微專題7-1排列組合（13種考法69題專練）解析版

微專題7-1排列組合（13種考法69題專練）考法1：捆綁法考法2：插空法考法3：特殊元素法考法4：間接法考法5：隔板法考法6：倍縮法解決定序問題考法7：不平均分組問題考法8：平均分組問題考法9：分類分步問題考法10：部分平均分組問題考法11：特殊位置法考法12：染色問題考法13：排數(shù)問題考法1：捆綁法1．（2023春?普陀區(qū)校級月考）5位同學(xué)和2位老師一起拍照，要求排成一排，2位老師相鄰但不排在兩端，則不同的排法共有種．（結(jié)果用數(shù)字表示）【分析】首先排2位同學(xué)到兩端、再排其余3位同學(xué)與2位老師，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得．【解答】解：首先排2位同學(xué)到兩端，有種排法，再排其余3位同學(xué)與2位老師，其中老師需相鄰，故有種排法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種排法．故答案為：960．【點(diǎn)評】本題考查了排列的應(yīng)用，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．2．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則甲不站兩端且乙和丙相鄰的概率是_____．【答案】【分析】利用排列知識可得甲不站兩端且乙和丙相鄰結(jié)果數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.【詳解】甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排共有種結(jié)果，把乙和丙捆綁在一起看作一個(gè)元素與甲之外的兩個(gè)元素排列，又甲不站兩端，把甲插入此三個(gè)元素形成的空中，故共有種結(jié)果，所以甲不站兩端且乙和丙相鄰的概率是.故答案為：.3．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，若甲不站在排頭，乙和丙相鄰，則不同的排列方法有種．【分析】先將乙和丙捆綁在一起，記為新的元素己，則甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，乙和丙相鄰等價(jià)于甲、丁、戊、己4名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，然后結(jié)合排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題求解即可．【解答】解：先將乙和丙捆綁在一起，記為新的元素己，則甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，乙和丙相鄰等價(jià)于甲、丁、戊、己4名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，則不同的排列方法有種，故答案為：36．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題．4．（2021秋?靜安區(qū)校級期末）有6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有種．（用數(shù)值表示）【分析】由甲、乙兩人相鄰，故可先對甲、乙進(jìn)行捆綁后，再進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：因?yàn)榧?、乙兩人相鄰，所以先將甲、乙兩人進(jìn)行捆綁，方法共有種，再將甲、乙兩人看成整體進(jìn)行排序共有種排法，所以共有種，故答案為：240．【點(diǎn)評】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，以及排列組合的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2021春?金山區(qū)校級月考）中國古代崇尚玉，玉寓意美好的人或事物．許多漢字與玉相關(guān)，如：玲、瓏、珍、珠、瓊、理等，現(xiàn)將“瑪、玚、珅、珪、珽、珊”六個(gè)漢字排一排，其中筆畫數(shù)相同的漢字必須相鄰的排法有種．（用數(shù)字作答）【分析】首先數(shù)出6個(gè)字的筆畫數(shù)各有2個(gè)相同，由必相鄰，則用捆綁法再排列即可．【解答】解：漢字筆畫為傳統(tǒng)文化中的常識，求同存異，除偏旁外，六個(gè)字剩下的筆畫數(shù)分別為3，3，5，6，6，5．故由相鄰問題捆綁法，可知共有個(gè)．故答案為：48．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用捆綁法，可以避免討論，簡化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2020春?浦東新區(qū)校級月考）現(xiàn)有6輛不同顏色的小汽車排成一隊(duì)，其中紅色車與藍(lán)色車不能相鄰，黑色車與白色車相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有種．【分析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將黑色、白色車先捆綁，看作一個(gè)整體，②再將這個(gè)整體與除紅色、藍(lán)色車的另外兩輛車全排列，③在隔開的四個(gè)空位內(nèi)插入紅色車與藍(lán)色車，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將黑色、白色車先捆綁，看作一個(gè)整體，注意它們的順序，有種排法，②再將這個(gè)整體與除紅色、藍(lán)色車的另外兩輛車全排列，有種排法，③排好后有4個(gè)空位，然后在隔開的四個(gè)空位內(nèi)插入紅色車與藍(lán)色車，有種排法，則一共有種排法，故答案為：144．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021春?楊浦區(qū)校級期中）汽車牌照由4個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)）和2個(gè)字母（也不一定要不相同）構(gòu)成，這6個(gè)字符可以任何順序呈現(xiàn)，但兩個(gè)字母必須相鄰，則可以形成的不同的牌照有種．A． B． C． D．【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法，以及分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：把相鄰兩個(gè)字母看作一個(gè)，則字母和數(shù)字排法有種，每個(gè)字母有26種，每個(gè)數(shù)字有10種，則共有種．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查簡單的計(jì)數(shù)問題，利用相鄰問題捆綁法以及分步乘法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．