《時(shí)間序列分析-基于Python》 課件 ch5 無(wú)季節(jié)效應(yīng)的非平穩(wěn)序列分析

無(wú)季節(jié)效應(yīng)的非平穩(wěn)序列分析05本章內(nèi)容Cramer分解定理0102差分平穩(wěn)ARIMA模型疏系數(shù)模型0403

Cramer分解定理Cramer分解定理HaraldCramer(1893-1985)。瑞典人，斯德哥爾摩大學(xué)教授，著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家和保險(xiǎn)精算學(xué)家。Cramer分解定理是Wold分解定理的推廣。Wold分解定理是平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)，Cramer分解定理是非平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。Cramer分解定理說(shuō)明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。

Cramer分解定理任何一個(gè)時(shí)間序列都可以分解為兩部分的疊加：一部分是由時(shí)間ｔ的多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性成分另一部分是由白噪聲序列決定的隨機(jī)性成分確定性影響隨機(jī)性影響本章內(nèi)容Cramer分解定理0102差分平穩(wěn)ARIMA模型疏系數(shù)模型0403差分運(yùn)算一階差分p階差分k步差分差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)差分方法是一種非常簡(jiǎn)便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息

趨勢(shì)平穩(wěn)序列實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)的方法比較假定序列為一元線性趨勢(shì)序列對(duì)該序列擬合線性模型：對(duì)該序列進(jìn)行一階差分差分平穩(wěn)序列實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)的方法比較假定序列為差分平穩(wěn)序列對(duì)該序列進(jìn)行一階差分：對(duì)該序列擬合線性模型差分方式的選擇無(wú)論是趨勢(shì)平穩(wěn)還是差分平穩(wěn)序列，通常都用差分方式提取非平穩(wěn)信息。序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，通常一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列，進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好地提取周期信息

例5-1嘗試提取1964-1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列中的確定性信息

。例5-1一階差分提取確定性信息中國(guó)紗產(chǎn)量序列蘊(yùn)涵著顯著的線性遞增趨勢(shì)。對(duì)該序列進(jìn)行１階差分提取線性趨勢(shì)信息。1階差分后時(shí)序圖如下圖所示差分后時(shí)序圖顯示：1階差分后序列呈現(xiàn)出非常平穩(wěn)的波動(dòng)特征，這說(shuō)明１階差分運(yùn)算非常成功地從原序列中提取出線性趨勢(shì)。例4.2嘗試提取1950—1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息例5-2差分后序列時(shí)序圖一階差分二階差分1階差分沒(méi)有實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)2階差分實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)，但方差非齊例4.3利用差分運(yùn)算提取1962年1月至1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息

。例5-3差分后序列時(shí)序圖一階差分1階－12步差分１階差分后線性遞增信息被提取，殘留穩(wěn)定的季節(jié)波動(dòng)和隨機(jī)波動(dòng)。周期步長(zhǎng)差分可以非常好地提取周期信息過(guò)差分

從理論上而言，足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息。但應(yīng)當(dāng)注意的是，差分運(yùn)算的階數(shù)并不是越多越好。因?yàn)椴罘诌\(yùn)算是一種對(duì)信息的提取、加工過(guò)程，每次差分都會(huì)有信息的損失。在實(shí)際應(yīng)用中差分運(yùn)算的階數(shù)得適當(dāng)，應(yīng)當(dāng)避免過(guò)度差分的現(xiàn)象。例4.4假設(shè)序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差

例5-4比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過(guò)差分）平穩(wěn)方差大本章內(nèi)容Cramer分解定理0102差分平穩(wěn)ARIMA模型疏系數(shù)模型0403ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場(chǎng)合差分平穩(wěn)序列的擬合模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型族d=0ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q)p=0ARIMA(0,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(p,d,0)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(0,1,0)=randomwalkmodel（隨機(jī)游走模型）特殊的ARIMA模型隨機(jī)游走模型(randomwalk)模型結(jié)構(gòu)模型使用場(chǎng)合KarlPearson(1905)在《自然》雜志上提問(wèn)：假如有個(gè)醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時(shí)間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？這個(gè)醉漢的行走軌跡就是一個(gè)隨機(jī)游走模型。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為投機(jī)價(jià)格的走勢(shì)類似于隨機(jī)游走模型，隨機(jī)游走模型也是有效市場(chǎng)理論的核心。隨機(jī)游走模型ARIMA模型的平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個(gè)特征根，其中p個(gè)在單位圓內(nèi)，d個(gè)在單位圓上。

所以當(dāng)

時(shí)ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。ARIMA(0,1,0)擬合序列時(shí)序圖

ARIMA模型的方差齊性（以ARIMA(0,1,0）為例）時(shí)，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)差分運(yùn)算YN白噪聲檢驗(yàn)Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型例4.9對(duì)1889—1970年美國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值平減指數(shù)序列建模例5-6差分平穩(wěn)一階差分時(shí)序圖ADF檢驗(yàn)結(jié)論：平穩(wěn)非白噪聲序列白噪聲檢驗(yàn)?zāi)Ｐ投A一階差分后序列自相關(guān)圖一階差分后序列偏自相關(guān)圖１階差分后序列的自相關(guān)圖顯示拖尾特征，偏自相關(guān)圖顯示１階截尾特征。所以考慮用AR(1)模型擬合１階差分后序列。考慮到前面已經(jīng)進(jìn)行的１階差分運(yùn)算，實(shí)際上使用ARIMA(1,1,0)模型擬合原序列。例5-6模型擬合模型擬合結(jié)果模型結(jié)構(gòu)：檢驗(yàn)結(jié)果顯示該擬合模型參數(shù)顯著非零，且對(duì)序列中相關(guān)信息的提取很充分ARIMA模型預(yù)測(cè)ARIMA（p,d,q)模型的一般表示方法為和ARMA模型一樣，也可以用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的線性函數(shù)表示它（Green函數(shù)）ARIMA模型Green函數(shù)遞推公式預(yù)測(cè)值例5-7已知ARIMA（1,1,1)模型為已知：求的95%置信區(qū)間?！窘狻空归_(kāi)原模型，得到等價(jià)模型預(yù)測(cè)值的遞推公式為例5-7解Green函數(shù)為3期預(yù)測(cè)值方差為3期預(yù)測(cè)值的95%置信區(qū)間為３期預(yù)測(cè)誤差的方差為廣義自相關(guān)函數(shù)為

例4.9對(duì)1889—1970年美國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值平減指數(shù)序列做為期１０年的預(yù)測(cè)例5-6續(xù)例4.9對(duì)1889—1970年美國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值平減指數(shù)序列做為期１０年的預(yù)測(cè)例5-6擬合與預(yù)測(cè)效果圖本章內(nèi)容Cramer分解定理0102差分平穩(wěn)ARIMA模型疏系數(shù)模型0403疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù)或部分移動(dòng)平滑系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。疏系數(shù)模型疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動(dòng)平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有省缺，可以簡(jiǎn)記為例4.10對(duì)1917年－1975年美國(guó)23歲婦女每萬(wàn)人生育率序列建模例5-8例5-8一階差分后時(shí)序圖檢驗(yàn)結(jié)果顯示一階差分后序列為平穩(wěn)非白噪聲序列例5-8模型定階一階差分后序列自相關(guān)圖一階差分后序列偏自相關(guān)圖自相關(guān)圖顯示，延遲１階、４階和５階自相關(guān)系數(shù)大于２倍標(biāo)準(zhǔn)差。偏自