第九講拋物線與幾何綜合題（考點精析真題精講）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習第9講拋物線與幾何綜合№考向解讀第9講拋物線與幾何綜合№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數(shù)第9講拋物線與幾何綜合→?考點精析←→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問題考向二拋物線與線段有關(guān)問題考向三拋物線與角度有關(guān)問題考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題考向五拋物線與圓有關(guān)問題考向六拋物線與面積有關(guān)問題第9講拋物線與幾何綜合二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會考查,總分值為18~20分，預計2024年各地中考還會考,它經(jīng)常以一個壓軸題獨立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.→?考點精析←1、函數(shù)存在性問題解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．2、函數(shù)動點問題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數(shù)表達式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問題1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點的坐標，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過點作于點．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設(shè)點的坐標為，則點的坐標為．①如圖21，當時，存在．記，則．過點作軸于點，則．在中，，進而得出點的橫坐標為6．②如圖22，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．③如圖，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．④如圖24，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．【詳解】（1）解：①∵，∴頂點的橫坐標為1．∴當時，，∴點的坐標是．設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達式為，即．②如圖1，過點作于點．設(shè)直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設(shè)點的坐標為，則點的坐標為．①如圖，當時，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為6．②如圖22，當時，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．③如圖23，當時，存在．記．∵，∴．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．④如圖24，當時，存在．記．∵，∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．綜上，點的橫坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；②直線交直線于點E，當點E關(guān)于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．【答案】(1)；(2)①②或【分析】（1）將A，C兩點坐標代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進而求得結(jié)果；（2）①設(shè)，過點作于點，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進一步求得結(jié)果．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設(shè)，過點作于點，如圖，∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；②設(shè)，對于，當時，解得，∴∵由勾股定理得，當點在第三象限時，如圖，過點作軸于點，則四邊形是矩形，∵點與點關(guān)于對稱，∴∵軸，∴∴∴∴∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴，∴,又且∴解得，（舍去）∴∴四邊形的周長；當點在第二象限時，如圖，同理可得：解得，（舍去）∴∴四邊形的周長；綜上，四邊形的周長為或．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．(1)求該拋物線的表達式；(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設(shè)，則，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點，，當時，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點作軸于點，交于點，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當時，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．則點的橫坐標為，設(shè)，∴，，當時，，解得：或，當時，，解得：綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線：；直線：；(2)或或；(3)，或，或，【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點代入求，進而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點，的坐標代入求，，進而得直線的解析式．（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；（3）對點在點左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進而可得，的坐標．【詳解】（1）解：拋物線過點，，拋物線的表達式為，將點代入上式，得，．拋物線的表達式為，即．設(shè)直線的表達式為，將點，代入上式，得，解得．直線的表達式為．（2）解：點在直線上，且，點的坐標為．，，．當為等腰三角形時，①若，則，即，解得．②若，則，即，解得或（舍去）．③若，則，即，解得（舍去）或．綜上，或或．（3）解：點與點相對應，或．①若點在點左側(cè)，則，，．當，即時，直線的表達式為，，解得或（舍去）．，即．，即，解得．，．當，即時，，，，即，解得（舍去）或（舍去）．②若點在點右側(cè)，則，．當，即時，直線的表達式為，，解得或（舍去），，，即，解得．，．當，即時，，．，即，解得或（舍去）．，．綜上，，或，或，．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．考向二拋物線與線段有關(guān)問題5．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達式；(2)當時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作交拋物線于點，垂足為，連接，，由點在上，可知，，連接，得出，則，當時，，進而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，∴，∴；（2）四邊形是平行四邊形．理由：如圖1，作交拋物線于點，垂足為，連接，．∵點在上，∴，，連接，∵，∴，∵，∴，∴，當時，，∴，∵，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，由題意得，，連接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（當，，三點共線時最短），∴的最小值為，∵，∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當時，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．【答案】(1)0；(2)①②【分析】（1）根據(jù)，且時，總有，變形后即可得到結(jié)論；（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：

時，總有，．則，∴，∴總成立，且，；（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當拋物線過點時，如圖所示，此時，，解得或（舍）．

（ii）當拋物線過點時，如圖所示，此時，，解得或（舍），綜上，，②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當拋物線過點時，如圖所示，此時，，解得或（舍）．

（ii）當拋物線過點時，如圖所示，此時，，解得或0（舍）．

綜上，如圖，由圓的性質(zhì)可知，點E、F在線段的垂直平分線上．令，解得，，，，設(shè)，，，，，，即，．，即，，【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．考向三拋物線與角度有關(guān)問題7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)請求出拋物線的表達式．(2)如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；；(3)點的坐標為或【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點E作于點R，過點F作軸于點I，證明可得故可得，；（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過點作軸于點，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進而可求得點的坐標．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，∴把代入，得，解得，∴解析式為：；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，∴∵四邊形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴；同理可證明：∴∴∴；（3）解：拋物線上存在點，使得．，拋物線的頂點坐標為，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的解析式為，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得：，直線的解析式為，過點作軸于點，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∵，，，即點與點重合時，，；，，，，點與點關(guān)于直線對稱，；綜上所述，拋物線上存在點，使得，點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題8．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為：，設(shè)點，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．9．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）根據(jù)，確定點坐標，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．【詳解】（1）解：在直線中，當時，，當時，，∴點，點，設(shè)拋物線的解析式為，把點，點代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當四邊形是平行四邊形時，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；（3）解：存在，理由如下：∵，∴點E為線段的中點，∴點E的橫坐標為，∵點E在直線上，∴，把代入中，可得，解得（不合題意，舍去），．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．10．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見詳解【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據(jù)對稱性：，③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；綜上所述：的坐標為或或．（3）解：是定值，理由：如圖，直線經(jīng)過，可設(shè)直線的解析式為，、在拋物線上，可設(shè)，，，整理得：，，，，當時，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，當時，，解得：，，，同理可求：，；當與對調(diào)位置后，同理可求；故的定值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．考向五拋物線與圓有關(guān)問題11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．(1)求點的坐標；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）令求得點的橫坐標即可解答；（2）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當點M在點N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過∴拋物線的對稱軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長的正方形的面積為，過點P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，假設(shè)過點,則有以下兩種情況：①如圖1：當點M在點N的上方，即∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當點M在點N的上方，即∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當不經(jīng)過點時，或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點M的坐標為或或；(3)【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點A及B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；②當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．∴當時，，∴，①當時，設(shè)直線的解析式為，將點A坐標代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點M的坐標為；②當時，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點M的坐標為或綜上，點M的坐標為或或；（3）如圖，在上取點，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，∵，∴，∴的最小值為．【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．考向六拋物線與面積有關(guān)問題13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標．【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用兩點式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點的坐標，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．（2）先將二次函數(shù)變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．（3）根據(jù)各點的坐標的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點P的坐標．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為∵，∴，即的坐標為則，得∴二次函數(shù)的表達式為；（2）∴頂點的坐標為過作于，作于，四邊形的面積；（3）如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當時，連接，過作交于，過作于，∵，則為等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐標為所以過的直線的解析式為令解得，或所以直線與拋物線的兩個交點為即所求的坐標為【點睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標系幾何圖形的綜合證明計算問題，解題的關(guān)鍵是將所學的知識靈活運用．14．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊敃r，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而