2023-2024學年天津市高一年級下冊月考數(shù)學試題

2023-2024學年天津市高一下冊3月月考數(shù)學試題

一、單選題

1.下列各式中不能化簡為AO的是（）

A.-（C8+MC）-（0A+8M）B.-BM-DA+MB

C.（AB-DC）-CBD.AD-（CD+DC）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.

【詳解】對于A：-（CB+MC）-（DA+BM^=-（CB+MC+DA+BM^

=-（CB+BM+MC+DA]=-DA=AD,故A正確；

對于B：-BM-DA+MB=MB-DA+MB=-DA+2MB^故B錯誤；

對于C：（AB-DC]-CB=AB-DC-CB=AB+CD+BC=AD,故C正確；

對于D：AD-（CD+DC）=AD-O=AD,故D正確；

故選：B

2.下列命題中不正確的是（）

A.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面

B.正四棱錐的側面都是正三角形

C.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺

D.以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾

何體是圓臺

【正確答案】B

【分析】由正四棱錐的概念判斷B；由旋轉體的結構特征判斷A、C、D.

【詳解】對于A：圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故A正確；

對于B：正四棱錐的側面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B錯誤；

對于C：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故C正確；

對于D：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成

的幾何體是圓臺，故D正確.

故選：B.

3.已知A8=a+56,BC=-2a+86,CD=3(a-b),則(

A.AB,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.AB,。三點共線D.B,C,。三點共線

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量共線定理，考查選項中兩個向量之間是否有倍數(shù)關系即可判斷.

【詳解】對于A:不存在實數(shù)幾，使得=故ARC三點不共線；

對于B:AC=AB+BC=-a+\3b,CD=3(。一切,不存在實數(shù)，，使得AC=/ICZ)，故AC。

三點不共線；

對于C:BD=BC+CZ)=-2a+8/7+3(a-b)=a+5b，故AB=BD，所以A,B,。三點共線；

對于D:不存在實數(shù)；I,使得5c=28,故民三點不共線；

故選：C

4.在-A3C中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,則cosC=()

A.—B.-C.--D.--

4343

【正確答案】C

由正弦定理知，a:b;c=2:3;4,利用余弦定理求解即可.

【詳解】在.ABC中，sinA:sin3:sinC=2:3:4,

由正弦定理可知，a:b:c=2k:3k:4k,

故選：C.

關鍵點睛：在二A8C中，sinA:sinB:sinC=a:Z):c.

5.已知向量"=(1,2),6=(私3),若a_L(2a-4，則。與/，夾角的余弦值為()

A6n2石「回n3回

551010

【正確答案】B

【分析】首先求出2a-〃的坐標，依題意可得入(2。-6)=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得到方

八a,b

程，即可求出優(yōu)的值，設&與人夾角為。，根據(jù)。30=函計算可得.

【詳解】因為。=（1,2）,6=（憾3）,

所以2。一》=（2—m,1）,因為4，（24一卜），

所以a-（2a-Z>）=lx（2-/n）+2x1=0,解得加=4,

所以。=（4,3）,

八ab1x4+2x32亞

設。與3夾角為6,則s'匹麗Nyx"V：亍'

即展與6夾角的余弦值為華.

故選：B

6.A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解

的是（）.

A.。=3,6=6,A=30°B.6=6,c=4,A=120°

C.a=4出,6=6,A=60°D.a=2,6=3，A=30°

【正確答案】D

【分析】已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時要分類討論，當己知角是銳角時，要把。sinA

與久〃比較大小，作出相應判斷；已知兩邊和夾角有且只有1解；根據(jù)以上對選項判斷即

可.

【詳解】解：對于A,&sinA=6xsin30°=3=a,故只有1解.

對于B,已知兩邊夾角有且只有1解.

對于C,6sinA=6xsin60o=36，3百<6=6<a=4石，故有1解.

33

又寸于D,fesinA=-,-<a=2<b=6,故有2解.

22

故選：D.

考查三角形解的個數(shù)，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時要注意分類討論，基礎題.

7.在JWC中，若6=1,A=60。，的面積為G，則。=（）

A.13B.V13C.2D.加

【正確答案】B

【分析】先用面積公式求出c,再用余弦定理求出。

【詳解】在一43C中，b=l,A=60°,的面積為劣,

所以SABC=g6csinA=；x1x=6,解得：c=4.

由余弦定理得:

/=廿+。2-2"cosA=l+16—4=13,

所以"=Vl3.

故選：B.

