2023-2024學(xué)年北京市朝陽外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年北京市朝陽外國語學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（共8題，共24分，每小題3分）

1.如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖案（）

2.若點(diǎn)M(1,2)、N(5,2)在拋物線＞=(x-h)2+左上，則〃的值為()

A.4B.3C.2D.1

3.關(guān)于龍的一元二次方程（a-2）小+工+*-4=。的一個根是0,則。的值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.0

4.如圖，△O4B繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OCQ的位置，已知乙4。8=45°,則/AOO

等于（）

A.55°B.45°C.40°D.35

5.南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共

六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長

與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以

列方程為（）

A.x(尤+30)=864B.x(x+60)=864

C.x2-60x+864=0D.x2-60x-864=0

6.如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=?（x>0）的圖象上，點(diǎn)2在函數(shù)y=3（x>0）的圖象上，且

xx

A8〃x軸，BCLx軸于點(diǎn)C,則四邊形ABC。的面積為（）

7.已知二次函數(shù)-27nx（相為常數(shù)），當(dāng)-1WXW2時，函數(shù)值y的最小值為-2,

則m的值是（）

A.-2B.1C.2D.-1

8.將二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象在％軸上方的部分沿?zé)o軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如

圖所示.當(dāng)直線y=x+6與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)時，6的值為（）

A.或-3B.3■或-3C.&■或-3D.旦或-3

4444

二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）

9.近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即y2二（k卉0）），已知200度

X

近視眼鏡的鏡片焦距為0.5機(jī)，則丁與X之間的函數(shù)關(guān)系式是.

10.二次函數(shù)月=4%2+加；+0與一次函數(shù)'2=如:的圖象如圖所示，則滿足〃%2+/?%+。>如十幾

的X的取值范圍是

11.已知關(guān)于X的一元二次方程x2+(2a-1)x+*=o有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值

范圍是?

12.若點(diǎn)A(相，-2)在反比例函數(shù)的圖象上，則當(dāng)函數(shù)值丫2-2時，自變量尤的取

值范圍是.

13.一副三角板如圖放置，將三角板AOE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),使得三

角板AOE的一邊所在的直線與BC垂直，則a的度數(shù)為.

14.已知a,b是方程％27-3=0的兩個不等的實(shí)數(shù)根，則c^+b+ab的值為.

15.2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運(yùn)營國產(chǎn)大飛機(jī)正式起步.12

時31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場，穿過隆重的“水門禮”(寓意“接風(fēng)洗塵”，是國際民

航中高級別的禮儀).如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機(jī)噴射

水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分.如圖②，當(dāng)兩輛消防車噴

水口48的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點(diǎn)”處相遇.此時相遇點(diǎn)H距

地面20米，噴水口4、B距地面均為4米.若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形

狀及噴水口A'、8'到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點(diǎn)/距地面

圖①圖②

16.如圖，點(diǎn)C為線段A8的中點(diǎn)，E為直線A8上方的一點(diǎn)，且滿足CE=CB,連接AE,

以AE為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰連接C。，當(dāng)最大，且最大值為&+1

時，則AB_________

三、解答題（共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19-23每小題8分、24

題7分）

17.（8分）解方程

（1）X2-2x=5

（2）2（x-3）=3x（尤-3）

26

18.（7分）解方程：x-2x-力——=1.

x"-2x

19.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程*2-ax+a-1=0.

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求。的值.

20.（6分）如圖，等腰Rt^ABC中，BA=BC,ZABC=90°,點(diǎn)。在AC上，將

繞點(diǎn)8沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE.

（1）求NOCE的度數(shù)；

（2）若A8=4,CD=3AD,求。E的長.

21.（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍

賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌

敏潔獲得銅牌.在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207c（向后翻騰三

周半抱膝）.如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系無。y.如果她從點(diǎn)A（3,10）起跳后的

運(yùn)動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）

與水平距離X（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a<0）.

