CD，AC∥BD，∴AB＝CD（平行四邊形的性質(zhì)）．∴四邊形ABDC

是平行四邊形（平行四邊形的定義）．ACBDabcd兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等．

∴根據(jù)兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等，得AB＝CD．如圖，如果直線a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等嗎？思考

∴c∥d，即AB∥CD．∵c⊥b，d⊥b，∵AC∥BD，ACBDabcd如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等．如圖，a∥b，A

是a

上的任意一點(diǎn)，AB⊥b，B

是垂足，線段AB

的長(zhǎng)就是a，b

之間的距離．兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離．兩條平行線之間的距離處處相等．BAba新知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是定義點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間距離的基礎(chǔ)，它們本質(zhì)上都是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．兩條平行線之間的距離和點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離有何聯(lián)系與區(qū)別？思考任何兩條平行線之間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度．G

例3

如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，E，F(xiàn)

在直線a

上，點(diǎn)B，C，D

在直線b

上，BC＝EF．求證S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF證明：如圖，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分別為點(diǎn)G，H．則S△ABC＝

BC·AG，S△DEF＝

EF·DH．

∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a，∴AG＝DH．

又∵BC＝EF，∴S△ABC＝S△DEF

．H?(預(yù)習(xí)教材P43－P44，完成以下練習(xí))

平行四邊形的對(duì)邊?

?且?

?，對(duì)角?

?.那平行四邊形的對(duì)角線又有什么性質(zhì)呢？如圖，猜想：OA?

?OC，OB?

?OD.平行四邊形的對(duì)角線?

?.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴?

?.平行

相等

相等

＝

＝

互相平分OA＝OC，OB＝OD

知識(shí)點(diǎn)1

利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【例1】(人教八下P44例2改編)如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC，BD的長(zhǎng)以及?ABCD的面積.解：在?ABCD中，AD＝BC＝8，OA＝OC，BO＝DO.∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，∴在Rt△ABC中，

∴在Rt△OCB中，

S?ABCD＝AC×BC＝48.【變式1】(人教八下P44T1改編)如圖，在?ABCD中.(1)若BC＝10，AC＝8，BD＝14，則△AOD的周長(zhǎng)是?

?，△DBC的周長(zhǎng)比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)?

?.(2)若∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，則OA＝?

?，?ABCD的面積是?

?.21

6

6

60

知識(shí)點(diǎn)2

利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)進(jìn)行證明【例2】(人教八下P44T2改編)如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE＝OF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(ASA).∴OE＝OF.【變式2】(人教八下P47T2改編)如圖，?ABCD

的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF.求證：BE＝DF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△DOF和△BOE中，

∴△DOF≌△BOE(SAS).∴BE＝DF.課堂總結(jié)：平行四邊形面積的求解方法方法一：?

?S?ABCD＝BC·AE＝CD·AF方法二：?

?S?ABCD＝4S△OAB＝4S△OBC＝4S△OCD＝4S△OAD方法三：?

?S?ABCD＝2S△BAC＝2S△BEC1.?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定正確的是(

C

)A.AD＝BCB.OA＝OCC.OA＝ODD.∠ABC＝∠ADCC2.(人教八下P49習(xí)題T3改編)?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＋BD＝36，AB＝12.則△OCD的周長(zhǎng)為?

?.30

3.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE＝CF，連接EF，交AC于點(diǎn)O.求證：OE＝OF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF.4.(2023·惠州期中)如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長(zhǎng)線上，且DE＝BF，連接AE，CF.求證：AE＝CF.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵DE＝BF，∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.在△AOE