結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移及影響線計(jì)算-靜定結(jié)構(gòu)的位移（建筑力學(xué)）

16.2變形體的虛功原理16.2變形體的虛功原理16.2變形體的虛功原理一、實(shí)功與虛功1.功、廣義功如圖所示，物體M在力F在作用下，沿直線產(chǎn)生位移Δ。從物理學(xué)的知識(shí)知道，作用于物體M上的力F在位移Δ上所作的功T為

T=FΔcos

功是標(biāo)量，它可以為正、為負(fù)或?yàn)榱?，根?jù)力與位移的相互關(guān)系而定。16.2變形體的虛功原理又如圖所示，若一對(duì)大小相等、方向相反的力F作用于圓盤的A、B兩點(diǎn)上，設(shè)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力F的大小不變而方向始終垂直于直徑AB，則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)過(guò)一角度

時(shí)，兩力所作的功為

T=2Fr

=M

式中：M=2Fr，為由大小相等、方向相反的一對(duì)力F組成的力偶的力偶矩。因此力偶所作的功等于力偶矩與角位移的乘積。16.2變形體的虛功原理綜上所述，功包含了兩個(gè)因素，即力和位移。若用F表示廣義力，用Δ表示廣義位移，則廣義功等于F與Δ的點(diǎn)積，即

T=F·Δ

（16－1）廣義力可以有不同的量綱，相應(yīng)地廣義位移也可以有不同的量綱，但作功時(shí)其乘積恒具有功的量綱。16.2變形體的虛功原理2．外力實(shí)功如圖所示簡(jiǎn)支梁,在梁上的1點(diǎn),作用一個(gè)靜力荷載F1,當(dāng)力F1從0增大到最后值時(shí),梁的形狀變?yōu)閳D示位置,而梁上1點(diǎn)的位移,也從一開(kāi)始的0增大到最后的Δ11值。這里位移Δ11的兩個(gè)腳標(biāo),其中第一個(gè)腳標(biāo)表示位移產(chǎn)生的地點(diǎn)與方向,即1點(diǎn)著F1作用的方向；第二個(gè)腳標(biāo)表示位移產(chǎn)生的原因,即是由于F1作沿用而引起的。16.2變形體的虛功原理根據(jù)胡克定理，位移Δ11與力F1在彈性范圍內(nèi)成正比關(guān)系，如圖所示，即有：Δ11=kF1式中k為彈性系數(shù)。若在某t時(shí)刻，力增大到Ft，位移增大到Δt，當(dāng)力再增加一個(gè)微量時(shí)，位移亦增加一個(gè)微量，所以在F1從0增大到最后值的加載過(guò)程中，F(xiàn)1作的功為：所以，（16－2）16.2變形體的虛功原理上面功T11的兩個(gè)腳標(biāo)，其中第一個(gè)腳標(biāo)表示作功的力，即由F1作功；第二個(gè)腳標(biāo)表示位移產(chǎn)生的原因，即位移也是由F1作用而引起。我們將由于外力自身作用而引起的位移稱為實(shí)位移，外力在由于自身作用而引起的實(shí)位移上所作的功，稱為外力實(shí)功。外力實(shí)功由于是變力作的功，所以有系數(shù)（1/2），同時(shí)，由于實(shí)位移是由作功的力本身作用引起，其方向總是與作功的力相同，所以外力實(shí)功恒為正。16.2變形體的虛功原理3．外力虛功對(duì)前面的簡(jiǎn)支梁，在梁上的靜力荷載F1作用達(dá)到平衡以后，再在梁上的2點(diǎn)作用另一靜力荷載F2，則在F2從0增大到最后值時(shí)，梁的形狀再次改變，成如圖所示位置，而梁上1點(diǎn)，在原來(lái)位移Δ11的基礎(chǔ)上，又增加了新的位移Δ12。對(duì)有力F1作用的1點(diǎn)來(lái)說(shuō)，Δ12是由于其它荷載（原因）作用所引起的位移，稱為虛位移。16.2變形體的虛功原理在F2作用產(chǎn)生虛位移Δ12時(shí),由于F1已經(jīng)作用在梁上的1點(diǎn)（并且從靜力荷載變成為恒載）,因此外力F1將在虛位移Δ12上再次作功，我們將外力在由其他原因引起的位移上所作的功稱為外力虛功,其值為：T12=F1·Δ12（16－3）在這里，要理解外力虛功與外力實(shí)功的區(qū)別，作外力虛功的力是恒力，所以沒(méi)有系數(shù)（1/2）；又由于該力與虛位移是無(wú)關(guān)的，所以外力虛功可以為正、為負(fù)或?yàn)榱恪?/p>

