《時(shí)間序列分析-基于Python》 課件 第1-3章 時(shí)間序列分析方法發(fā)展概述、時(shí)間序列的預(yù)處理、平穩(wěn)時(shí)間序列分析

時(shí)間序列分析方法發(fā)展概述01時(shí)間序列分析方法最早的起源時(shí)間序列分析是最早出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)分析方法。7000年前，古埃及人已定居在尼羅河兩岸。他們的生命財(cái)產(chǎn)安全與尼羅河是否泛濫密切相關(guān)。古埃及人從長(zhǎng)期的觀察中發(fā)現(xiàn)，尼羅河的泛濫是有規(guī)律的。為了研究尼羅河泛濫的規(guī)律，古埃及人發(fā)明了元旦和天的概念。他們把天狼星和太陽(yáng)同時(shí)升起的那一天稱為元旦。天黑到天明算一天。把每天尼羅河水漲落潮的規(guī)律記在竹竿上。這個(gè)竹竿上的數(shù)據(jù)就是歷史上最早的時(shí)間序列。通過對(duì)這個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期的觀察，他們發(fā)現(xiàn)每年6月中旬尼羅河開始漲潮，漲潮期大概60天，落潮期大概60天。洪水過后，土地肥沃，隨意播種就會(huì)有豐厚的收成。由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)律，使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展，解放出大批的勞動(dòng)力去從事非農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史前文明1月1日6月17日10月12月尼羅河泛濫期描述性時(shí)間序列分析象埃及人一樣，沿著時(shí)間的發(fā)展，記錄下隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，通過直觀的數(shù)據(jù)比較或繪圖觀察，尋找序列中蘊(yùn)含的發(fā)展規(guī)律，這種分析方法被稱為描述性時(shí)間序列分析。描述性時(shí)間序列分析是時(shí)間序列分析方法的萌芽。這是人類在認(rèn)知自然、改造自然的過程中發(fā)展出來的實(shí)用方法。幾乎所有的文明，都獨(dú)立的、熟練的掌握了這一方法。對(duì)于很多自然現(xiàn)象，只要人們觀察的時(shí)間足夠長(zhǎng)，就能運(yùn)用描述性時(shí)序分析發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在時(shí)間里的自然規(guī)律。根據(jù)自然規(guī)律，做恰當(dāng)?shù)恼甙才?，就能有利于社?huì)的發(fā)展和進(jìn)步。根據(jù)自然呈現(xiàn)的規(guī)律，還可以幫助人們思考為什么自然會(huì)呈現(xiàn)出這種規(guī)律，有利于人們發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律之間的因果關(guān)系。農(nóng)作物產(chǎn)量與價(jià)格序列研究利用自然規(guī)律制定利民政策案例：《史記-貨殖列傳》中記載，公元前500年左右，范蠡認(rèn)為我國(guó)農(nóng)作物生成存在“六歲穰，六歲旱，十二歲一大饑”的自然規(guī)律，提出了我國(guó)最早穩(wěn)定糧價(jià)的方法：“平糶法”。根據(jù)波動(dòng)頻率，尋找自然規(guī)律之間的因果關(guān)系歐洲人在1500年左右，也發(fā)現(xiàn)了農(nóng)作物生產(chǎn)與價(jià)格序列具有12年左右的周期。他們關(guān)心的是為什么有這個(gè)周期，赫歇爾根據(jù)施瓦貝發(fā)現(xiàn)的太陽(yáng)黑子序列規(guī)律，揭示了太陽(yáng)黑子數(shù)量影響降雨量，降雨量影響農(nóng)作物產(chǎn)量的規(guī)律。時(shí)間序列分析方法發(fā)展概述現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法萌芽期19世紀(jì)末-20世紀(jì)初，是現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法萌芽期。我們課本上學(xué)的主要方法，都是從這個(gè)時(shí)期開始產(chǎn)生的。這個(gè)時(shí)期產(chǎn)生了兩種不同的時(shí)序分析方向一個(gè)方向是由外向內(nèi)的分析視角產(chǎn)生的方法是與確定性因素分解相關(guān)的方法一個(gè)方向是由內(nèi)向外的分析視角產(chǎn)生的方法是時(shí)域分析方法確定性因素分解方法因素分解方法（TimeSeriesDecomposition）由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.M.Persons于1919年在他的論文“商業(yè)環(huán)境的指標(biāo)（IndicesofBusinessConditions）”一文中首次使用。因素分解方法認(rèn)為所有的序列波動(dòng)都可以歸納為受到如下四大類因素的綜合影響：長(zhǎng)期趨勢(shì)（Trend）。序列呈現(xiàn)出明顯的長(zhǎng)期遞增或遞減的變化趨勢(shì)。循環(huán)波動(dòng)（Circle）。序列呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動(dòng)。循環(huán)周期可長(zhǎng)可短，不一定是固定的。季節(jié)性變化（Season）。序列呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定周期波動(dòng)。隨機(jī)波動(dòng)(Immediate)。除了長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)波動(dòng)和季節(jié)性變化之外，其他不能用確定性因素解釋的序列波動(dòng)，都屬于隨機(jī)波動(dòng)。統(tǒng)計(jì)學(xué)家在進(jìn)行確定性時(shí)間序列分析時(shí)，假定序列會(huì)受到這四個(gè)因素中的全部或部分的影響，導(dǎo)致序列呈現(xiàn)出不同的波動(dòng)特征。換言之，任何一個(gè)時(shí)間序列都可以用這四個(gè)因素的某個(gè)函數(shù)進(jìn)行擬合常用模型加法模型：乘法模型：確定性因素分解方法的發(fā)展指數(shù)平滑預(yù)測(cè)方法簡(jiǎn)單指數(shù)平滑（平穩(wěn)序列預(yù)測(cè)）Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑（趨勢(shì)序列預(yù)測(cè)）HoltWinters三參數(shù)指數(shù)平滑（周期序列預(yù)測(cè)）X11季節(jié)調(diào)整模型它是第二次世界大戰(zhàn)之后，美國(guó)人口普查局委托統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行的基于計(jì)算機(jī)自動(dòng)進(jìn)行的時(shí)間序列因素分解方法。1954年，X0版本面世，隨后十多年陸續(xù)推出新的改進(jìn)版本。1965年，推出可以處理任意趨勢(shì)且沒有時(shí)間滯后的成熟版本X11。X12-ARIMA模型1975年，加拿大統(tǒng)計(jì)局將ARIMA模型引入X11模型。借助ARIMA模型可以對(duì)序列進(jìn)行向后預(yù)測(cè)擴(kuò)充數(shù)據(jù)，以保證擬合數(shù)據(jù)的完整性，彌補(bǔ)了中心移動(dòng)平均方法的缺陷。1998年，美國(guó)人口普查局開發(fā)了X12-ARIMA模型。它的改進(jìn)是將一些特殊因素作為干預(yù)變量引入研究。這些干預(yù)變量包括：特殊節(jié)假日、固定季節(jié)因素、工作日因素、交易日因素、閏年因素，以及研究人員自行定義的任意自變量。X13-ARIMA-Seats模型2006年美國(guó)人口普查局再次推出更新版本X13-ARIMA-Seats，它是在X12-ARIMA的基礎(chǔ)上，增加了seats季節(jié)調(diào)整方法。2017年

