數(shù)學-概率與統(tǒng)計專題VIP

高考高中資料無水印無廣告word版不加密群559164877精品資料，天天更新高考數(shù)學高中數(shù)學資料群562298495；新高考資料全科總?cè)?32599440；概率與統(tǒng)計專題一：二項分布一、必備秘籍一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為（）如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作。二、例題講解1．（2021·全國高三其他模擬）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分數(shù)先達21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為，求的分布列及數(shù)學期望．2．（2021·青銅峽市高級中學高三開學考試（理））設甲?乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學上學期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.3．（2020·全國高三專題練習（理））一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.實戰(zhàn)練習1．（2021·湖北武漢·）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為，求的分布列及期望．2．（2021·渝中·重慶巴蜀中學高三開學考試）某醫(yī)院為篩查某病毒，需要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，為了優(yōu)化檢驗方法，現(xiàn)在做了以下兩種檢驗方式：實驗一：逐份檢驗，則需要檢驗次.實驗二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數(shù)總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記釆用逐份檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為，釆用混合檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為.（1）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，以該樣本的陽性概率估計全市的血液陽性概率，從全市人民中隨機抽取3名市民，（血液不混合）記抽取到的這3名市民血液成陽性的市民個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望（2）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值.（，，）3．（2021·全國高三其他模擬（理））新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中個人一周的口罩使用為個以及個上的有人.個人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個）頻率（1）求、的值；（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機抽取人，記一周使用口罩數(shù)量（單位：個）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.4．（2021·新沂市第一中學高三其他模擬）市教育部門為研究高中學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系，對該市某校200名高中學生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時間進行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：平均每天鍛煉的時間(分鐘)總?cè)藬?shù)203644504010將學生日均課外體育鍛煉時間在內(nèi)的學生評價為“課外體育達標”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關；課外體育不達標課外體育達標總計男女20110總計（2）從上述課外體育不達標的學生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學生，再從這10名學生中隨機抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學生中抽取4名學生，求其中恰好有2名學生課外體育達標的概率.5．（2021·陜西漢中·高三月考（理））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關數(shù)據(jù)如表所示：（1）求關于的線性回歸方程；（2）對（1）中得到的回歸方程進行殘差分析，若某樹木的殘差為零，則認為該樹木“長勢標準”，以此頻率來估計概率，則在此片樹木中隨機抽取棵，記這棵樹木中“長勢標準”的樹木數(shù)量為，求隨機變量的數(shù)學期望與方差.參考公式：回歸直線方程為，其中6．（2021·四川成都·雙流中學高三三模（理））從某市的中學生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計該市中學生中的全體男生的平均身高（假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）從該市的中學生中隨機抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在以上的概率.若從全市中學的男生（人數(shù)眾多）中隨機抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.7．（2021·安徽安慶一中高三三模（理））安慶市某學校高三年級開學之初增加晚自習，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學校在原有一個餐廳的基礎上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復.假設學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學校解決以下問題：為提高學生服務意識和團隊合作精神，學校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學生志愿者為全體學生提供就餐服務工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.8．（2021·湖北恩施·高三其他模擬）目前某市居民使用天然氣實行階梯價格制度，從該市隨機抽取10戶調(diào)查同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計表如下：用氣居民編號12345678910年用氣量(立方米)95106112161210227256313325457（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學期望；（2）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市居民中抽取10戶，其中恰有戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求使取到最大值時，的值.概率與統(tǒng)計專題二：超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機變量服從超幾何分布．1.公式中個字母的含義—總體中的個體總數(shù)—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍。二、例題講解1．（2021·貴州省思南中學高三月考（理））某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導比賽”活動，為了解本次比賽中學生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學成績不低于70分的人中任意抽取3人，設表示所抽取的3名同學的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.2．（2021·合肥市第六中學高三開學考試（理））近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項調(diào)查結(jié)果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為．為掌握某校學生近視情況，從該校高三（1）班隨機抽取7名學生，其中4人近視、3人不近視．現(xiàn)從這7人中隨機抽取球3人做進一步醫(yī)學檢查．（1）用表示抽取的3人中近視的學生人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望；（2）設為事件“抽取的3人，既有近視的學生，又有不近視的學生”，求事件發(fā)生的概率．