BAACACBC八BCBAI

8.在，"C中,----------+-----------=0,則“MC為（）

18cl\BC\|BC||BA|-2

A.直角三角形B.三邊均不相等的三角形

C.等邊三角形D.等腰非等邊三角形

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的代數(shù)表示和運算，判斷一45C的形狀.

BAACACBC

【詳解】----------+-----------=0,

18cl\BC\

，AC.（8A+BC）=0=2ACBO=0,（點D是AC的中點）,

.?..ABC是等腰三角形,

BCBKBCBA

又cosB=—,即cosB="-,

22

??.B2

B￡（0,7T）,

3

二.ABC是等腰非等邊三角形.

故選：D

9.如圖，在；A3c中，ZBAC=y,AD=2DB，P為CD上一點、,且滿足AP=mAC+；A3,

若|AC|=2,k4=3,則APCQ的值為（）

C.1D.2

【正確答案】c

2k1

【分析】由題意設CP=RCO,則可得AP=（1—+再結合AP=wAC+]A3可

12--

求出〃?=],再表示出CO=1A3-AC,再結合已知條件可求得AP.C。的值.

【詳解】由題意設CP=A8，

2

因為AO=2O8，所以AO=§A3,

所以AP=AC+CP=AC+）tC。

=AC+k（AD-AC）

2

=AC+k（-AB-AC）

2k

=（1一攵）AC+—A3,

3

因為AP=%AC+LAB,

2

,,[1

rI—k=mm=—

所以2幺1,解得；，

3-2k=-

'I4

所以AP=LAC+,A8,

42

因為CQ=AQ-AC=gA8-AC,|AC|=2,網(wǎng)=3,2BAC=%,

所以AP.CO=（；AC+：A8｝（gA8-AC）

121二21-

=-AB——AC——ABAC

343

=-x32-—x22--x3x2x—=1,

3432

故選：C.

10.圓。的直徑A3=2,弦E『=l,點尸在弦￡F上，則PA：P8的最小值是（）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，得到HVPB=pO1-l,再由圓的性質，得到1Poi

的最小值，即可得出結果.

【詳解】由題意可得，

PA，8=(PO+OA)(PO+O8)=(PO+OA).(PO-QA)=附『_網(wǎng)，=|尸0(-1,

為使|?！弊钚?，只需OPLEF,根據(jù)圓的性質可得，此時尸為EF中點時，

又所“因此

所以P4P8的最小值為

4

故選：D.

二、填空題

11.在JRC中，若a=l,C=60,c=G,則A的值為.

【正確答案】30井吟

0

【分析】利用正弦定理計算可得.

【詳解】因為a=l,C=6(),c=百，由正弦定理三=三，即_L=_更_,

sinAsinCsinAsin60

所以sinA=:，因為0<A<120,

2

所以A=30.

12.與A8=(2,3)共線反向的單位向量坐標.

27133岳'

【正確答案】

13'--13-

AB

【分析】首先求出AB的模，再根據(jù)一詞計算可得;

【詳解】解：因為A8=(2,3),所以,8卜也不=JB,所以與AB=(2,3)共線反向的單

13.如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15。，山腳A處的俯角

為45。，已知ZBAC=6O°,求山的高度8C=m.

【正確答案】600m

【分析】先根據(jù)已知條件求解出AM,ZACM的大小，然后在△ACM中利用正弦定理求解出

AC,再根據(jù)AC3C的關系求解出8C.

【詳解】因為NM4A45。,/。48=60。，所以NM4c=180。一45。-60。=75°,所以

NMC4=180°—75°-60°=45°,

又因為刈400$45。=M￡>=40001,所以M4=400&m，

又因為一不=二匕，所以AC=400』m，

sm60°sin45°

所以BC=ACsin60o=4006x@=600m,

2

故答案為.6(X)m

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是將八4皿中的角和邊先求解出來，然后利用正弦定理求解

出AC的值，再借助直角三角形中邊的關系達到求解高度BC的目的.

14.在.ABC中，角4,8,C的對邊分別為a,6,c,若8=2A,a=l,b=6則邊c=.

【正確答案】2

【分析】首先根據(jù)正弦定理一^=2—得到A=B，從而得到。=9,再利用勾股定理計

sinAsin2Ao2

算c即可.

【詳解】由題知：----=:—=>sin2A=V3sinA=>2sinAcosA=>/3sinA,

sinAsin2A

因為sinA>0,所以cosA=且.

2

TT

又因為OvAv/r,所以A=：.