Facebook基于時(shí)間序列分解方法結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)算法，開發(fā)了時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型Prophet頻域分析方法確定性因素分解方法還有一個(gè)引申的發(fā)展方向是隨機(jī)性因素分解方法，我們也稱為頻域分析方法。頻域分析方法也稱為頻譜分析或譜分析方法。它假定任何一種無趨勢(shì)的時(shí)間序列都可以分解為若干不同頻率的周期波動(dòng)，借助傅里葉變換，用正弦、余弦之后來逼近某個(gè)函數(shù)。20世紀(jì)60年代，Burg在分析地震信號(hào)時(shí)提出最大熵譜估計(jì)理論（FFT算法）。該理論克服了傳統(tǒng)譜分析所固有的分辨率不高和頻率漏泄等缺點(diǎn)，使譜分析方法進(jìn)入一個(gè)新階段，稱為現(xiàn)代譜分析階段。譜分析方法具有很高的數(shù)學(xué)門檻，且需要的數(shù)據(jù)量與計(jì)算量都非常大，且計(jì)算結(jié)果不易進(jìn)行直觀解釋。這使得譜分析方法的使用主要局限在某些特殊領(lǐng)域，比如：地震研究領(lǐng)域、電子信號(hào)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)研究領(lǐng)域、海洋學(xué)、天文學(xué)、軍事領(lǐng)域等等。隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展，我們獲取的數(shù)據(jù)頻率越來越高，數(shù)據(jù)量越來越大。傳統(tǒng)的時(shí)域分析方法受到挑戰(zhàn)，譜分析方法在高頻數(shù)據(jù)場(chǎng)合越來越受到重視和使用。時(shí)域分析方法的萌芽時(shí)域分析方法主要是從序列自相關(guān)的角度揭示時(shí)間序列的發(fā)展規(guī)律。目前時(shí)域分析方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為現(xiàn)代時(shí)間序列分析的主流方法。時(shí)域分析方法的萌芽

GeorgeUdnyYule"OnaMethodofInvestigatingPeriodicitiesinDisturbedSeries,withSpecialReferencetoWolfer'sSunspotNumbers"(1927)

