2023-2024學年福建省福州則徐中學九年級（上）開學數學試卷（含解析）

2023.2024學年福建省福州則徐中學九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

I.方程3--8x—10=0的二次項系數和一次項系數分別為（）

A.3和8B.3和一8C.3和-10D.3和10

2.若關于x的一元二次方程/—ax+6=0的一個根是2,則a的值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.一元二次方程/—X—1=0的根的情況為（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

4.若關于％的方程——x—m=0有實數根，則實數m的取值范圍是（）

A.m<；B.m.C.m>-1D.m>J

5.用配方法解方程/-4x+2=0,配方正確的是（）

A.（x+2）2=2B.（x-2產=2C.（%-2）2=-2D.（x-2）2=6

6.若%i，小是一元二次方程/-2x-3=0的兩個根，則X1+&的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

7.已知方程/+%=2,則下列說法中，正確的是（）

A.方程兩根和是1B.方程兩根積是2

C.方程兩根和是-1D.方程兩根積比兩根和大2

8.某種商品原來每件售價為150元，經過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設平

均每次降價的百分率為X,根據題意，所列方程正確的是（）

A.150（1-x2）=96B.150（1-%）2=96

C.150（1-x）=96D.150（1-2x）=96

9.將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，己知

盒子的容積為3000巾3,則原鐵皮的邊長為（）

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

10.菱形ABC。的一條對角線長為6,邊4B的長是方程/—7x+12=0的一個根，則菱形

ABCD的周長為（）

A.16B.12C.16或12D.24

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.方程5/-x-3=%2-3+x的一次項系數是.

12.方程/=2x的根為.

13.若“=一1是方程M+x+m=0的一個根，則該方程的另一個根為.

14.秋天到了，人容易著涼，某班有一同學患了流感，經過兩輪傳染后共有49名學生患了流

感，假設每輪傳染中平均一個人傳染的人數為x人，則列方程為.

15.對于任意實數a、b,定義一種運算：a像b=a?+一M，若xG)(x-1)=3,貝收的

值為.

16.小明設計了一個魔術盒，當任意實數對(a,b)進入其中時，會得到一個新的實數a2+2b-

3.例如把(2,-5)放入其中，就會得到22+2x(—5)-3=-9,現將實數(犯一3巾)放入其中，

得到實數4,則m.

三、計算題(本大題共1小題，共6.0分)

17.解方程

(l)x2-4x-1=0

(2)2(%-I)2-16=0.

四、解答題(本大題共8小題，共64.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

18.(本小題8.0分)

若x=一2是一元二次方程/+2x+7n=0的一個根，求方程的另一個根及m的值.

19.(本小題8.0分)

已知關于%的方程--2x+加=0有兩個不相等的實數根，求實數?n的取值范圍.

20.(本小題8.0分)

滴水縣某中學規(guī)劃在校園內一塊長36米，寬20米的矩形場地48CD上修建三條同樣寬的人行

道，使其中兩條與平行，另一條與4D平行，其余部分種草，(如圖所示)，若使每一塊草坪

的面積都為96平方米，則人行道的寬為多少米？

21.(本小題8.0分)

2

已知，xt,%2是關于萬的一元二次方程/+(2m+l)x+(m+1)=0的兩個實數根，當與打=

5時，求m的值.

22.(本小題8.0分)

為了美化環(huán)境，某旅游示范縣加大對綠化的投資.2012年用于綠化投資20萬元，2014年用于

綠化投資24.2萬元，求2012年到2014年綠化投資的年平均增長率.

23.(本小題8.0分)

為充分利用現有資源，學?！澳链簣@”計劃用一塊矩形地種植兩種花卉.如圖，矩形地4BCD一

面靠墻(墻的長度為12m),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄EF把它分成兩個面積相等的

矩形.已知柵欄的總長度為277n.