6

所以B=2A=—,C=—,c=Jl+3=2.

故2

15.對如圖所示的幾何體描述正確的是(填序號).

①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一

個小三棱柱而得到；⑤此兒何體可由四棱柱截去一個三棱柱而得到.

【正確答案】①③④⑤

【分析】根據(jù)幾何體的特征并結合提供的選項進行判斷.

【詳解】①正確，因為有六個面，屬于六面體.②錯誤，因為側棱的延長線不能交于一點，

所以不正確.③正確，如果把幾何體正面或背面作為底面就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱.④⑤都正確，

故①?④⑤

本題主要考查幾何體的識別，對各類幾何體的主要特征熟練掌握是求解的關鍵，本題容易僅

憑直觀感覺認為該幾何體是四棱臺，從而誤認為②正確.

16.在中，〃力,。分別為內(nèi)角人，B,C的對邊，。為...AfiC的外心，且有

AB+BC=AC,sinC(cosA-6)+cosCsinA=0,AO=xAB+yAC,x,y&R,則

3

x-2y=.

【正確答案】-3

}TTTT

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的和角公式及正弦定理、余弦定理，求得8=9,A=C=g

36

再結合AO=xAB+yAC,兩邊分別點乘AB,AC,利用向量數(shù)量積的定義和性質，得出關于

乂丫的方程，聯(lián)立方程組求得x,y的值，即可求解.

【詳解】由sinC(cosA—百)+cosCsinA=0,可得sinCcosA+cosCsinA=gsinC,

即sin(C+A)=百sinC,

因為C+A=%—3,所以sin(C+A)=sin3,即sinB=6sinC,即人=百°,

又由AB+BC=-----AC，可*c+。=----b，

33

將b=代入c+a=——Z?，可得。=c,

3

￡

由余弦定理得cosB=、+c2-"=+

lac2c-2

因為8e(0,m,所以B="，所以A=C=f

36

若A0=xAB+yAC,可得AO.AB=xA^4-yAC-AB，

可得，。2=加+且y.百整理得2x+3y=l,

22,

>33

又由AO-ACuxARAC+yAC：可得5c?=5/+卜3。2，即x+2y=l,

2無+3y=l

聯(lián)立方程組解得x=-l,y=l,所以x_2y=_3.

x+2y=1

故答案為.-3

三、解答題

17.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=l,c=#).

(1)若6=1,求8；

TT

(2)若力=工，求從

6

【正確答案】(1)3=2

o

⑵6=2或8=1

TT2TT

【分析】（l）利用余弦定理進行求解；（2）用正弦定理求出C=1或C=寧，分兩種情況進

行求解，得到b=2或6=1.

【詳解】（1）由余弦定理，得COSB="+L-"=1^1=且,

2ac2V32

又3?0,兀），

.?.B=-.

6

（2）由正弦定理，得sinC=24=^x'=立，

a122

VCe（O,7T）,

?兀廠2兀

..c=g或c=7?

當。=弓時，B=*

32

**-b=J3+1=2;

當c="時，A=B=工，

36

：.b=l.

綜上，b=2或6=1.

18.已知向量〃與/，的夾角為。=與，且同=3,忖=2點.

⑴若履+2〃與3〃+46共線，求k；

⑵求小b，卜+司.

3

【正確答案】（1）。

（2）〃.。=一6,卜+q=石

【分析】（1）根據(jù)平面向量共線定理列出方程組，從而可得出答案；

（2）根據(jù)數(shù)量積得計算公式即可求出a-b，根據(jù)卜+。卜屁7/結合數(shù)量積得運算律即可

得解.

【詳解】（1）解：若履+26與3〃+4b共線，則存在力，使得妨+26=4（3。+4〃）,

即(2-32”+(2-42)8=0,又因為向量。與人不共線,

4=一

"34=02

所以解得；所以k=|;

2-42=0

k=-

(2)解:=]&帆cos(4,5)=3>2&>------

1+4=\la2+2a-b+b2=J9-12+8=6.

19.已知向量。=(一1,一1),尸=(0』),

(1)求a在夕方向上的投影向量的坐標；

(2))若向量(故+?)〃(a+/￡),求實數(shù)r的值；

(3)若向量c=(x,y),滿足c=-ya+(l-x)/7,求同的值.

【正確答案】(1)(0,-1)；(2)r=±l；(3)1=&.

【分析】(1)由投影向量公式可直接求得結果；

(2)利用平面向量共線的坐標表示可構造方程求得結果