三、實戰(zhàn)練習1．（2021·安徽高三開學考試（理））為預防某種疾病發(fā)生，某團隊研發(fā)一種藥物進行提前干預，現(xiàn)進入臨床試驗階段.為了考察這種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表.患病未患病總計服藥1045未服藥50總計30（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機抽取4只動物，設其中未服用藥的動物為只，求的分布與列與期望.2．（2021·湖南益陽市箴言中學高三其他模擬）2021年五一節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握五一節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：9:46，記作時刻46.（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間內(nèi)通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為，求X的分布列；（3）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）.假如4日上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費站點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）附：若隨機變量T服從正態(tài)分布，則，，.3．（2021·渾源縣第七中學校（理））由商務部和北京市人民政府共同舉辦的2020年中國國際服務貿(mào)易交易會(簡稱服貿(mào)會)于9月4日開幕，主題為“全球服務，互惠共享”.某高校為了調(diào)査學生對服貿(mào)會的了解情況，決定隨機抽取100名學生進行采訪.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，采訪的學生中男女比例為3：2，已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會，抽取的女生中有25名了解服貿(mào)會，請你解答下面所提出的相關問題.（1）完成2×2列聯(lián)表，并回答“是否有99%的把握認為學生對服貿(mào)會的了解情況與性別有關”.了解不了解合計男生女生合計100（2）若從被采訪的學生中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人在校內(nèi)開展一次“介紹服貿(mào)會”的專題活動，記抽取男生的人數(shù)為，求出的分布列及均值.附：.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（2021·全國高三二模）某初中為了解學生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關，現(xiàn)對40名七年級學生進行了問卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表所示(平均每天喝以上為常喝，體重超過為肥胖.單位：人)經(jīng)常飲用不經(jīng)常飲用合計肥胖818不肥胖15合計40（1）將列聯(lián)表補充完整，并回答能否有的把握認為學生是否肥胖和經(jīng)常飲用碳酸飲料有關？（2）已知經(jīng)常飲用碳酸飲料且肥胖的8名同學中，有5名男同學，3名女同學，現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中選5人進行家訪，求被選中的男生人數(shù)的分布列和期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8285．（2021·赤峰二中高三其他模擬（理））學期結(jié)束時，學校對食堂進行測評，測評方式：從全校學生中隨機抽取100人給食堂打分，打分在60以下視為“不滿意”?在60~80視為“基本滿意”，在80分及以上視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們給食堂打的分數(shù)分組：，得到如下頻率分布直方圖：（1）求這100人中“不滿意”的人數(shù)并估計食堂得分的中位數(shù)；（2）若按滿意度采用分層抽樣的方法，從這100名學生中抽取15人，再從這15人中隨機抽取3人，記這3人中對食堂“非常滿意”的人數(shù)為.（i）求的分布列；（ii）若抽取的3人中對食堂“非常滿意”的同學將獲得食堂贈送的200元現(xiàn)金，其他同學將獲得100元現(xiàn)金，請估計這3人將獲得的現(xiàn)金總額.6．（2021·陜西西安·高三其他模擬（理））某中學高一（1）班在接種了“新冠疫苗”之后，舉行了“疫情防控，接種疫苗”知識競賽.這次競賽前名同學成績的莖葉圖如圖所示，已知前名女生的平均得分為分.（1）①求莖葉圖中的值；②如果在競賽成績高于分且按男生和女生分層抽樣抽取人，再從這人中任選人作為后期舉行的“接種疫苗，感恩祖國”主題班會中心發(fā)言人，求這人中有女生的概率；（2）如果在競賽成績高于分的學生中任選人參加學校座談會，用表示人中成績超過分的人數(shù)，求的分布列和期望.7．（2021·全國高三專題練習（理））自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進行了一些實驗．（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機抽取4只進行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學期望．（2）科研人員在另一個實驗中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達到96%，如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達到多少才能滿足以上要求．8．（2021·遼寧高三其他模擬）1．2020年11月22日，第29屆全國中學生數(shù)學奧林匹克決賽舉行，若將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)吭?，之?nèi)，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示．已知，，成等差數(shù)列且．（1）求頻率分布直方圖中，，的值；（2）并估計這100名學生成績的眾數(shù)；（3）若按照分層抽樣從成績在，，，的兩組中抽取了6人，再從這6人中隨機抽取3人，記為3人中成績在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．9．（2021·全國高三專題練習）某校高一年級進行安全知識競賽（滿分為100分），所有學生的成績都不低于75分，從中抽取100名學生的成績進行分組調(diào)研，第一組，第二組，，第五組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.（1）若競賽成績不低于85分為優(yōu)秀，低于85分為非優(yōu)秀，且成績優(yōu)秀的男學生人數(shù)為35，成績非優(yōu)秀的女學生人數(shù)為25，請判斷是否有95%的把握認為競賽成績的優(yōu)秀情況與性別有關；（2）用分層抽樣方法，在成績不低于85的學生中抽取6人，再從這6人中隨機選3人發(fā)言談體會，設這3人中成績在的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：，.臨界值表：0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87910．（2021·全國高三其他模擬）垃圾分類指的是按照一定規(guī)定或者標準將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱我國的垃圾分類大致分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四類，而正確的掌握垃圾分類也是中學生的必修課之一．某學校從甲、乙兩個班級中各隨機抽取了8名學生參加垃圾分類知識的檢測，并將檢測后的成績統(tǒng)計如表所示：甲7364747865728785乙748576747786其中，，，．（1）求，的值；（2）現(xiàn)從乙班同學中隨機抽取4人，記80分以上的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望．11．（2021·全國（理））隨著如今人們生活水平的不斷提高，旅游成了一種生活時尚，尤其是老年人的旅游市場在不斷擴大.為了了解老年人每年旅游消費支出（單位：元）的情況，相關部門抽取了某地區(qū)名老年人進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)（1）求所得樣本平均數(shù)（精確到元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為老年人的旅游費用支出X服從正態(tài)分布，若該地區(qū)共有老年人人，試估計有多少位老年人旅游費用支出在元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名老人中有名女性，名男性.