提出了AR模型SirGilbertThomasWalker"Onperiodicity".QuarterlyJournaloftheRoyalMeteorologicalSociety.51(216):337–346.(1925)使用了MA模型時(shí)域分析方法的理論基礎(chǔ)Wold分解定理HermanWold,瑞典人。1938年在博士論文AstudyintheAnalysisofStationarytimeSeries中提出了Wold分解定理Wold分解定理證明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和Wold是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈魂，是構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。Cramer分解定理HaraldCramer,瑞典人，斯德哥爾摩大學(xué)教授，Wold的指導(dǎo)教師，著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家和保險(xiǎn)精算學(xué)家。Cramer分解定理（1962年）是Wold分解定理的理論推廣，它是非平穩(wěn)序列的分解理論，是構(gòu)造ARIMA模型的理論基礎(chǔ)。時(shí)域分析方法的核心G.E.P.Box和G.M.Jenkins1970年，他們出版了《TimeSeriesAnalysisForecastingandControl》一書。在這本書中，他們將前人的知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理和分析，構(gòu)造了ARIMA模型，并系統(tǒng)地闡述了ARIMA模型的識(shí)別、估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)的原理及方法。這些知識(shí)現(xiàn)在被稱為經(jīng)典時(shí)間序列分析方法，是時(shí)域分析方法的核心內(nèi)容。為了記念Box和Jenkins對(duì)時(shí)間序列發(fā)展的特殊貢獻(xiàn)，現(xiàn)在人們也常把ARIMA模型稱為Box-Jenkins模型。ARIMA模型的實(shí)質(zhì)單變量、同方差場(chǎng)合的線性模型時(shí)域分析方法的完善階段--異方差場(chǎng)合1982年，Engle根據(jù)1958年2季度至1977年2季度的數(shù)據(jù)，研究英國(guó)因工資上漲導(dǎo)致通貨膨脹問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在方差齊性的假定下，很容易預(yù)測(cè)出1977年3季度物價(jià)指數(shù)的置信區(qū)間。但是Engle以經(jīng)濟(jì)學(xué)家的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為這個(gè)置信區(qū)間偏小，與實(shí)際情況可能不符。因?yàn)槲飪r(jià)指數(shù)最近4年的方差是過去20年方差的10倍。根據(jù)經(jīng)濟(jì)變量通常具有集群效應(yīng)的特征，1977年3季度延續(xù)大幅波動(dòng)的可能性更大。為刻劃通貨膨脹率序列的波動(dòng)性，Engle構(gòu)造了ARCH（Autoregressiveconditionalhetero-scedasticity)模型。與無條件方差比，條件異方差模型能更準(zhǔn)確地?cái)M合出序列即期波動(dòng)的特征。之后，有很多人對(duì)ARCH模型進(jìn)行了拓展和衍生。比較重要的拓展模型是Bollerslov在1986年提出的GARCH模型。GARCH的衍生模型數(shù)不勝數(shù)，常用的有：EGARCHIGARCHGARCH-MTGARCHRobertF.Engle2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善階段--多元時(shí)序場(chǎng)合（單一回歸模型）1930-1970年代多元時(shí)序回歸模型早就在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域廣泛使用。1968年，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家Granger發(fā)現(xiàn)多元非平穩(wěn)序列構(gòu)建回歸模型，容易出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。而且在1974年進(jìn)行了非平穩(wěn)序列偽回歸的隨機(jī)模擬試驗(yàn)。模擬檢驗(yàn)非常有說服力地證明在非平穩(wěn)的場(chǎng)合，回歸方程的顯著性檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，偽回歸顯著成立。這導(dǎo)致多元非平穩(wěn)序列的回歸分析不可以隨便做。1970年，Box&Jenkins提出ARIMAX模型，用于多元平穩(wěn)序列建立回歸模型。1975年，Box&Tiao，首次使用干預(yù)模型分析經(jīng)濟(jì)政策（定性數(shù)據(jù)）對(duì)空氣污染控制所帶來的影響。發(fā)展出了專門評(píng)估特殊事件對(duì)序列產(chǎn)生的影響大小的分析方法，這種方法統(tǒng)稱為干預(yù)分析。1987年，Granger提出了協(xié)整的概念，解決了多變量回歸無法判斷是否存在偽回歸的問題。為多變量回歸徹底松綁。

Granger因此獲得2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Granger還有一個(gè)重要貢獻(xiàn)：多元時(shí)序的Granger因果檢驗(yàn)。Granger2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善階段--多元時(shí)序場(chǎng)合（多元方程組模型）

SYSLINE模型（聯(lián)立線性方程組模型）是1940年代興起的，是以公認(rèn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)說為基礎(chǔ)，根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中實(shí)際數(shù)據(jù)所作的經(jīng)驗(yàn)性估算，建立宏觀經(jīng)濟(jì)體制的數(shù)學(xué)模型，并用其分析經(jīng)濟(jì)波動(dòng)和經(jīng)濟(jì)政策，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)，為政策提供者提供政策決策參考的模型。在sysline模型領(lǐng)域貢獻(xiàn)最大的是L.R.Klein。KleinI模型

