四川省成都市高三下學期第二次診斷性檢測理科數(shù)學試題

成都市2021級高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測數(shù)學（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第I卷（選擇題）1至2頁，第Ⅱ卷（非選擇題）3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，務必將自已的姓名?考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第I卷（選擇題，共60分）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)，再求模即可.【詳解】由題意，所以.故選：2.命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)命題的否定直接可得解.【詳解】由命題“，”，可知其否定為“，”，故選：C.3.如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由陰影部分為以全集為A的集合A與集合B交集的補集求解.【詳解】解：因為，所以，，即陰影部分表示的集合為，故選：B4.對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B.變量與呈現(xiàn)負相關(guān)，且C.變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D.變量與呈現(xiàn)負相關(guān)，且【答案】C【解析】【分析】利用散點圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識可得答案.【詳解】由題意可知，變量的散點圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；再分別觀察兩個散點圖，圖比圖點更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).故選：C.5.在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，結(jié)合角終邊經(jīng)過點，求出、，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】因為終邊經(jīng)過點，所以，，則，所以有，，所以.故選：A6.已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對實數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.【詳解】當時，，符合題意；當時，因為函數(shù)的值域為滿足，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；若時，依題意有的最小值，即，若時，不符合題意；綜上：，故選：B.7.筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具，唐陳廷章《水輪賦》：“水能利物，輪乃曲成.升降滿農(nóng)夫之用，低徊隨匠氏之程.始崩騰以電散，俄宛轉(zhuǎn)以風生.雖破浪于川湄，善行無跡；既斡流于波面，終夜有聲.”如圖，一個半徑為4的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)一圈，筒車的軸心O距離水面的高度為.在筒車轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，盛水筒P距離水面的高度不低于的時間為（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒【答案】D【解析】【分析】畫出示意圖，結(jié)合題意和三角函數(shù)值可解出答案.【詳解】假設(shè)所在直線垂直于水面，且米，如下示意圖，由已知可得，所以，處劣弧時高度不低于米，轉(zhuǎn)動的角速度為/每秒，所以水筒P距離水面的高度不低于的時間為秒，故選：D.8.現(xiàn)有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理計算“用四種不同得顏色要對如圖形中的五部分進行著色”和“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”的涂色方法，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，每個部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C9.已知向量是平面內(nèi)的一組基向量，為內(nèi)的定點，對于內(nèi)任意一點，當時，稱有序?qū)崝?shù)對為點的廣義坐標．若點的廣義坐標分別為，則“"是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直和線性運算即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得：，.因為，所以，則，即因為向量是平面內(nèi)的一組基向量，所以.故“"是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.10.已知點是橢圓上的動點，若到軸與軸的距離之和的范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用距離和的范圍求出，利用離心率的公式可得答案.【詳解】設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點位于第一象限或軸正半軸上，由題意，，結(jié)合橢圓性質(zhì)有且，其中；所以，解得，橢圓的離心率為.故選：D.11.在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點在四邊形內(nèi)（含邊界）運動．當時，點的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)軌跡的長度求出棱長，利用四棱柱的表面積公式可求答案.【詳解】設(shè)棱長為，延長，過點作垂直于的延長線于，由，可得；由直四棱柱的性質(zhì)可得，平面，所以；因為，所以.在平面內(nèi)，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內(nèi)的部分,即圖中圓弧.因為，所以，因為點的軌跡長度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.12.已知是拋物線上任意一點，若過點作圓的兩條切線，切點分別記為，，則劣弧長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為求的最小值，結(jié)合二次函數(shù)求值域可得解.【詳解】如圖所示，當劣弧長度的最小時，最小，即最小，即最大，即取的最小值，設(shè)，則，則，當時，取最小值為，即，即，，即，即劣弧長度的最小值為，故選：D.第Ⅱ卷：（非選擇題，共90分）二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上13.一個幾何體的三視圖的正視圖是三角形，則這個幾何體可以是___________.（寫出一個你認為正確的答案即可）【答案】三棱柱（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，由三視圖的知識，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，正視圖是三角形的幾何體可以是三棱柱，三棱錐，圓錐等.故答案為：三棱柱（答案不唯一）14.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，等價于，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15.