現(xiàn)想選其中名老人回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列.附：若，，必備秘籍1、若隨機變量的概率分布密度函數(shù)為對任意的,,它的圖象在軸的上方.可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機變量服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為.特別地,當時,稱隨機變量服從標準正態(tài)分布，即.由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點：曲線在軸的上方，與軸不相交。（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱.（3）曲線在處達到峰值(最高點)（4）當無限增大時，曲線無限接近軸.（5）軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.2、正態(tài)分布的原則二、例題講解1．（2021·湖南高三其他模擬）數(shù)學建模是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的一個組成部分數(shù)學建模能力是應用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn)．為全面推動數(shù)學建?；顒拥拈_展，某學校舉行了一次數(shù)學建模競賽活動已知該競賽共有60名學生參加，他們成績的頻率分布直方圖如下．（1）為了對數(shù)據(jù)進行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上（含60分）的成績定為合格．為科學評估該校學生數(shù)學建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會．記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）已知這60名學生的數(shù)學建模競賽成績服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點值作代表），若成績在46分以上的學生均能得到獎勵，本次數(shù)學建模競賽滿分為100分，試估計此次競賽受到獎勵的人數(shù)．（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：，，．2．（2021·全國高三其他模擬）中國人民解放軍裝甲兵學院（前身蚌埠坦克學院），建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學的學生中，為了加強愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學的學生中隨機的抽取了100人，對他們進行校史問卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為新人學的學生校史問卷測試分數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個人中至少有1人校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.三、實戰(zhàn)練習1．（2021·全國高三專題練習（理））在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)，請用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(ⅰ)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；(ⅱ)每次獲贈送的隨機話費和對應的概率為:贈送的隨機話費(單元:元)2040概率0.750.25現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則①；②；③.2．（2021·沙坪壩·重慶八中高三月考）消費扶貧是社會各界通過消費來自貧困地區(qū)和貧困人口的產(chǎn)品與服務，幫助貧困人口增收脫貧的一種扶貧方式，是社會力量參與脫貧攻堅的重要途徑.某地為了解消費扶貧對貧困戶幫扶情況，該地民政部門從本地的貧困戶中隨機抽取2000戶時2020年的收入進行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：收入(千元)頻數(shù)200600600300200100（1）將調(diào)查的2000戶貧困戶按照收入從低到高依次編號為1，2，3，……，2000，從這些貧困戶中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50戶貧困戶進行深度幫扶，已知8號被抽到；（i）收入在和的貧困戶卬被抽到進行深度幫扶的戶數(shù)分別為多少？（ii）收入在和的貧困戶中被抽到進行深度幫扶的凡中隨機選取2戶，記選取的2戶中來自的戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）由頻率分布表可認為該地貧困戶的收入近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該地的所有貧困戶中隨機抽取10戶，記收入在之外的戶數(shù)為，求(精確到0.001).參考數(shù)據(jù)1：當時，，，.參考數(shù)據(jù)2：，.3．（2021·湖北高三開學考試）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合計10001.000（1）求，，的值；（2）求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（3）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中已計算得.如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元，從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取20件產(chǎn)品，記為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求.附：，，.4．（2021·四川高三其他模擬（理））在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，.5．（2021·遼寧）《中國制造2025》提出，堅持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人オ為本”的基本方針，通過“三步走”實現(xiàn)制造強國的戰(zhàn)略目標：第一步，到2025年邁入制造強國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達到世界制造強國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，綜合實力進入世界制造強國前列．質(zhì)檢部門對設計出口的甲、乙兩種“無人機”分別隨機抽取100架檢測某項質(zhì)量指標，由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種“無人機”100架樣本的質(zhì)量指標的方差分別為，試比較的大?。ㄖ恍杞o出答案）；（2）若質(zhì)檢部門規(guī)定質(zhì)量指標高于20的無人機為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，根據(jù)上面抽取的200架無人機的質(zhì)量指標進行判斷，是否有95%的把握認為甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質(zhì)率有差異？甲乙合計優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品合計1001002000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（3）由頻率分布直方圖可以認為，乙種“無人機”的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，設表示從乙種無人機中隨機抽取10架，其質(zhì)量指標值位于（11.6，35.4）的架數(shù)，求的數(shù)學期望．注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得；②若，則．6．（2021·山西高三三模（理））2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌?nèi)容，其中第一項是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學習教育.這次學習教育貫穿2021年全年，總的要求是學史明理?學史增信?學史崇德?