16.2變形體的虛功原理應(yīng)注意，所謂虛功并非不存在，只是強(qiáng)調(diào)作功過(guò)程中力與位移彼此無(wú)關(guān)。因?yàn)樵谔摴χ凶鞴Φ牧拖鄳?yīng)的位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的兩個(gè)因素，所以可將二者看成是同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)，其中力系所屬的狀態(tài)稱為力狀態(tài)如下左圖，位移所屬的狀態(tài)稱為位移狀態(tài)，如右圖。則外力虛功即是力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的虛位移上所作的功。16.2變形體的虛功原理二、變形體的虛功原理變形體在外力的作用下會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的內(nèi)力，同時(shí)還會(huì)發(fā)生變形。對(duì)于變形體系，如果力狀態(tài)中的力系滿足平衡條件，位移狀態(tài)中的位移和變形彼此協(xié)調(diào)、并與約束幾何相容，則體系中力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)相應(yīng)的虛位移上所作的外力虛功，等于體系中力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)相應(yīng)的虛變形上所作的內(nèi)力虛功，即T12=

W12（16－4）式中：T12——外力虛功，即力狀態(tài)中的外力在位移狀態(tài)中的相應(yīng)虛位移上所作的虛功總和；W12——內(nèi)力虛功，即力狀態(tài)中的內(nèi)力在位移狀態(tài)中的相應(yīng)虛變形上所作的虛功總和。

16.2變形體的虛功原理式（16－4）稱為變形體的虛功方程。當(dāng)結(jié)構(gòu)為剛體時(shí),虛變形等于零，則W12=0,于是變形體的虛功方程變?yōu)門12=0,即為剛體的虛功方程。因此,剛體虛功原理是變形體虛功原理的一個(gè)特例。由于在虛功原理中有兩種彼此獨(dú)立的狀態(tài)，即力狀態(tài)和位移狀態(tài)，因此在應(yīng)用虛功原理時(shí)，可根據(jù)不同的需要，將其中的一個(gè)狀態(tài)看作是虛擬的，而另一個(gè)狀態(tài)則是問(wèn)題的實(shí)際狀態(tài)。因此，虛功原理有兩種表述形式，用以解決兩類問(wèn)題。16.2變形體的虛功原理（1）虛擬力狀態(tài)，求未知位移：此時(shí)力狀態(tài)是虛擬的，位移狀態(tài)是實(shí)際給定的，在虛擬力狀態(tài)和給定的實(shí)際位移狀態(tài)之間應(yīng)用虛功原理，這種形式的虛功原理又稱為虛力原理。虛力原理主要應(yīng)用求解給定實(shí)際位移（變形）狀態(tài)時(shí)的指定位移（本章重點(diǎn)）。（2）虛擬位移狀態(tài)，求未知力此時(shí)位移狀態(tài)是虛擬的，力狀態(tài)是實(shí)際給定的，在虛擬位移狀態(tài)和給定的實(shí)際力狀態(tài)之間應(yīng)用虛功原理，這種形式的虛功原理又稱為虛位移原理。虛位移原理主要應(yīng)用求解給定實(shí)際力狀態(tài)時(shí)的指定力。下面我們應(yīng)用虛力原理推導(dǎo)平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式和計(jì)算方法16.1概述建筑力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的位移【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解虛功與虛功原理；2.理解單位荷載法；3.熟練掌握用圖乘法計(jì)算梁與剛架的位移；4.理解靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式5.了解線彈性系統(tǒng)的互等定理。16.1概述16.1概述一、位移的概念工程結(jié)構(gòu)在荷載作用下就會(huì)產(chǎn)生變形，使其上的各截面在空間的位置將發(fā)生變化。我們把截面位置的變化統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)的位移。一般地，結(jié)構(gòu)的位移可以用線位移和角位移（也稱為轉(zhuǎn)角）來(lái)度量。線位移是指截面形心所移動(dòng)的距離，角位移是指截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。16.1概述如圖所示的懸臂式剛架，在荷載作用下，豎桿AB和水平桿的BC段都會(huì)發(fā)生變形；相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)除支座以外的各個(gè)截面都要發(fā)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，分別稱為線位移和角位移。例如剛架的自由端D發(fā)生線位移

D和角位移

D

，線位移還可以分解為水平線位移

Dx和豎直線位移

Dy。16.1概述除荷載外，還有其他一些因素如支座移動(dòng)、溫度改變、制造誤差等，也會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。如圖所示桁架，桿件AB因?yàn)闇囟壬叨扉L(zhǎng)，使桁架的形狀發(fā)生了改變，其變形后的情況如圖中的虛線所示，結(jié)點(diǎn)B因此也產(chǎn)生了位移。16.1概述上述線位移和角位移稱為絕對(duì)位移。此外，在計(jì)算中還將涉及到另一種位移，即相對(duì)位移。例如圖所示簡(jiǎn)支剛架，在荷載作用下A點(diǎn)移至A/，

