中考數(shù)學復習《梯形問題》專項測試卷(帶答案)

第頁中考數(shù)學復習《梯形問題》專項測試卷(帶答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O為原點建立平面直角坐標系，A、B、C的坐標分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點，動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒．（1）求過點O、B、A三點的拋物線的解析式；（2）求AB的長；若動點P在從A到B的移動過程中，設△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）動點P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時P點的坐標．2．已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標．3．如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當Q到達B時，P、Q兩點同時停止運動，設P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．（1）試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．求出此時△APQ的面積．（3）在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（4）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB﹣BO﹣OP于點F．當DF經(jīng)過原點O時，請直接寫出t的值．4．如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點C在x軸負半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C．（1）求該拋物線的解析式；（2）設該二次函數(shù)的圖象的頂點為P，求四邊形OAPB的面積；（3）有兩動點M，N同時從點O出發(fā)，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運動，當M、N兩點相遇時，它們都停止運動．設M、N同時從點O出發(fā)t秒時，△OMN的面積為S．①請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；②判斷在①的過程中，t為何值時，△OMN的面積最大？5．如圖（1），以梯形OABC的頂點O為原點，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標系．梯形其它三個頂點坐標分別為：A（14，0），B（11，4），C（3，4），點E以每秒2個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，同時點F以每秒3個單位的速度，從O點出發(fā)沿折線OCB向B運動，設運動時間為t．（1）當t=4秒時，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？（2）當t為何值時，四邊形COEF是直角梯形？（3）在運動過程中，四邊形COEF能否成為一個菱形？若能，請求出t的值；若不能，請簡要說明理由，并改變E、F兩點中任一個點的運動速度，使E、F運動到某時刻時，四邊形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值6．如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（12，0），點D的坐標為（8，4），動點E從點A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個單位的速度移動；同時動點F從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個單位的速度向點D移動．當點F與點D重合時，E、F兩點同時停止移動．設點E移動時間為t秒．（1）求當t為何值時，三點C、E、F在同一直線上；（2）設順次連接OCFE，設這個封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍；（3）求當t為何值時，以O、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？7．如圖，已知A，B兩點坐標分別為（28，0）和（0，28），動點P從A開始在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動．動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E，F(xiàn)，連接FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積；（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（3）當梯形OPFE的面積等于△APF的面積時，求線段PF的長．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知直線AB：y=﹣x+3分別與x軸、y軸分別交于點A、點B．動點P、Q分別從O、A同時出發(fā)，其中點P以每秒1個點位長度的速度沿OA方向向A點勻速運動，到達A點后立即以原速度沿AO返向；點Q以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿A﹣B﹣O方向向O點勻速運動．當點Q到達點O時，P、Q兩點同時停止運動．設運動時間為t（秒）．（1）求點A與點B的坐標；（2）如圖1，在某一時刻將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處，求此時△APQ的面積；（3）若D為y軸上一點，在點P從O向A運動的過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點坐標；若不存在，請說明理由；（4）如圖2，在P、Q兩點運動過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點E，交折線QB﹣BO﹣OP于點F．問：是否存在某一時刻t，使EF恰好經(jīng)過原點O？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（30，0），B（24，6），C（8，6）．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒3個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒2個單位．當這兩點有一點達到自己的終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t（秒）．（1）當點Q在OC上運動時，試求點Q的坐標；（用t表示）（2）當點Q在CB上運動時；①當t為何值時，四邊形OPQC為等腰梯形？②是否存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD的頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點D在x軸的負半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直線AB的解析式；（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿著線段AB向終點B運動；同時動點Q從點D出發(fā)，以每秒4個單位長的速度沿著線段DA終點A運動，過點Q作QH⊥AB，垂足為點H，當一點到達終點時，另一的也隨之停止運動．設線段朋的長度為y，點P運動時間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（請直接寫出自變量t的取值范圍）（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對應線段為A’P，當t為何值時，A’P∥CD，并通過計算說明，此時以為半徑的ΘP與直線QH的位置關(guān)系．11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；探究2：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止．