考法2：插空法8．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）6名同學(xué)排隊(duì)站成一排，要求甲乙兩人不相鄰，共有種不同的排法．【分析】先安排除甲乙之外的四個(gè)人，再在5個(gè)空位上插空安排甲乙二人可得答案．【解答】解：先安排除甲乙之外的四個(gè)人，再在5個(gè)空位上插空安排甲乙二人，．故答案為：480．【點(diǎn)評】本題考查插空法求解排列問題，是基礎(chǔ)題．9．（2022秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考期中）將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為______（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】6個(gè)空位選2兩個(gè)放0，剩余4個(gè)放1，故總的排放方法有種，個(gè)不相鄰的排法利用插空法，4個(gè)1之間包括兩頭有5個(gè)位置可以放0，故排放方法有種，則個(gè)不相鄰的概率為，故選：C．10．（2020春?浦東新區(qū)校級月考）某小朋友已將五輛不同的玩具汽車排成一隊(duì)，此時(shí)爸爸從沙發(fā)底下找出兩輛玩具汽車．如果將這兩輛玩具汽車放到隊(duì)列中，且原來五輛玩具汽車的順序不變，那么不同放法的總數(shù)為．【分析】一個(gè)一個(gè)的依次進(jìn)行插空即可求解．【解答】解：先插一個(gè)汽車再插一個(gè)汽車共有：種放法．故答案為：42．【點(diǎn)評】本題考查了排列組合以及簡單計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．11．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）甲、乙、丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個(gè)位置中的3個(gè)，因疫情防控的需要（這一排沒有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法A．120種 B．80種 C．64種 D．20種【分析】根據(jù)題意，先排好7個(gè)空座位，注意空座位是相同的，其中有6個(gè)空位符合條件，考慮順序，將3人插入6個(gè)空位中，可得答案．【解答】解：先排7個(gè)空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個(gè)空位符合條件，考慮三人的順序，將3人插入6個(gè)空位中有，則共有種情況．故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，對于不相鄰的問題采用插空法．12．（2021秋?嘉定區(qū)校級月考）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有A．408種 B．240種 C．192種 D．120種【分析】先進(jìn)行全排，求出“射”在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次相鄰，則講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰的排法．【解答】解：這六門課程的全排種，“射”排在第一節(jié)的排法有種，“數(shù)”和“樂”兩次相鄰有，“射”排在第一節(jié)且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰，“六藝”講座不同的次序共有，故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的知識，屬于基礎(chǔ)題．考法3：特殊元素法13．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)校考階段練習(xí)）用組合成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從中隨機(jī)地取一個(gè)，取得的數(shù)為偶數(shù)的概率是.【答案】/0.4【分析】應(yīng)用排列數(shù)求出所有三位數(shù)個(gè)數(shù)及其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】任取三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有種，其中三位數(shù)為偶數(shù)有種，所以取到的數(shù)為偶數(shù)的概率為.故答案為：.14．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀W(xué)校安排甲乙丙丁4名運(yùn)動(dòng)員參加米接力賽，其中甲不跑第一棒，則共有種不同的接力方式.【答案】【分析】甲先選擇，然后乙丙丁再全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】甲先在第二、三、四棒中選一棒，有種選法，乙丙丁三人選擇除甲選擇之外的三棒，全排列即可，有種選法，所以一共有種接力方式，故答案為：.15．（2022·上海市莘莊中學(xué)高三期中）某電視臺連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是_________.【答案】【解析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，滿足條件的事件是首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，得到概率．【詳解】解：由題意知本題是等可能事件的概率，所有事件數(shù)是滿足條件的首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，有種結(jié)果，兩個(gè)奧運(yùn)廣告不能連放，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，有3種結(jié)果，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，共有種結(jié)果，要求的概率是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是做出符合題意的事件數(shù)，這里要應(yīng)用排列組合的原理來解出結(jié)果，屬于中檔題．16．（2024上·上?！じ叨？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒?dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮?，“龍”卡三張．每個(gè)學(xué)生從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ瑒t額外獲得2分．