高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第4節(jié) 隨機(jī)事件、頻率與概率

第4節(jié)隨機(jī)事件、頻率與概率

考試要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以

及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)梳理

1.概率與頻率

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生

的頻率以A）會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率

的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率加A）估計(jì)概率P（A）.

2.事件的運(yùn)算

定義表示法圖示

事件A與事件8至少有一個(gè)發(fā)生，

并事件稱這個(gè)事件為事件A與事件B的坦旦（或A+3）

并事件（或和事件）

事件A與事件3同時(shí)發(fā)生，稱這

交事件樣一個(gè)事件為事件A與事件B的AH8（或AB）

交事件（或積事件）

3.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

若事件A發(fā)生，事件8一定發(fā)

包含關(guān)系生，稱事件8包含事件A（或事或AQB）◎

件A包含于事件B）

如果事件A與事件8不能同時(shí)

若AC8=0,則A

互斥事件發(fā)生,稱事件A與事件8互斥

與B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一若ACl3=。，且

對(duì)立事件

次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,AUB=Q,則A

稱事件A與事件8互為對(duì)立，與B對(duì)立

事件A的對(duì)立事件記為A

I常用結(jié)論

1.從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件

(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.

(2)事件A的對(duì)立事件Z所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組

成的集合的補(bǔ)集.

2.概率加法公式的推廣

當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣,

即P(4UA2U…UA")=P(AI)+P(A2)H----FP(4).

診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()

(2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()

⑶若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A),則OWP(A)W1.()

(4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中

獎(jiǎng)的概率.()

答案(1)X(2)7(3)V(4)X

解析隨機(jī)事件的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，故(1)錯(cuò).(4)中，

甲中獎(jiǎng)的概率與乙中獎(jiǎng)概率相同.

2.(2021.珠海期末)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，與事件“至少有一次中靶”互斥

的事件是()

A.至多有一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都不中靶

答案D

解析“兩次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同時(shí)發(fā)生，故D正確.

3.已知隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率滿足條件P(AUB)=l，某人猜測(cè)事件AA3發(fā)生,

則此人猜測(cè)正確的概率為()

A.lB.；C.；D.O

答案C

解析?.?事件APB與事件AUB是對(duì)立事件，.?.事件AAB發(fā)生的概率P(AAB)

311

=1-P(AU3)=1—w=a，則此人猜測(cè)正確的概率為加

4.(2020.全國(guó)H卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能

完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許

多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)

第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的

配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需

要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

答案B

解析由題意，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,即第

二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，加上積壓的500

份，共有1600—1200+500=900(份),至少需要志愿者900+50=18(名).

5.(多選X2022?煙臺(tái)模擬)下列命題正確的是()

A.對(duì)立事件一定是互斥事件

B.若AC8為不可能事件，則P(AU8)=P(A)+P(3)

C.若事件A,B,C兩兩互斥，則P(A)+P(B)+P(C)=1

D.事件A,B滿足P(A)+P(8)=1,則A,5是對(duì)立事件

答案AB

解析由對(duì)立事件的定義可知A正確；由于AC6為不可能事件，所以A,B互

斥，則尸(AUB)=P(A)+P(B),即B正確；事件43,。兩兩互斥，并不代表AU3UC

是必然事件，故C不正確；D中，設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：”至少出現(xiàn)一次

71

正面”，事件&次出現(xiàn)正面”，則，，滿足

“3P(A)=woP(B)=oeP(A)+P(B)=

1,但A,B不是對(duì)立事件，故D不正確.

6.一只袋子中裝有7個(gè)紅球，3個(gè)綠球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取

一個(gè)球，若取得兩個(gè)紅球的概率為7*,取得兩個(gè)綠球的概率為|*,則取得兩個(gè)同

顏色的球的概率為，至少取得一個(gè)紅球的概率為.

答案——

口水1515

解析由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，則要取得兩個(gè)同

顏色的球，只需兩個(gè)互斥事件中有一個(gè)事件發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同顏色的球

的概率「=記+石=石-

記事件A為“至少取得一個(gè)紅球”，事件B為“取得兩個(gè)綠球”，事件A與事

114

件8是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅球的概率P(A)=1—P(8)=l—記=記.

」考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一隨機(jī)事件的關(guān)系

1.(多選)若干個(gè)人站成排，其中不是互斥事件的是()

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙站排尾”

D."甲不站排頭”與“乙不站排尾”

答案BCD

解析排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B(niǎo),C,D

中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時(shí)發(fā)生，因此它們都不互斥.故選BCD.