B點(diǎn)移至B/，點(diǎn)A的水平位移為ΔAH，點(diǎn)B的水平位移為ΔBH，這兩個(gè)水平位移之和稱為點(diǎn)A、B沿水平方向的相對(duì)線位移，并用符號(hào)ΔABH表示。即有：ΔABH=ΔAH+ΔBH16.1概述同樣,截面C的角位移

與截面D的角位移

之和稱為兩個(gè)截面的相對(duì)角位移（或稱為相對(duì)轉(zhuǎn)角）,并表示為

CD

,則有：

CD

=

+

為了方便起見(jiàn),我們將絕對(duì)位移和相對(duì)位移統(tǒng)稱為廣義位移。16.1概述二、計(jì)算位移的目的在工程設(shè)計(jì)和施工過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算是很重要的，主要有以下三方面的目的：1．驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度：進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),首先必須滿足一定的強(qiáng)度和穩(wěn)定性要求,以保證結(jié)構(gòu)能夠安全使用。但如果結(jié)構(gòu)的剛度不滿足要求,結(jié)構(gòu)還是不能正常使用。例如,房屋建筑的樓板或梁的撓度過(guò)大,即使結(jié)構(gòu)并沒(méi)有破壞,也會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)表面粉刷層的開(kāi)裂甚至脫落；橋梁或工業(yè)廠房的吊車梁撓度過(guò)大,車輛或吊車的行駛就不平穩(wěn),并且會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)、沖擊等不利影響。為此,各類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范都對(duì)結(jié)構(gòu)的變形作出了明確的限制,例如,規(guī)定吊車梁的最大撓度不得超過(guò)其跨度的l/600。結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的最直接的目的,就是為了驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度。16.1概述2．為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算打下基礎(chǔ)位移計(jì)算的另一個(gè)目的，是為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算打下基礎(chǔ)。由于超靜定結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)目超過(guò)平衡方程數(shù)目，因而在其反力和內(nèi)力的計(jì)算中，不僅要考慮靜力平衡條件，而且還必須考慮位移方面的條件，補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程。因此，位移計(jì)算是分析超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。從這個(gè)意義上理解，位移計(jì)算是在靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算和超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算之間架起的一座“橋梁”。16.1概述3．施工措施方面的需要在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)與養(yǎng)護(hù)等過(guò)程中，經(jīng)常需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取相應(yīng)的施工措施。例如圖所示的屋架，在屋蓋的自重作用下，下弦各點(diǎn)將產(chǎn)生虛線所示的豎向位移，其中結(jié)點(diǎn)C的豎向位移最大。16.1概述為了減少屋架在使用階段下弦各結(jié)點(diǎn)的豎向位移，制作時(shí)通常將各下弦桿的實(shí)際下料長(zhǎng)度做得比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度短些，以使屋架拼裝后，使結(jié)點(diǎn)C位于C′的位置，如圖所示。這樣在屋蓋系統(tǒng)施工完畢后，在自重及荷載作用下，屋架的下弦各桿能接近于原設(shè)計(jì)的水平位置，這種做法稱為建筑起拱。欲知道點(diǎn)C的豎向位移及各下弦桿的實(shí)際下料長(zhǎng)度，就必須研究屋架的變形和各點(diǎn)位移間的關(guān)系。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移16.3靜定結(jié)構(gòu)

在荷載作用下的位移16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移一、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式從前述可知,靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下會(huì)產(chǎn)生變形,使其上的各截面產(chǎn)生不同的位移?，F(xiàn)以如圖所示剛架為例來(lái)建立靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。設(shè)剛架由于荷載發(fā)生如圖中虛線所示的變形,這是結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)?，F(xiàn)要求該狀態(tài)中結(jié)構(gòu)上K點(diǎn)沿K-K方向的位移ΔK。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移應(yīng)用虛功原理（虛力原理），在所求位移點(diǎn)沿著所求位移的方向，作用一個(gè)單位虛擬荷載，即在K點(diǎn)沿K-K方向施加一個(gè)單位虛擬荷載

（在力的符號(hào)上面加一杠以表示虛擬），如圖所示。在該單位虛擬荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生虛擬反力（即固定端處的三個(gè)反力分量，在圖中未畫出）和虛擬內(nèi)力、、（在內(nèi)力的符號(hào)上面加一杠同樣表示虛擬的內(nèi)力），它們構(gòu)成一個(gè)虛擬力系，這就是虛擬的力狀態(tài)。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移根據(jù)虛功原理，虛擬的力狀態(tài)的外力

