2023-2024學年河北省邯鄲市雞澤重點中學高三（上）第一次月考數學試卷（含解析）

2023-2024學年河北省邯鄲市雞澤重點中學高三（上）第一次月

考數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={X|QVx<Q+1},B={%|3+2%—/>0},且4nB=4則實數Q的取值

范圍為（）

A.（—3,0）B.[-3,0]C.[—1,2]D.[-2,1]

2.復數曷在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知aE（0,7i）,且3cos2a+7cosa=0,則sina的值為（)

ATB.\C.1D*

333

4.已知函數/（x）=xbix+Q在點（1J（1））處的切線經過原點，則實數a（）

A.1B.0C.—D.—1

e

5.已知函數/（X）=aex一）工在區(qū)間（1,2）上單調遞增，則a的最小值為（）

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.若直線y=%+b與曲線y=3—，4%-％2有公共點,則b的取值范圍是（）

A.[1-2y/~2t1+2y/~2]B.[1一6,3]

C.[-1,1+2>T2]D.[1-2yT2f3]

7.函數/（x）=夸箸的大致圖像是（）

B.

8.已知/(x)是定義域為(-8,+8)的奇函數，滿足f(l-x)=/(I+X),若/'(1)=2,則/'(1)+

/(2)+/(3)+-+/(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為1,則下列四

個命題正確的是()

A.直線BC與平面所成的角等于:

B.點C到面4BGO1的距離為殍

C.兩條異面直線5C和BQ所成的角為:

D.三棱柱445-BBiQ外接球半徑為殍

10.若函數/(x)=[一一9+3)x+2a+3]e*在x=1處取得極小值，則實數a的取值可以為

()

A.2B.1C.0D.-1

11.下列說法正確的是()

A.命題“VxGR,x2>-1"的否定是GR,X2<一1"

B.命題“mxG(-3,+oo),x2<9"的否定是“Vxe(-3,+oo),%2>9”

C.>y2”是“x>y”的必要而不充分條件

D.am<0”是“關于x的方程/-2x+m=0有一正一負實數根”的充要條件

12.若過點(2,0)有兩條直線與圓/+y2_2x+2y+?n+1=0相切，則實數m的可能取值

是()

A.-3B.3C.0D.i

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量有，B夾角為45。，且|五|=1,|2五一倒=CU，則|3|=.

14.在正四棱臺ABC?！?B1GD1中，AB=2,4當=1,=C，則該棱臺的體積為

15.已知函數/'(x)=2sin@x+$(3>0),若在區(qū)間(0,兀)上有兩個不同的x使得/(x)+

y/-2=0>則3的取值范圍是.

16.已知乙,尸2分別為橢圓C：號+Al(a>b>0)的兩個焦點，右頂點為4。為Aa的中

點，且居。14尸2,直線尸1。與C交于M,N兩點，且A4MN的周長為28,則橢圓C的短軸長為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在銳角△力BC中，a、b、c分別為角4、B、C所對的邊，且Ca=2csinA

(1)確定角C的大小；

(2)若c=C，且AABC的面積為日X求a+b的值.

18.(本小題12.0分)

設等差數列｛%｝的公差為小前n項和為方,等比數列｛&｝的公比為q,已知瓦=%,b2=2,

q=d,Si。=100.

(1)求數列｛6｝,｛b｝的通項公式；

(2)當d>l時，記金=最，求數列｛0｝的前n項和加

19.(本小題12.0分)

在四棱錐P-48CD中，PDJ_底面4BC。，CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/~l.

(1)證明：BD1PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

p

20.(本小題12.0分)

已知函數f(x)=Inx+ax(aGR).

(I)討論f(x)的單調性;

(II)設g(x)=f(x)+/+2,若g(x)至少有兩個不同的零點，求a的最大值.

21.(本小題12.0分)

已知函數/'(x)=x—alnx{aeR)

(1)討論函數/'(x)的單調性；

(2)若不等式;"(X)20恒成立，求a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

的右焦點為尸一條漸近線方程為，

己知雙曲線C：^1-4=l(a>0/>0)(2,0),X-3y=0.

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A、B,過戶的直線，交C的右支于M,N兩點，連結MB交直線x=|

于點Q,求證：力、Q、N三點共線.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因為集合8={x|3+2x—x2>0}={x|-l<x<3},AC\B=A,

所以力cB,

所以解得一1WaW2.

故選：C.

由已知可得aUB,然后結合集合包含關系即可求解.

本題考查集合的運算和表示方法，考查數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.【答案】c

…51-i(l-<)(2-3i)-l-5i15.