（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由_________形變化為_________形；（2）設當?shù)妊苯侨切蜳MN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當①x=4（s），②x=8（s）時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，點P是AD上一動點，點Q是線段AB上一動點且AP=AQ，在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形PQMN，點N在CD上．設AQ=x，矩形PQMN的面積為y．（1）求等腰梯形ABCD的面積；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當x為何值時，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面積最大時，將△PQN沿NQ翻折，點P的對應點為點P’，請判斷此時△BMP’的形狀．14．如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點的坐標是（﹣1，5）．（1）直接寫出下列各點坐標．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留π）；（3）直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點A的函數(shù)關(guān)系式；（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點都在拋物線上？若能，請說理由；若不能，將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試確定m的值，使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時經(jīng)過A，B，C，D四點．15．如圖，在平面直角坐標系中，A、C、D的坐標分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點M是AD的中點．（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；（2）動點P、Q分別在線段OC和MC上運動，且保持∠MPQ=60°不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中：試探究當點P從點O首次運動到點E（3，0）時，Q點運動的路徑長．16．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)．（1）求點E的坐標；（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連接PN．設PE=x．△PMN的面積為S．①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由．若存在，求出面積的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）．設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式．17．如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O為坐標原點，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，將△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限的點C處，已知B點坐標是；一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、C、A三個點．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直線OC上是否存在點Q，使得△AQB的周長最小？若存在請求出Q點的坐標，若不存在請說明理由；（3）若拋物線的對稱軸交OB于點D，設P為線段DB上一點，過P點作PM∥y軸交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請求出P點坐標，若不存在請說明理由．18．如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標系．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設（1）中的拋物線與BC交于點E，P是該拋物線對稱軸上的一個動點（如圖2）：①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達式；②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，并直接寫出相應的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請說明理由．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD饒A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對應點）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點的坐標；（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設移動后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x之間的關(guān)系式；（3）線段DC上是否存在點P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動．現(xiàn)點E、F同時出發(fā)，當點F到達點B時，E、F兩點同時停止運動．（1）求梯形OABC的高BG的長；（2）連接E、F并延長交OA于點D，當E點運動到幾秒時，四邊形ABED是等腰梯形；（3）動點E、F是否會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上？如果會，請直接寫出這時動點E、F運動的時間t的值；如果不會，請說明理由．21．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．（1）求⊙O的直徑；（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．22．如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點P從A點出發(fā)沿AD邊向點D移動，點Q自A點出發(fā)沿A→B→C的路線移動，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．（1）分別求出點Q位于AB、BC上時，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，x的值是多少？（3）在（2）的條件下，設線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點，那么OE與OF的長度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進一步探究：對任何一個梯形，當一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不需證明）23．現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．某校九年級（2）班數(shù)學興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面，進行了如下探索：（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．若∠ABC=90°，設BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大?。?）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供一種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．24．某校數(shù)學研究性學習小組準備設計一種高為60cm的簡易廢紙箱．如圖1，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大．（1）該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡便且易操作的三種橫截面圖形，如圖2，是根據(jù)這三種橫截面圖形的面積y（cm2）與x（cm）（見表中橫截面圖形所示）的函數(shù)關(guān)系式而繪制出的圖象．