：Klein以美國(guó)1920-1941年的年度宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)為樣本，建立旨在分析美國(guó)在兩次世界大戰(zhàn)之間的經(jīng)濟(jì)發(fā)展的小型宏觀經(jīng)濟(jì)模型。該模型非常簡(jiǎn)單只有3個(gè)行為方程，但是它在宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位。以后的宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型大都是在此基礎(chǔ)上擴(kuò)充、改進(jìn)和發(fā)展起來的。以至于薩繆爾森認(rèn)為“美國(guó)的許多模型，剝到最后，發(fā)現(xiàn)都有一個(gè)小的Klein模型”。Klein∥模型：二戰(zhàn)以后，由于美國(guó)經(jīng)濟(jì)環(huán)境的改變以及美國(guó)政府對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)的逐步干預(yù)，KleinI模型不再適合美國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀。所以Klein以1953-1984年美國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)為樣本，基于凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，建立了Klein∥模型。在六十年代后期，Klein建立了賓夕法尼亞大學(xué)沃頓商學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)預(yù)測(cè)模型，該模型在分析商業(yè)條件方面取得了很好的聲譽(yù)，用于預(yù)測(cè)包括國(guó)家產(chǎn)品，出口，投資和消費(fèi)在內(nèi)的波動(dòng)，研究稅收變化對(duì)其影響。Klein因?yàn)樗吭降呢暙I(xiàn)獲得1980年諾獎(jiǎng)Klein1980年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善階段--多元時(shí)序場(chǎng)合（VAR模型）1980年，Sims研究貨幣政策及其影響時(shí)，提出向量自回歸模型（VAR模型）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，但它不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。在模型的每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變量的滯后項(xiàng)進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系。VAR結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔明了，預(yù)測(cè)精度高。還可以進(jìn)行協(xié)整關(guān)系分析，脈沖響應(yīng)分析和方差分解研究。2011年，Sims因VAR模型獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Sims2011年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善階段--非線性場(chǎng)合Granger和Andersen在1978年提出了雙線性模型HowellTong于1978年提出了門限自回歸模型Priestley于1980年提出了狀態(tài)相依模型Hamilton于1989年提出了馬爾可夫轉(zhuǎn)移模型Lewis和Stevens于1991年提出了多元適應(yīng)回歸樣條方法Carlin等人于1992年提出了非線性狀態(tài)空間建模的方法Chen和Tsay于1993年提出了非線性可加自回歸模型現(xiàn)在基于機(jī)器學(xué)習(xí),有更多的非線性方法被創(chuàng)造出來。非線性是一個(gè)異常廣闊的研究空間,在非線性的模型構(gòu)造、參數(shù)估計(jì)、模型檢驗(yàn)等各方面都有大量的研究工作需要完成。湯家豪（HowellTong）教材與軟件教材時(shí)間序列分析——基于Python，王燕編著，中國(guó)人民大學(xué)出版社。軟件Python語(yǔ)言是由荷蘭數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)研究學(xué)會(huì)的Rossum于1990年開發(fā)的一個(gè)語(yǔ)法簡(jiǎn)潔，功能強(qiáng)大，代碼編寫效率高，可移植性、可擴(kuò)展性強(qiáng)的開源軟件。Python語(yǔ)言的這些優(yōu)點(diǎn)，使得它成為數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的重要工具。時(shí)間序列分析是數(shù)據(jù)分析常用的方法之一，為了便于數(shù)據(jù)分析人員在同一個(gè)軟件平臺(tái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，本教材使用Python語(yǔ)言作為案例演示工具。THANKS01時(shí)間序列的預(yù)處理02本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)0403概率分布概率分布的意義隨機(jī)變量族的統(tǒng)計(jì)特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定時(shí)間序列概率分布族的定義實(shí)際應(yīng)用的局限性

在實(shí)際應(yīng)用中,要得到序列的聯(lián)合概率分布幾乎是不可能的,而且聯(lián)合概率分布通常涉及非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,這些原因?qū)е挛覀兒苌僦苯邮褂寐?lián)合概率分布進(jìn)行時(shí)間序列分析特征統(tǒng)計(jì)量均值方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)。寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)量來定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)定義嚴(yán)平穩(wěn)滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列

寬平穩(wěn)滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無關(guān)延遲自協(xié)方差函數(shù)延遲自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)規(guī)范性對(duì)稱性非負(fù)定性

非唯一性

一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但一個(gè)自相關(guān)函數(shù)未必唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：有限個(gè)變量，每個(gè)變量有多個(gè)觀察值時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：可列多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察平穩(wěn)性的重大意義在平穩(wěn)序列場(chǎng)合，序列的均值等于常數(shù)，這意味著原本含有可列多個(gè)隨機(jī)變量的均值序列變成了只含有一個(gè)變量的常數(shù)序列。原本每個(gè)隨機(jī)變量的均值（方差，自相關(guān)系數(shù)）只能依靠唯一的一個(gè)樣本觀察值去估計(jì)，現(xiàn)在由于平穩(wěn)性，每一個(gè)統(tǒng)計(jì)量都將擁有大量的樣本觀察值。這極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡(jiǎn)化了時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了對(duì)特征統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)精度嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)03序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)方法方法一：圖檢驗(yàn)（本章介紹）時(shí)序圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖檢驗(yàn)

方法二：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（第四章介紹）單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)性的時(shí)序圖檢驗(yàn)時(shí)序圖檢驗(yàn)原理：平穩(wěn)時(shí)間序列具有常數(shù)均值和方差。這意味著平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界的特點(diǎn)。時(shí)序圖檢驗(yàn)技巧如果序列的時(shí)序圖顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)性或周期性，那該序列通常就不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，很多非平穩(wěn)序列，通過查看它的時(shí)序圖就可以直接識(shí)別出來。例2-1趨勢(shì)序列非平穩(wěn)繪制1978-2012年我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比例序列的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列的平穩(wěn)性。該序列時(shí)序圖清晰顯示：序列有明顯的遞增趨勢(shì)特征，所以是非平穩(wěn)序列。周期序列的平穩(wěn)性具有周期特征的序列平穩(wěn)性識(shí)別是困難的。理論上，如果周期波動(dòng)的振幅和頻率不隨時(shí)間的變化而變化，通常序列是穩(wěn)定的。