［解UI1解：v2+31=(2+3i)(2-3<)=13=~13~Y31)

復數目:在復平面內對應的點的坐標為(-；-卷)，位于第三象限.

故選：C.

直接利用復數代數形式的除法運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案.

本題考查了復數代數形式的除法運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：由3cos2a+7cosa=。得3(2cos2a-1)+7cosa=0,即6cos2a+Jcosa-3=0>

所以(2cosa+3)(3cosa-1)=0,又aC(0,兀)，則cosaC(—1,1),

所以cosa=

所以sina=，1-cos2a=

故選：D.

先用余弦的二倍角公式解出cosa,再用平方關系即可求出s譏a.

本題主要考查了同角基本關系的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：函數f(x)=xlnx+a,

/'(x)=Inx+1,???//(l)=1,

切線方程為y=x-1+a,故0=0-1+a,解a=1.

故選：A.

先求導，再求切線斜率，利用點斜式寫出方程，即可求解

本題考查切線方程，導數的幾何意義，考查計算能力，是基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：對函數/(x)求導可得，f'(x)=aex-p

依題意，aex-^>0在(1,2)上恒成立，

即a2*在(L2)上恒成立，

、n_1口1，/、—(ex+xex)/(%+1)

設9。)=~>xe(1,2)，則9(%)=(丫、2=一(八2

八'xex''(xex)(xex)

易知當％6(1,2)時，丁。)<0,

則函數9(%)在(1,2)上單調遞減，

則a>g(x)max=5(1)=；=e-1.

故選：c.

對函數f(x)求導，根據題意可得a2+在(1,2)上恒成立，設g(x)=*/6(l,2),利用導數求出

函數g(x)的最大值即可得解.

本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬

于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：曲線方程可化簡為(x-2)2+(y-3)2=4(1<t

…//

即表示圓心為(2,3)半徑為2的半圓，如圖/、/

依據數形結合，當直線y=x+b與此半圓相切時須滿足圓心??//,??

(2,3)到直線y=x+b距離等于2,即號料=2解得b=1+/一

2，^或b=1-2V-2，

因為是下半圓故可知b=1+2VN(舍)，故b=1-2尸-

當直線過(0,3)時,解得b=3,

故1-2。。W3，

故選：D.

本題要借助圖形來求參數b的取值范圍，曲線方程可化簡為。一2產+(y-3)2=4(l<y<3),

即表示圓心為(2,3)半徑為2的半圓，畫出圖形即可得出參數b的范圍.

考查方程轉化為標準形式的能力，及借助圖形解決問題的能力.本題是線與圓的位置關系中求參

數的一類常見題型.

7.【答案】A

【解析】解：函數的定義域為R,/?(_吟=匕/㈣出=￡卬絲=〃%),

則函數f(x)為偶函數，排除選項8、C；

由/(0)=0，嚙=0,/(1)=券高>0,則排除選項D.

故選：A.

由函數的奇偶性排除選項8、C,由/(0)=/6)=0,/⑴>0排除選項。，進而得到答案.

本題考查根據函數解析式確定函數圖象，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查函數值的計算，根據函數奇偶性和對稱性的關系求出函數的周期性是解決本題的關

鍵.

根據函數奇偶性和對稱性的關系求出函數/(x)是以4為周期的周期函數，結合函數的周期性和奇偶

性進行轉化求解即可.

【解答】

解：???/(X)是定義域為(-00,+8)的奇函數，且/(I-X)=f(l+X),

?1?f(0)=0，/(I-X)=f(l+x)=-/(X-1).

則f(x+2)=-/(%),則/(x+4)=-/(x+2)=/(%),

即函數/(x)是以4為周期的周期函數，

⑴=2,

???/(2)=-/(0)=0)/(3)=-/⑴=-2,

/(4)=/(0)=0,

則f(1)+/(2)+r(3)+f(4)=24-0-2+0=0,

則/(l)+/(2)+f(3)+“?+f(50)

=12[/(1)+/(2)+/⑶+/(4)]+f(49)+f(50)

=/(I)+/(2)=2+0=2,

故選：C.

9.【答案】ABD

【解析】解：正方體4BCD-&B1GD1的棱長為1,

對于選項4：直線8C與平面4BC1D1所成的角為NCBG=；,故選項4正確.

對于選項以點。到面4BGD1的距離為&C長度的一半，即/1=殍，故選項8正確.

對于選項C：兩條異面直線。iC和SC1所成的角為全故選項C錯誤.

對于選項。：三棱柱A4D,—B&C,外接球半徑「=JJ+12+12二口,故選項。正確.

~2~2

故選：ABD.

直接利用線面夾角的應用，異面直線的夾角的應用，三棱柱的外接球的半徑的求法的應用求出結

果.