(1)求學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；(2)求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.（2）根據(jù)分的組合情況進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】（1）學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.（2）學(xué)生乙最終獲得分，有兩種情況：①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，方法數(shù)有種.所以學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.考法4：間接法17．（2023春·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）A、B、C、D四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，若A和不參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數(shù)是______.（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)題意，先安排四位同學(xué)參加三科競賽且每科都有人參加的情況，再去除A和參加同一科的情況即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，若四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，且這三科都有人參加，則共有種情況，若四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，且這三科都有人參加，A和參加同一科的有種情況；所以，滿足題意的情況共有種.故答案為：.18．（2023上·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校募?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.【答案】54【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.【詳解】若甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有種不同參賽方案，若沒有甲?乙入選的不同參賽方案共有種，所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.故答案為：54.19．（2021·上海奉賢·一模）從集合中任取3個(gè)不同元素分別作為直線方程中的，則經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線有__________條（用數(shù)值表示）【答案】54【分析】根據(jù)給定條件可得，再從任取兩個(gè)不同元素分別作為值的種數(shù)中減去重合的直線條數(shù)即可作答.【詳解】依題意，，從任取兩個(gè)不同元素分別作為的值有種，其中重合的直線，按有序數(shù)對，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線條數(shù)是.故答案為：54【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及部分排列組合問題，用直接法求解，分類復(fù)雜，可以求出不考慮條件的所有結(jié)果，再去掉不符合要求的結(jié)果，即運(yùn)用逆向思維，間接求解．考法5：隔板法20．（2023下·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校?個(gè)志愿者的名額分給3個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，則有種不同的分配方法（用數(shù)字作答）【答案】15【分析】因?yàn)槊~之間無差別，故采用隔板法即可求解.【詳解】7個(gè)志愿者的名額分配給3個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，采用隔板法可知，即從6個(gè)空中插入2個(gè)隔板，共有種不同分法，故答案為：15.21．（2022上·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）10個(gè)相同的小球放到6個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，則不同的放法有種.【答案】126【分析】由隔板法，將10個(gè)小球排成一排，中間插入5個(gè)隔板，即可求得不同的放法.【詳解】由隔板法，將10個(gè)小球排成一排，除去兩端中間插入5個(gè)不相鄰的隔板，此時(shí)9個(gè)空中選5個(gè)空放隔板，將10個(gè)球分成六份，再將六份裝入六個(gè)盒子中即可，不同的放法有種.故答案為：126.22．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)椋瑒t函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】【分析】考慮把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3②1，2，2，計(jì)算概率得到答案.【詳解】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.23．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）小明給同學(xué)發(fā)“拼手氣”紅包，他將1角錢分成三份，每份都是1分錢的正整數(shù)倍，若這三個(gè)紅包分別被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲搶到1分錢的概率為_________.【答案】【分析】將題干情景轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；【詳解】題干情景可以轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；將10個(gè)小球排好，有9個(gè)空隙，從這9個(gè)空隙中選出2個(gè)放入擋板可將小球分為3份；所以，分類方法共有種；甲盒有1個(gè)小球的情況有：共8種；所以，概率為.故答案為：.24．（2023下·上海閔行·高二校考期中）12月31日是某校藝術(shù)節(jié)總匯演之日，當(dāng)天會(huì)進(jìn)行隆重的文藝演出，已知高一，高二，高三分別選送了4，3，2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)回答以下問題：（用排列組合數(shù)列式，并計(jì)算出結(jié)果）(1)為了活躍氣氛，學(xué)校會(huì)把20個(gè)熒光手環(huán)發(fā)給臺下的12名家長代表，每位家長至少一根，共計(jì)有多少種分配方案；(2)若高一的節(jié)目彼此都不相鄰，高三的節(jié)目必須相鄰，共計(jì)有多少種出場順序；(3)演出結(jié)束后，學(xué)校安排甲、乙等9位志愿者打掃A，B，C三個(gè)區(qū)域的衛(wèi)生，每個(gè)區(qū)域至少需要2名志愿者，則共有多少種安排方式？