第15講 圓弧形動(dòng)點(diǎn)軌跡與最值問(wèn)題專題探究 (解析版)

第15講圓弧形動(dòng)點(diǎn)軌跡與最值問(wèn)題專題探究類型一定義法【知識(shí)點(diǎn)睛】定義法——若一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒等于固定長(zhǎng)，則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓（或圓?。┐祟悊?wèn)題常出現(xiàn)環(huán)境——折疊求最值時(shí)常結(jié)合原理——①圓與圓外定點(diǎn)最值的求解方法如圖：點(diǎn)A為圓外定點(diǎn)，點(diǎn)P為圓周上一點(diǎn)，OPOPHQ②圓上點(diǎn)到圓外定直線最值的求解方法如圖：直線l為圓外定直線，點(diǎn)P、點(diǎn)Q為圓周上一點(diǎn)，則PH即為圓O上的點(diǎn)到直線l的最小值;QH為最大值l【類題講練】1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【分析】當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CM的長(zhǎng)度最小，求出此時(shí)CM的長(zhǎng)度即可．【解答】解：連接AM，∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，∴AB＝AM＝3，∴M在以A為圓心，3為半徑的圓上，∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故選：A．2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，則∠BAD＝100°．【分析】先根據(jù)AB＝AC＝AD可知，B、C、D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑的圓上，再根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑的圓上，∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠CAD＝2∠CBD＝40°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+40°＝100°．故答案為：100°．3．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．【分析】先判斷出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的⊙B上，再取OD＝OA＝4，連接OD，則OM是△ACD的中位線，OM＝，進(jìn)而可得OM最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，計(jì)算即可求出結(jié)果．【解答】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的⊙B上，如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，∵點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝，∴OM最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，此時(shí)在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案為：1+2．4．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分別是AB邊和BC的中點(diǎn)，若線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，連接BN′，如圖2所示．（1）當(dāng)線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，線段BN′的長(zhǎng)＝cm；（2）如圖3，連接DN′，則DN′長(zhǎng)度的最小值是（﹣5）cm．【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)N′作N′E⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得△EN′M≌△BMN（AAS），即可運(yùn)用勾股定理求得答案；（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)N′始終在⊙M上，當(dāng)點(diǎn)N′與點(diǎn)P重合時(shí)，DN′＝DP＝DM﹣MP為最小值．利用勾股定理可求得DM，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)N′作N′E⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵M(jìn)，N分別是AB邊和BC的中點(diǎn)，∴BM＝AB＝3cm，BN＝BC＝4cm，在Rt△BMN中，MN＝＝＝5，∵線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN′，∴MN′＝MN，∠NMN′＝90°，∴∠BMN+∠EMN′＝90°，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠EMN′＝∠BNM，在△EN′M和△BMN中，，∴△EN′M≌△BMN（AAS），∴ME＝BN＝4，EN′＝BM＝3，∴BE＝BM+ME＝3+4＝7，在Rt△BN′E中，BN′＝＝＝（cm），故答案為：．（2）如圖2，以M為圓心，5為半徑作⊙M，連接DM交⊙M于P，∵線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，∴點(diǎn)N′始終在⊙M上，當(dāng)點(diǎn)N′與點(diǎn)P重合時(shí)，DN′＝DP＝DM﹣MP為最小值．在Rt△ADM中，DM＝＝＝（cm），∵M(jìn)P＝5cm，∴DP＝（﹣5）cm，∴DN′的最小值為（﹣5）cm，故答案為：（﹣5）．5．如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MN的最大值為．【分析】分析題意可知，點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AN，AM，以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長(zhǎng)AN與圓交于點(diǎn)M′，以此得到M、A、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最大，再根據(jù)勾股定理分別算出AM、AN的值，則MN的最大值M′N＝AN+AM′＝AN+AM．【解答】解：連接AN，AM，以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長(zhǎng)AN與圓交于點(diǎn)M′，如圖，∵△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AM+AN≥MN，∴當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到M′，即M、A、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最大，最大為M′N，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值為．故答案為：．6．如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，點(diǎn)F，連接CF，EF，CE，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△CEF面積的最大值是4+．【分析】線段CE為定值，點(diǎn)F到CE距離最大時(shí)，△CEF的面積最大，畫(huà)出圖形，即可求出答案．【解答】解：∵線段CE為定值，∴點(diǎn)F到CE的距離最大時(shí)，△CEF的面積有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB?cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴AG＝AC＝，∵點(diǎn)F的在以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，∴AF＝AB＝4，∴點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+，∴，故答案為：．