比如通信領(lǐng)域常用的隨機(jī)相位信號(hào)函數(shù)是平穩(wěn)序列其中：A為振幅，

為頻率，

為起始相位。A和

為任意常數(shù)，

。如果

，振幅和頻率會(huì)隨著時(shí)間變化而變化，那么該序列就是非平穩(wěn)序列。周期效應(yīng)的平穩(wěn)性演示周期序列的平穩(wěn)性識(shí)別無論是圖識(shí)別方法還是將來要學(xué)習(xí)的單位根檢驗(yàn)方法都無法準(zhǔn)確識(shí)別出具有周期特征的序列的平穩(wěn)性。通常具有周期特征的序列，在實(shí)務(wù)處理上，不嚴(yán)格區(qū)分它到底是平穩(wěn)序列還是非平穩(wěn)序列，都類似于非平穩(wěn)序列一樣處理——通過差分的方法提取周期特征，然后對(duì)差分后的序列建模。所以實(shí)務(wù)中，如果序列具有顯著的周期特征可以視為非平穩(wěn)序列處理。例2-2繪制1970—1976年加拿大Coppermine地區(qū)月度降雨量序列的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列平穩(wěn)性該序列時(shí)序圖清晰顯示：序列有明顯的周期特征，可以視為非平穩(wěn)序列。例2-3繪制1915-2004年澳大利亞自殺率序列（每10萬人自殺人口數(shù)）的時(shí)序圖，根據(jù)時(shí)序圖判斷該序列的平穩(wěn)性。該序列時(shí)序圖顯示：從1915年開始澳大利亞每年的自殺率長(zhǎng)期圍繞在10萬分之3附近波動(dòng)，而且波動(dòng)范圍長(zhǎng)期在10萬分之2至10萬分之4之間，這呈現(xiàn)出平穩(wěn)序列的特征。但是看序列的最后20年的波動(dòng)，自殺率又是一路遞減，這是有趨勢(shì)嗎？如果是趨勢(shì)，這就是非平穩(wěn)特征。這時(shí)，通過時(shí)序圖判斷序列的平穩(wěn)性有點(diǎn)困難。這時(shí)，可以借助序列自相關(guān)圖的性質(zhì)進(jìn)一步輔助識(shí)別。自相關(guān)圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖是一個(gè)平面二維坐標(biāo)懸垂線圖，橫坐標(biāo)表示延遲時(shí)期數(shù)，縱坐標(biāo)表示自相關(guān)系數(shù)，懸垂線的長(zhǎng)度表示自相關(guān)系數(shù)的大小.自相關(guān)圖檢驗(yàn)技巧在下一章，我們會(huì)證明平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性.這就是我們利用自相關(guān)圖進(jìn)行平穩(wěn)性判別的標(biāo)準(zhǔn).該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲階數(shù)k的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零;而非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減向零的速度通常比較慢。例2.1續(xù)繪制1978-2012年我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比例序列的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的三角對(duì)稱性，這是有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列常見的自相關(guān)圖特征.根據(jù)該序列自相關(guān)圖我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn)，且可能具有長(zhǎng)期趨勢(shì)這和該序列時(shí)序圖呈現(xiàn)的單調(diào)遞增性是一致的.例2.2續(xù)繪制1970—1976年加拿大Coppermine地區(qū)月度降雨量序列的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)明顯的三角函數(shù)波動(dòng)規(guī)律.這是具有周期性變化的非平穩(wěn)序列的一種典型的自相關(guān)圖特征，而且這種周期性幾乎不衰減根據(jù)自相關(guān)圖的長(zhǎng)期相關(guān)性和余弦變化特征，我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn)且具有穩(wěn)定的周期變化規(guī)律.這和該序列時(shí)序圖呈現(xiàn)的季節(jié)性特征是一致的.例2.3續(xù)繪制1915-2004年澳大利亞自殺率序列（每10萬人自殺人口數(shù)）的自相關(guān)圖該序列自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的倒三角特征,這是具有單調(diào)趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列的典型特征.根據(jù)自相關(guān)圖特征,我們可以認(rèn)為該序列非平穩(wěn),且具有長(zhǎng)期趨勢(shì).本章內(nèi)容平穩(wěn)序列的定義0102平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)0403純隨機(jī)序列純隨機(jī)序列的定義：如果序列滿足如下兩條性質(zhì)，我們稱該序列為純隨機(jī)序列,也稱為白噪聲(WhiteNoise)序列,簡(jiǎn)記為。容易證明,白噪聲序列一定是平穩(wěn)序列,而且是最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。例2-4隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值,并繪制時(shí)序圖。純隨機(jī)序列的性質(zhì)

純隨機(jī)性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列

方差齊性根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理：Barlett定理純隨機(jī)性檢驗(yàn)也稱為白噪聲檢驗(yàn),是專門用來檢驗(yàn)序列是否為純隨機(jī)序列的一種方法如果一個(gè)序列是純隨機(jī)序列,那么它的序列值之間應(yīng)該沒有任何相關(guān)關(guān)系,即滿足這是一種理論上才會(huì)出現(xiàn)的理想狀況。實(shí)際上,由于觀察值序列的有限性,純隨機(jī)序列的樣本自相關(guān)系數(shù)不會(huì)絕對(duì)為零。例2-4續(xù)（1）繪制例2-7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列的樣本自相關(guān)圖。該序列樣本自相關(guān)圖顯示：這個(gè)純隨機(jī)序列沒有一個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格等于零。但這些自相關(guān)系數(shù)確實(shí)都非常小,都在零值附近以一個(gè)很小的幅度隨機(jī)波動(dòng)。這就提醒我們應(yīng)該考慮樣本自相關(guān)系數(shù)的分布性質(zhì),從統(tǒng)計(jì)意義上判斷序列的純隨機(jī)性質(zhì)。純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理純隨機(jī)性檢驗(yàn)原理：Barlett定理Barlett定理如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為的觀察值序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布根據(jù)Barlett定理,我們可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨(dú)立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量純隨機(jī)性檢驗(yàn)的判別原則拒絕原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列。接受原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于時(shí)，則認(rèn)為在的置信水平下無法拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為該序列為白噪聲序列。