（1）在平時訓(xùn)練完成一次跳水動作時，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如

下：

水平距離xlm033.544.5

豎直高度必z1010k106.25

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為,直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系

式：;

（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離無近似滿足函數(shù)關(guān)系y

=-5尤2+40尤-68,記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為山；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為d2,

則必d2（填“>”"=”或“<”）；

（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)8開始計時，若點(diǎn)8到水平面的距離

為c,則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y=-5fi+c,如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)

后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270c動作，請通過計算說明，她當(dāng)天的比賽能

否成功完成此動作？

22.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記函數(shù)yM（x>0）的圖象為G,直線/：y=4x+b

x2

經(jīng)過A（2,3）,與圖象G交于8,C兩點(diǎn).

（1）求6的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在8,C之間的部分與線段8c圍成

的區(qū)域（不含邊界）為W.

①當(dāng)機(jī)=2時，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為個；

23.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（%o>機(jī)），B（無o+4,n）在拋物線y—x2-2bx+l

上.

（1）當(dāng)6=5,無o=3時，比較加與"的大小，并說明理由；

（2）若對于3WxoW4,都有/<w<l,求6的取值范圍.

24.（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)A（6,0）,

點(diǎn)、B（0,8）.以點(diǎn)A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形AOEF,點(diǎn)、O,B,C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,F,記旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<90°）.

（I）如圖①，當(dāng)a=30°時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（II）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在AC的延長線上時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（III）當(dāng)點(diǎn)。落在線段OC上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

圖①圖②

2023-2024學(xué)年北京市朝陽外國語學(xué)校九年級(上)期中數(shù)學(xué)試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共8題，共24分，每小題3分)

1.如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)180。后得到的圖案()

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.若點(diǎn)M(1,2)、N(5,2)在拋物線＞=(x-h)2+左上，則h的值為()

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據(jù)點(diǎn)M(1,2)、N(5,2)在拋物線＞=(x-/z)2+左上，可以得到該拋物

線的對稱軸為直線天=力=掾=3,本題得以解決.

解：：點(diǎn)M(1,2)、N(5,2)在拋物線＞=(%-/?)2+左上，

???該拋物線的對稱軸為直線x=〃=掾=3,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)解答.

3.關(guān)于元的一元二次方程(4-2)12+%+〃2-4=0的一個根是0,則4的值為()

A.2B.-2C.2或-2D.0

【分析】由一元二次方程的定義，可知。-2W0；一根是0,代入（。-2）尤2+x+°2-4=

?？傻?-4=0.。的值可求.

解：：（a-2）*2+%+°2_4=。是關(guān)于x的一元二次方程，-2W0,即aW2①

由一個根是0,代入（a-2）x2+x+a2-4=0,可得那-4=0,解之得。=±2；②

由①②得a=-2.故選8.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的定義應(yīng)用，二次項(xiàng)系數(shù)不為0.解題時須注意，此為易

錯點(diǎn).否則選C就錯了.

4.如圖，△042繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OC￡＞的位置，已知/AOB=45°,則乙40。

等于（）

A.55°B.45°C.40°D.35°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得/8。。=90°,即可求解.

解：：△042繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OCO的位置，

/.ZBOD=90°,

VZAOB=45°,

：.ZAOD=ZBOD-ZAOB=45°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)兩相等的性質(zhì)：即對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)

點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.

5.南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共

六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長

與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以

列方程為（）

A.尤（x+30）=864B.x（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x2-6Qx-864=0

【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60-x）步，根據(jù)

矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

解：?.?矩形田地的長為X步，矩形田地的長與寬的和是60步,

...矩形田地的寬為（60-尤）步.

依題意得：x(60-x)=864,

整理得：x2-60x+864=0.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點(diǎn)A在函數(shù)（x>0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y=W（x>0）的圖象上，且

X

則四邊形ABCO的面積為（

C.3D.4

【分析】延長A4交y軸于點(diǎn)D,根據(jù)反比例函數(shù)上值的幾何意義得到SAAD0,X2=1.

S矩形。CBD=3,根據(jù)四邊形ABC。的面積等于S矩形。CBO-SA4。。，即可得解.