在實(shí)際的位移狀態(tài)的虛位移ΔK上作外力虛功，其值為：

16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移在上面的受虛擬單位荷載作用的力狀態(tài)中,取出一微段ds,如圖所示,在該微段上有內(nèi)力分別為、和。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移同樣,在上面的受實(shí)際荷載作用的實(shí)際狀態(tài)中,同一位置上也取出同一微段ds,如圖所示,該微段有實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力FN、FS及M作用。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移如圖所示,實(shí)際狀態(tài)中的微段ds,在實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力FN、FS及M作用下，產(chǎn)生相應(yīng)的變形。其中：16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移其中k稱為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)，是與截面形狀有關(guān)的因數(shù)。對(duì)于矩形截面，k

=1.2；對(duì)于圓形截面，k

=10/9；對(duì)于薄壁圓環(huán)形截面，k

=2；對(duì)于工字型截面，k

=A/A1

（A1為腹板面積）。

16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移于是微段中虛擬的力狀態(tài)的內(nèi)力、和，在實(shí)際的位移狀態(tài)相應(yīng)的虛變形（即上面的軸向變形、剪切變形與彎曲變形）上將作內(nèi)力虛功16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移微段中虛擬狀態(tài)內(nèi)力，在實(shí)際狀態(tài)相應(yīng)的虛變形作的微內(nèi)力虛功為：而結(jié)構(gòu)的總內(nèi)力虛功為：16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移根據(jù)虛功原理公式（16－4）T12=

W12

所以靜定結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用下，其位移計(jì)算公式為：式中：、、——在虛擬狀態(tài)中由單位虛擬荷載作用引起的虛擬內(nèi)力；FN、FS、M

——原結(jié)構(gòu)在實(shí)際狀態(tài)荷載作用引起的內(nèi)力；EA、GA、EI

——桿件的抗拉壓剛度、抗剪切剛度、抗彎曲剛度。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（16－5）不僅可用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，也可以用來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)任何性質(zhì)的位移（例如角位移和相對(duì)線位移等），只是要求所設(shè)單位虛擬荷載必須與所求的位移相對(duì)應(yīng)，具體可能的情況如下：（1）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)沿某一方向的線位移，則應(yīng)在該點(diǎn)沿該方向施加一個(gè)單位集中力，如圖所示。（2）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某一截面的轉(zhuǎn)角位移，則應(yīng)在該截面上施加一個(gè)單位集中力偶，如圖所示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（3）若計(jì)算的是桁架中某一桿件的轉(zhuǎn)角位移，則應(yīng)在該桿件的兩端施加一對(duì)與桿軸垂直的反向平行集中力使其構(gòu)成一個(gè)單位力偶，每個(gè)集中力的大小等于桿長(zhǎng)的倒數(shù)，如圖所示。（4）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩點(diǎn)沿指定方向的相對(duì)線位移，則應(yīng)在該兩點(diǎn)沿指定方向施加一對(duì)反向共線的單位集中力，如圖所示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（5）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移,則應(yīng)在這兩個(gè)截面上施加一對(duì)反向單位集中力偶,如圖所示。（6）若計(jì)算的是桁架中某兩桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移,則應(yīng)在該兩桿上施加兩個(gè)方向相反的單位力偶,如圖所示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移在這里還應(yīng)注意，單位虛擬荷載的指向可以任意假設(shè)，因此按公式（16－5）計(jì)算出來(lái)的結(jié)果，既可能為正也可能為負(fù)。結(jié)果若為正，說(shuō)明內(nèi)力虛功為正，所以外力虛功也為正，因此實(shí)際位移的方向與虛單位荷載的方向相同；同理，結(jié)果若為負(fù)，則表示實(shí)際位移的方向與虛單位荷載的方向相反。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移二、幾種典型的靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式分析公式（16－5）右邊的三項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)，它們依次分別表示軸向變形、剪切變形和彎曲變形對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響。計(jì)算表明，對(duì)不同形式的結(jié)構(gòu)，這三項(xiàng)的影響量是不同的。對(duì)一具體結(jié)構(gòu)而言，某一項(xiàng)（或兩項(xiàng)）的影響是顯著的，其余項(xiàng)的影響則可以忽略不計(jì)。因此，在結(jié)構(gòu)位移計(jì)算中，對(duì)不同形式的結(jié)構(gòu)可分別采用不同的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移1．梁和剛架在一般情況下,對(duì)梁和剛架而言,彎曲變形是主要的變形,而軸向變形和剪切變形的影響量很小,可以忽略不計(jì),因此公式（16－5）簡(jiǎn)化為2．桁架桁架中各桿只有軸向變形，而且每一桿件的軸力和截面面積沿桿長(zhǎng)不變，于是公式（16－5）簡(jiǎn)化為16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移3.組合結(jié)構(gòu)在組合結(jié)構(gòu)中，梁式桿件主要承受彎矩，其變形主要是彎曲變形，在梁式桿中可只考慮彎曲變形對(duì)位移的影響；但是二力桿只承受軸力，只有軸向變形。于是其位移計(jì)算公式簡(jiǎn)化為16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移4.三鉸拱：當(dāng)不考慮曲率的影響時(shí),拱結(jié)構(gòu)的位移也可以近似的按式（16－6）來(lái)計(jì)算,而且,通常情況下,只需考慮彎曲變形的影響,所以按式（16－6）計(jì)算,其結(jié)果已足夠精確。僅在計(jì)算扁平拱的水平位移或者拱軸線與合理軸線接近時(shí),才考慮軸向變形的影響,即需要說(shuō)明的是，在以上的位移計(jì)算中，都沒(méi)有考慮桿件的曲率對(duì)變形的影響，這對(duì)直桿是正確的，對(duì)曲桿則是近似的。但是，在常用的結(jié)構(gòu)中,例如拱結(jié)構(gòu)、曲梁和有曲桿的剛架等，構(gòu)件的曲率對(duì)變形的影響,相對(duì)都很小,因此可以略去不計(jì)。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移★求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移的步驟：（一）梁與剛架（用積分法）1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；3.分別求出兩個(gè)狀態(tài)的內(nèi)力（彎矩）方程；4.代入公式計(jì)算。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移★求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移的步驟：（二）桁架1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.分別求出兩個(gè)狀態(tài)下各桿的軸力；3.代入公式計(jì)算。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移★求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移的步驟：（三）組合結(jié)構(gòu)1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.求出兩個(gè)狀態(tài)下各二力桿的軸力；3.分別求出兩個(gè)狀態(tài)下梁式桿的內(nèi)力（彎矩）方程；4.代入公式計(jì)算。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移★求靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移的步驟：（四）三鉸拱※1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；3.分別求出兩個(gè)狀態(tài)的內(nèi)力（彎矩）方程；4.代入公式計(jì)算。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移例16-1