請你根據(jù)有信息，在表中空白處填上適當?shù)臄?shù)、式，并完成y取最大值時的設計示意圖；（2）在研究性學習小組展示研究成果時，小華同學指出：圖2中“底角為60°的等腰梯形”的圖象與其他兩個圖象比較，還缺少一部分，應該補畫．你認為他的說法正確嗎？請簡要說明理由．25．如圖（1），四邊形ABCD內(nèi)部有一點P，使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD，那么這樣的點P叫做四邊形ABCD的等積點．（1）如果四邊形ABCD內(nèi)部所有的點都是等積點，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形．①請寫出你知道的等積四邊形：_________，_________，_________，_________，（四例）②如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形且S△ABP=8，S△APD=7，S△BPC=15，則S△PCD=_________．（2）如圖（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直線l為等腰梯形的對稱軸，分別交AD于點E，交BC于點F．①請在直線l上找到等腰梯形的等積點，并求出PE的長度．②請找出等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點，并畫圖表示．26．如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動，當點C與點G重合時停止移動．設梯形與正方形重疊部分的面積為S．（1）求正方形的邊長；（2）設直角梯形ABCD的頂點C向右移動的距離為x，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當直角梯形ABCD向右移動時，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請求出此時運動的距離x的值；若不能，請說明理由．27．已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上（如圖示）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）P為線段AB上一動點（A、B兩端點除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q，設線段PQ的長為l，點P的橫坐標為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點P的坐標，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由．28．如圖1所示，直角梯形OABC的頂點C在x軸正半軸上，AB∥OC，∠ABC為直角，過點A、O作直線l，將直線l向右平移，設平移距離為t（t≥0），直角梯形OABC被直線l掃過的面積（圖中陰影部分）為s，s關(guān)t的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線．（1）求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；（2）如圖3，矩形ODEF的兩邊OD、OF分別落在坐標軸上，且OD=4，OF=3，將矩形ODEF沿x軸的正半軸平行移動，設矩形ODEF的頂點O向右平移的距離為x（0＜x＜7），求矩形ODEF與梯形OABC重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）當平移距離x=_________時，重疊部分面積S取最大值_________．29．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積．（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點D與點B重合時停止，設運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH′（如圖）．探究1：在運動中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能，請求出此時t的值；若不能，請說明理由．探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系．參考答案1．已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O為原點建立平面直角坐標系，A、B、C的坐標分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點，動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動，速度為每秒1個單位，移動時間記為t秒．（1）求過點O、B、A三點的拋物線的解析式；（2）求AB的長；若動點P在從A到B的移動過程中，設△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）動點P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時P點的坐標．解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）依題意，得，解得，故所求拋物線的解析式為y=﹣x2+x；（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，∵在Rt△ABE中，AE=OA﹣OE=6，BE=OC=8，∴AB==10．解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，∵OA?BE=AB?OF，∴OF==8，DH=OF=4，∴S=AP?DH=t×4=2t（0≤t≤10）；解法二：∵=，S△ABD=AD?BE=×5×8=20．∴=，∴S=2t（0≤t≤10）；（3）點P只能在AB或OC上才能滿足題意，S梯形COAB=（BC+OA）?OC=×（4+10）×8=56，（ⅰ）當點P在AB上時，設點P的坐標為（x，y），由S△APD=S梯形COAB，得OD?y=×56，解得y=，由S△APD=AP?DH=t×4=14，得t=7．此時，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO﹣x）2+y2=AP2，即（10﹣x）2+（）2=72，解得x=，即在7秒時有點P1（，）滿足題意；（ⅱ）當點P在OC上時，設點P的坐標為（0，y）．由S△APD=S梯形COAB，得AD?y=×56，解得y=，此時t=10+4+（8﹣）=16．即在t=16秒時，有點P2（0，）滿足題意；綜上，在7秒時有點P1（，），在16秒時有點P2（0，）使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．2．已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標．解答：解：（1）設BC所在直線的解析式為y=kx+b，因為直線BC過B（8，10），C（0，4）兩點，可得：，解得k=，b=4，因此BC所在直線的解析式是y=x+4；（2）過D作DE⊥OA，則DE為梯形OABC的中位線，OC=4，AB=10，則DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，則四邊形OPDC的面積為16，S△COD=8，∴S△POD=8，即?t×7=8，得t=；（3）分三種情況①0＜t≤8，（P在OA上）S三角形OPD=t②8＜t≤18，（P在AB上）S三角形OPD=S梯形OCBA﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t（此時AP=t﹣8，BP=18﹣t）③過D點作DM垂直y軸與M點∴CM=3，DM=4，CD=5，∴∠BCH的正弦值為CP長為28﹣t∴PH=22.4﹣0.8tS三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC=×4（22.4﹣0.8t）﹣8=﹣t；（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，則CM=OA=8，AM=OC=4，∴MB=6．∴在Rt△BCM中，BC=10，∴CD=5，若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，且PQ∥CD，∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，設BP=x，則PA=10﹣x，∴，化簡得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．3．