學史力行，教育引導黨員干部學黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了配合這次學黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機抽取100人，并對他們的分數(shù)進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機變量的分布列及期望；（2）由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數(shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數(shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分數(shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，，.7．（2021·全國高三其他模擬）從2020年開始，部分高校實行強基計劃，選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，越來越多的學生通過參加數(shù)學競賽來證明自己的數(shù)學實力.某省舉行的數(shù)學聯(lián)賽初賽有10000名學生參加，成績數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N（80，100），現(xiàn)隨機抽取了某市50名參賽學生的初賽成績進行分析，發(fā)現(xiàn)他們的成績?nèi)课挥趨^(qū)間[50，110]內(nèi).將成績分成6組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，該50名學生成績的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（2）（i）若要在全省選拔15.865%的同學通過初賽進入決賽，則分數(shù)線應定為多少？（ii）若給成績位于全省前228名的同學頒發(fā)初賽一等獎的證書，現(xiàn)從本市這50名同學里面能成功進入決賽的同學中任意抽取3人，記這3人中得到初賽一等獎的數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：若X~N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.8．（2021·河南鄭州·（理））已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設備在正常運行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸（單位：）服從正態(tài)分布．（1）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機抽取個，求至少有一個尺寸小于的概率；（2）為了保證生產(chǎn)線正常運行，需要對生產(chǎn)設備進行維護，包括日常維護和故障維修，假設該生產(chǎn)設備使用期限為四年，每一年為一個維護周期，每個周期內(nèi)日常維護費為元，若生產(chǎn)設備能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生故障維修費；若生產(chǎn)設備不能連續(xù)運行，則除了日常維護費外，還會產(chǎn)生一次故障維修費．已知故障維修費第一次為元，此后每增加一次則故障維修費增加元．假設每個維護周期互相獨立，每個周期內(nèi)設備不能連續(xù)運行的概率為．求該生產(chǎn)設備運行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護費用總和的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．9．（2021·通遼新城第一中學高三其他模擬（理））近年來，學生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進入課堂，考生選擇大學就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學、物理、化學等專業(yè)報考的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校數(shù)學專業(yè)近五年的錄取平均分與當年該學校的最低提檔線對照表：年份20162017201820192020年份代碼（）該校最低提檔分數(shù)線數(shù)學專業(yè)錄取平均分提檔線與數(shù)學專業(yè)錄取平均分之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關關系，用最小二乘法求關于的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學每年數(shù)學專業(yè)的錄取分數(shù)服從正態(tài)分布，其中為當年該大學的數(shù)學錄取平均分，假設2021年該校最低提檔分數(shù)線為分．（i）若該大學2021年數(shù)學專業(yè)錄取的學生成績在分以上的有人，本專業(yè)2021年錄取學生共多少人？進入本專業(yè)高考成績前名的學生可以獲得一等獎學金．一等獎學金分數(shù)線應該設定為多少分？請說明理由．（ii）若同學2021年高考考了分，他很想報考這所大學的數(shù)學專業(yè)，想第一志愿填報，請利用概率與統(tǒng)計知識，給該同學一個合理的建議．（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹慎報考）參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，10．（2021·合肥一六八中學高三其他模擬（理））2020年是全面建成小康社會之年，是脫貧攻堅收官之年．蓮花村是鄉(xiāng)扶貧辦的科學養(yǎng)魚示范村，為了調(diào)查該村科技扶貧成果，鄉(xiāng)扶貧辦調(diào)查組從該村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機捕撈兩次，上午進行第一次捕撈，捕撈到60條魚，共105kg，稱重后計算得出這60條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為200.41，下午進行第二次捕撈，捕撈到40條魚，共66kg．稱重后計算得出這40條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為117．（1）請根據(jù)以上信息，求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)以往經(jīng)驗，可以認為該魚塘魚質(zhì)量X服從正態(tài)分布，用作為的估計值，用作為的估計值．隨機從該魚糖捕撈一條魚，其質(zhì)量在的概率是多少？（3）某批發(fā)商從該村魚塘購買了1000條魚，若從該魚塘隨機捕撈，記為捕撈的魚的質(zhì)量在的條數(shù)，利用（2）的結(jié)果，求的數(shù)學期望．附：（1）數(shù)據(jù)，，…的方差，（2）若隨機變量X服從正態(tài)分布，則；；．13．（2021·湖南師大附中高三其他模擬）某工廠引進新的生產(chǎn)設備M，為對其進行評估，從設備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.（1）為評估設備M對原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量y和原料中的該材料含量x之間的相關關系，現(xiàn)取了8對觀測值，求y與x的線性回歸方程.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.（2）為評判設備M生產(chǎn)零件的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進行評判(P表示相應事件的概率)；①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備M的性能等級.（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.從樣本中隨意抽取2件零件，再從設備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學期望E(Y).概率與統(tǒng)計專題四：獨立性檢驗一、必備秘籍1．列聯(lián)表設，為兩個變量，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(列聯(lián)表)如下：總計總計2．獨立性檢驗利用隨機變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來判斷“兩個變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．3．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表；(2)計算隨機變量的觀測值k，查下表確定臨界值k0：(3)如果，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關系”．