例2-4續(xù)(2)計(jì)算例2-4中白噪聲序列延遲1~12階的LB統(tǒng)計(jì)量的值,并判斷該序列的隨機(jī)性。延遲1-12階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值都大于顯著性水平（0.05）所以可以判斷該序列為純隨機(jī)序列檢驗(yàn)結(jié)果解讀由于LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值顯著大于顯著性水平α,所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)。換言之,我們判斷該序列為白噪聲序列，認(rèn)為該序列的波動(dòng)沒有任何統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循。還需要解釋的一點(diǎn)是,為什么在本例中只檢驗(yàn)了前12期延遲的Q統(tǒng)計(jì)量就直接判斷該序列是白噪聲序列呢?為什么不進(jìn)行全部999期延遲檢驗(yàn)?zāi)?一方面是因?yàn)?平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性,如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常只存在于延遲時(shí)期比較短的序列值之間。所以,如果一個(gè)平穩(wěn)序列短期延遲的序列值之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常長(zhǎng)期延遲之間就更不會(huì)存在顯著的相關(guān)關(guān)系了。另一方面是因?yàn)?假如一個(gè)平穩(wěn)序列顯示出顯著的短期相關(guān)性,那么該序列就一定不是白噪聲序列,我們就可以對(duì)序列值之間存在的相關(guān)性進(jìn)行分析。假如此時(shí)考慮的延遲時(shí)期數(shù)太長(zhǎng),反而可能淹沒了該序列的短期相關(guān)性。因?yàn)槠椒€(wěn)序列只要延遲時(shí)期足夠長(zhǎng),自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于零。例2-5對(duì)1900—1998年全球7級(jí)以上地震發(fā)生次數(shù)序列進(jìn)行平穩(wěn)性和純隨機(jī)性檢驗(yàn)。時(shí)序圖顯示該序列沒有明顯的趨勢(shì)和周期.自相關(guān)圖顯示，除了延遲1一4階的自相關(guān)系數(shù)在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其他自相關(guān)系數(shù)均在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi).我們可以認(rèn)為該序列具有短期相關(guān)性.因此，我們可以判斷該序列為平穩(wěn)序列.例2-5對(duì)1900—1998年全球7級(jí)以上地震發(fā)生次數(shù)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。通過圖檢驗(yàn)和純隨機(jī)性檢驗(yàn)，我們可以認(rèn)為全球每年發(fā)生7.0+級(jí)地震次數(shù)序列是平穩(wěn)非白噪聲序列LB檢驗(yàn)結(jié)果顯示，延遲1~10階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值都小于顯著性水平0.05所以我們可以顯著拒絕序列為純隨機(jī)序列的原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列。THANKS02平穩(wěn)時(shí)間序列分析03Wold分解定理0102AR模型MA模型03本章內(nèi)容ARMA模型04Wold分解定理Wold分解定理的產(chǎn)生背景1938年,H.Wold在他的博士論文“AStudyintheAnalysisofStationaryTimeSeries”中提出了著名的平穩(wěn)序列分解定理。這個(gè)定理是平穩(wěn)時(shí)間序列分析的理論基石。Wold分解定理的內(nèi)容對(duì)于任意一個(gè)離散平穩(wěn)時(shí)間序列,它都可以分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和,其中一個(gè)為確定性的(deterministic),另一個(gè)為隨機(jī)性的(stochastic),不妨記作式中：為確定性平穩(wěn)序列，為隨機(jī)性平穩(wěn)序列Wold分解定理中確定性序列的性質(zhì)確定性序列的真實(shí)生成機(jī)制可以是任意方式。換言之的真實(shí)波動(dòng)可以是時(shí)間的任意函數(shù)（前提是保證序列的平穩(wěn)性）。Wold證明不管的生成機(jī)制是怎樣的，它都可以等價(jià)表達(dá)為歷史序列值的線性函數(shù)所以，Wold分解定理中確定性序列的性質(zhì)是：序列的當(dāng)期波動(dòng)可以由其歷史序列值解讀的部分。Wold分解定理中隨機(jī)性序列的性質(zhì)Wold分解定理中，隨機(jī)序列代表了不能由序列的歷史信息解讀的隨機(jī)波動(dòng)部分Wold證明這部分信息可以等價(jià)表達(dá)為式中：稱為新息過程（innovationprocess），是每個(gè)時(shí)期加入的新的隨機(jī)信息。它們相互獨(dú)立，不可預(yù)測(cè)，通常假定，。且有所以，Wold分解定理中隨機(jī)性序列的性質(zhì)是：序列的當(dāng)期波動(dòng)不可以由其歷史序列值解讀的部分。波動(dòng)序列的方差對(duì)任意平穩(wěn)序列而言，令關(guān)于q期歷史序列值做線性回歸式中為回歸殘差序列，不妨記該序列的方差為。隨著的增大單調(diào)非增，且。的大小可以衡量歷史信息對(duì)現(xiàn)時(shí)值的預(yù)測(cè)精度。越小，說明基于q期歷史信息對(duì)未來的預(yù)測(cè)精度越高；越大，則說明序列隨機(jī)性很大，q期歷史信息對(duì)未來的預(yù)測(cè)精度很差。如果，說明序列的歷史信息幾乎可以完全預(yù)測(cè)未來的波動(dòng)，這時(shí)稱為確定性序列。如果說明序列的歷史信息對(duì)預(yù)測(cè)未來波動(dòng)完全沒有作用，這時(shí)稱為純隨機(jī)序列。絕大多數(shù)序列是介于確定性序列和純隨機(jī)序列中間，即，這時(shí)稱為隨機(jī)序列。Wold分解定理0102AR模型MA模型03本章內(nèi)容ARMA模型04AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型令，稱是的中心化序列自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為