7．如圖，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM＝AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長(zhǎng)度的最小值是．【分析】過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的長(zhǎng)，由題意可得點(diǎn)A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C長(zhǎng)度有最小值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝6，∴AM＝2，MD＝4，∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴HD＝MD＝2，HM＝HD＝，∴CH＝8，∴MC＝＝，∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝2，∴點(diǎn)A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C長(zhǎng)度有最小值，∴A'C長(zhǎng)度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣2，故答案為：﹣2．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是斜邊AB上任意一點(diǎn)，連接EF，將△AEF沿EF對(duì)折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長(zhǎng)的最小值是4+．【分析】由翻折的性質(zhì)可得，AF＝DF，C△DEF＝DF+FB+BD＝AF+FB+BD＝AB+BD，要求△BDF周長(zhǎng)的最小值，即求BD的最小值，以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑作圓，連接BE，交⊙E于點(diǎn)D′，此時(shí)BD的長(zhǎng)度最短，過(guò)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，則EM＝，根據(jù)勾股定理求出AM，進(jìn)而求出BM，再由勾股定理可求出BE，以此求出BD′，最后算出△BDF的周長(zhǎng)即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如圖，以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑作圓，連接BE，交⊙E于點(diǎn)D′，此時(shí)BD的長(zhǎng)度最小，∵將△AEF沿EF對(duì)折得到△DEF，且點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此時(shí)△BDF的周長(zhǎng)最小，過(guò)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BDF周長(zhǎng)的最小值是4+．故答案為：4+．9．已知，在半圓O中，直徑AB＝10，點(diǎn)C，D在半圓O上運(yùn)動(dòng)，弦CD＝5．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：△CAB≌△DBA；（2）如圖2，若∠DAB＝22.5°，求圖中陰影部分（弦AD、直徑AB、弧BD圍成的圖形）的面積；（3）如圖3，取CD的中點(diǎn)M，點(diǎn)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：點(diǎn)M到AB的距離的最小值是．?【分析】（1）分別說(shuō)明AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA成立，用SAS證明△CAB≌△DBA；（2）將陰影面積分割：S陰影部分＝S扇形DOB+S△AOD；（3）先得到點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧M'M''上運(yùn)動(dòng)，然后計(jì)算點(diǎn)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)M到AB的距離．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠CAD＝∠DBC，∵，∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD，∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA，∴∠CAB＝∠DBA，又∵AB＝BA，∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）解：過(guò)D作DH⊥AB于H，連接OD，如圖2：∵半圓O中，直徑AB＝10，∴OA＝OD＝5，∵∠DAB＝22.5°，∴∠DOB＝45°，∴DH＝OD＝，S扇形DOB＝，∴S△AOD＝OA?OH＝，∴S陰影部分＝S扇形DOB+S△AOD＝+；（3）連接OM，OC，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴OM⊥CD，CM＝CD＝，∴OM＝＝＝，∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧M'M''上運(yùn)動(dòng)，過(guò)M'作M'N⊥AB，垂足為N，∵sin∠AOM'＝＝＝，∴M'N＝OM'?sin∠AOM'＝×＝，∴點(diǎn)M到AB的距離的最小值是，故答案為：．10．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45或135°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問(wèn)題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以BD的中點(diǎn)為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問(wèn)題．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC＝∠BAC，（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過(guò)圓心O作OE⊥BC于點(diǎn)E，作OF⊥AD于點(diǎn)F，連接OA、OB、OC．利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；則在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝2+4．【解答】解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，同理，當(dāng)點(diǎn)D在弧BC上時(shí)，∠BDC＝135°．故答案為：45°或135；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過(guò)圓心O作OE⊥BC于點(diǎn)E，作OF⊥AD于點(diǎn)F，連接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，∴BO＝CO＝4．∵OE⊥BC，O為圓心，∴BE＝BC＝4，∴DE＝OF＝2．在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，∴AF＝2，∴AD＝2+4．11．（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是﹣1．【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC＝∠BAC，（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。窘獯稹拷猓海?）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案為：45；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最?。┕蚀鸢笧椋憨?．