平面四邊形中，，則的最大值為__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，且，在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，設(shè)，且，在中，可得，即，可得，在中，可得，所以，當時，即時，取得最大值，最大值為，所以的最大值為.故答案為：.16.已知函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①；②存在，使得；③對于任意的，都有；④對于任意的，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③④【解析】【分析】對于①，借助中間值，計算即可判斷；對于②，構(gòu)造函數(shù)，由零點存在性定理判段即可；對于③，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對于④，分段討論當，，當，，再將函數(shù)，兩邊同時取對數(shù)化簡可得，提公因式構(gòu)造不等式判斷可得，根據(jù)絕對值的意義判斷即可.【詳解】因，所以，，因為，，所以，故①錯誤；若，則，即，，即，令，因為，所以存在，使得，即，所以存在，使得，故②正確，因為，因為在上單調(diào)遞減，所以也單調(diào)遞減，所以，，因為在上單調(diào)遞增，所以也單調(diào)遞增，所以，即，即對于任意的，都有，故③正確；由②可知，存在，使得，結(jié)合③可知當，，，即，可知當，，，即，因為，，得，即，當，有，因為，所以，所以，所以，即，當，有，因為，所以，所以，即，所以對于任意，都有，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：解決本題②，在于構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在性定理判段；本題③，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性判斷；本題④，關(guān)鍵在于根據(jù)②的結(jié)論分段討論，將函數(shù)兩邊同時取對數(shù)可得，結(jié)合③計算有關(guān)結(jié)論，提公因式構(gòu)造不等式得，然后判斷即可.三?解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.記.（1）當時，為數(shù)列的前項和，求的通項公式；（2）記是的導函數(shù)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與關(guān)系求解即可.（2）先求導，再根據(jù)錯位相減求解即可.【小問1詳解】當時，.當時，.又當時，不滿足上式，所以【小問2詳解】①②①②得，18.某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考．根據(jù)經(jīng)驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．（1）已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學生的成績?yōu)?6分，試估計學生在甲市的大致名次；（2）在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學成績在之外的人數(shù)，求的概率及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，【答案】18.1587名19.0.0989；期望為【解析】【分析】（1）由本次模擬考試成績都近似服從正態(tài)分布，，87分以上共有228人，結(jié)合原則，求得，再由甲市學生在該次考試中成績?yōu)?6分，且求解；（2）由隨機變量服從二項分布，即求解．【小問1詳解】解：已知本次模擬考試成績都近似服從正態(tài)分布，由題意可得．即，解得．甲市學生在該次考試中成績?yōu)?6分，且，又，即．學生在甲市本次考試的大致名次為1587名．【小問2詳解】在本次考試中，抽取1名化學成績在之內(nèi)的概率為0.9974．抽取1名化學成績在之外概率為0.0026．隨機變量服從二項分布，即．．的數(shù)學期望為．19.如圖，在正四面體中，是棱的兩個三等分點．（1）證明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理即可證明平面，從而證明；（2）根據(jù)題意，由二面角的定義，結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】取的中點為，連接．四面體為正四面體，為正三角形．又為的中點，．同理可得．平面，平面．又平面．【小問2詳解】取的中點為，連接，設(shè)．由（1）得平面．平面．為二面角的平面角，為二面角的平面角，為二面角的平面角．由圖形對稱性可判斷．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等于．20.已知雙曲線的左?右頂點分別為，右焦點為.過點的直線與雙曲線相交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，且直線的斜率之積為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線分別與直線相交于兩點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點，并求出定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)直線的斜率之積為及在雙曲線求出，即可得解；（2）設(shè)，直線，聯(lián)立方程，理由韋達定理求出，再求出兩點的坐標，進而可求出以為直徑的圓的方程，再令，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，在雙曲線上，，解得，雙曲線的標準方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由，消去得，，，直線，令，解得，同理可得，以為直徑的圓的方程為，令，得，，，解得或，以為直徑的圓恒過點.【點睛】方法點睛：直線過定點問題或圓過定點問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點，求出所過的定點坐標.21.已知函數(shù)．（1）當時，判斷的零點個數(shù)并說明理由；（2）若存在，使得當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）兩個零點，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導可得，從而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由零點存在定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，然后分與討論，利用導數(shù)代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】當時，．，令，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由，，使得．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．又，有兩個零點．【小問2詳解】存在，使得當時，，即存在，使得當時，．設(shè)．（i）當時，設(shè)．．在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞增．又，在上恒成立．．當時，．取，當時，恒成立．當時滿足題意．（ii）當時，設(shè)．．在上恒成立，在上單調(diào)遞增．又在上恒成立．設(shè)．在上恒成立，在上單調(diào)遞減．又在上恒成立．故恒成立，不合題意．綜上，的取值