⑴若矩形地力BCD的面積為42nl2,求4B的長;

(2)當4B邊為多少時,矩形地4BCD的面積最大,最大面積是多少？

24.(本小題8.0分)

把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫做第一次運算，再把所得新

數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫做第二次運算，…如此重復下去，

若最終結果為1,我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”.例如：

3232+22=13I2+32=10I2+02=1,7072+02=4942+92=97

92+72=130t仔+32+。2=io-/+()2=1,

所以32和70都是“快樂數”.

(1)最小的兩位“快樂數”是;

(2)證明19是“快樂數”；

(3)若一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1,且這個三位數的百位數比個位數字小2,

十位數字為0,求出這個“快樂數”.

25.(本小題8.0分)

已知關于》的一元二次方程(a+c)M+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分別為△ABC三邊的

長.

(1)如果x=-1是方程的根，試判斷A/IBC的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷AABC的形狀，并說明理由;

(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：3——8x—10=0的二次項系數和一次項系數分別為3,-8,

故選：B.

一元二次方程ax?+bx+c=0(a,b,c是常數且a*0)的a、b、c分別是二次項系數、一次項系數、

常數項.

本題考查了一元二次方程的一般形式:a/+bx+c=0(a,b,c是常數且a豐0)特別要注意a豐。的

條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在一般形式中aM叫二次項，人叫一次項，c是常數

項.其中a,b,c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項.

2.【答案】D

【解析】解：???關于x的一元二次方程M-ax+6=。的一個根是2,

■■22—2a+6=0,

解得a=5.

故選：D.

根據關于x的一元二次方程/一ax+6=0的一個根是2,將x=2代入方程即可求得a的值.

本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的

解.解決本題亦可利用根與系數的關系.

3.【答案】B

【解析】解：:/—x—i=o,

4=(-1)2-4x1x(-1)=5>0,

所以方程有兩個不相等的實數根，

故選：B.

先求出的值，再判斷即可.

本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內容是解此題的關鍵.

4.【答案】C

【解析】解：?.?關于x的方程/一％-m=0有實數根，

Z1=(-1)2—4(—m)=1+4m>0,

解得m>—

故選：c.

根據判別式的意義得到/=l+4m>0,解不等式即可.

本題考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)的根的判別式A=爐-4ac：當』>0,方程有

兩個不相等的實數根；當4=0,方程有兩個相等的實數根；當/<0,方程沒有實數根.

5.【答案】B

【解析】解：—4x+2=0,

x2—4%+4=2,

???(x-2)2=2,

故選:B.

分析：根據一元二次方程的配方法即可求出答案.

本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型.

6.【答案】4

【解析】解：???一元二次方程一一2久一3=0的二次項系數是a=1,一次項系數b=-2,

???由根與系數的關系，得

+x2=2.

故選：A.

根據一元二次方程的根與系數的關系XI+次=-!可以直接求得+X2的值.

此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的

解題方法.

7.【答案】C

【解析】解：x2+x-2=0,

兩根之和為-1,兩根之積為-2.

故選C.

先把方程化為一般式，然后根據根與系數的關系進行判斷.

本題考查了一元二次方程以2+旅+。=09力0)的根與系數的關系：若方程的兩根為與，無2，

則X]+刀2=—，X1'X2=

8.【答案】B

【解析】解：根據題意得：150(1-為2=96,

故選:B.

根據“連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元”列方程求解.

本題考查了一元二方程的應用，找到相等關系是解題的關鍵.

9.【答案】D

【解析】【解答】

解：正方形鐵皮的邊長應是久厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為(％-3x2)厘米，高為3厘

米，根據題意列方程得，

(%—3x2)(%—3X2)x3=300,

解得X]=16,x2=-4(不合題意，舍去)；

答：正方形鐵皮的邊長應是16厘米.

故選：D.

【分析】

設正方形鐵皮的邊長應是x厘米，則做成沒有蓋的長方體盒子的長、寬為(x-3x2)厘米，高為3厘

米，根據長方體的容積計算公式列方程解答即可.

此題主要考查長方體的容積計算公式：長方體的容積=長、寬x高，以及平面圖形折成立體圖形后

各部分之間的關系.