甲、乙打掃同一個(gè)區(qū)域的概率是多少？【答案】(1)(2)(3)11508，【分析】（1）由題意根據(jù)隔板法求解；（2）根據(jù)相鄰與不相鄰問題可用捆綁法與插空法求解；（3）分別按分類求解，再按不同分組求出甲乙在一組的種數(shù)，由古典概型求解.【詳解】（1）利用隔板法：.（2）根據(jù)捆綁、插空：高三2個(gè)節(jié)目視作1個(gè)節(jié)目，與高二3個(gè)節(jié)目全排列，再把高一的4個(gè)節(jié)目插入所成的5個(gè)空中的4個(gè)，所以共有.（3）①.若按2，2，5分組，則有：種，②.若按2，3，4分組，則有：種，③.若按3，3，3分組，則有：種，故共有種安排方式.若按2，2，5分組，甲、乙在同一組的安排方式有種，若按2，3，4分組，甲、乙在同一組的安排方式有

種，若按3，3，3分組，甲、乙在同一組的安排方式有=420種，故甲、乙在同一組的概率為.考法6：倍縮法解決定序問題25．（2022下·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┯谩氨?、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”這六個(gè)字可以組成種不同的六字短語（不考慮短語的含義）.【答案】360【分析】先將六個(gè)字全排列，再除以2即可.【詳解】先將六個(gè)字進(jìn)行排列，有種選擇，由于六個(gè)字中有兩個(gè)相同的“墩”，故均重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有種不同的六字短語.故答案為：36026．（2022上·上海楊浦·高二?？计谀┠撑d趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有種不同的站隊(duì)方法.【答案】25200【分析】由已知得10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【詳解】設(shè)10名學(xué)生中，有女生人，男生人，則10名學(xué)生中選取3人，恰有1名女生的概率，整理得：，即因式分解可得：，解得：或（舍去）或（舍去）所以10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，將6名女生排成一排有種方法，再將4名男生插到7個(gè)空中有種方法，因?yàn)槟猩淖笥蚁鄬樞蚬潭ǎ?名男生排成一排有種方法，所以一共有，故答案為：2520027．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）如圖，微店銷售某產(chǎn)品，該產(chǎn)品共剩A、B、C三種顏色的相同款式7盒，銷售員隨機(jī)抽取貨架上的產(chǎn)品進(jìn)行貼條投遞，她總是取每堆中的最上面的一盒（全部拿完），則不同的取法有__________種（用數(shù)字作答）【答案】210【分析】利用定序法，轉(zhuǎn)化為將7盒產(chǎn)品排成一列，其中A，B，C三種顏色的順序是確定的，問題得以解決【詳解】解：由題意可得將問題轉(zhuǎn)化為將7盒產(chǎn)品排成一列，其中A，B，C三種顏色的順序是確定的，所以共有種，故答案為：21028．（2023下·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．(1)若從兩隊(duì)中選2人值日，則有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）(2)若從甲、乙兩隊(duì)各選2人參加值日，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？（結(jié)果用數(shù)字表示）(3)讓甲組成員排成一排，若女生身高互不相等，女生從左到右按高矮順序排，有多少種不同排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）對選出的2人進(jìn)行討論，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出答案；（2）以男生的選法進(jìn)行分類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出答案；（3）由除序法求解即可.【詳解】（1）從甲組中選2人，共有種；從乙組中選2人，共有種；從甲組和乙組中各選1人，共有種；則由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，有種不同的選法.（2）當(dāng)這名男生選自甲組，共有種；當(dāng)這名男生選自乙組，共有種；則由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，有種不同的選法（3）因?yàn)榕砀呋ゲ幌嗟龋鷱淖蟮接野锤甙樞蚺?，所以有種不同排法.考法7：不平均分組問題29．（2023上·上海青浦·高三校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.【答案】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合平均分組與不平均分組的解法，利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，有，，而的值域?yàn)?，所以有且，或且兩種情況，不考慮為偶函數(shù)時(shí)，分兩種情況討論：一種是將分成一組1個(gè)元素，一組3個(gè)元素的情況，此時(shí)有種情況滿足題設(shè)；一種是將分成每組各2個(gè)元素的情況，此時(shí)有種情況滿足題設(shè)；綜上，滿足的定義域?yàn)?，值域?yàn)榈那闆r共有種，所以函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.故答案為：.30．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)椋瑒t函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考慮把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3②1，2，2，計(jì)算概率得到答案.【詳解】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.31．（2021·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙?丙三位同學(xué)各自在周六?周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六?