稱下式為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式延遲算子延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥了一個(gè)時(shí)刻記B為延遲算子，有

所以模型的簡(jiǎn)寫形式如下導(dǎo)出延遲算子的性質(zhì)

，其中

例3-1考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性例3-1時(shí)序圖平穩(wěn)特征非平穩(wěn)特征AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因要擬合一個(gè)平穩(wěn)序列的發(fā)展,用來擬合的模型顯然也應(yīng)該是平穩(wěn)的。AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一,但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的。

判別方法特征根判別法平穩(wěn)域判別法特征根判別線性差分方程：稱具有如下形式的方程為序列的p階線性差分方程式中，；為實(shí)數(shù)；為t的某個(gè)已知函數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，如下差分方程稱為p階齊次線性差分方程根據(jù)Wold分解定理，任意一個(gè)平穩(wěn)序列，都可以視為一個(gè)線性差分方程齊次線性差分方程的通解判別原因要擬合一個(gè)平穩(wěn)序列的發(fā)展,用來擬合的模型顯然也應(yīng)該是平穩(wěn)的。AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一,但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的。

判別方法特征根判別法平穩(wěn)域判別法自回歸方程的解任一個(gè)中心化模型都可以視為一個(gè)非齊次線性差分方程，它的通解求法如下（1）求齊次線性差分方程的一個(gè)通解（2）求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解（3）求非齊次線性差分方程的通解

齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的求解要借助它的特征方程和特征根。p階齊次線性差分方程的特征方程為特征方程的非零根稱為特征根。p階齊次線性差分方程有p個(gè)特征根，不妨記作根據(jù)差分方程理論，p階齊次線性差分方程的通解為（假設(shè)由d個(gè)相同實(shí)根，m個(gè)共軛虛根）非齊次線性差分方程的解非齊次線性差分方程的解等于齊次線性差分方程的通解，再加上一個(gè)特解所謂特解就是使非齊次線性差分方程成立的任一值，即例3-2驗(yàn)證一階齊次線性差分方程的通解為，為任意實(shí)數(shù)。【例3-2解】該差分方程的特征方程為：特征根為：容易驗(yàn)證是該差分方程的解：例3-2續(xù)求一階線性差分方程的解?！纠?-2續(xù)解】在例3-2中，我們求出該差分方程的通解為：特解可以用任意方式求出，本例嘗試求出該差分方程的一個(gè)常數(shù)特解則所以該差分方程的解為：例3-2驗(yàn)證二階齊次線性差分方程的通解為，為任意實(shí)數(shù)?！纠?-2】該差分方程的特征方程為：特征根為：容易驗(yàn)證是該差分方程的解：例3-2續(xù)求二階線性差分方程的解?！纠?-2續(xù)解】在例3-2中，我們求出該差分方程的通解為：可以求出該差分方程的一個(gè)常數(shù)特解為：所以該差分方程的解為：平穩(wěn)序列的解根據(jù)Wold分解定理，任意平穩(wěn)序列都可以等價(jià)表達(dá)為p階線性差分方程它的特征方程為它的p個(gè)非零特征根為，假設(shè)為該序列的任意特解，則該平穩(wěn)序列的解為其中：為任意實(shí)數(shù)。平穩(wěn)序列特征根的性質(zhì)平穩(wěn)序列必須滿足始終在均值附近波動(dòng)，不能隨著時(shí)間的遞推而發(fā)散，即為了保證上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立，就必須要求每個(gè)特征根的冪函數(shù)都不能發(fā)散，即

進(jìn)而推導(dǎo)出平穩(wěn)序列必須滿足每個(gè)特征根的絕對(duì)值都小于1這意味著，如果我們能把一個(gè)平穩(wěn)序列所有的特征根都求出來并且都標(biāo)注在坐標(biāo)軸上，那么該序列所有的特征根都應(yīng)該在半徑為1的單位圓內(nèi)。如果序列有特征根在單位圓上或圓外，那么這個(gè)序列就是非平穩(wěn)的。所以這個(gè)判斷序列是否平穩(wěn)的性質(zhì)也稱為平穩(wěn)序列的單位根屬性。特征根判別p階自回歸序列平穩(wěn)，要求p個(gè)非零特征根都在單位圓內(nèi)，即在引入延遲算子之后,我們還可以推導(dǎo)出跟特征根判別等價(jià)的性質(zhì):p階自回歸序列平穩(wěn)的條件是自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的p個(gè)根都在單位圓外平穩(wěn)域判別對(duì)于一個(gè)模型而言，如果沒有平穩(wěn)性的要求，實(shí)際上也就意味著對(duì)參數(shù)向量沒有任何限制，它們可以取遍維歐氏空間的任意一點(diǎn)如果加上了平穩(wěn)性限制，參數(shù)向量就只能取維歐氏空間的一個(gè)子集，使得特征根都在單位圓內(nèi)的系數(shù)集合對(duì)于低階自回歸模型用平穩(wěn)域的方法判別模型的平穩(wěn)性通常更為簡(jiǎn)便

AR(1)模型平穩(wěn)條件方程結(jié)構(gòu)特征根平穩(wěn)域AR(2)模型的平穩(wěn)條件方程結(jié)構(gòu)特征根平穩(wěn)域AR(2)的平穩(wěn)域例3-1續(xù)分別用特征根判別法和平穩(wěn)域判別法檢驗(yàn)例3-1中四個(gè)AR模型的平穩(wěn)性例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)