類型二定邊對(duì)直角【知識(shí)點(diǎn)睛】模型原理：直徑所對(duì)的圓周角是直角故：有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形必滿足四點(diǎn)共圓思路構(gòu)造：若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為直角，則直角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓?。┕剩河泄残边叺膬蓚€(gè)直角三角形必滿足四點(diǎn)共圓如圖：用此方法解題的一般步驟：用此方法解題的一般步驟：①確定動(dòng)點(diǎn)所在角=直角②確定“定直角”所對(duì)的邊為定邊③確定該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以“定邊”為直徑的圓弧求最值時(shí)常結(jié)合原理——同類型一（略）【類題講練】1．如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【分析】先判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠CBH＝30°，∠OBD＝90°，根據(jù)勾股定理即可求出BH、BD、OD，進(jìn)而可得DP的最小值．【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD有最小值，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值為OD﹣OP＝．故選：B．2．如圖，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣6，0），連接CD，點(diǎn)P為邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)AE取最小值時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．【分析】先判斷出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡：以CD中點(diǎn)F為圓心，半徑FD＝FC＝FE＝5的圓弧上，連接AF，交⊙M于點(diǎn)E，此時(shí)AE最小，再過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，通過(guò)相似即可求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．【解答】解：∵DE⊥CP，∴∠DEC＝90°，取CD中點(diǎn)F（﹣3，4），則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)F為圓心，半徑FD＝FC＝FE＝5的圓弧上，連接AF，交⊙M于點(diǎn)E，此時(shí)AE最小，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，則AM＝11，F(xiàn)M＝4，∠FMA＝∠ENA＝90°，在Rt△AFM中，AF＝＝，∵∠FMA＝∠ENA＝90°，∴FM∥EN，∴，即，∴EN＝4﹣．故選：B．3．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，則∠ADB＝90°，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，從而得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴EC＝EB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值為4﹣4，故選：D．4．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是⊙O上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（）A．2 B． C． D．【分析】如圖，連接OD，OC，首先證明點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，AC，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，∵C為的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故選：D．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，BF⊥AE，則CG的最小值為．【分析】取AB的中點(diǎn)O，連接OC，根據(jù)題意可知，點(diǎn)G是在以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且OC和OG的長(zhǎng)度是定值，因此當(dāng)O、G、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CG取得最小值，根據(jù)勾股定理求出OC，則CG的最小值為OC﹣OG．【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)G是在以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∵OC和OG的長(zhǎng)度是定值，∴當(dāng)O、G、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CG取得最小值，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OG＝＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝＝，∴CG的最小值為OC﹣OG＝．故答案為：．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點(diǎn)，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為7．【分析】先找出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線為以AD為直徑的圓，設(shè)圓心為O，作點(diǎn)M關(guān)于直線DC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接OM′交⊙O于點(diǎn)P′，可推出M′P′的長(zhǎng)即為PN+MN的最小值，再求出M′P′的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線為以AD為直徑的圓，作以AD為直徑的⊙O，作點(diǎn)M關(guān)于直線DC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接OM′交⊙O于點(diǎn)P′，連接M′N，OP，則OP＝OP′＝3，M′N＝MN，∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，∴PN+MN的最小值為OM′﹣3；連接OM，∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四邊形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8，∵點(diǎn)M關(guān)于直線DC的對(duì)稱點(diǎn)M′，∴M′M＝2MC＝6，在Rt△M′OM中，由勾股定理，得OM′＝，∴PN+MN的最小值為OM′﹣3＝10﹣3＝7，故答案為：7．7．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過(guò)半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【分析】由∠AFC＝90°，得點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，則點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件求出所在圓的半徑和圓心角，從而解決問(wèn)題．【解答】解：∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以AC為直徑畫(huà)半圓AC，連接OA，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，∴點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∵點(diǎn)G為OD的中點(diǎn)，∴OG＝OD＝OA＝2，∵OG⊥AB，∴∠AOG＝60°，AG＝2，∵OA＝OC，∴∠ACG＝30°，∴AC＝2AG＝4，∴所在圓的半徑為2，圓心角為60°，∴的長(zhǎng)為，故答案為：．