求如圖所示簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)C的豎向位移ΔCy。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：（1）建立虛擬力狀態(tài)。為求點(diǎn)C的豎向位移ΔCy，應(yīng)在點(diǎn)C沿豎向虛加單位力，得到如圖所示的虛擬力狀態(tài)。（2）對(duì)實(shí)際狀態(tài)與虛擬狀態(tài)建立合理的坐標(biāo)系。應(yīng)注意兩個(gè)狀態(tài)的坐標(biāo)系是對(duì)應(yīng)的。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（3）分別求出在虛擬力狀態(tài)和實(shí)際位移狀態(tài)中梁的彎矩（方程）.當(dāng)0≤x≤l/2時(shí)，有（4）應(yīng)用公式計(jì)算位移。由于左右對(duì)稱，可以利用對(duì)稱性由公式（16－6）得（↓）

計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明ΔCy的方向與所設(shè)單位力的方向相同，即ΔCy向下，在計(jì)算結(jié)果后面畫（↓）表示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移例16-2

求圖示剛架中C點(diǎn)的豎向位移ΔCy，并比較彎矩、軸力和剪力對(duì)位移的影響。設(shè)剛架各桿的截面均為相同的矩形。解：（1）針對(duì)所求位移，在C點(diǎn)施加豎向單位荷載，如圖所示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（2）在CB桿和AB桿上分別建立坐標(biāo)系x，如圖所示。在這樣的坐標(biāo)系下，各桿由于實(shí)際荷載和虛擬單位荷載的內(nèi)力為：CB桿：BA桿：16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（3）分別計(jì)算彎矩、軸力和剪力對(duì)所求位移的影響。彎矩的影響為軸力的影響為剪力的影響為（矩形截面，k=1.2)16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移將以上三項(xiàng)相加，得C點(diǎn)的豎向位移為

若設(shè)材料的泊桑比為

=0.3，矩形截面的高和寬分別為h和b，從而即有E/G=2(l+

)=2.6,I/A=h2/12。于是可得三種內(nèi)力對(duì)位移的影響的比為：可見(jiàn)軸力和剪力的影響與截面高度對(duì)結(jié)構(gòu)幾何尺寸之比的平方成正比。如果h/l=l/10，則兩者的影響分別只有彎矩影響的0.15％和0.12％。因此，對(duì)于由細(xì)長(zhǎng)桿件組成的梁和剛架結(jié)構(gòu)，計(jì)算位移時(shí)忽略軸力和剪力的影響是完全可以的。