周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率是___________.【答案】【分析】求出不加限制條件的參加方法，再按分組分配方法求得兩天都有人參加活動(dòng)的方法數(shù)，然后計(jì)算概率．【詳解】甲?乙?丙三位同學(xué)各自在周六?周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的所有方法數(shù)為，周六?周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的方法婁得，所以周六?周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率是．故答案為：．32．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三階段練習(xí)）今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同學(xué)恰好被其中2所高校錄取，那么不同的錄取方法有___________種.【答案】1800.【分析】根據(jù)題意，先把學(xué)生分成兩組，然后從25所學(xué)校中選出兩所，進(jìn)而將學(xué)生分配到兩所學(xué)生中，最后得到答案.【詳解】將3個(gè)學(xué)生分為兩組，有種情況，從25所學(xué)校選出兩所，有種情況，于是，共有種.故答案為：1800.33．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）某輕軌列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6位乘客準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂是等可能的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為___________.【答案】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果．【詳解】6位乘客進(jìn)入4節(jié)車廂的方案共有46種.6位乘客按各節(jié)車廂人數(shù)恰好為0，1，2，3進(jìn)入共有A44C60C61C52C33＝1440種方法．∴這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為．故答案為．【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體．考法8：平均分組問題34．（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┲ё闱蜿?duì)進(jìn)行三輪淘汰賽角逐出冠軍，賽前進(jìn)行隨機(jī)抽簽來確定賽程表，賽程安排方式如下：確定第一輪4場比賽的分組，再確定第一輪的4支勝者隊(duì)伍在第二輪2場比賽的分組，最后確定第二輪的2支勝者隊(duì)伍進(jìn)行第三輪比賽.注意：進(jìn)行比賽的兩支隊(duì)伍不計(jì)順序，每輪各場比賽不計(jì)順序，賽程表賽前一次性完成制定(與具體每場比賽的勝者是誰無關(guān)).則賽程表有___________種.【答案】【分析】分別確定第一輪比賽，第二輪比賽，第三輪比賽安排方案數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理確定總的方法數(shù).【詳解】由已知可得第一輪比賽的安排方法數(shù)為，即105種安排方法，第二輪比賽的安排方法數(shù)為，即3種安排方法，第三輪比賽的安排方法數(shù)為1，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有的安排方法數(shù)為315；故答案為：315.35．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校高二年級共有個(gè)班級，現(xiàn)有名交流生要安排到該年級的個(gè)班級，且每班安排名，則不同的安排方案種數(shù)為__．【答案】【分析】先把名學(xué)生平均分成兩組，組和組無差別，再把這兩組分到個(gè)班級中的兩個(gè)班級，根據(jù)分步乘法原理即可求得答案．【詳解】先把名學(xué)生均分兩組有種方法，然后再把這兩組分給這個(gè)班中的兩個(gè)班有種方法，根據(jù)分步乘法原理得不同的安排方案種數(shù)有種．故答案為：.36．（2022·上海·二模）某大學(xué)計(jì)算機(jī)系4名學(xué)生和英語系的4名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假到某偏遠(yuǎn)農(nóng)村學(xué)校進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，現(xiàn)將他們平均分配到四個(gè)班級，則每個(gè)班級既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語系學(xué)生的概率是_____________________.【答案】【分析】先計(jì)算總共有種選法，再計(jì)算滿足條件的，最后按照古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】8人平均分到4個(gè)班級共有種選法，每個(gè)班級既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語系學(xué)生共有種分法，故概率為.故答案為：.37．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分法？(1)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)平均分成三組，每組2本．【答案】(1)90；(2)15.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合組合問題列式計(jì)算作答.（2）利用平均分組的方法列式計(jì)算作答.【詳解】（1）從6本不同的書中任取2本給甲，再從余下4本書中任取2本書給乙，最后2本給丙，所以平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本的不同分法數(shù)為（種）.（2）6本不同的書平均分成三組，每組2本的不同分法數(shù)為（種）.考法9：分類分步問題38．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ写ㄉ持袑W(xué)校考期末）某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者，則所選3人中男女生都有的選法有種.（用數(shù)字作答）【答案】96【分析】分兩種情況，結(jié)合組合知識進(jìn)行求解【詳解】當(dāng)所選3人中男生1人，女生2人，此時(shí)有種選擇，當(dāng)所選3人中男生2人，女生1人，此時(shí)有種選擇，故共有種選擇.故答案為：9639．