解：延長8A交y軸于點(diǎn)

：.DA_Ly^\,

:點(diǎn)A在函數(shù)丫得晨>0）的圖象上,

X2=1,

??SAABO4

軸于點(diǎn)C,OBLy軸，點(diǎn)8在函數(shù)y=|>（x>0）的圖象上,

??S矩形OCBD=3,

四邊形ABC。的面積等于S矩形OCBD-S“oo=3-1=2；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用.熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何

意義，是解題的關(guān)鍵.

7.已知二次函數(shù)>=機(jī)彳2-2/nx（"z為常數(shù)），當(dāng)-1WXW2時，函數(shù)值y的最小值為-2,

則m的值是（）

A.-2B.1C.2D.-1

【分析】先求得拋物線對稱軸，即可確定出X=1時，尸-2,代入尸32-2〃比即可求

得m的范圍.

解：由二次函數(shù)y=%7-27加（機(jī)為常數(shù)），得到對稱軸為直線尤=1,

:當(dāng)-1WXW2時，函數(shù)值y的最小值為-2,

.?.開口向上，x=l時，y=-2,

.".m-2m--2,

解得m=2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)

知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

8.將二次函數(shù)>=-尤2+2了+3的圖象在x軸上方的部分沿?zé)o軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如

圖所示.當(dāng)直線y=x+6與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)時，6的值為（）

【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)直線y=x+6過點(diǎn)8時，直線y=x+6與該新圖象恰好有

三個公共點(diǎn)，當(dāng)直線y=x+6與拋物線尸（x-1）2-4（-14W3）相切時，直線尸

x+6與該新圖象恰好有三個公共點(diǎn)，分別求解即可.

解：二次函數(shù)解析式為y=-尤2+2尤+3=-（%-1）2+4,

，拋物線y=-x?+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

當(dāng)y=0時，尤2-2%-3=0,解得尤1=-1,電=3,

則拋物線>=-J+2x+3與無軸的交點(diǎn)為A（-1,0）,B（3,0）,

把拋物線>=-丁+2尤+3圖象x軸上方的部分沿?zé)o軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物

線解析式為>=（尤-1）2-4（-1WXW3）,頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1,-4）,

如圖，當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)8口寸，直線>=尤+匕與該新圖象恰好有三個公共點(diǎn)，

，3+6=0,解得b=-3；

當(dāng)直線y^x+b與拋物線尸（x-1）2-4（-1?）相切時，直線y^x+b與該新圖

象恰好有三個公共點(diǎn)，

即（x-1）2-4=x+6有相等的實(shí)數(shù)解，整理得X2-3X-6-3=0,A=32-4（-^-3）

=0,解得b=-4，

4

所以b的值為-3或-烏，

4

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質(zhì)，確定

翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題

的難點(diǎn).

二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）

9.近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距尤（根）成反比例（即y￡（k六0）），已知200度

近視眼鏡的鏡片焦距為05%則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=也&.

X

【分析】由于近視鏡度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(米)之間成反比例關(guān)系可設(shè)〉=四，由

X

200度近視鏡的鏡片焦距是0.5米先求得k的值.

解：由題意設(shè)〉=上，

X

由于點(diǎn)(0.5,200)適合這個函數(shù)解析式,則左=0.5X200=100,

?.?尸-1-0-0-.

x

故眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距龍之間的函數(shù)關(guān)系式為：.

X

故答案為：y=J00.

x

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函

數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

10.二次函數(shù)yi=or2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+w的圖象如圖所示，則滿足辦2+云+。>〃a+〃

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的X的取值范圍即可.

解：由圖可知，-3〈尤<0時二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，

所以，滿足狽2+云+(?>如+〃的尤的取值范圍是-3<x<0.

故答案為：-3<x<0

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，數(shù)形結(jié)合準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

11.已知關(guān)于x的一元二次方程尤2+(2a-1)尤+后=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則“的取值

范圍是-

-----4-

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到(2a-1)2-4?2>0,然后解不等式即可.

解：根據(jù)題意得△=(2a-1)2-4°2>0,

解得a<［，

4

所以a的取值范圍是

4

故答案為：a<'~7-

4

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=Q(a#0)的根與A=b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程無實(shí)數(shù)根.

