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文檔簡介

2023-2024學年安徽省安慶一中高考臨考沖刺數學試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設函數,當時,,則()A. B. C.1 D.2.已知、是雙曲線的左右焦點,過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點,若點在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.總體由編號01,,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體,選取方法是隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字,則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08 B.07 C.02 D.014.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.5.已知函數的零點為m,若存在實數n使且,則實數a的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,則下列關系正確的是()A. B. C. D.7.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實數的值為()A. B. C. D.8.已知函數()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.9.已知函數,若曲線上始終存在兩點,,使得,且的中點在軸上,則正實數的取值范圍為()A. B. C. D.10.對于定義在上的函數,若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數 B.在上是增函數C.不是函數的最小值 D.對于,都有11.若為虛數單位,則復數,則在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,項的系數是__________(用數字作答).14.在中,內角的對邊長分別為,已知,且,則_________.15.已知橢圓的下頂點為,若直線與橢圓交于不同的兩點、,則當_____時,外心的橫坐標最大.16.從2、3、5、7、11、13這六個質數中任取兩個數,這兩個數的和仍是質數的概率是________(結果用最簡分數表示)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數,且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與有兩個交點,,線段的中點為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時的斜率,若不能,說明理由.19.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.20.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領取一臺全自動洗衣機,問張明和王慧他們家庭可以領取一臺全自動洗衣機的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數學期望.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點,是棱上的點且,,,.求證:平面平面以;求二面角的大小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式,然后由正弦函數性質求得參數值.【詳解】,時,,,∴,由題意,∴.故選:A.【點睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數性質,掌握正弦函數性質是解題關鍵.2、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點M(,﹣),∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或不等式,再根據a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式,建立關于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.3、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數劃去大于20的數分別為:08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.考點:此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數表法,考查學習能力和運用能力.4、A【解析】

作出其直觀圖,然后結合數據根據勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算,正確還原直觀圖是解題關鍵,屬于基礎題.5、D【解析】

易知單調遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數即可解得實數a的取值范圍.【詳解】易知函數單調遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據“對勾函數”可知函數在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數法及構造函數法的應用,考查了利用“對勾函數”求參數取值范圍問題,難度較難.6、A【解析】

首先判斷和1的大小關系,再由換底公式和對數函數的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為,,,所以,綜上可得.故選:A【點睛】本題考查了換底公式和對數函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.7、D【解析】

由已知可得,結合向量數量積的運算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數量積運算,向量垂直的應用,考查計算求解能力,屬于基礎題.8、A【解析】

是函數的零點,根據五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得.【詳解】由題意,,∴函數在軸右邊的第一個零點為,在軸左邊第一個零點是,∴的最小值是.故選:A.【點睛】本題考查三角函數的周期性,考查函數的對稱性.函數的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標.9、D【解析】

根據中點在軸上,設出兩點的坐標,,().對分成三類,利用則,列方程,化簡后求得,利用導數求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據條件可知,兩點的橫坐標互為相反數,不妨設,,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因為,所以函數在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數在上的值域為,故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示,考查化歸與轉化的數學思想方法,考查利用導數研究函數的最小值,考查分析與運算能力,屬于較難的題目.10、B【解析】

根據函數對稱性和單調性的關系,進行判斷即可.【詳解】由得關于對稱,若關于對稱,則函數在上不可能是單調的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數,在在上是增函數,則為函數的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點睛】本題主要考查函數性質的綜合應用,結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵.11、B【解析】

首先根據特殊角的三角函數值將復數化為,求出,再利用復數的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復平面內對應的點的坐標為,位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了復數的幾何意義、共軛復數的概念、特殊角的三角函數值,屬于基礎題.12、A【解析】

設直線為,用表示出,,求出,令,利用導數求出單調區(qū)間和極小值、最小值,即可求出的最小值.【詳解】解:設直線為,則,,而滿足,那么設,則,函數在上單調遞減,在上單調遞增,所以故選:.【點睛】本題考查導數知識的運用:求單調區(qū)間和極值、最值,考查化簡整理的運算能力,正確求導確定函數的最小值是關鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數.可由某項得出參數項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數.14、4【解析】∵∴根據正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為415、【解析】

由已知可得、的坐標,求得的垂直平分線方程,聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程,求得的垂直平分線方程,兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標,再由導數求最值.【詳解】如圖,由已知條件可知,不妨設,則外心在的垂直平分線上,即在直線,也就是在直線上,聯(lián)立,得或,的中點坐標為,則的垂直平分線方程為,把代入上式,得,令,則,由,得(舍)或.當時,,當時,.當時,函數取極大值,亦為最大值.故答案為:.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系的應用,訓練了利用導數求最值,是中等題.16、【解析】

依據古典概型的計算公式,分別求“任取兩個數”和“任取兩個數,和是質數”的事件數,計算即可。【詳解】“任取兩個數”的事件數為,“任取兩個數,和是質數”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個,所以任取兩個數,這兩個數的和仍是質數的概率是?!军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)由,可求出的值,進而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,解得,故.(2)因為,所以,所以,則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據韋達定理求根與系數的關系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設點的橫坐標為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標,第二步再整理點的坐標,如果能構成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點,∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設點的橫坐標為.∴由得,即將點的坐標代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當的斜率為或時,四邊形為平行四邊形.考點:直線與橢圓的位置關系的綜合應用【一題多解】第一問涉及中點弦,當直線與圓錐曲線相交時,點是弦的中點,(1)知道中點坐標,求直線的斜率,或知道直線斜率求中點坐標的關系,或知道求直線斜率與直線斜率的關系時,也可以選擇點差法,設,,代入橢圓方程,兩式相減,化簡為,兩邊同時除以得,而,,即得到結果,(2)對于用坐標法來解決幾何性質問題,那么就要求首先看出幾何關系滿足什么條件,其次用坐標表示這些幾何關系,本題的關鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個坐標,最后求斜率.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析【解析】

運用數學歸納法證明即可得到結果化簡,運用累加法得出結果運用放縮法和累加法進行求證【詳解】(Ⅰ)數學歸納法證明時,①當時,成立;②當時,假設成立,則時所以時,成立綜上①②可知,時,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【點睛】本題考查了數列的綜合,運用數學歸納法證明不等式的成立,結合已知條件進行化簡求出化簡后的結果,利用放縮法求出不等式,然后兩邊同時取對數再進行證明,本題較為困難。20、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用正弦定理求得,由此得到,結合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設平面的法向量為,由可得:,令,則,設二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)(2)詳見解析【解析】

(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,

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