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）將4個(gè)人排成一排，若甲和乙必須排在一起，則共有種不同排法.【答案】12【分析】利用捆綁法，先將甲乙看成一個(gè)整體，再與剩余學(xué)生排列.【詳解】先將甲乙看成一個(gè)整體，共有種不同排法，再與剩余學(xué)生排列，共有種不同排法，所以共有種不同排法.故答案為：12.40．（2024上·上?！じ叨？计谀?020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負(fù)抵消，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個(gè).【答案】18【分析】分兩種情況討論：兩個(gè)氧原子相同、兩個(gè)氧原子不同，分別計(jì)算出兩種情況下二氧化碳分子的個(gè)數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個(gè)氧原子相同，此時(shí)二氧化碳分子共有種；若兩個(gè)氧原子不同，此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：1841．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）要排出高一某班一天上午5節(jié)課的課表，其中語文、數(shù)學(xué)、英語、藝術(shù)、體育各一節(jié)，若要求語文、數(shù)學(xué)選一門第一節(jié)課上，且藝術(shù)、體育不相鄰上課，則不同的排法種數(shù)是．【答案】【分析】先排第一節(jié)，再利用插空法計(jì)算即可.【詳解】先排第一節(jié)有種排法，再在其后排語數(shù)英中除第一節(jié)外的兩科目，有種不同排列,并形成3個(gè)空排藝術(shù)、體育兩門科目，有種排法，故不同的排課方法有種方法.故答案為：24.42．（2021·上海閔行·一模）某學(xué)校為落實(shí)“雙減”政策，在每天放學(xué)后開設(shè)拓展課程供學(xué)生自愿選擇，開學(xué)第一周的安排見如表.小明同學(xué)要在這一周內(nèi)選擇編程?書法?足球三門課，不同的選課方案共___________種.周一周二周三周四周五演講?繪畫?舞蹈?足球編程?繪畫?舞蹈?足球編程?書法?舞蹈?足球書法?演講?舞蹈?足球書法?演講?舞蹈?足球注：每位同學(xué)每天最多選一門課，每一門課一周內(nèi)最多選一次【答案】15【分析】應(yīng)用分類分步計(jì)算方法，首先考慮編程選在周二或周三，再確定書法的時(shí)間，最后確定足球的時(shí)間，即可得到總的選課方案.【詳解】1、周二選編程，則選課方案有種；2、周三選編程，則選課方案有種；綜上，不同的選課方案共15種.故答案為：15.43．（2022·上海·高三專題練習(xí)）安排個(gè)黨員（含小吳）去個(gè)不同小區(qū)（含小區(qū)）做宣傳活動(dòng)，每個(gè)黨員只能去個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都有黨員去宣傳，其中至少安排個(gè)黨員去小區(qū)，但是小吳不去小區(qū)，則不同的安排方法數(shù)為_________.【答案】44【分析】先分類討論為小區(qū)安排人，再按照“3+1+1”和“2+2+1”兩種情況安排其他小區(qū)即可.【詳解】首先人數(shù)分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”兩種情況，至少安排個(gè)黨員去小區(qū)，故小區(qū)安排人或2人，小吳不去小區(qū)，故：若小區(qū)安排人，除小吳外還有4人，按照“3+1+1”分配，則有種；若小區(qū)安排人，除小吳外還有4人，按照“2+2+1”分配，則有種.故不同的方法數(shù)為種.故答案為：44.44．（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，則學(xué)生甲被抽到的概率___.【答案】【解析】基本事件總數(shù)，學(xué)生甲被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出學(xué)生甲被抽到的概率．【詳解】解：從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，基本事件總數(shù)，學(xué)生甲被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴學(xué)生甲被抽到的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法是：先定性（六種概率：古典概型的概率、幾何概型的概率、獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、條件概率和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率）,再定量.考法10：部分平均分組問題45．（2023上·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)?？计谥校┧拿驹刚叩?個(gè)小區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識．每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先分組，再分配，先將四名志愿者分為、、三組，再安排到個(gè)小區(qū).【詳解】將四名志愿者分為、、三組，再安排到個(gè)小區(qū)，則有種安排方法.故答案為：46．（2023下·上海奉賢·高二統(tǒng)考期末）某校在高二開展了選課走班的活動(dòng)，已知該校提供了3門選修課供學(xué)生選擇，現(xiàn)有5名同學(xué)參加選課走班的活動(dòng)，要求這5名同學(xué)每人選修一門課程且每門課程都有人選，則5名同學(xué)選課的種數(shù)為.【答案】150【分析】利用排列組合以及分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】先將5名同學(xué)分成三組，每組人數(shù)有或兩種情況，則不同的分組方法有,再由這3組學(xué)生選取3門選修課，不同的選法有種，由分步計(jì)數(shù)原理可知這5名同學(xué)選課的種數(shù)為，故答案為：150.47．（2021·上海崇明·一模）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)計(jì)劃于2022年2月4日在北京開幕，北京冬奧會(huì)的順利舉辦將成為人類擺脫和超越疫情的標(biāo)志性事件，展現(xiàn)人類向更美好的末來進(jìn)發(fā)的期望和理想.組織方擬將4名志愿者全部分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作（每個(gè)場館至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______種.【答案】36【分析】把4名志愿者分為3組，選出2人作為一組，然后將3組全排列即可.