12.若點(diǎn)A(m，-2)在反比例函數(shù)的圖象上，則當(dāng)函數(shù)值時，自變量x的取

值范圍是xW-2或x>0.

【分析】根據(jù)題意可求點(diǎn)A的坐標(biāo)；畫出草圖，運(yùn)用觀察法求解.

解：?..點(diǎn)A(m,-2)在反比例函數(shù)yJ■的圖象上，

-2m=4,m=-2.

AA(-2,-2).

...當(dāng)函數(shù)值y2-2時，自變量x的取值范圍是-2或無>0.

【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)以及運(yùn)用觀察法解不等式，難度中等.注

意反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

13.一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),使得三

角板AOE的一邊所在的直線與BC垂直，則a的度數(shù)為15?；?0°.

【分析】分情況討論：@DE±BC；@AD±BC.

解：分情況討論：

①當(dāng)。E_LBC時，180°-60°-45°=75°,.-.a=90°-NBAD=15°；

②當(dāng)AOJ_8C時，a=90°-ZC=90°-30°=60°.

故答案為：15°或60°

【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)角的求法以及一副三角板的各個角的度數(shù)，

理清定義是解答本題的關(guān)鍵.

14.已知a,b是方程/-X-3=0的兩個不等的實(shí)數(shù)根，則浮+＞油的值為i.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=l，ab^-3,a1-a-3

=0,得到a2=q+3,將/+人+浦化為（q+b）+ab+3,代入進(jìn)行計算即可得到答案.

解：由題意可知：a+b—1,ab--3,a2-a-3=0,

.".a1—a+3,

原式=q+3+6+ob

=（a+b）+ab+3

=1+（-3）+3

=1,

故答案為：L

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的定義，關(guān)于x

的一元二次方程辦2+云+。=0（。#0）的兩個實(shí)數(shù)根X1，尤2和系數(shù)。，b,C,有如下關(guān)系：

15.2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運(yùn)營國產(chǎn)大飛機(jī)正式起步.12

時31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”，是國際民

航中高級別的禮儀）.如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機(jī)噴射

水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分.如圖②，當(dāng)兩輛消防車噴

水口48的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點(diǎn)”處相遇.此時相遇點(diǎn)H距

地面20米，噴水口42距地面均為4米.若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形

狀及噴水口A'、B'到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點(diǎn)“距地面

米.

圖①圖②

【分析】根據(jù)題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令X

=0求平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)即可.

解：由題意可知：A(-40,4)、8(40,4).H(0,20),

設(shè)拋物線解析式為：>="2+20,

將A(-40,4)代入解析式y(tǒng)=ax1+2Q,

2

.'.y=-——+20,

’100

2

消防車同時后退10米，即拋物線y=-二+20向左平移后的拋物線解析式為：y=-

100-

2

(x+10)+20)

100

令尤=0,

解得：j=19,

故答案為：19.

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象的平移及坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解

題的關(guān)鍵是求得移動前后拋物線的解析式.

16.如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足CE=CB,連接AE,

以AE為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰RtZXAOE,連接當(dāng)CQ最大，且最大值為&+1

時，則A8=2.

【分析】將CA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AH,連接CH,DH,利用SAS證明△C4E絲

△HAD,得DH=CE,當(dāng)C、H、。三點(diǎn)共線時，CD最大,從而求出AC的長，即可解

決問題.

解：將CA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AH,連接C",DH,

：.CA=AH,ZCAH=90°,

???AADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,ZDAE=90°,

：.NCAH=NDAE,

：.ZCAE=ZDAHf

：.ACAE^AHAD(SAS),

:?DH=CE,

???當(dāng)C、H、。三點(diǎn)共線時，CD最大,

設(shè)AC=x,

???點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，

：.CA=CBf

?；CE=CB,

CE=AC=DH=x,CH=，^x,

.\x=1,

：.AB=2AC=2f

故答案為：=2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19?23每小題8分、24

題7分)

17.(8分)解方程

(1)/-2X=5

(2)2(尤-3)=3x(x-3)

【分析】(1)根據(jù)配方法可以解答此方程；

(2)先移項(xiàng)，然后根據(jù)提公因式法可以解答此方程.