【注意】(1)通常認為時，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關系”．(2)獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．(3)獨立性檢驗是對兩個變量有關系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關系的判斷．二、例題講解1．（2021·榆林市第十中學高三月考（文））隨著經(jīng)濟的發(fā)展，人們的生活水平顯著提高，健康意識不斷增強，健康管理理念深入人心，人們參加體育鍛煉的次數(shù)與時間在逐漸增加.某校一個課外學習小組為研究居民參加體育鍛煉的時長（時長不超過60分鐘）是否與性別有關，對某小區(qū)居民進行調(diào)查，并隨機抽取了100名居民的調(diào)查結(jié)果，其中男性有55人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了居民日均鍛煉時間的頻率分布直方圖如下：(1)求樣本中居民日均鍛煉時間的中位數(shù)；(2)將日均鍛煉時間不低于40分鐘的居民稱為“健生達人”（健康生活達人），已知樣本中“健生達人”中有10名女性，根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有的把握認為“健生達人”與性別有關.非健生達人健生達人合計男女10合計100附：，.0.100.050.012.7063.8416.6352．（2021·江蘇南京市·高三開學考試）科研小組為提高某種水果的果徑，設計了一套實驗方案，并在兩片果園中進行對比實驗.其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：，，，，（單位：）.統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36及以上的為“大果”.（1）請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“大果”與“采用實驗方案”有關；采用實驗方案未采用實驗方案合計大果非大果合計100100200（2）根據(jù)長期種植經(jīng)驗，可以認為對照園中的果徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，，請估計對照園中果徑落在區(qū)間內(nèi)的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）附：①；②若服從正態(tài)分布，則，，.三、實戰(zhàn)練習1．（2021·定遠縣育才學校高三開學考試（文））微信是騰訊公司推出的一種手機通信軟件，它支持發(fā)送語音短信?視頻?圖片和文字，一經(jīng)推出便風靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人.為了調(diào)查微信用戶每天使用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的店家在一廣場隨機采訪男性?女性用戶各50名，將男性?女性平均每天使用微信的時間（單位：h）分成5組：分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計女性平均每天使用微信的時間；（2）若每天玩微信超過的用戶稱為“微信控”，否則稱為“非微信控”，判斷是否有90%的把握認為“微信控”與性別有關.附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）2．（2021·河北唐山·高三開學考試）數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運營機構(gòu)參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費?餐飲服務?交通出行?購物消費?政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機構(gòu)進行了-次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：學歷小學及以下初中高中大學?？拼髮W本科碩士研究生及以上不了解數(shù)字人民幣35358055646了解數(shù)字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學?？萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表；學歷了解情況低學歷高學歷合計不了解數(shù)字人民幣了解數(shù)字人民幣合計（2）若從低學歷的被調(diào)查者中，按對數(shù)字人民幣的了解程度用分層抽樣的方法抽取8人，然后從這8人中抽取2人進行進一步調(diào)查，求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率；（3）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學歷高低”有關？附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2021·廣東實驗中學高三月考）在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)85205310250130155（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把捏認為潛伏期與息者年齡有關；潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下55總計200（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立．為了深入研究，該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.6354．（2021·黑龍江高三其他模擬（文））據(jù)有關部門統(tǒng)計，2020年本科生的平均簽約薪酬為每月4300元.2020年某高校畢業(yè)生就業(yè)指導中心為了分析本校本科畢業(yè)生的專業(yè)課成績優(yōu)秀與否與本科畢業(yè)生就業(yè)后獲得薪酬的關系，隨機調(diào)查了從學校畢業(yè)的200名本科畢業(yè)學進行研究.研究結(jié)果表明：在專業(yè)課成績優(yōu)秀的120名本科畢業(yè)生中有90人每月工資超過人民幣4300元，另30人每月工資低于人民幣4300元；在專業(yè)課成績不優(yōu)秀的80名本科畢業(yè)生中有20人每月工資超過人民幣4300元，另60人每月工資低于人民幣4300元.（1）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；專業(yè)課優(yōu)秀專業(yè)課不優(yōu)秀合計每月平均工資超過4300元每月平均工資低于4300元合計（2）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“該高校本科畢業(yè)生的專業(yè)課成績優(yōu)秀”與“每月工資超過當年本科生的平均簽約薪酬”有關系？參考公式：，其中.（）5．（2021·山東濟寧一中高三開學考試）為提高教育教學質(zhì)量，越來越多的高中學校采用寄宿制的封閉管理模式．某校對高一新生是否適應寄宿生活十分關注，從高一新生中隨機抽取了100人，其中男生占總?cè)藬?shù)的40%，且只有20%的男生表示自己不適應寄宿生活，女生中不適應寄宿生活的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的32%，學校為了考察學生對寄宿生活適應是否與性別有關，構(gòu)建了如下2×2列聯(lián)表：不適應寄宿生活適應寄宿生活合計男生女生合計（1）請將2×2列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“適應寄宿生活與否”是否與性別有關；（2）從男生中以“是否適應寄宿生活”為標準采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取2人，若所選2名學生中的“不適應寄宿生活”人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0256.63510.8286．（2021·全國高三月考）某企業(yè)計劃招聘新員工，現(xiàn)對應聘者關于工作的首要考慮因素進行調(diào)查﹐所得統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：男性女性以月薪作為主要考慮因素以發(fā)展前景作為主要考慮因素（1）是否有的把握認為應聘者關于工作的首要考慮因素與性別有關；（2）若招聘考核共設置個環(huán)節(jié)，應聘者需要參加全部環(huán)節(jié)的考核，每個環(huán)節(jié)設置兩個項目，若應聘者每通過一個項目積分，未通過積分.