【詳解】首先把4名志愿者分為3組，則有一個(gè)組有2人，共有種分法，再把分好的3組分到不同的3個(gè)場館，則有種分法，所以共有種分法.故答案為：36.48．（2020·上?！じ裰轮袑W(xué)高三階段練習(xí)）為抗擊“新型冠狀病毒”，全國各地群策群力，捐款捐物，某企業(yè)出資購買了兩種不同型號的新型呼吸機(jī)各兩臺（同種型號呼吸機(jī)不加區(qū)分），將這4臺呼吸機(jī)捐給疫情最重區(qū)域的三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少一臺，且同型號呼吸機(jī)不給同一醫(yī)院，則不同分配方案有_____種【答案】6【解析】兩種型號呼吸機(jī)的各挑一臺為一組，剩余兩個(gè)型號的呼吸機(jī)各1臺，分別為1組，將三組呼吸機(jī)分到三所醫(yī)院即可.【詳解】兩種型號呼吸機(jī)的各挑一臺為一組，因?yàn)橥N型號呼吸機(jī)不加區(qū)分，所以只有1種組合，剩余兩個(gè)型號的呼吸機(jī)各1臺，分別為1組，將三組呼吸機(jī)分到三所醫(yī)院共有種不同的分法，所以將這4臺呼吸機(jī)捐給疫情最重區(qū)域的三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少一臺，且同型號呼吸機(jī)不給同一醫(yī)院，不同分配方案有種.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.考法11：特殊位置法49．（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）電視臺連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中包含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首位必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】240【分析】根據(jù)條件，利用排列中特殊元素優(yōu)先考慮即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭孜槐仨毑シ殴鎻V告，所以共有種，故答案為：.50．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）6個(gè)人站一排，在甲不在排頭的條件下，乙不在排尾的概率為.【答案】/0.84【分析】先求出甲不在排頭的情況，再求出甲不在排頭，乙不在排尾的情況，求出概率.【詳解】設(shè)6個(gè)人站一排，甲不在排頭為事件A，乙不在排尾為事件B，甲不在排頭，故可從剩余5個(gè)位置安排一個(gè)位置給甲，有種情況再將剩余的5個(gè)人進(jìn)行全排列，有種情況故，6個(gè)人站一排，共有種情況，甲在排頭的情況有種情況，乙在排尾的情況有種情況，甲在排尾且乙在排頭時(shí)，共種情況，故種情況，故在甲不在排頭的條件下，乙不在排尾的概率為.故答案為：51．（2023·上?！とA師大二附中?？寄M預(yù)測）教授對外漢語的張老師要求班上的留學(xué)生們從周一到周四每天學(xué)習(xí)2首唐詩及正確注釋，每周五對一周內(nèi)所學(xué)唐詩隨機(jī)抽取4首進(jìn)行檢測.若已知抽取進(jìn)行檢測的4首唐詩中有一首是周四學(xué)的，則所抽取的4首唐詩中恰有3首來自本周后兩天所學(xué)內(nèi)容的概率為.【答案】【分析】根據(jù)題意可求出從星期三和星期四中的4首唐詩中抽的個(gè)數(shù)，已知有1首是周四學(xué)的,可分為兩種情況分別求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗槿〉?首唐詩中恰有3首是后兩天學(xué)的,即從星期三和星期四中的4首唐詩中抽3個(gè)：;又因?yàn)橐阎幸皇资侵芩膶W(xué)的，那么剩下的一首唐詩就從星期一和星期二里的4首唐詩抽1個(gè):那么有:(種)；因?yàn)橐阎?首是周四學(xué)的,可分為兩種情況:①4首唐詩中有1首唐詩是星期四的；②4首唐詩中有2首是星期四的；對于①(種)；對于②(種)；總可能:(種)故所求概率為:.故答案為：.52．（2023上·上海虹口·高三上外附中?？计谥校┰谀车肋x詞填空題中，共有4個(gè)空格、5個(gè)不同的備選單詞，其中每個(gè)空格只有一個(gè)正確答案（備選單詞中有一個(gè)是多余的），若隨機(jī)從備選單詞中選4個(gè)不同的單詞分別填入空格中，則恰答對3個(gè)空格的概率是．【答案】【分析】由古典概型的概率計(jì)算公式可得.【詳解】由題意得，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的；記事件“恰答對3個(gè)空格”，則；由古典概型的概率計(jì)算公式得，.則恰答對3個(gè)空格的概率是.故答案為：.53．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習(xí)）六位同學(xué)站成一排，若甲不站兩端，則不同的排法種數(shù)是________．【答案】480【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可分步求解.【詳解】甲不站兩端，則從中間4個(gè)位置中選一個(gè)位置給甲，然后剩下5個(gè)人全排列，故全部排法有,故答案為：54．（2021秋·上海浦東新·高二上海師大附中?？计谥校┐醒b有標(biāo)號為1?2?3?4的四只球，四人從中各取一只球，其中甲不取1號球，乙不取2號球，丙不取3號球，丁不取4號球的概率為___________.【答案】【分析】需進(jìn)行分類討論，分甲取2號，3號，4號，結(jié)合古典概型公式即可求解【詳解】若甲取2號，則分為：（乙3號，丙4號，丁1號）、（乙4號，丙1號，丁3號）、（乙1號，丙4號，丁3號）3種情況，因?yàn)榧兹?號，4號情況與取2號情況完全等價(jià)，故符合題意的情況共9種，總方法數(shù)為種，故符合題意的取法對應(yīng)概率為：.故答案為：55．（2023下·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）用0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)組成的四位數(shù)中，大于4000的有多少個(gè)？(2)能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？這些數(shù)相加，所得的和是多少？【答案】(1)360(2)36，132000【分析】（1）根據(jù)題意，千位數(shù)字可以為4、5或6，有3種情況，從而可解.（2）據(jù)題意，能被25整除的四位數(shù)其后面兩位數(shù)字為25或50，從而可解.【詳解】（1）根據(jù)題意，四位數(shù)大于4000，其千位數(shù)字可以為4、5或6，有3種情況，百、十、個(gè)位任意排列，有種情況，則大于4000的四位數(shù)有個(gè)；（2）根據(jù)題意，能被25整除的四位數(shù)其后面兩位數(shù)字為25或50，若后面兩位數(shù)字為50，有種情況，若后面兩位數(shù)字為25，有種情況，則有個(gè)被25整除的四位數(shù)，其和為.考法12：染色問題56．（2023下·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習(xí)）現(xiàn)要用種不同顏色對如圖所示的五個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（

