空間向量基本定理 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解.3.掌握在簡(jiǎn)單問(wèn)題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法.4.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).教學(xué)目標(biāo)正交分解1、共線向量定理:同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量a、b，對(duì)平面內(nèi)任意向量p，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使：p

=xa+yb．（a、b稱(chēng)基底）2、平面向量基本定理：ABCDO探索新知問(wèn)題二

如果向量分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量問(wèn)題一

右圖中的向量是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問(wèn)向量與它們的關(guān)系？新課探究空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．OPP’AA’BB’C’C證明:存在性

設(shè)a、b、c不共面,過(guò)O作在平面OAB內(nèi)，過(guò)作直線過(guò)點(diǎn)P作直線平行于OC交平面OAB于點(diǎn)，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使所以唯一性：

設(shè)另有一組實(shí)數(shù)x'、y'、z'，

使得p＝x'a+y'b+z'c,則有

xa+yb+zc＝x'a+y'b+z'c，∴(x－x’')

a+(y－y')b+(z－z')c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x'＝y(tǒng)－y'＝z－z'＝0，即x＝x'且y＝y(tǒng)'且z＝z'．故實(shí)數(shù)x、y、z是唯一的．OPP’AA’BB’C’C（1）什么是基底？什么是基向量？（2）一個(gè)基底包含幾個(gè)基向量？三個(gè)向量要構(gòu)成一個(gè)基底需要滿(mǎn)足什么條件？（3）什么是單位正交基底？（4）正交分解的定義是什么？空間向量間的運(yùn)算

基向量間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化三點(diǎn)說(shuō)明①空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．②三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是零向量．（零向量與任意非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面）③一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量．CABMNPO典例分析1.已知向量是空間的一個(gè)基底．求證:向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.對(duì)應(yīng)練習(xí)ABCDMNB1A1C1D1典例分析ABCDMNB1A1C1D1對(duì)應(yīng)練習(xí)2.如圖，已知平行六面體OABC-O'A'B'C'，點(diǎn)G是側(cè)面BB'C'C的中心，且（1）是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底？（2）如果構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么用它表示下列向量：BCOA1B1C1O1AGCABDEFG典例分析CABDEFGCABDEFG【例4】

已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底.【變式訓(xùn)練4】

設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有()A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)

D.4個(gè)C【例5】

如圖，在空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.

【變式訓(xùn)練5】

如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示，，，.

【例6】

如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量，，為基底的基向量，在下列條件下，分別求x，y，z的值.(1)

；【例6】

如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量，，為基底的基向量，在下列條件下，分別求x，y，z的值.(2)

.【變式訓(xùn)練6】如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)；