解:(1)Vx2-2x=5,

.,.x2-2尤+1=5+1,

(尤+1)2=6,

?'-x+l=±娓'

解得，xp-1+Vb,x2=-l-V6；

(2)V2(尤-3)=3x(x-3),

.,.2(x-3)-3x(x-3)=0,

(x-3)(2-3%)=0,

.*.x-3=0或2-3%=0,

解得，xi=3,xs)/.

43

【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的解答

方法.

26

18.(7分)解方程：x-2x-^——=1.

x-2x

【分析】可根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)y=P-2達(dá)則原方程可化為廿一>一6=0.解一元二次方程

求y,再求

解：設(shè)y=N-2x,則原方程化為廿->-6=0.

即(y-3)(y+2)=0,

解得力=-2,、2=3.

當(dāng)yi=-2時，x2-2x=-2,無解，

當(dāng)丁2=3時，x2-2x=3.

解得為=3,X2=-L

檢驗(yàn)：當(dāng)陽=3時，9-6_6_=3-2=1,

9-6

當(dāng)X2=-1時，1+2--=3-2=1,

3

修=3,X2=-1都是原方程的根，

???原方程的根是修=3,%2=T.

【點(diǎn)評】本題考查用換元法解分式方程的能力，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較

簡單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出

方程解后要驗(yàn)根.

19.(6分)己知關(guān)于尤的一元二次方程-"+a-1=0.

(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若該方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求。的值.

【分析】(1)計算根的判別式的值得到△=(?-2)2\0,然后根據(jù)根的判別式的意義

得到結(jié)論；

(2)利用因式分解法解方程得到無1=1,無2=。-1，根據(jù)題意得a為整數(shù)，a-1=2X1

或1=2(a-1),然后解一次方程得到a的值.

【解答】(1)證明：：A=(-a)2-4(a-1)

=層-4a+4

=(a-2)22o,

???該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解：X2-ax+a-1=0.

(x-1)[x-(a-1)]=0,

x-l=0或尤-(tz-1)=0,

??陽=1,=〃-19

???方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，

.".a為整數(shù)，a-1=2X1或1=2(o-1),

解得a=3或片微(舍去)，

的值為3.

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c^0(a#0)的根與A—b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實(shí)數(shù)根.

20.(6分)如圖，等腰Rt^ABC中，BA=BC,ZABC=9Q°，點(diǎn)。在AC上，將△A3。

繞點(diǎn)3沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE.

(1)求NOCE的度數(shù)；

(2)若AB=4,CD^3AD,求。E的長.

月

D

V—/C

E

【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)求得NBA。、N3CO的度數(shù)，然后由旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)可求得N5CE的度數(shù)，故此可求得NOCE的度數(shù)；

（2）由（1）可知△￡>虛是直角三角形，先由勾股定理求得AC的長，然后依據(jù)比例關(guān)

系可得到支和。。的長，最后依據(jù)勾股定理求解即可.

解：（1）;△ABC為等腰直角三角形，

：.ZBAD=ZBCD=45°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NBAO=N8CE=45°.

ZDCE=ZBCE+ZBCA=450+45°=90°.

（2）\*BA=BC,NA8C=90°,

???AC=VAB2+BC2=4&.

9

：CD=3ADf

.\AD=y/~2fDC=3yf2-

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=EC=五.

DE=VCE2+DC2=2炳.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，求

得/DCE=90。是解題的關(guān)鍵.

21.（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍

賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌

敏潔獲得銅牌.在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207c（向后翻騰三

周半抱膝）.如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如果她從點(diǎn)A（3,10）起跳后的

運(yùn)動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）

與水平距離X（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=”（x-h）2+k（a<0）.