如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發(fā)沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當Q到達B時，P、Q兩點同時停止運動，設P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．（1）試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．求出此時△APQ的面積．（3）在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（4）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB﹣BO﹣OP于點F．當DF經(jīng)過原點O時，請直接寫出t的值．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3∴AB=①P由O向A運動時，OP=AQ=t，AP=4﹣t過Q作QH⊥AP于H點．由QH∥BO，得∴即（0＜t＜4）②當4＜t≤5時，即P由A向O運動時，AP=t﹣4AQ=tsin∠BAO=QH=，∴=；綜上所述，S△APQ=；（2）由題意知，此時△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，∴cosA===，當0＜t＜4∴即當4＜t≤5時，=，t=﹣16（舍去）∴；（3）存在，有以下兩種情況①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．則有BM=QN，由PE∥BQ，得，∴；又∵AP=4﹣t，∴AN=，∴，由BM=QN，得∴，∴；②若PQ∥BE，則等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P點由題意知∵OP+AP=OA，∴∴t=，∴OE=，∴點E（0，﹣）由①②得E點坐標為（0，）或（0，﹣）．（4）①當P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AE∴；②當P由A向O運動時，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=∴t=54．如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點C在x軸負半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C．（1）求該拋物線的解析式；（2）設該二次函數(shù)的圖象的頂點為P，求四邊形OAPB的面積；（3）有兩動點M，N同時從點O出發(fā)，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運動，當M、N兩點相遇時，它們都停止運動．設M、N同時從點O出發(fā)t秒時，△OMN的面積為S．①請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；②判斷在①的過程中，t為何值時，△OMN的面積最大？解答：解：（1）∵tan∠OBA==，∴OA=OB?tan∠OBA=8×=6，則A的坐標是（6，0）．∵OB=4OC，∴OC=OB=2，則C的坐標是（﹣2，0）．∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C，則解得：，則拋物線的解析式是：y=x2﹣x﹣8；（2）拋物線的頂點的橫坐標x=﹣=2，縱坐標是：y=×22﹣×2﹣8=﹣．則P的坐標是：（2，﹣）．S四邊形OAPB=S梯形ODPB+S△APD=（8+）×+×（6﹣2）×=40；（3）當0＜t≤2時，S△OMN=×4t×2t=4t2；當t=2時，S最大，最大值為16；當2＜t＜3時，BN=4t﹣8，AN=10﹣（4t﹣8）=18﹣4t．作NQ⊥x軸于Q點，則=，∴NQ=．∴S△OMN=×2t×=﹣t2+t；當t=時S最大，最大值為；當3≤t＜4時，MN=△OAB的周長﹣4t﹣2t=24﹣6t．作OQ⊥AB于Q點．∵S△OAB=OA×OB=AB×OQ，∴OQ==．∴S△OMN=××（24﹣6t）=﹣t+；當t=3時S最大，最大值為．綜上所述，在整個運動過程中，當t=時S△OMN最大，最大值為．5．如圖（1），以梯形OABC的頂點O為原點，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標系．梯形其它三個頂點坐標分別為：A（14，0），B（11，4），C（3，4），點E以每秒2個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，同時點F以每秒3個單位的速度，從O點出發(fā)沿折線OCB向B運動，設運動時間為t．（1）當t=4秒時，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？（2）當t為何值時，四邊形COEF是直角梯形？（3）在運動過程中，四邊形COEF能否成為一個菱形？若能，請求出t的值；若不能，請簡要說明理由，并改變E、F兩點中任一個點的運動速度，使E、F運動到某時刻時，四邊形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值解答：解：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，且B（11，4），C（3，4），∴∠CGO=∠BHA=90°，OG=3，CG=4，AH=3，BH=4，BC=8，∴△CGO≌△BHA，∴OC=AB，在Rt△OGC中由勾股定理，得OC2=OG2+CG2，∴OC2=32+42，∴OC=5，∴AB=5，∵點E以每秒2個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，∴當運動時間為4時，OE=8，∴OE=BC，∵BC∥OA，∴四邊形COEB是平行四邊形．（2）如圖2，設t秒時四邊形COEF是直角梯形，∴OC+CF=3t，OE=2t，CF=GE，∴3t﹣OC=2t﹣OG，∴3t﹣5=2t﹣3，解得：t=2．（3）假設運動t秒后，四邊形COEF是菱形，∴CF=OE=CO=5，∵OC+CF=3t=10，0E=2t=5，∴t=而t=，∵∴不存在符合條件的t．當F的速度每秒4個單位的速度，從O點出發(fā)沿折線OCB向B運動，而E點的速度不變，F(xiàn)運動到某時刻時，四邊形COEF是菱形．∴由題意，得4t﹣5=5，∴t=，∴OE=2×=5，∴CF=CO=EO=5，∴當t=時，四邊形COEF是菱形．改變后F的速度為：10÷=46．如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（12，0），點D的坐標為（8，4），動點E從點A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個單位的速度移動；同時動點F從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個單位的速度向點D移動．當點F與點D重合時，E、F兩點同時停止移動．設點E移動時間為t秒．（1）求當t為何值時，三點C、E、F在同一直線上；（2）設順次連接OCFE，設這個封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍；（3）求當t為何值時，以O、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？解答：解：（1）當三點C、E、F在同一直線上時，△EAF∽△EOC，則可得：解得t=2即當t=2時，三點C、E、F在同一直線上（2）由已知得S=S△EAF+S梯形AOCF=+=+4t+24自變量t的取值范圍為0＜t≤4；（3）分3種情況：當OF=EF時，AO=EA，則t=4當OF=OE時，OF2=OE2，則（4+t）2=42+4t2解得t=當EF=OE時，EF2=OE2，則（4+t）2=t2+4t2解得t=所以t的值為：4或或．7．如圖，已知A，B兩點坐標分別為（28，0）和（0，28），動點P從A開始在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動．動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E，F(xiàn)，連接FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積；（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（3）當梯形OPFE的面積等于△APF的面積時，求線段PF的長．