16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移例16-3

如圖所示桁架，已知各桿的彈性模量和橫截面面積為：上弦桿，E=3.0×104MPa，A=360cm2；下弦桿，E=2.0×105MPa，A=7.6cm2；斜腹桿(GE、EH)，E=3.0×104MPa，A=270cm2；豎腹桿，E=2.0×105MPa，A=3.8cm2。求下弦中點(diǎn)E的豎向位移ΔEy。解：在E點(diǎn)施加豎向單位虛擬荷載，如圖所示。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移分別計(jì)算桁架在實(shí)際荷載和單位荷載作用下的內(nèi)力，按公式(16－7)計(jì)算E點(diǎn)的豎向位移。為使計(jì)算條理化和避免出錯(cuò)，對(duì)于桿件較多的桁架，計(jì)算一般列表進(jìn)行，如右表所示。表中的最后一行即為最后的計(jì)算結(jié)果，即：ΔEy

=3.78mm(↓)

16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移例16-4組合結(jié)構(gòu)如圖所示。其中CD、BD為二力桿，其拉壓剛度為EA；AC為梁式桿，其彎曲剛度為EI。在D點(diǎn)有集中荷載F作用。求D點(diǎn)的豎向位移ΔDy。（1）建立虛擬力狀態(tài)：為求點(diǎn)D的豎向位移ΔDy，應(yīng)在點(diǎn)D沿豎向作用虛擬單位力得到如圖所示的虛擬力狀態(tài)。16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（2）分別求出在虛擬力狀態(tài)和實(shí)際位移狀態(tài)中各桿的內(nèi)力。二力桿的軸力為：CD

桿：BD

桿：梁式桿ABC的彎矩為：BC

段：AB

段：

16.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移（3）應(yīng)用公式計(jì)算位移。由組合結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式（16－8）求D點(diǎn)的豎向位移ΔDy。

計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明ΔDy的方向與所設(shè)單位力的方向相同，即ΔDy向下。16.4圖乘法16.4圖乘法16.4圖乘法在上節(jié)用虛功原理（積分法）計(jì)算梁和剛架的位移中，我們通過(guò)下列形式的積分計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移：其中和M分別是虛擬狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的彎矩方程,為函數(shù)形式表達(dá)。對(duì)于梁和剛架以及組合結(jié)構(gòu)（中的梁式桿）,當(dāng)荷載比較簡(jiǎn)單、變化較少時(shí)，用積分法計(jì)算十分方便。但是，如果荷載較多,變化復(fù)雜時(shí),桿件就需要分多段求彎矩方程，然后進(jìn)行分段積分計(jì)算,此時(shí)計(jì)算將會(huì)十分繁瑣。為了使這種位移計(jì)算實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化，本節(jié)介紹圖乘法。16.4圖乘法1.圖乘法的條件：應(yīng)用圖乘法的條件是（1）桿件的軸線為直線；（2）桿件的截面不變，EI為常數(shù)；（3）實(shí)際狀態(tài)的彎矩M圖和虛擬狀態(tài)的彎矩圖的兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)為直線。對(duì)于梁和剛架這兩種結(jié)構(gòu)，通過(guò)處理后，每一桿（段），都能夠滿足上述條件。16.4圖乘法2．圖乘法的公式如圖所示，設(shè)AB為結(jié)構(gòu)中滿足圖乘法三個(gè)條件的相關(guān)計(jì)算式的積分區(qū)間的直桿段，其中實(shí)際狀態(tài)的彎矩圖M圖為任意形狀，虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖為直線；在AB段，M圖的形心為C，面積為

F；圖中對(duì)應(yīng)于C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。16.4圖乘法設(shè)坐標(biāo)系如圖，取圖直線與x軸的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)并設(shè)該直線的傾角為