10.【答案】A

【解析】解：x2-7x+12=0,

(X—3)(x—4)=0,

x—3=0或x—4=0,

所以=3,x2-4,

?.?菱形ABC。的一條對角線長為6,

.,?邊4B的長是4,

???菱形2BCD的周長為16.

故選：A.

先利用因式分解法解方程得到匕=3,右=4,再根據菱形的性質可確定邊4B的長是4,然后計算

菱形的周長.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過

因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一

元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問

題了(數學轉化思想).也考查了菱形的性質.

11.【答案】一2

【解析】解：方程整理得：4%2-2%=0,

則方程的一次項系數為-2.

故答案為：-2.

方程整理為一般形式，找出一次項系數即可.

此題考查了一元二次方程的一般形式，熟知任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如

下形式aM+bx+c=0(a70),這種形式叫一元二次方程的一般形式是解題的關鍵.

12.【答案】勺=0,次=2

【解析】解:x2=2x,

x2—2%=0,

x(x—2)=0,

x=0,或x—2=0,

%1—0,%2—2，

故答案為：Xi=0,x2=2.

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法.

13.【答案】0

【解析】解：設該方程的另一個根為t,

根據題意得一l+t=解得t=0,

即該方程的另一個根為0.

故答案為0.

設該方程的另一個根為3利用根與系數的關系得到-l+t=-1,然后解關于t的方程即可.

本題考查了根與系數的關系：若X1，冷是一元二次方程。M+6:+，=0。。0)的兩根，則匕+

b_c

X2=X1X2=

14.【答案】6

【解析】解：設每輪傳染中平均每個人傳染了X人.

依題意得1+x+x(l+x)=49,

:.x2+2x-48=0,

=6,x2=-8(不合題意，舍去).

所以，每輪傳染中平均一個人傳染給6個人.

故答案為：6.

設每輪傳染中平均每個人傳染了X人，第一輪后有(1+X)人患了流感，第二輪后會傳染給尤(1+X)

人，則兩輪以后共有l(wèi)+x+Ml+x)人得病，然后根據共有49人患了流感就可以列出方程求解.

此題主要考查了增長率問題，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，

人數應該累加，這個問題和細胞分裂是不同的.

15.【答案】2或-1

【解析】【分析】

本題主要考查了一元二次方程的解法-因式分解法.本題是新定義型題目，正確理解新定義并準

確使用是解題的關鍵.依據新定義得到關于x的方程，解方程可得結論.

【解答】

解：由題意得：

x2+(x—I)2—x(x—1)=3.

整理得：

%2—x—2=0.

即(X-2)(x+1)=0.

解得：=2,x2=-1.

故答案為：2或—1.

16.【答案】7或-1

【解析】【分析】

根據公式。2+26-3,可將(m,—3m)代入得出加？+2x(—3m)—3=4,解方程即可.

本題考查了解一元二次方程的應用及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是根據題意列出方

程.

【解答】

解：根據題意得，m2+2x(-3m)-3=4,

解得nil-7,m2=-1,

故答案為：7或一1.

17.【答案】解：(1)方程整理得：X2-4X=1,

配方得：x2-4%+4=5,即(x-2)2=5,

開方得：％-2=±，虧，

--

解得；Xy=2+A/5>x2=2—V5;

(2)方程整理得：(x-1)2=8,

開方得：x-1=±2V-1，

-

解得：xx=1+2V-2>&=1-2A/2-

【解析】(1)方程整理后，利用配方法求出解即可；

(2)方程整理后，利用開平方即可求出解.

此題考查了解一元二次方程-配方法，以及直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關鍵.

詳解：(1)方程整理得：x2-4x=1,

配方得：X2—4%+4=5,即Q—2)2=5,

開方得：x-2=

=

解得：X]=2+\/-5>%22—V-5;

(2)方程整理得:(x-1)2=8,

開方得：X-1=±2V~2，

解得：=1+2\T-2>上=1—2yj~2-

18.【答案】解：?.。=一2是一元二次方程/+2%+瓶=0的一個根，

???(-2)2+2x(-2)+m=0,即m=0,

:.一元二次方程/+2x+m=0為/+2x=0,即x(x+2)=0,

解得x=0或x=-2,

???方程的另一個根是x=0,m的值為0.