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF＝FG，則CG的最小值為﹣2．【分析】如圖1，連接AG，證明AF＝FG＝EF，則∠AGE＝∠AGD＝90°，根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)O，當(dāng)O，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，由此可解答．【解答】解：如圖1，連接AG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，∵F是AE的中點(diǎn)，∴BF＝AE＝AF＝EF，∵BF＝FG，∴AF＝FG＝EF，∴∠AGE＝∠AGD＝90°，∴點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AD的中點(diǎn)O，連接OG，當(dāng)O，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，CG的值最小，如圖2所示，∴OD＝OG＝2，∴OC＝＝，∴CG的最小值為﹣2．故答案為：﹣2．類型三定邊對(duì)定角【知識(shí)點(diǎn)睛】模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等思路構(gòu)造：若一條定邊所對(duì)的“動(dòng)角”始終為定角，則該定角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以該定角為圓周角，該定邊為弦的圓（或圓?。┙鉀Q辦法：當(dāng)∠P是那個(gè)定角時(shí)，此類問(wèn)題要求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，則∠P一定為特殊角。下以30°，45°，60°，120°為例，說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)軌跡圓的確定方法：若∠P=30°，以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心若∠P=45°，以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=60°，以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心若∠P=120°，以AB為底，異側(cè)構(gòu)造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心另：若∠P=135°，以AB為斜邊，異側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB，O即為圓心若∠P=150°，以AB為邊，異側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB，O即為圓心求最值時(shí)常結(jié)合原理——同類型一（略）【類題訓(xùn)練】1．如圖，BC是⊙O的直徑，BC＝4，M、N是半圓上不與B、C重合的兩點(diǎn)，且∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在上從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【分析】如圖，連接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，推出∠BEC＝135°，推出點(diǎn)E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（軌跡是），求出PG，∠GPH即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接BE、CE，∵∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，∴∠BEC＝135°，∴點(diǎn)E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（軌跡是），在⊙P上取一點(diǎn)M′，連接BM′、CM′，則∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴PB＝PC＝4，∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC＝∠NOC，同理∠GPB＝∠MOB，∴∠HPC+∠GPB＝（∠NOC+∠MOB）＝30°，∴∠GPH＝60°，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是＝π，故選：B．2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【分析】如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．證明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，推出當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，想辦法求出OD，OP，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故選：A．3．如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)，連BP交△APC的外接圓于點(diǎn)E，則AE的最小值為2．【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接OA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接CE．∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，OB為半徑的上運(yùn)動(dòng)（△BOC是等腰三角形，∠BOC＝120°，OB＝OC＝3），連接OA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。摺螦CB＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACO＝90°，∴OA＝＝5，∴AE′＝OA﹣OE′＝5﹣3＝2，∴AE的最小值為2．故答案為：2．4．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，連接CF，則∠AFB＝120°，CF的最小值是2．【分析】首先證明∠AFB＝120°，推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)（∠AOB＝120°，OA＝2），連接OC交⊙O于N，當(dāng)點(diǎn)F與N重合時(shí)，CF的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)（∠AOB＝120°，OA＝2），連接OC交⊙O于N，當(dāng)點(diǎn)F與N重合時(shí)，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案為：120°，2．5．拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，D是線段BC上一點(diǎn)，BD＝3DC，作射線OD交拋物線于點(diǎn)E，H是拋物線上一點(diǎn)，連接OH，若OE平分∠COH，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；??（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于x軸于點(diǎn)F，在直線EF上存在點(diǎn)M，使得∠DMB＝45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．??【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)從標(biāo)代入易求解析式；（2）OE是∠COH的平分線，用角平分線定理，可求得H．（3）滿足∠DMB＝45°，可構(gòu)造圓，利用圓周角定理求得．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：；解得：．∴解析式為：y＝﹣x2+3x+4．（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4得C（0，4）．設(shè)D（m，n），由BD＝3DC可得：；解得：，即D（1，3）．∴直線OD解析式為：y＝3x．記