解答：解：（1）由題意，當t=1s時，P點坐標為（25，0），E（0，1），根據(jù)A，B坐標已知可求出直線AB的方程l：x+y=28，由圖形可知點F與點E的縱坐標都為1，把y=1代入x+y=28中，解得x=27，所以F（27，1），梯形OPFE的面積S=（EF+OP）×OE=26，∴當t=1時，梯形面積是26；（2）設t=t0時，由圖可知P（28﹣3t0，0），E（0，t0），F(xiàn)（28﹣t0，t），則梯形OPFE的面積s=×（EF+OP）×OE=×（28﹣t0+28﹣3t0）×t0=﹣2（t0﹣7）2+98，當t0=7時s有最大值，則最大值為98，當t=7時，梯形OPFE的面積最大，最大為98；（3）由題梯形OPFE的面積等于△APF的面積，則有S△APF=×AP×h=×（3t）×t，由（2）知道梯形OPFE的面積的表達式，可得：﹣2（t﹣7）2+98=×（3t）×t，即t=8，t=0（舍），此時P（4，0），F(xiàn)（20，8），∴PF=8．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知直線AB：y=﹣x+3分別與x軸、y軸分別交于點A、點B．動點P、Q分別從O、A同時出發(fā)，其中點P以每秒1個點位長度的速度沿OA方向向A點勻速運動，到達A點后立即以原速度沿AO返向；點Q以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿A﹣B﹣O方向向O點勻速運動．當點Q到達點O時，P、Q兩點同時停止運動．設運動時間為t（秒）．（1）求點A與點B的坐標；（2）如圖1，在某一時刻將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處，求此時△APQ的面積；（3）若D為y軸上一點，在點P從O向A運動的過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點坐標；若不存在，請說明理由；（4）如圖2，在P、Q兩點運動過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點E，交折線QB﹣BO﹣OP于點F．問：是否存在某一時刻t，使EF恰好經(jīng)過原點O？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．解答：解：（1）令y=﹣x+3=0，解得x=4，∴點A的坐標為（4，0）；令x=0，得y=﹣×0+3=3，∴點B的坐標為：（0，3）；（2）由題意知，此時△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，此時△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4﹣t∴即：解得：AQ=t=，QP=，∴S△APQ=AQ?PQ=××=；（3）存在，有以下兩種情況①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．（4）連接OQ，并過點Q作QG⊥y軸y于G．①當P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AB∴t=當點Q由點B向點O勻速運動，即5＜t＜8時，△OPQ始終是等腰直角三角形，那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經(jīng)過原點O，所以5＜t＜8時也符合條件．綜上①、②、③所述，所有符合條件的t的值是t=5≤t＜8；②連接OQ，并過點Q作QG⊥y軸y于G．當P由A向O運動時，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，QG=（5﹣t），OG=3﹣（5﹣t）在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=[（5﹣t）]2+[3﹣（5﹣t）]2∴t=59．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（30，0），B（24，6），C（8，6）．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒3個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒2個單位．當這兩點有一點達到自己的終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t（秒）．（1）當點Q在OC上運動時，試求點Q的坐標；（用t表示）（2）當點Q在CB上運動時；①當t為何值時，四邊形OPQC為等腰梯形？②是否存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．解答：解：（1）設直線OC的方程為y=kx，把C（8，6）代入方程得：k=，所以直線OC的方程為y=x，設Q（m，m），∵OQ=2t，根據(jù)勾股定理得m2+（m）2=4t2，∵m＞0，t＞0，∴m=t，m=t，則Q坐標為（t，t）；（2）①當點Q在CB上運動時，CQ=2t﹣10，從而點Q（2t﹣2，6），P（3t，0），當四邊形OPQC為等腰梯形時，OD=EP=8，∴8+2t﹣10+8=3t，解得t=6（秒），則當t=6秒時，四邊形OPQC為等腰梯形；②若存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形，則EP=FA=6，∴3t﹣（2t﹣2）=6，解得t=4（秒），而，解得5≤t≤10，t=4不屬于此范圍，所以假設錯誤，則不存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形．10．如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD的頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點D在x軸的負半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直線AB的解析式；（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿著線段AB向終點B運動；同時動點Q從點D出發(fā)，以每秒4個單位長的速度沿著線段DA終點A運動，過點Q作QH⊥AB，垂足為點H，當一點到達終點時，另一的也隨之停止運動．設線段朋的長度為y，點P運動時間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（請直接寫出自變量t的取值范圍）（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對應線段為A’P，當t為何值時，A’P∥CD，并通過計算說明，此時以為半徑的ΘP與直線QH的位置關(guān)系．解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠C=∠CDB，∴BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∴AD=AB=10，在△BDO中，設OD=a，則OB=3a，在Rt△ABO中，（10﹣a）2+（3a）2=102，∴a=2，a=0（舍去），∴點A、B的坐標分別是（8，0），（0，6），設直線AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=﹣，b=6，∴直線AB的解析式是y=﹣x+6．（2）由題意得：DQ=4t，AQ=10﹣4t，AP=5t，cos∠PAO===，在Rt△AQH中，=，∴AH=（10﹣4t），當P與H重合時，cos∠QAH=cos∠QAP===，解得：t=，①0≤t＜，y=PH=AH﹣AP=（10﹣4t）﹣5t=t+8；②＜t≤2，y=AP﹣AQ=T﹣8；綜合上述：求得的解析式是．（3）如圖1，當0≤t＜時，延長A′P與x軸交于點K，∵A′P∥CD，∴∠AKP=90°，在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，QK=AQ﹣AK=10﹣4t﹣4t=10﹣8t，在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，∴AP=5t，tan∠QA′K===，∴t=，此時，y=﹣×+8=，此時等于⊙P的半徑，所以⊙P和直線相切；當＜t≤2時，點A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點K，同理可求得：KQ=8t﹣10，sin∠A′=sin∠BAC==，∴t=，此時y=×﹣8=＞，所以⊙P與直線相離．11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；探究2：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．