已知甲第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，各環(huán)節(jié)?各項目間相互獨立.求甲經(jīng)過兩個環(huán)節(jié)的考核后所得積分之和的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：7．（2021·重慶墊江第五中學校高三月考）隨著墊江五中教學質(zhì)量的提升學生總?cè)藬?shù)達到了歷史最高點即4700人左右，但學校發(fā)展的同時也對學校學生就餐帶來前所未有的挑戰(zhàn).因此學校領導制定出學生分時就餐（第一輪11：40，第二輪12：30）.經(jīng)過一段時間的運行后，學校對就餐滿意度進行調(diào)查，現(xiàn)從學校初、高中學生中隨機抽取200人作為樣本，得到下表（單位：人次）滿意度初中學生高中學生男生女生男生女生滿意45403530不滿意5101520（1）初中學生高中學生合計滿意不滿意合計（2）（1）通過上表完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有97.5%的把握認為“是否滿意”與初、高中學生有關？（2）現(xiàn)從調(diào)查的學生中按表（2）分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中任選2人，記X為這2人中為滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.0248．（2021·全國高三月考（理））梨樹絕大多數(shù)品種自花授粉，結(jié)實率很低，因此果農(nóng)在栽培梨樹的時候，必須在果園配置授粉樹，并結(jié)合適當?shù)妮o助授粉方法，以便更順利地完成梨樹的授粉受精過程，以此達到果園豐產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)、高品質(zhì)的目的．某地區(qū)將梨樹蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率進行比較，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：坐果授粉方式總計自然授粉蜜蜂授粉花朵未坐果花朵坐果（1）自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果數(shù)的頻率分別是多少？（2）根據(jù)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有的把握認為自然授粉與蜜蜂授粉的花朵坐果率有差異？坐果授粉方式總計自然授粉蜜蜂授粉花朵未坐果花朵坐果總計附：，9．（2021·陜西西安中學高三月考（文））2019年2月4日20：00，2019年央視春晚在中央電視臺綜合頻道等頻道并機直播．人們通過手機、互聯(lián)網(wǎng)、電視等方式，都在觀看央視春晚．某調(diào)查網(wǎng)站從觀看央視春晚的觀眾中隨機選出200人，經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新型的傳媒PC端口觀看的人數(shù)之比為4：1．將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，其中統(tǒng)計通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡；（2）把年齡在第1，2，3組的觀眾稱青少年組，年齡在第4，5組的觀眾稱為中老年組，若選出的200人中通過新型的傳媒方式端口觀看的中老年人有12人，請完成下面2×2列聯(lián)表，則能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為觀看央視春晚的方式與年齡有關？附：通過PC端口觀看通過電視端口觀看合計青少年中老年合計（其中為樣本容量）．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82810．（2021·合肥市第六中學高三開學考試（文））醫(yī)學統(tǒng)計表明，疾病在老年人中發(fā)病率較高．已知某地區(qū)老年人的男女比例為3：2，為了解疾病在該地區(qū)老年人中發(fā)病情況，按分層抽樣抽取100名老人作為樣本，對這100位老人是否患有疾病進行統(tǒng)計，得條形圖如下所示．（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷有沒有90%的把握認為患疾病與性別有關？男性女性合計患有疾病未患疾病合計（2）在這100個樣本中，將未患疾病老年人按年齡段，，，，分成5組，得頻率分布直方圖如圖二所示．求未患病老年人的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82811．（2021·武功縣普集高級中學高三開學考試（理））某校組織了全體學生參加“建黨周年”知識競賽，從高一、高二年級各隨機抽取名學生的競賽成績（滿分分），統(tǒng)計如下表：分數(shù)段高一年級高二年級（1）分別估計高一、高二年級競賽成績的平均值與（同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）；（2）學校規(guī)定競賽成績不低于分的為優(yōu)秀，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為競賽成績優(yōu)秀與年級有關？非優(yōu)秀優(yōu)秀合計高一年級高二年級合計附：，其中.概率與統(tǒng)計專題五：回歸直線方程一、必備秘籍1．兩個變量線性相關(1)散點圖：將樣本中個數(shù)據(jù)點(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標系中得到的圖形．(2)正相關與負相關①正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2．回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對應的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導過程：①假設已經(jīng)得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．二、例題講解1．（2021·哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學校高三模擬預測（文））十三屆全國人大三次會議表決通過了《中華人民共和國民法典》這部法律自年月日起施行，某市相關部門進行法律宣傳，某宣傳小分隊記錄了前周每周普及宣傳的人數(shù)與時間的數(shù)據(jù)，得到下表：時間周人數(shù)（1）若可用線性回歸模型擬合與的關系，求關于的線性回歸方程；（2）利用（1）的回歸方程，預測該宣傳小分隊第7周普及宣傳（民法典）的人數(shù)．參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，.2．（2021·合肥市第六中學高三模擬預測（文））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取6棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關數(shù)據(jù)如表所示：0.10.20.30.40.50.61.11.31.61.52.02.1（1）求關于的線性回歸方程；（2）對（1）中得到的回歸方程進行殘差分析，若某樹木的殘差為零則認為該樹木“長勢標準”，在此片樹木中隨機抽取1棵樹木，估計這棵樹木“長勢標準”的概率.參考公式：回歸直線方程為，其中，.三、實戰(zhàn)練習1．（2021·湖南師大附中高三月考）今年五月，某醫(yī)院健康管理中心為了調(diào)查成年人體內(nèi)某種自身免疫力指標，從在本院體檢的人群中隨機抽取了100人，按其免疫力指標分成如下五組：，其頻率分布直方圖如圖1所示．今年六月，某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種疫苗，對提高該免疫力有顯著效果．經(jīng)臨床檢測，將自身免疫力指標比較低的成年人分為五組，各組分別按不同劑量注射疫苗后，其免疫力指標y與疫苗注射量x個單位具有相關關系，樣本數(shù)據(jù)的散點圖如圖2所示．（1）健管中心從自身免疫力指標在內(nèi)的樣本中隨機抽取3人調(diào)查其飲食習慣，記表示這3人中免疫力指標在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）由于大劑量注射疫苗會對身體產(chǎn)生一定的副作用，醫(yī)學部門設定：自身免疫力指標較低的成年人注射疫苗后，其免疫力指標不應超過普通成年人群自身免疫力指標平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作為普通人群的樣本，據(jù)此估計疫苗注射量不應超過多少個單位．附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為．2．