，則，這里tan

為常數(shù)。由于EI均為常數(shù)，故它們都可以提到積分號(hào)前面去。于是16.4圖乘法由于是AB段M圖對(duì)y軸的面積靜矩，這里

F和xc分別是M圖的面積及其形心C到y(tǒng)軸的距離。于是就有：16.4圖乘法由此得到梁與剛架用圖乘法求位移的計(jì)算公式：式中：

F為某一桿段在實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的面積，為實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的形心所對(duì)應(yīng)的虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的彎矩豎標(biāo)值，EI為桿段的抗彎剛度。16.4圖乘法在積分法中，由于是用兩個(gè)狀態(tài)的彎矩表達(dá)式（方程）進(jìn)行計(jì)算，所以直接有正負(fù)結(jié)果，而在圖乘法中，出現(xiàn)的是彎矩圖的面積和豎標(biāo)相乘，所以應(yīng)注意圖乘結(jié)果的正負(fù)。當(dāng)實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖與虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖在基線的同一側(cè)時(shí)，圖乘結(jié)果取正，否則取負(fù)?；€一般為桿軸線，或者是區(qū)段疊加法作圖的起始線。當(dāng)某桿段的兩項(xiàng)彎矩圖都是直線圖形時(shí)，面積與豎標(biāo)的乘積可以互換，即面積為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的面積，豎標(biāo)為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的形心所對(duì)的實(shí)際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的豎標(biāo)。16.4圖乘法3．常用圖形的面積及形心位置直桿彎矩圖常常是由一些簡(jiǎn)單的幾何圖形組成的,圖16－16給出了一些常用圖形的面積以及它們的形心的位置,掌握了這些圖形的面積及形心位置,才能真正達(dá)到應(yīng)用式(16－10)簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的。16.4圖乘法標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線（三種形式）16.4圖乘法了解：標(biāo)準(zhǔn)三次拋物線在上面圖中,所謂拋物線“頂點(diǎn)”指的是拋物線的極值點(diǎn)。頂點(diǎn)處的切線與基線平行。圖中的四條拋物線的頂點(diǎn)均位于區(qū)間的端點(diǎn)或中點(diǎn),這樣的拋物線與基線圍成的圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。圖中的拋物線稱為“標(biāo)準(zhǔn)”拋物線正是這個(gè)意思。在用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，一定要注意標(biāo)準(zhǔn)圖形與非標(biāo)準(zhǔn)圖形的區(qū)別。16.4圖乘法4．應(yīng)用圖乘法計(jì)算梁和剛架的位移用圖乘法計(jì)算梁和剛架的位移,一般先要對(duì)梁和剛架進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄?，使圖乘法的三個(gè)條件在每一段上都得到滿足；其次，在分段計(jì)算時(shí)，如果實(shí)際狀態(tài)的彎矩M圖的圖形不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，則還要對(duì)它應(yīng)用區(qū)段疊加法進(jìn)行處理，使所得到的每一塊圖形都是面積已知和形心位置確定的標(biāo)準(zhǔn)圖形。

16.4圖乘法例如在右圖中，M圖為二次拋物線卻不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，可將它分為一個(gè)三角形和一個(gè)拋物線圖形，這兩個(gè)“子圖形”都是標(biāo)準(zhǔn)圖形，其中拋物線圖形以三角形的斜邊為基線，拋物線上對(duì)應(yīng)于基線中點(diǎn)處的切線平行于基線，因此它的面積和形心可按圖標(biāo)準(zhǔn)拋物線的情況來(lái)計(jì)算和確定，即ω=2lh/3，形心C2的水平投影位于桿段的中點(diǎn)。具體的積分計(jì)算如下：16.4圖乘法用圖乘法求梁與剛架在荷載作用下的位移的步驟：1.將原荷載作用狀態(tài)作為實(shí)際狀態(tài)，針對(duì)所求位移補(bǔ)充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個(gè)狀態(tài)的支反力；2.分別作出兩個(gè)狀態(tài)的彎矩圖；3.代入公式計(jì)算。16.4圖乘法例

：如圖所示的簡(jiǎn)支梁，承受均布荷載q作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角

A與梁中點(diǎn)C的豎向位移Δcy。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：（1）求A端截面的轉(zhuǎn)角

A在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法觀察兩個(gè)彎矩圖，完全滿足圖乘法的條件，所以可以直接代公式計(jì)算。代入圖乘法公式計(jì)算16.4圖乘法（2）求梁中點(diǎn)C的豎向位移Δcy同上，建立虛擬狀態(tài)并作M圖和圖注意到為折線，所以應(yīng)分段計(jì)算16.4圖乘法例16-5如圖所示的簡(jiǎn)支梁，承受均布荷載q并在B端受集中力偶M作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角

A。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：(1)在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。注意到該M圖為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線，所以必須根據(jù)疊加原理進(jìn)行分解處理16.4圖乘法(2)將M圖分為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，其中三角形在基線以上，拋物線圖形在基線以下；與它們的形心相應(yīng)的圖中的兩個(gè)縱坐標(biāo)都在基線以上。因此三角形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為正，拋物線圖形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為負(fù)。(3)代入圖乘法公式計(jì)算所得的結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明A端截面的轉(zhuǎn)角