解答：解：如圖，（1）過G點作GM⊥BC于M，∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G為AB中點∴GM=（1分）又∵G，F(xiàn)分別為AB，AC的中點∴GF=BC=2（2分）∴S梯形DEFG=（2）×=6∴等腰梯形DEFG的面積為6（3分）（2）①能為菱形（4分）如圖由BG∥DG′，GG′∥BC∴四邊形BDG′G是平行四邊形（6分）當BD=BG=AB=2時，四邊形BDG′G為菱形此時可求得x=2，∴當x=2秒時，四邊形BDG′G為菱形（8分）②分兩種情況1、當0≤x＜時，方法一：∵GM=，∴S?BDG′G=∴重疊部分的面積為y=6﹣∴當0≤x＜時，y與x的關(guān)系式為y=6﹣（10分）方法二：當0≤x＜時，∵FG′=2﹣x，DC=4﹣x，GM=∴重疊部分的面積為y=（10分）2、當2時，設FC與DG′交于點P，則∠PDC=∠PCD=45°∴∠CPD=90°，PC=PD作PQ⊥DC于Q，則PQ=DQ=QC=∴重疊部分的面積為y=××（4﹣x）=x2﹣2x+8（12分）12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止．（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由等腰直角三角形變化為等腰梯形；（2）設當?shù)妊苯侨切蜳MN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當①x=4（s），②x=8（s）時，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．解答：解：（1）等腰直角△PMN，∠DAB=45°，∴∠PNM=∠DAB=45°，∴∠AEN=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，如圖②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，∴四邊形DENA是等腰梯形，故答案為：等腰直角三角，等腰梯．（2）可分為以下兩種情況：①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖①），此時AN=x（cm），過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，∴EH=x，∴y=S△ANE=AN?EH=x?x=x2，②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖②），此時，AN=x（cm），可求得CE=BN=10﹣x，DE=4﹣（10﹣x）=x﹣6，過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，則AF=BG，DF=AF=（10﹣4）=3，∴y=S梯形ANED=（x﹣6+x）×3=3x﹣9．答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=x2（0＜x≤6）或y=3x﹣9（6＜x≤10）．（3）①當x=4（s）時，y==4，②當x=8（s）時，y=3x﹣9=3×8﹣9=15，答：①當x=4（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm2，②當x=8（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是15cm2．13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，點P是AD上一動點，點Q是線段AB上一動點且AP=AQ，在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形PQMN，點N在CD上．設AQ=x，矩形PQMN的面積為y．（1）求等腰梯形ABCD的面積；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當x為何值時，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面積最大時，將△PQN沿NQ翻折，點P的對應點為點P’，請判斷此時△BMP’的形狀．解答：解：（1）過C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，∵DC∥AB，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，∴△CEB是等邊三角形，∴BE=CE=2，∴AB=4，BF=EF=1，由勾股定理得：CF=，．（2）如圖（2）：由題知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ為等邊三角形，則PQ=x，∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，∴∠DPN=30°，又∠D=120°，∴∠DNP=30°，則DP=DN=2﹣x，作DE⊥PN于點E，在Rt△DPE中，DP=2﹣x，∠DPE=30°，則，∵DP=DN，DE⊥PN，則PN=，，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣x2+2x．（3）由題意得，PQ=PN，∴，，∴當x=3﹣時，矩形PQMN是正方形．（4），當x=1時，，∠AQP=60°，∠PQN=60°，∠NQB=60°，∴P′在AB上，又QP=QP′=1，∴AP′=2，MP′=P′Q=1，BP′=2，過M作MH⊥AB于H，連接QN，∵MN=2，MQ=，∴由勾股定理得：QN=2，∠NQM=30°，∴∠MQB=60°﹣30°=30°，∴MH=，QH=，∴BH=4﹣1﹣=，由勾股定理得：BM=，在Rt△BMQ中，，∴△BMP′為直角三角形．14．如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點的坐標是（﹣1，5）．（1）直接寫出下列各點坐標．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留π）；（3）直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點A的函數(shù)關(guān)系式；（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點都在拋物線上？若能，請說理由；若不能，將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試確定m的值，使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時經(jīng)過A，B，C，D四點．解答：解：（1）A（﹣4，1）；C（﹣9，5）；D（﹣6，1）；（2）形成的幾何體的表面積為：2π×4×5+2π×4×2=56π；（3）設所求的函數(shù)解析式為y=（x﹣h）2，∴（﹣4﹣h）2=1，h=﹣5或﹣3，∴y=（x+5）2，y=（x+3）2；（4）把等腰梯形以y軸為對稱軸放在平面直角坐標系中，點A的橫坐標為1，縱坐標為1，那么點B的坐標為（4，5），不在y=x2上，所以無論如何平移，都不能使得A，B，C，D四點都在拋物線上；設y=mx2，點A（1，a），點B（4，a+4），∴m=a，16m=a+4，解得m=，∴y=x2．15．如圖，在平面直角坐標系中，A、C、D的坐標分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點M是AD的中點．（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；（2）動點P、Q分別在線段OC和MC上運動，且保持∠MPQ=60°不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中：試探究當點P從點O首次運動到點E（3，0）時，Q點運動的路徑長．解答：解：（1）∵A（1，2）、D（3，2），∴AD∥OC，由兩點間的距離公式可以求出OA=，DC=，∴OA=DC．∵AD=2，OC=4，∴AD≠OC∴梯形AOCD是等腰梯形；（2）∵M是AD的中點，∴AM=DM=1，∴M（2，2），由兩點間的距離公式可以求出MO=MC=4．∵OC=4，∴OM=OC=MC=4∴△OMC是等邊三角形，∴∠MOP=∠QCP=60°．∵∠MPQ=60°，∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°∴∠2=∠3，∴△OMP∽△CPQ∴∴（0≤x≤4）；（3）∵，∴，∴x=2時，y最大=3即MQ=3．當OP=3時，x=1，y=即，MQ=，∴當0≤x≤2時，Q點運動路徑長為4﹣3=1當2＜x≤3時，Q點運動路徑長為∴當P點從O點運動到點E（3，0）時，Q點運動的路徑長為個單位．16．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內(nèi)．（1）求點E的坐標；（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連接PN．