2.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A,B,C,。發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,

0.3,0.3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.AU8與C是互斥事件，也是對(duì)立事件

B.8UC與。是互斥事件,也是對(duì)立事件

C.AUC與8UO是互斥事件，但不是對(duì)立事件

D.A與是互斥事件，也是對(duì)立事件

答案D

解析A中，與C是互斥事件，但不對(duì)立，因?yàn)镻(AUB)+P(0=O.7W1,

故A錯(cuò)誤；

B中，8UC與。是互斥事件，但不對(duì)立，因?yàn)镻(8U0+P(r>)=O.8Wl,故B

錯(cuò)誤；

C中，AUB與CU。是互斥事件，也是對(duì)立事件，因?yàn)镻(AUB)+P(CUO)=1,

故C錯(cuò)誤；

D中，A與BUCU。是互斥事件，也是對(duì)立事件，因?yàn)镻(A)+P(BUCUO)=1,

故D正確.

3.(多選)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)除顏色外完全相同的小球，從中取出

兩個(gè)球，事件A=”取出的兩個(gè)球同色”，B="取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃

球"，C=”取出的兩個(gè)球至少有一個(gè)白球"，D=”取出的兩個(gè)球不同色”，E

=’’取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷正確的是()

A.A與D為對(duì)立事件

B.B與C是互斥事件

C.C與E是對(duì)立事件

D.P(CUE)=1

答案AD

解析當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與。都發(fā)生，B不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)

球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，C不正確；顯然A與。是對(duì)立事件，

A正確；CUE為必然事件，P(CUE)=1,D正確.

感悟提升1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)

生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立

的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.

2.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥

事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一

定是互斥事件.

考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率

例1某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售

價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)

往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于

25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果

最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年

六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:

最I(lǐng)WI[10,[15,[20,[25,[30,[35,

氣溫15)20)25)30)35)40]

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;

(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為%單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的

進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫(xiě)出丫的所有可能值，并估計(jì)丫大于零的概率.

解(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表

中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為2+1筮36=0.6,

所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為06

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，

若最高氣溫低于20,則Y=200X6+(450-200)X2-450X4=-100；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),貝y=300X6+(450—300)X2—450X4=300；

若最高氣溫不低于25,則Y=450X(6—4)=900,

所以，利潤(rùn)y的所有可能值為一100,300,900.

丫大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻

,,,36+25+7+4

率為-----90-----=0.8.

因此丫大于零的概率的估計(jì)值為08

感悟提升1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率

是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻

率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.

2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率

會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

訓(xùn)練1(2020.全國(guó)I卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按

標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，

廠家每件分別收取加工費(fèi)90元、50元、20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償

原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為

25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，

在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù),

廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

解(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知，

甲分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為瑞=0.4；

乙分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為加=0.28.

(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

65X40+25X20-5X20—75X20

--------------1-0-0-------------=Ij5

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)70300-70

頻數(shù)28173421

因此乙分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

70X28+30X17+0X34-70X21

100=10-

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件的概率

例2某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為

一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等

獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C,求：

(1)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

解(1)設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M,則M=AUBUC

,1+10+50

VA,B,C兩兩互斥,...P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=-]000~=

61

1000-

故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為磊江

(2)設(shè)“1張獎(jiǎng)券既不中特等獎(jiǎng)也不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與事件”1張

獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，

(11A989

...P(N)=1—P(AUB)=1-[P(A)+P(B)]=1-trU5U+W0j=T000-

故1張獎(jiǎng)券既不中特等獎(jiǎng)也不中一等獎(jiǎng)的概率為9靜89.

感悟提升1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用

已知概率的事件表示出來(lái).

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概

率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是

間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概

率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡(jiǎn)便.

訓(xùn)練2經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率.

解記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件B,“2人排隊(duì)等

候”為事件C,“3人排隊(duì)等候”為事件D,“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5

人及5人以上排隊(duì)等候”為事件憶則事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=AUBUC,

所以P(G)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

⑵法一記''至少3人排隊(duì)等候”為事件H,

則H=DUEUF,

所以P(H)=P(DUEUF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則其對(duì)立事件為事件G,所以P(H)

=1一P(G)=0.44.

||分層訓(xùn)練?鞏固提升

|]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.下列說(shuō)法正確的是()

3

A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為]則比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)

B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個(gè)病人沒(méi)有治愈，則第10個(gè)病人

一定治愈

C.隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等

D.天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%

答案D

解析由概率的意義知D正確.

2.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張

全是移動(dòng)卡”的概率是3亦7那么概率是市的事件是()

A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡

C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡

答案A

解析由題意知“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件是“至多有一張移動(dòng)卡”，又1

一擊3=擊7，故"至多有一張移動(dòng)卡”的概率是言7

3.(2022?太原模擬)已知隨機(jī)事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,P(8)=0.2,則

P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析?.?隨機(jī)事件A和8互斥，且P(AUB)=0.7,尸仍)=0.2,.?.P(A)=P(AUB)

-P(B)=0.7-0.2=0.5,/.P(/1)=1-/,(A)=1-0.5=0.5.

4.(多選X2021.武漢調(diào)研)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是:，甲獲勝的概

率是上下面結(jié)論正確的是()

74

A.甲不輸?shù)母怕视褺.乙不輸?shù)母怕省?/p>

41

c.乙獲勝的概率,D.乙輸?shù)母怕?