(4)非平穩(wěn)平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)——均值

如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)——方差要得到平穩(wěn)AR(p)模型的方差,需要借助Green函數(shù)的幫助Green函數(shù)的定義假設(shè)為任意p階的平穩(wěn)AR模型,那么一定存在一個(gè)常數(shù)序列使得可以等價(jià)表達(dá)為純隨機(jī)序列的線性組合,即

這個(gè)常數(shù)序列就稱為Green函數(shù)

基于Green函數(shù)，可以求出AR(p)模型的方差為Green函數(shù)的遞推公式原理方法：待定系數(shù)法例3-3求平穩(wěn)AR(1)模型的Green函數(shù)的遞推公式,并基于Green函數(shù)求解AR(1)模型的方差。平穩(wěn)AR(1)模型的Green函數(shù)遞推公式為平穩(wěn)AR(1)模型的方差為平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)——協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式例3-4求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式因?yàn)槠椒€(wěn)AR(1)模型的方差為所以協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為例3-5求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差A(yù)R(2)模型協(xié)方差函數(shù)遞推公式特別地，當(dāng)k=1時(shí)，例3-5平穩(wěn)AR(2)模型的方差求解（方法一：基于Green函數(shù)遞推）AR(2)模型的Green函數(shù)為記

，

，則上面Green函數(shù)等號(hào)兩邊求平方，累加得且例3-5平穩(wěn)AR(2)模型的方差求解（方法一）把

代入

，得整理得

所以平穩(wěn)AR(2)模型的方差為例3-5平穩(wěn)AR(2)模型的方差求解（方法二：基于方程組求解）基于AR(2)模型的協(xié)方差遞推方程，可以得到如下聯(lián)立方程用方程組表示即為例3-5平穩(wěn)AR(2)模型的方差求解（方法二）解方程得平穩(wěn)AR(2)模型的方差為例3-5所以平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)——自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)AR模型的自相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式實(shí)際上是一個(gè)齊次差分方程，它的通解形式為根據(jù)自相關(guān)系數(shù)的通解形式，可以判斷AR模型的自相關(guān)系數(shù)具有如下特征呈指數(shù)衰減拖尾性例3-6考察如下AR模型的自相關(guān)圖例3-6自相關(guān)圖例3-6圖示解釋從上圖中可以看到,這四個(gè)平穩(wěn)AR模型,不論它們是AR(1)模型還是AR(2)模型,不論它們的特征根是實(shí)根還是復(fù)根,是正根還是負(fù)根,它們的自相關(guān)系數(shù)都呈現(xiàn)出拖尾性和呈指數(shù)衰減到零值附近的性質(zhì)。但由于特征根不同,它們的自相關(guān)系數(shù)衰減的方式也不一樣有的是按負(fù)指數(shù)單調(diào)衰減(如模型(1))有的是正負(fù)相間地衰減(如模型(2))有的呈現(xiàn)出類似于周期性的余弦衰減,即具有“偽周期”特征(如模型(3))有的是不規(guī)則衰減（如模型(4)）偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)的定義對(duì)于平穩(wěn)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算基于Yule-Walker方程組計(jì)算偏自相關(guān)系數(shù)在方程等號(hào)兩邊同時(shí)乘以，等號(hào)兩邊求期望再除以方差，得取前k個(gè)方程構(gòu)成的方程組即Yule-Walker方程組解Yule-Walker方程組可以得到參數(shù)的解，最后一個(gè)參數(shù)的解即為延遲K偏自相關(guān)系數(shù)AR(1)模型偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算AR(1)模型Jule-Walker方程偏自相關(guān)系數(shù)的解AR(2)模型偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算Yule-Walker方程求解基于矩陣結(jié)構(gòu)計(jì)算偏自相關(guān)系數(shù)證明AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾所謂p階截尾,是指。要證明這一點(diǎn),實(shí)際上只要能證明當(dāng)時(shí),即可。例3-6續(xù)求如下AR模型的偏自相關(guān)系數(shù)，并考察它們的偏自相關(guān)圖特征例3-6續(xù)求AR模型的偏自相關(guān)系數(shù)例3-6續(xù)考察AR序列的偏自相關(guān)圖Wold分解定理0102AR模型MA模型03本章內(nèi)容ARMA模型04MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為其中稱為q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)系數(shù)q階截尾常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型例3-7繪制下列MA模型的樣本自相關(guān)圖,直觀考察MA模型自相關(guān)系數(shù)截尾的特性。例3-7MA模型的自相關(guān)圖

MA(1)模型自相關(guān)圖特征解讀考察上面兩個(gè)MA(1)模型的自相關(guān)圖，排除樣本隨機(jī)性的影響,樣本自相關(guān)圖清晰顯示出MA(1)模型自相關(guān)系數(shù)一階截尾考察上面兩個(gè)MA(1)模型的自相關(guān)圖，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)圖。容易驗(yàn)證它們的理論自相關(guān)系數(shù)也正好相等MA(2)模型自相關(guān)圖特征解讀考察上面兩個(gè)MA(2)模型的自相關(guān)圖，排除樣本隨機(jī)性的影響,樣本自相關(guān)圖清晰顯示出MA(2)模型自相關(guān)系數(shù)二階截尾考察上面兩個(gè)MA(2)模型的自相關(guān)圖，可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)圖。容易驗(yàn)證它們的理論自相關(guān)系數(shù)也正好相等