（1）在平時訓(xùn)練完成一次跳水動作時，全紅蟬的水平距離尤與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如

下：

水平距離x/m033.544.5

豎直高度yim1010k106.25

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為11.25,直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：y=-5

（x-3.5）2+11.25；

（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y

=-5X2+40X-68,記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為di；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為do,

則由<ch（填“=”或“<”）；

（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)B開始計時，若點(diǎn)3到水平面的距離

為c,則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y=-5t2+c,如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)

后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270c動作，請通過計算說明，她當(dāng)天的比賽能

否成功完成此動作？

【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式，即可；

（2）分別求出兩個解析式當(dāng)y=0時，尤的值，進(jìn)行比較即可；

（3）先求出c的值，再求出t=L6時的y值，進(jìn)行判斷即可.

解：（1）由表格可知，圖象過點(diǎn)（3,10）,（4,10）,（4.5,6.25）,

.,.y—a(.x-3.5)2+k,

a(3-3.5)2+k=10

a(4.5-3.5)2+k=6.25

-5(x-3.5)2+11.25；

故答案為：11.25,y=-5(x-3.5)+11.25,

(2；尸-5(x-3.5)2+11.25,

當(dāng)y=0時：0=-5(x-3.5)2+11.25,

解得：尤=5或x=2(不合題意，舍去)；

；?"1=5米；

,.,y=-5X2+40X-68,

當(dāng)y=0時：-5x2+40%-68=0,

解得：尤=漢運(yùn)+4或尤=-2；匡+4(不合題意，舍去)；

55

.?.辦=RIL+4>5,

5

??d\d?，

故答案為：V；

(3)產(chǎn)-5X2+40X-68=-5(x-4)2+12,

：.B(4,12)，

.\c=12,

.?.y=-5戶+12,

當(dāng)力=1.6時，y=-5X1.62+12=-0.8,

???-0.8<0,

即她在水面上無法完成此動作，

???她當(dāng)天的比賽不能成功完成此動作.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式.

22.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記函數(shù)y=T（x>0）的圖象為G,直線/：y=-^-x+b

經(jīng)過A（2,3）,與圖象G交于8,C兩點(diǎn).

（1）求6的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在'C之間的部分與線段BC圍成

的區(qū)域(不含邊界)為W.

①當(dāng)初=2時，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為個;

m的取值范圍為3Wm<4.

【分析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式可得答案;

(2)①結(jié)合圖象分析可得答案；

②考慮臨界位置，結(jié)合圖象得出答案.

解：(1).直線y=―，x+b經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),

???福X2+b=3，

解得b=4,

所以6=4；

(2)①如圖所示，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有(1,3),(2,2),(3,2),(3,1),(4,

1),(5,1),共6個.

故答案為:6；

②當(dāng)初=3時，區(qū)域W內(nèi)有4個整點(diǎn)，如圖所示.

所以區(qū)域W內(nèi)有4個整點(diǎn)，根的取值范圍是3Wm<4.

故答案為：3^m<4.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)（反比

例函數(shù)）關(guān)系式，理解新定義等，確定臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

23.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，m）,B（尤o+4,n）在拋物線y=x2-2,bx+l

上.

（1）當(dāng)6=5,沏=3時，比較相與〃的大小，并說明理由；

（2）若對于3Wx（）W4,都有求6的取值范圍.

【分析】（1）拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，即可求得對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

判斷；

（2）求得拋物線與直線y=l的交點(diǎn)，即可求得對稱軸，由對于3WxoW4,都有機(jī)<〃<

X（）+XQ+4

b-2<3叼/口

1得到2,解得b-2<XQ<2b-4,從而得到、，解得4<6<5.

2b-4>4

XQ+4*^2b

解：(1)由題意可知A(3,m),B(7,〃)在拋物線y=%2-10尤+1上,

\'y—x2-10x+l=(x-5)2-24,

.,.拋物線開口向上，對稱軸為直線x=5,

VA(3,m),B(7,n)到對稱軸的距離相同,

.\m=n；

(2)當(dāng)y=l時，貝!J>=尤2-26x+l=l,

解得尤1=0,

...拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,1),(2b,1),

對稱軸為直線x=b,

:對于3WxoW4,都有相<"<1,

Xo+xp+4、,

2b

x0+4<2b

解得b-2<xo<2b-4,

,（b-2<3

'12b-4>4

解得4<Z?<5.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(7分)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)。(0,0),