）

A．180種 B．192種 C．300種 D．420種【答案】D【分析】先涂區(qū)域，再涂區(qū)域，然后涂區(qū)域，分區(qū)域與區(qū)域同色、區(qū)域與區(qū)域不同色兩種情況討論，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】先涂區(qū)域有種選擇，再涂區(qū)域有種選擇，然后涂區(qū)域有種選擇，若區(qū)域與區(qū)域同色，此時(shí)區(qū)域有種選擇，若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，故有種涂色方法.故選：D57．（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對【答案】B【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案.【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;

③對于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：B58．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┯煤诎變煞N顏色（都要使用）給正方體的6個(gè)面涂色，每個(gè)面只涂一種顏色。如果一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認(rèn)為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個(gè)面涂白色;b.上面涂黑色，另外五個(gè)面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有種?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)題意，采用分步加法計(jì)數(shù)原理求出符合條件的即可.【詳解】兩種顏色類型的，有種；類型的，有種（兩個(gè)面相鄰、相對）類型的，有2種（三個(gè)面有公共頂點(diǎn)或者沒有公共頂點(diǎn)）因此共有8種.故答案為：8.59．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┠硵?shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具，現(xiàn)給圖中的正方體展開圖的六個(gè)區(qū)域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有種不同的涂色方法.【答案】【分析】先涂，再分與同色、與不同色兩種情況討論，利用分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個(gè)對面，、為左右兩個(gè)對面，、為上下兩個(gè)對面，

先涂有種涂法，當(dāng)與同色，再涂有種涂法，若與同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，若與不同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，則有種涂法；當(dāng)與不同色，則涂有種涂法，涂有種涂法，此時(shí)與必同色且只有一種涂法，也只有種涂法，則有，綜上可得一共有種涂法.故答案為：60．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，用6種不同顏色對圖中A，B，C，D四個(gè)區(qū)域染色，要求同一區(qū)域染同一色，相鄰區(qū)域不能染同一色，允許同一顏色可以染不同區(qū)域，則不同的染色方案有________種．【答案】480【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理，首先染A區(qū)域，再染B區(qū)域，C區(qū)域，最后染D區(qū)域，計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，首先染A區(qū)域有種選擇，再染B區(qū)域有5種選擇，第三步染C區(qū)域有4種選擇，第四步染D區(qū)域也有4種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有種方法故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查染色問題，分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.考法13：排數(shù)問題61．（2022上·海南·高二校考期中）設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同的直線的條數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】任取2個(gè)數(shù)作為A，B共有種，去掉重復(fù)的直線條數(shù)即可得解．【詳解】[詳解]∵從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值有種結(jié)果，在這些直線中有重復(fù)的直線，當(dāng)和時(shí)，結(jié)果相同；當(dāng)和時(shí)，結(jié)果相同，∴所得不同直線的條數(shù)是，故選：C．62．（2023下·上海普陀·高二校考期末）用數(shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被整除的數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】分析可知，個(gè)位數(shù)只能排或，其他數(shù)位沒有限制，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，個(gè)位數(shù)只能排或，其他數(shù)位沒有限制，因此，能被整除的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.63．（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校┯?張卡片，每張卡片的正反兩面分別標(biāo)有兩個(gè)數(shù)字，且第張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為和．用這五張卡片排成一排，一共可以組成個(gè)不同的五位數(shù)（用數(shù)字作答）．【答案】3456【分析】先分析每張卡片上數(shù)字，再分