設PE=x．△PMN的面積為S．①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由．若存在，求出面積的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）．設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數(shù)關(guān)系式．解答：解：（1）如圖1，ED⊥OD與D點，∵AO=4，E為AO的中點，∴AE=2，∵∠AOC=60°∴ED=1，OD=∴E（1，）；（2）①當0≤x≤1時，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，過點P作PH⊥MN，垂足為H，由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°由E、F是AB、DC邊的中點得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，∴PM=EG=在Rt△PMH中，sin∠PMH=，所以PH=PM?sin30°=∴S△PMN=PH?MN=×4×=，當1＜x≤4時，S=﹣，②若0≤x≤1時，S=，若1＜x≤4時，S=﹣∵﹣＜0，∴S隨X的增大而減小，∴S不存在最大值，∴綜上所述，當0≤x≤1時，S存在最大值，最大值為；（3）當0≤t≤2時，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）×=（如圖1），當2＜x≤4時，y=（E′H′+D′G′）?D′E′=×（4﹣t+5﹣t）×=﹣t+，當4＜x≤5時，DC=5﹣t，DE=∴y=DC?DE?DC=（5﹣t）××（5﹣t）=（5﹣t）2．17．如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O為坐標原點，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，將△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限的點C處，已知B點坐標是；一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、C、A三個點．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直線OC上是否存在點Q，使得△AQB的周長最?。咳舸嬖谡埱蟪鯭點的坐標，若不存在請說明理由；（3）若拋物線的對稱軸交OB于點D，設P為線段DB上一點，過P點作PM∥y軸交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請求出P點坐標，若不存在請說明理由．解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C點坐標為（，3）．∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點，∴，解得；∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+2x．（2）作A關(guān)于OC的對稱點A′，BA′交OC于點Q．∵B點坐標是∴tan∠BOA==∴∠BOA=30°∴∠BOC=30°，∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，∴OA′與y軸的夾角是30°．又∵OA=OA′=2，∴A′的坐標是：（﹣，3）設直線A′B的解析式是y=kx+b根據(jù)題意得：則直線A′B的解析式是y=﹣x+．直線OC的解析式是：y=x．解方程組：解得：故Q的坐標是：（，）．（3）存在．因為y=﹣x2+2x的頂點坐標為（，3），即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設PN=t；因為∠BOA=30°，所以ON=t，∴P（t，t）；作PF⊥CD，垂足為F，ME⊥CD，垂足為E；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：F（，t），D（，1）；要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=FD，即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1（舍），∴P點坐標為（，），∴存在滿足條件的P點，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點坐標為（，）．18．如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標系．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設（1）中的拋物線與BC交于點E，P是該拋物線對稱軸上的一個動點（如圖2）：①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達式；②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標，并直接寫出相應的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請說明理由．解答：解：（1）過點C作CF⊥AD于F，由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，∴CF=，∴C（3，3），D（4，0），∴，解得：a=﹣1，b=4，c=0，∴所求的拋物線為y=﹣x2+4x；（2）①連接AE交OB于點G，把y=3代入y=﹣x2+4x，得：﹣x2+4x=3，解得：x1=1，x2=3，∴E（1，3），∴BE=1=OA，∵BE∥OA，∴四邊形AOEB是平行四邊形，∴當PC過點G（G為AOEB兩條對角線的交點）時，PC把四邊形AOEB的面積平分，∵OG=OB=，∴G（0，），∴C（3，3），∴直線CG為：，∴即直線PC為：；②存在滿足條件的點P，由（1）知拋物線的對稱軸為x=2，設P（2，y），對稱軸交BC于點M，交x軸于點N，則M（2，3），N（2，0），∴PB2=PM2+BM2=（y﹣3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10，有三種可能，若∠PBA=90°，則PA2=PB2+AB2，∴y2+9=（y﹣3）2+4+10，解得y=，∴P（2，），∴AP==，此時△PAB外接圓的面積是：π×（×）2=π，若∠PAB=90°，則PB2=PA2+AB2，∴（y﹣3）2+4=y2+9+10，解得：y=﹣1，∴P（2，﹣1），∴BP=2，此時△PAB外接圓的面積是：5π，若∠APB=90°，則PB2+PA2=AB2，∴（y﹣3）2+4+y2+9=10，此方程無實數(shù)根，∴此時滿足條件的點P不存在，綜上所述，存在滿足條件的點P，當點P（2，）時，△PAB外接圓的面積是π，當點P（2，﹣1）時，△PAB外接圓的面積是5π．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD饒A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對應點）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點的坐標；（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設移動后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x之間的關(guān)系式；（3）線段DC上是否存在點P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．解答：解：（1）C的坐標是（4，2），F(xiàn)的坐標是（﹣2，4）（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，因此DM=AM=2．因此D點的坐標是（2，2）．圖（2），當OA=x時，設DC交y軸于H，AD交GO于Q，那么DH=x﹣2．所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x﹣2．△AQO中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度為90度．可得：∠AQO=90°，又因為∠QAM=45°，因此AQ=QO=x，所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x2因此重合部分的面積y=S梯形AODH﹣S△AQO=2x﹣2﹣x2即：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P點在DC線上，設點P的坐標為（m，2）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖（1）中，B、C兩點的坐標可知：E點的坐標是（0，6），F(xiàn)點的坐標是（﹣2，4）．