第九講拋物線與幾何綜合題（考點(diǎn)精析真題精講）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9講拋物線與幾何綜合№考向解讀第9講拋物線與幾何綜合№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專(zhuān)題精練第三章函數(shù)第9講拋物線與幾何綜合→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問(wèn)題考向二拋物線與線段有關(guān)問(wèn)題考向三拋物線與角度有關(guān)問(wèn)題考向四拋物線與四邊形有關(guān)問(wèn)題考向五拋物線與圓有關(guān)問(wèn)題考向六拋物線與面積有關(guān)問(wèn)題第9講拋物線與幾何綜合二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會(huì)考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會(huì)考,它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會(huì)考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來(lái)考查.→?考點(diǎn)精析←1、函數(shù)存在性問(wèn)題解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類(lèi)：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，要把問(wèn)題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．→?真題精講←考向一拋物線與三角形有關(guān)問(wèn)題1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖21，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖22，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖24，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：①∵，∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即．②如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖22，當(dāng)時(shí)，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖23，當(dāng)時(shí)，存在．記．∵，∴．∴．∴．∴．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖24，當(dāng)時(shí)，存在．記．∵，∴．∴．∴．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，∴，解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)①②或【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；②設(shè)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，解得，∴∵由勾股定理得，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴∵軸，∴∴∴∴∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴，∴,又且∴解得，（舍去）∴∴四邊形的周長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖，同理可得：解得，（舍去）∴∴四邊形的周長(zhǎng)；綜上，四邊形的周長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)．寫(xiě)出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類(lèi)討論即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線：；直線：；(2)或或；(3)，或，或，【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而列方程求解；（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入上式，得，．拋物線的表達(dá)式為，即．設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入上式，得，解得．直線的表達(dá)式為．（2）解：點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，①若，則，即，解得．②若，則，即，解得或（舍去）．③若，則，即，解得（舍去）或．綜上，或或．（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，或．①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，則，，．當(dāng)，即時(shí)，直線的表達(dá)式為，，解得或（舍去）．，即．，即，解得．，．當(dāng)，即時(shí)，，，，即，解得（舍去）或（舍去）．②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則，．當(dāng)，即時(shí)，直線的表達(dá)式為，，解得或（舍去），，，即，解得．，．當(dāng)，即時(shí)，，．，即，解得或（舍去）．，．綜上，，或，或，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考向二拋物線與線段有關(guān)問(wèn)題5．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，，由點(diǎn)在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）四邊形是平行四邊形．理由：如圖1，作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，．∵點(diǎn)在上，∴，，連接，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，由題意得，，連接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），∴的最小值為，∵，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問(wèn)題：①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)0；(2)①②【分析】（1）根據(jù)，且時(shí)，總有，變形后即可得到結(jié)論；（2）按照臨界情形，畫(huà)出圖象分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：

時(shí)，總有，．則，∴，∴總成立，且，；（2）①注意到拋物線最大值和開(kāi)口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿(mǎn)足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，，解得或（舍），綜上，，②同①考慮滿(mǎn)足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，，解得或0（舍）．

綜上，如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段的垂直平分線上．令，解得，，，，設(shè)，，，，，，即，．，即，，【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．考向三拋物線與角度有關(guān)問(wèn)題7．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，證明可得故可得，；（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴把代入，得，解得，∴解析式為：；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，∴∵四邊形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴；同理可證明：∴∴∴；（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使得．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得：，直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，∵，，，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，；，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，；綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．考向四拋物線與四邊形有關(guān)問(wèn)題8．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對(duì)稱(chēng)軸為：，設(shè)點(diǎn)，若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問(wèn)題及特殊四邊形問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）根據(jù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；（3）解：存在，理由如下：∵，∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)E在直線上，∴，把代入中，可得，解得（不合題意，舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．10．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類(lèi)討論：①過(guò)作軸，交拋物線于，過(guò)作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過(guò)作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過(guò)作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且滿(mǎn)足，也滿(mǎn)足條件，只是點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過(guò)作軸，交拋物線于，過(guò)作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過(guò)作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過(guò)作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：，③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由①知，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且時(shí)，也滿(mǎn)足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)仍為；綜上所述：的坐標(biāo)為或或．（3）解：是定值，理由：如圖，直線經(jīng)過(guò)，可設(shè)直線的解析式為，、在拋物線上，可設(shè)，，，整理得：，，，，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，同理可求：，；當(dāng)與對(duì)調(diào)位置后，同理可求；故的定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會(huì)根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．考向五拋物線與圓有關(guān)問(wèn)題11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱(chēng)軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；（2）由題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為；過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過(guò)∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長(zhǎng)的正方形的面積為，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，假設(shè)過(guò)點(diǎn),則有以下兩種情況：①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當(dāng)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論思想是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點(diǎn)，∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)．∴當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，∵，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考向六拋物線與面積有關(guān)問(wèn)題13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．（2）先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．（3）根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為∵，∴，即的坐標(biāo)為則，得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過(guò)作于，作于，四邊形的面積；（3）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)作交于，過(guò)作于，∵，則為等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐標(biāo)為所以過(guò)的直線的解析式為令解得，或所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為即所求的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用．14．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意畫(huà)出圖形，得出，，，繼而