A為順時(shí)針轉(zhuǎn)。

16.4圖乘法例16-6試求如圖所示剛架中結(jié)點(diǎn)B的水平位移

Bx。解：(1)在結(jié)點(diǎn)B施加單位水平力作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法(2)在AB段，將M圖分為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，這兩個(gè)圖形以及與它們的形心相應(yīng)的圖的兩個(gè)縱坐標(biāo)都在基線右側(cè)BC段兩個(gè)彎矩圖都是直線圖形，可以直接計(jì)算。所以16.4圖乘法【討論】在本例如果能夠由支座C處無(wú)水平反力判定出AB桿上端的剪力為零，因而彎矩在此處有極值，AB段的M圖本來(lái)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，則可以不需要對(duì)AB段的M圖進(jìn)行分塊。上述計(jì)算可以簡(jiǎn)化如下：16.4圖乘法例16-7求如圖所示外伸梁上點(diǎn)C的豎向位移ΔCy。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：（1）建立虛擬力狀態(tài)如圖所示。（2）分別作梁在荷載作用下實(shí)際狀態(tài)和在虛擬力作用下的虛擬狀態(tài)的彎矩圖，如圖所示。

16.4圖乘法（3）代入公式計(jì)算位移。根據(jù)區(qū)段疊加法，將AB段的M圖分解為一個(gè)三角形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形，其中三角形的面積為

1，基線為梁軸線，標(biāo)準(zhǔn)拋物線的面積為

2，基線為三角形的虛線斜邊；BC段的M圖則為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線形，面積為

3。16.4圖乘法彎矩圖中各分面積與相應(yīng)的圖中的豎標(biāo)分別為16.4圖乘法代入圖乘公式，得點(diǎn)C的豎向位移為計(jì)算結(jié)果為正，表示ΔCy的方向與所設(shè)單位力的方向相同，即ΔCy向下。16.6線彈性體系的互等定理16.6線彈性體系的互等定理16.6線彈性體系的互等定理【引言】所謂線彈性體系，指的是變形與荷載成比例關(guān)系或線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)體系。線彈性體系必須滿足以下兩個(gè)條件：第一，結(jié)構(gòu)的變形是微小的，因而在考慮力的平衡時(shí)可以忽略結(jié)構(gòu)的變形；第二，材料服從胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。這兩個(gè)條件也是疊加原理成立的條件，因此對(duì)線彈性體系總是可以應(yīng)用疊加原理的。線彈性體系有四個(gè)簡(jiǎn)單的互等定理：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理以及反力與位移的互等定理，其中功的互等定理是基本的互等定理，其他三個(gè)互等定理都可以從功的互等定理推導(dǎo)出來(lái)。本課程后面的章節(jié)中將要用到這些定理。16.6線彈性體系的互等定理一、功的互等定理以如圖所示的線彈性體系的兩種狀態(tài)進(jìn)行介紹：圖示簡(jiǎn)支梁,先在梁上的1點(diǎn),作用一個(gè)靜力荷載F1,則梁將產(chǎn)生變形,梁上1點(diǎn)產(chǎn)生位移Δ11。在梁上的靜力荷載F1作用達(dá)到平衡以后,再在梁上的2點(diǎn)作用另一靜力荷載F2,則梁的形狀再次改變成如中圖所示位置,而梁上1點(diǎn),在原來(lái)位移Δ11的基礎(chǔ)上,又增加了新的位移Δ12。根據(jù)本章第二節(jié)的介紹,有關(guān)系：

T12=W1216.6線彈性體系的互等定理上面W12是第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)引起的虛變形上所作的內(nèi)力虛功，其值為：如果改變上面靜力荷載F1與靜力荷載F2的加載順序，即先加載F2，再加載F1，則同樣可以得到關(guān)系：T21=W2116.6線彈性體系的互等定理上面W21是第二狀態(tài)的內(nèi)力在第一狀態(tài)引起的虛變形上所作的內(nèi)力虛功，其值為：比較W12與W21，顯然有W12

=W21，所以有T12

=T21即：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的虛位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)相應(yīng)的虛位移上所作的外力虛功，這就是功的互等定理。16.6線彈性體系的互等定理在這里，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，只要兩個(gè)狀態(tài)滿足小變形及胡克定理，則由于第一狀態(tài)與第二狀態(tài)是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的，所以可以將它們分離開(kāi)來(lái)，如圖所示。16.6線彈性體系的互等定理另外兩個(gè)狀態(tài)的力系中所包含的力，都可以是力、力偶或廣義力，與之相應(yīng)的分別是另一個(gè)狀態(tài)中的線位移、角位移和廣義位移。如圖所示，第一狀態(tài)作用在1點(diǎn)的是一個(gè)集中力，而第二狀態(tài)作用在2點(diǎn)的是一個(gè)集中力偶，但是應(yīng)用功的互等定理，仍然有：

T12

=T21即有：F1Δ12=F2Δ2116.6線彈性體系的互等定理還應(yīng)指出，第一狀態(tài)與第二狀態(tài)都可以分別是一組荷載作用，但是不管哪一組荷載先作用，其內(nèi)力虛功總是相等的，所以功的互等定理仍然成立，從