【解析】根據一元二次方程根的定義及解法直接求解即可得到答案.

本題考查一元二次方程根的定義及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義

及解法是解決問題的關鍵.

19.【答案】解：???方程/—2x+m=0有兩個不相等的實數根，

???△=(―2)2—4xlxm=4—4m>0,

解得：m<1.

【解析】根據方程的系數結合根的判別式△>(),即可得出關于小的一元一次不等式，解之即可得

出實數小的取值范圍.

本題考查了根的判別式，牢記“當A>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根”是解題的關鍵.

20.【答案】解：設人行道路的寬為x米，根據題意得：

(36-2x)(20-x)=96x6,

解得:%i—2,x2=36(舍去).

故人行道的寬為2米.

【解析】六塊草坪組合到一起，正好構成一個矩形，根據矩形的面積，設人行道的寬為x米，則矩

形的長是(36-2乃小，寬是(20—x)zn,即可得到方程(36-2x)(20-x)=96x6；解方程即可

求解.

本題考查了一元二次方程的應用，此類題是看準題型列出方程，題目不難，重在看準題；每一塊

草坪的面積=草坪的長x草坪的寬.

21.【答案】解：:一元二次方程/+(2m+l)x+(m2+1)=0有兩個實數根，

???Z1>0,即(2m+I)2-4(m2+1)>0,

解得m>I，

???/、不是關于%的一元二次方程/+(2m+1)%+(m2+1)=0的兩個實數根，

2

???xrx2=m4-1,

**=5,

:.m2+1=5,

解得巾1=2,m2=-2,

、3

??.m>-f

故zn=2.

【解析】首先根據根的判別式得到關于m的不等式，解不等式求得小的取值范圍，然后根據根與

系數的關系得到關于m的方程，然后解方程即可.

本題考查了一元二次方程a/+公+c=0(a工0)的根與系數的關系：如果一元二次方程a/+

取+。=09丁0)的兩根分別為修，％2,則Xl+X2=-(與-2=；；也考查了根的判別式.

22.【答案】解：設綠化投資年平均增長率是X,由題意得：

20(1+x)2=24.2,

解得：Xj=0.1,x2=—2.1(舍去).

二年平均增長率是0.1=10%

答：綠化投資年平均增長率是10%.

【解析】設綠化投資年平均增長率是X,根據條件建立方程，求出其解就可以得出結論.

本題是一道數學應用題中的增長率問題的實際問題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用及

一元二次方程的解法的運用，解答中對結果驗根是否符合題意是解答的關鍵.

23.【答案】解：設4B的長為xm,則BC的長為(27-3x)m,

根據題意得：(27-3x)x=42,

解得x=2或x=7,

當x=2時，27-3%=21>12,不合題意，舍去，

當x=7時，27-3x=6<12,符合題意，

???x=7>

答：4B的長為7m；

(2)設矩形的面積為Srn2,

則S=(27-3x)x=-3x2+27x=-3(x-9x)=-3(x-1)2+拳，

■:-3V0,

.?.當時，s有最大值，最大值為竽，

...當4B邊為竽時，矩形地4BCD的面積最大，最大面積是竽m2.

44

【解析】(1)設48的長為xm，貝IBC的長為(27—3x)m,根據矩形的面積=42列出方程，解方程

判斷x的值即可；

(2)設矩形的面積為Sm2,根據矩形的面積公式列出函數解析式，由函數的性質求最大值即可.

本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程及函數關系式.

24.【答案】10

【解析】解：(1)最小的兩位“快樂數”是10,

故答案為：10；

(2)?；19t12+92=82t8?+22=68762+8?=100-?12+。2+。2=1,

19是快樂數；

(3)設三位“快樂數”為abc,由題意，經過兩次運算后結果為1,所以第一次運算后結果一定是10

或者100,所以a2+Z>2+c2=10或100,

???a,b,c為整數，且aH0,a2+爐+c?=10時，，

???I2+32+0