①當以E為頂點，EF、EP為腰時，EF=EP=2，因此（2）2=m2+（2﹣6）2，即m2+16=8，此方程無解，因此不存在這種情況．②當以F為頂點，EF、FP為腰時，EF=FP=2，因此（2）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0．當m=﹣4時，P點坐標為（﹣4，2）．PE==4=2EF，因此P、E、F在一條直線上構(gòu)不成三角形，因此此時P點的坐標應該是（0，2）．③當以P為頂點，F(xiàn)P、EP為腰，EP=PF，因此m2+（2﹣6）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m=2．那么此時P的坐標為（2，2）．綜上所述，存在符合條件的P點且坐標為（2，2）或（0，2）．20．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動．現(xiàn)點E、F同時出發(fā)，當點F到達點B時，E、F兩點同時停止運動．（1）求梯形OABC的高BG的長；（2）連接E、F并延長交OA于點D，當E點運動到幾秒時，四邊形ABED是等腰梯形；（3）動點E、F是否會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上？如果會，請直接寫出這時動點E、F運動的時間t的值；如果不會，請說明理由．解答：解：（1）根據(jù)題意，AB===6，∵2S△AOB=AB?OB=AO?BG，∴BG===4.8；（2）設當E點運動到x秒時，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，∵BC∥OA，∴，即，解得OD=，過E作EH⊥OA于H，∵四邊形ABED是等腰梯形，∴DH=AG===3.6，HG=BE=x，∴DH=10﹣﹣x﹣3.6=3.6，解得x=；（3）會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上．根據(jù)題意，OG=AO﹣AG=10﹣3.6=6.4，∴點E（6.4﹣t，4.8），∵OF=2t，∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，∴點F的坐標為（t，t）假設能在同一反比例函數(shù)圖象上，則t×t=（6.4﹣t）×4.8，整理得：2t2+5t﹣32=0，△=25﹣4×2×（﹣32）=281＞0，∴方程有解，即E、F會同時在某一反比例函數(shù)圖象上，此時，t=，因此E、F會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上，t=．21．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．（1）求⊙O的直徑；（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，BE=AD=13，∵BC=16，∴EC=3，在Rt△DCE中，由于DC=5，則DE=，所以圓的直徑為4厘米；（2）當P，Q運動t秒時，由點P，Q的運動速度為1厘米/秒和2厘米/秒，所以PD=（13﹣t）厘米，CQ=2t厘米，所以四邊形PQCD的面積為y=，即y=2t+26（0≤t≤8）；當四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ﹣PD=2CE，所以2t﹣（13﹣t）=6，解得t=，這時y四邊形PQCD=厘米2．（3）存在．若PQ與圓相切，切點G，作PH⊥BC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16﹣2t，又得到QH=QB﹣HB=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t，PQ=BQ+AP=16﹣t，根據(jù)勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2，解得t1=4+，t2=4﹣，因為4+和4﹣都在0≤t≤8內(nèi)，所以在t=（4+）秒或t=（4﹣）秒時，直線PQ與圓相切．22．如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點P從A點出發(fā)沿AD邊向點D移動，點Q自A點出發(fā)沿A→B→C的路線移動，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．（1）分別求出點Q位于AB、BC上時，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，x的值是多少？（3）在（2）的條件下，設線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點，那么OE與OF的長度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進一步探究：對任何一個梯形，當一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不需證明）解答：解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因為PQ∥DC，所以QP=AQ，當x≤12時，SAQP=x×x=x2，當x＞12時，S梯形=SABP+S平行四邊形=48+（x﹣12）×8，所以；（2）過C作CT⊥AD于T，過B作BH⊥AD于H，即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，∵BC∥AD，∴四邊形CBHT是平行四邊形，∴BC=TH=8，∵等腰梯形ABCD，∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，在△CTD和△BHA中，∴△CTD≌△BHA，∴CT=BH，DT=AH=（20﹣8）=6，由勾股定理得：CT=BH=8，S梯形=×（BC+AD）×CT=（8+20）×8=112，當線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，即48+（x﹣12）?8=56，解之得，x=13．（3）如圖所示，①過點B作BM∥PQ，由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，F(xiàn)N=AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．研究發(fā)現(xiàn)，當直線L經(jīng)過梯形中位線的中點且與較短的底（上底）相交時，它一定平分梯形的面積．23．現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．某校九年級（2）班數(shù)學興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面，進行了如下探索：（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．若∠ABC=90°，設BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小．（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供一種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．解答：解：（1）①當BC=x時，AB=CD=，y=x，即y=﹣x2+90x，當x=90時，ymax=4050答：當x=90cm時，y值最大，最大值是4050cm2．②過B、C點分別作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．設BC=x，y=（x2+360x+32400）=當x=60時，y=2700≈4676.5．答：當x=60cm時，y值最大，最大值是4676.5cm24676.5＞4050（8分）（2）正確方案：例解：當截面為半圓時，因為180=πr，所以其半徑為r=，其面積為S=π（）2≈5156.6＞4676.5，面積更大．①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．24．某校數(shù)學研究性學習小組準備設計一種高為60cm的簡易廢紙箱．如圖1，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大．（1）該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡便且易操作的三種橫截面圖形