（2021·安徽師范大學附屬中學（理））根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經(jīng)驗，加快新冠病毒疫苗接種是當前有力的防控手段，我國正在安全、有序加快推進疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認識到了疫苗接種的重要作用，自宣傳開始后村干部統(tǒng)計了本村名居民（未接種）的一個樣本，天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，如下統(tǒng)計表：第天新接種人數(shù)（1）建立關于的線性回歸方程；（2）假設全村共計名居民（均未接種過疫苗），用樣本估計總體來預測該村居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．3．（2021·九龍坡·重慶市育才中學高三月考）隨著城市規(guī)模的擴大和人們生活水平的日益提高，某市近年機動車保有量逐年遞增.根據(jù)機動車管理部門的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以5年為一個研究周期，得到機動車每5年純增數(shù)據(jù)情況為：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020時間變量12345純增數(shù)量（單位：萬輛）3691527其中，時間變量對應的機動車純增數(shù)據(jù)為，且通過數(shù)據(jù)分析得到時間變量與對應的機動車純增數(shù)量（單位：萬輛）具有線性相關關系.（1）求機動車純增數(shù)量（單位：萬輛）關于時間變量的回歸方程，并預測2025~2030年間該市機動車純增數(shù)量的值；附：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.（2）該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機采訪了200名市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：贊同限行不贊同限行合計沒有私家車8515100有私家車7525100合計16040200根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有95%的把握認為“對限行的意見與是否擁有私家車”有關.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（2021·貴州貴陽·高三月考（理））據(jù)貴州省氣候中心報，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實驗的方法來估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計算機或計算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨.因為是3天，所以每三個隨機數(shù)作為一組，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下:332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機數(shù)估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當天降雨量（單位:mm）如表：時間2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關關系，求回歸直線方程.并預測該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？參考公式：，.5．（2021·重慶高三月考）為了研究義務教育階段學生的數(shù)學核心素養(yǎng)與抽象能力指標分、推理能力指標分、建模能力指標分的相關性，其中，，，并將它們各自量化為一級、二級、三級3個等級，再用綜合指標的值評定學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為一級若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為二級若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為三級，為了了解重慶市1年級至9年級在校學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機抽取了該地的五個年級，訪問了每個年級的2個學生，統(tǒng)計得到這10個學生的如下數(shù)據(jù)：年級24568數(shù)學核心素養(yǎng)分29，3138，4247，5356，6469，71數(shù)學核心素養(yǎng)平均分分3040506070（1）畫出散點圖，并判斷，之間是否具有相關關系（2）若，之間具有線性相關關系，試估計重慶市9年級的學生數(shù)學核心素養(yǎng)平均分為多少（3）在這10名學生中任取三人，其中數(shù)學核心素養(yǎng)等級是一級的學生人數(shù)記為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．附：①參考數(shù)據(jù)：，②求線性回歸方程的系數(shù)公式，6．（2021·沙坪壩·重慶南開中學高三月考）近年來，學生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進入課堂，考生選擇大學就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，報考之前較冷門專業(yè)的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校專業(yè)近五年來在某省錄取平均分與當年該大學的最低提檔線對照表：年份20172018201920202021年份代碼（）該校最低提檔分數(shù)線專業(yè)錄取平均分專業(yè)錄取平均分與提檔線之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關關系，用最小二乘法求關于的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學專業(yè)每年錄取分數(shù)服從正態(tài)分布，其中為當年該大學專業(yè)錄取的平均分.假設2022年該大學最低提檔線為分．①利用（1）的結(jié)果預測2022年專業(yè)錄取平均分；②若某同學2022年高考考了分，該大學專業(yè)在該省共錄取100人，錄取成績前五名的學生可以獲得一等獎學金，請問該同學能否獲得該獎學金？請說明理由．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，.7．（2021·全國（理））某藥廠為了了解某新藥的銷售情況，將今年2至6月份的銷售額整理得到如下圖表：月份23456銷售額(萬元)1925353742（1）根據(jù)2至6月份的數(shù)據(jù)，求出每月的銷售額關于月份的線性回歸方程；（2）根據(jù)所求線性回歸方程預測該藥廠今年第三季度(7，8，9月份)這種新藥的銷售總額.(參考公式：，)8．（2021·眉山市彭山區(qū)第一中學（文））為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟復蘇，某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關于的線性回歸方程；（2）若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設該產(chǎn)品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤？（參考公式：回歸方程，其中，）9．（2021·四川內(nèi)江·高三其他模擬（文））為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，教育部開展了招生改革工作——強基計劃.現(xiàn)對某高中學校學生對強基課程學習的情況進行調(diào)查，在參加數(shù)學和物理的強基計劃課程學習的學生中，隨機抽取了名學生.（1）在某次數(shù)學強基課程的測試中，這名學生成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，其中某男生的成績被污損（為整數(shù)），求女生的平均分數(shù)超過男生的平均分數(shù)的概率.男生女生（2）已知學生的物理成績與數(shù)學成績是線性相關的，現(xiàn)統(tǒng)計了小明同學連續(xù)次在強基課程測試中的數(shù)學和物理成績（如下表）.若第次測試該生的數(shù)學成績達到，請你估計第次測試他的物理成績大約是多少？數(shù)學成績物理成績附：，.10．（2021·全國高三模擬預測（文））發(fā)展清潔能源，是改善能源結(jié)構(gòu)、保障能源安全、推進生態(tài)文明建設的重要任務.十三五以來，我國加快調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，減少煤炭消費、穩(wěn)定油氣供應、大幅增加清潔能源比重，風電、光伏等可再生能源發(fā)電效率不斷提高.