本題考查的知識要點：線面夾角的應用，異面直線的夾角的應用，三棱柱的外界求的半徑的求法，

主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

10.【答案】CD

【解析】解：已知/(》)=[%2-(a+3)x+2a+3]e",函數定義域為R,

可得/'(x)=I%?—(a+l)x+a]ex=(x—l)(x—a)ex,

因為函數/(x)在x=1處取得極小值，

所以函數/(X)在x=1的左側單調遞減，右側單調遞增，

可得a<1,

則選項A和選項B錯誤，選項C和選項D正確.

故選：CD.

由題意，對函數f(x)進行求導，根據極小值的定義進行求解即可.

本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，考查了邏輯推理和運算能力.

11.【答案】BD

【解析】解：對于4命題“VX6R,/>一J是全稱命題，命題的否定是-3XER,x2<-r,

所以A錯誤；

對于8.命題'勺xG(-3,+8),尤2式9”是特稱命題，命題的否定是“VxG(-3,+oo),%2>9”，

所以8正確；

對于C./>y2q|x|>|y|,|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|>|y|,所以

是“x>y”的既不充分也不必要條件，所以C錯誤；

對于0,關于x的方程/—2x+6=0有一正一負根=廣一4丁>0Q瓶<0,所以“7n<0”是

1m<0

“關于x的方程/一2x+zn=0有一正一負根”的充要條件，所以。正確，

故選：BD.

直接利用命題的否定判斷選項A、B,利用充要條件判斷選項C、。的真假即可.

本題考查的知識要點：簡易邏輯的應用，四個條件和四個命題的應用，主要考查學生的運算能力

和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

12.【答案】CD

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關系的應用，兩點距離公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

利用已知條件推出點與圓的位置關系，列出不等式求解m的范圍即可.

【解答】

解：圓/+y2-2x+2y+m+1=0即(x—I)2+(y+I)2=1—m,圓的圓心(1,-1),半徑為：

V1-m<1.

過點(2,0)有兩條直線與圓/+y2-2x+2y+m+1=0相切，

說明點在圓的外側，可得：J(2-1尸+(0+解得小>一1.

則實數小的取值范圍是(一1,1).

故選：CD.

13.【答案】3，五

【解析】【分析】

利用數量積的性質即可得出.

本題考查了數量積的性質，向量模的計算，屬于基礎題.

【解答】

解：?.響量落B夾角為45。，且|方|=1,|2五一3|=CU.

J4a2+b2-4a-b=

化為4+\b\2-4\b|cos45°=10)

化為|B|2—-6=0.

???|K|>0，

解得|B|=3C.

故答案為：3c.

14.【答案】Z￡!

6

【解析】解：如圖，設正四棱臺4BCD的上下底

面中心分別為M,N,

過&作1AC,垂足點為H,由題意易知=HN=殍,

'又AN=C，

AH=AN-HN=三，又441=<2):.ArH=MN=?，

該四棱臺的體積為3x(1+4+<TV4)x?=若.

故答案為：竽.

6

先根據題意求出四棱臺的高，再代入臺體的體積公式即可求解.

本題考查臺體的體積公式的應用，屬基礎題.

15.【答案】(|,3]

【解析】解：/(%)+>J~~2=0,

則sin(3%+力=一￥，

v0<x<7T,

A-<COX4--<CO7T+

???在區(qū)間(0,兀)上有兩個不同的工使得/Q)+/1=0，

.7.13

Sin-7T=Sin-7T=———，

442

二由正弦函數的圖象可知，±<3%+牌%,解得|<3W3,

故3的取值范圍是6,3].

故答案為：(|,3].

根據已知條件，推得sin(3x+》=-苧，再結合x的取值范圍，以及正弦函數的圖象，即可求解.

本題主要考查正弦函數的圖象與性質，屬于基礎題.

16.【答案】7"

【解析】解：D為4尸2的中點，且F1DJ.4F2，

.-.\MF2\=\MA\,\NF2\=\NA\,

???|MF/+\MF2\=2a,\NF2\+|NFJ=2a,

???|MF/+\MF2\+\NF2\+INF/=4a,

.%\MA\+IMF/+\NA\+INF/=4a,

A\MA\+\MN\+\NA\=4a,

???△4MN的周長為28,

:.4a=28,???a=7,

由已知可得4(b,0),F1(0,—c),F2(0,C),

c

-+cc

-2X3c

b---WO---

-ob(-

2

7

???b2=3c2,4c2=a2=49,AC-

.-.b=x|=等，.,.短軸長為7，3.

故答案為：7A/~與.