答案ABD

解析因?yàn)榧住⒁覂扇讼鲁珊推宓母怕适强醇撰@勝的概率是點(diǎn)所以甲不輸?shù)母?/p>

、117

率故A正確；

14

所以乙不輸?shù)母怕?—5=亍故B正確；

113

所以乙獲勝的概率1-5—5=記，故c錯(cuò)誤；

所以乙輸?shù)母怕始礊榧撰@勝的概率是小故D正確，故選ABD.

5.(多選)(2022.重慶診斷)將一枚骰子向上拋擲一次，設(shè)事件A="向上的一面出

現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件8="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2"，事件C="向上的

一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則下列說(shuō)法中正確的有()

A.A8=0

B.BC="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”

C.AB+BC="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3”

D.ABC="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”

答案BC

解析由題意知事件A包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,3,5；

事件8包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2；

事件C包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4,5,6.

所以43="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2"，故A錯(cuò)誤；

BC="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4或5或6”，故B正確；

AB+BC="向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3或4或5或6”，故C正確；

ABC=Q,故D錯(cuò)誤，故選BC.

6.(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A.若事件A與B互斥，則AUB是必然事件

B.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著.若在這四大名著

中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進(jìn)行閱讀，設(shè)事件E="甲取至《紅樓夢(mèng)》”，

事件尸="乙取到《紅樓夢(mèng)》”，則E與尸是互斥但不對(duì)立事件

C.擲一枚骰子，記錄其向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A="向上的點(diǎn)數(shù)不大于5”，事件

B="向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則

D.10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)次品，從中抽取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含有2

個(gè)樣本點(diǎn)

答案BCD

解析對(duì)于A,事件A與B互斥時(shí)，AU8不一定是必然事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件E與尸不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以E與尸是互斥事件，但除了事件￡與

廠之外還有“丙取到紅樓夢(mèng)”“丁取到紅樓夢(mèng)”，所以E與尸不是對(duì)立事件，故

E與尸是互斥但不對(duì)立事件，故B正確；

對(duì)于C,事件A={1,2,3,4,5},事件8={2,3,5),所以3包含于A,故

C正確；

對(duì)于D,樣本空間。={正品，次品},含有2個(gè)樣本點(diǎn)，故D正確.

7.我國(guó)西部一個(gè)地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：

年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)

概率0.210.160.130.12

則年降水量在(200,300)(mm)范圍內(nèi)的概率是.

答案0.25

解析設(shè)年降水量在(200,300),(200,250),(250,300)的事件分別為A,B,

C,則A=BUC,且5,C為互斥事件,所以P(A)=P(B)+P(0=O.13+O.12=O.25.

8.若事件A與8是互斥事件，且事件AU8發(fā)生的概率是0.64,事件8發(fā)生的概

率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為.

答案0.16

解析設(shè)P(A)=尤，則P(B)=3x,所以尸(AUB)=尸(A)+P(B)=x+3%=0.64,所

以P(A)=x=0.16.

9.某城市2022年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：

污染指數(shù)T3060100110130140

111721

概率P

H)63301530

其中污染指數(shù)TW50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T^100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100

<TW150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2022年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概

率為.

3

答案5

解析由題意可知2022年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率P=-1^+1i+1i3=i

10.盒子里有6個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A={3個(gè)球中有1

個(gè)紅球、2個(gè)白球},事件B={3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球},事件C={3個(gè)

球中至少有1個(gè)紅球},事件。={3個(gè)球中既有紅球又有白球}.

⑴事件。與A,8是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？

(2)事件C與A的積事件是什么事件？

解(1)對(duì)于事件。，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，

故D=A+B.

(2)對(duì)于事件C,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球或2個(gè)紅球，1個(gè)白球或3個(gè)

紅球，故CA=A.

11.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表：

第一第二第A-A二-------第四第五第六

電影類(lèi)型

類(lèi)英婁美美類(lèi)

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值.

（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電

影的概率；

（2）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；

⑶電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類(lèi)型電影的好評(píng)

率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類(lèi)電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類(lèi)電影的

好評(píng)率增加0.1,哪類(lèi)電影的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本

中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大（只需寫(xiě)出結(jié)論）？

解（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2

000,

第四類(lèi)電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200X0.25=50.

故所求概率為就5=0.025.

（2）由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估計(jì)為1—藏372=0.814.

（3）增加第五類(lèi)電影的好評(píng)率，減少第二類(lèi)電影的好評(píng)率.

||B級(jí)能力提升

12.（多選）（2022.海口模擬）小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間（分鐘）

隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：

所需時(shí)間（分鐘）30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事

件

B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04

答案BD

解析“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事

件，A錯(cuò)誤；

線路一所需的平均時(shí)間為30X0.5+40X0.2