據(jù)資料整理統(tǒng)計我國從2015年到2019年的年光伏發(fā)電量如表：年份20152016201720182019編號12345年光伏發(fā)電量（億千瓦時）395665117817752243其中.（1）請用相關系數(shù)說明是否可用線性回歸模型擬合年光伏發(fā)電量與的關系；（2）建立年光伏發(fā)電量關于的線性回歸方程，并預測2021年年光伏發(fā)電量（結(jié)果保留整數(shù)）.參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,,11．（2021·全國高三其他模擬（文））實施新規(guī)后，某商場2020年1月份至10月份的收入情況如表.月份12345678910收入(萬元)10121513161715161620并計算得，，，.（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請用相關系數(shù)加以說明；(當時，那么變量，有較強的線性相關關系)（2）建立關于的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并預測該商場12月份的收入情況.(結(jié)果保留整數(shù))附：，，.概率與統(tǒng)計專題六:非線性回歸方程必備秘籍當經(jīng)驗回歸方程并非形如(）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當兩個變量不呈線性相關關系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：曲線方程變換公式變換后的線性關系式建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．二、例題講解1．（2021·全國高三專題練習（文））人類已經(jīng)進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量級已經(jīng)從(1=1024)級別躍升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)級別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49，2009年數(shù)據(jù)量為0.8，2010年增長到1.2，2011年數(shù)據(jù)量更是高達1.82.下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：)及相關統(tǒng)計量的值：年份201420152016201720182019序號123456年數(shù)據(jù)量6.68.616.121.633.041.03.521.152.8517.5813.82125.356.73表中，.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程(是自然對數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計的年數(shù)據(jù)量y關于年份序號x的回歸方程類型，試求此回歸方程(精確到0.01).（2）有人預計2021年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將超過2011年的50倍.根據(jù)（1）中的回歸方程，說明這種判斷是否準確，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，.2．（2021·全國高三專題練習（文））有一種速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變.中國的高鐵技術不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵.高鐵可以說是中國一張行走的名片.截至到2020年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬公里.下表是2013年至2020年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017201820192020年份代碼12345678運營里程萬公里1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題.（1）甲同學用曲線來擬合，并算得相關系數(shù)，乙同學用曲線來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應的相關系數(shù)，試問哪一個更適合作為關于的回歸方程類型，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程(系數(shù)精確到).參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：；參考數(shù)據(jù)：令三、實戰(zhàn)練習1．（2021·山東菏澤·高三二模）“十四五”是我國全面建成小康社會、實現(xiàn)第一個百年奮斗目標之后，乘勢而上開啟全面建設社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標進軍的第一個五年，實施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關系數(shù)r＝回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．2．（2021·重慶高三三模）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈.某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關系，對該網(wǎng)點近5天的每日攬件量(單位：千件)與當日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為關于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現(xiàn)總利潤的增長，除了提升服務質(zhì)量?提高時效保障外，價格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價格(單位；元)之間的關系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問題：①預測該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.3．（2021·安徽蚌埠二中高三模擬預測（文））自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，美國疫情持續(xù)升級，以下是美國2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計1次共計11次累計確診人數(shù)（萬）．日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13統(tǒng)計時間序號123456累計確認人數(shù)43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14統(tǒng)計時間序號7891011累計確認人數(shù)646.0744.7888.91187.41673.7（1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計，若將統(tǒng)計時間序號作為變量，每次累計確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關系，對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分數(shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計量的值，，，，，，，，，，根據(jù)相關數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調(diào)查，再從6人中隨機抽取2人進行調(diào)查結(jié)果對比，求這2人中至少有一人是老年人的概率．參考公式：線性回歸方程中，，；4．（2021·貴州（理））某二手車交易市場對2020年某品牌二手車的交易進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖和散點圖.用表示該車的使用時間（單位：年），表示其相應的平均交易價格（單位：萬元）.（Ⅰ）已知2020年在此交易市場成交的該品牌二手車為輛，求使用時間在的車輛數(shù)；（Ⅱ）由散點圖分析后，可用作為此交易市場上該種車輛的平均交易價格關于其使用時間的回歸方程.5.59230080385表中，.根據(jù)上述相關數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.5．（2021·河南洛陽市·高三二模（理））某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關系式（、為大于0的常數(shù)）.按照某項指標測