由題意可得|“川+|"川+叫川=4(1,可求a,進而可得?、言=與?(一力=-1,可求b,進

2

而可求短軸長.

本題考查橢圓的幾何性質，考查運算解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)??,V_3a=2csinA

???正弦定理得一=2sinCsinA^

.??力銳角，

：?sinA>0,

:.sinC=—，

又???c銳角，

71

c=W

(2)三角形4BC中，由余弦定理得c?=a2+62-2abcosC

BP7=a2+h2-ab,

又由△4BC的面積得S=^absinC="。匕?=

即ab=6,

???(a+h)2=a2+62+2ab=25

由于a+b為正，所以a+b=5.

【解析】(1)利用正弦定理把已知條件轉化成角的正弦，整理可求得sinC,進而求得C.

(2)利用三角形面積求得ab的值，利用余弦定理求得。2+/的值，最后求得a+b的值.

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用.考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用.

10

18.【答案】解：(1)設的=a,由題意可得｛方；*2，"=°(

解得｛瀉，或｛建

n

當｛:二;時，an=2n-1,bn=2t,nEN*；

當｛屋時，an=i(2n+79),bn=9.gfn6N*；

nr

(2)當d>l時，由(1)知而=2n-l,bn=2-,

=On=2n-l

n

bn2"T'

111

二7^=1+3X]+5X/+…+(2n-1)-

=1x3+3xa+5xa+—F(2n-3)x^7+(2n-1)x算,

11111

二/=2+之+M+…+-(2n-1)-

=3-2n+3

2n

2n+3nGN*.

【解析】本題主要考查等差、等比數列的通項公式及等差數列的求和公式，利用錯位相減法是解

決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

(1)根據題干條件，結合等差數列求和公式、等比數列的通項公式，聯(lián)立方程組計算即可;

(2)當d>l時，由(1)知0=猾，利用錯位相減法及等比數列的求和公式，計算即可.

19.【答案】解：（1）證明：???PD，底面/BCD,BDU面

ABCD,

???PD1BD,

取48中點E,連接DE,

AD=DC=CB=AB=2,

???4DAB=60°,又?；AE==AD=19

1

???DE=1,:.DE=/AB,

??.△4BD為直角三角形，且48為斜邊,

???BDLAD,

又PDC4D=D,PDu面PAD,ADu面PAD,

BD1面P4。，

又PAu面PAD,

???BD1PA；

(2)由(1)知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，

BD=VAB2-AD2=C，

貝|JD(O,O,O),4(L0,0),8(0,y/~3,0),P(0,0,V-3),

.??麗=(0,0,-AT3),RA=(l,0,-<^),AB=(-l,<3,0)?

設平面P4B的一個法向量為元=(x,y,z),則區(qū),絲二"-，則可取元=(，3,1,1)，

(n-AB=-x+=0

設PD與平面P4B所成的角為。，則s譏。=|cos<PD,n>\=|黑身=?，

\PD\\n\5

.--PC與平面P4B所成的角的正弦值為一.

【解析】(1)易知PD1BD,取4B中點E,容易證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據長度關系

可得8。14。，進而得證；

(2)建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，再求出平面P4B的法向量，利用向量的夾角公式即可

得解.

本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推理能力及運算求解

能力，屬于中檔題.

20.【答案】解:(I)/(x)的定義域是(0,+8),

1(x)=：+a=等，

當a>0時，/'(%)>0恒成立，故函數/(%)在(0,+8)上單調遞增；

當”0時，令廣⑺>0,解得令((x)<0,解得乂>一；，

故/(x)在(0,-》上單調遞增，在(一；,+8)上單調遞減.

(II)g(x)=/(%)+/+2=Inx4-x2+ax+2,

g(x)至少有兩個不同的零點，則等價于方程Znx+產+a%+2=0至少有兩個相異實數根,

由山+3+”+2=0,得—a=^+x+：

設產。)=等+%+：,則叫X)=‘普T，

令九(X)=x2-Inx-1,貝=2%-^=2"ji，

令九'(x)=0,可得*=好或％=一殍(舍)，

所以在(0,1)上，h'(x)<0,/i(x)單調遞減，在(?,+8)上，h'(x)>0,h(x)單調遞增,

所以函數九。)的最小值為八(殍)=(￡2)2_in￡2_i<o，

又無(1)=0,所以當xe(1,+8)時，h(x)>0,

又九?)=(；)2-ln1-l=(1)2>0,因此必存在唯一沏6?,容)，使得=0,

當工變化時，h(x),F'(x),F(x)的變化情況如下表：

X%01

(O,xo)(3,1)(1,4-0°)

/l(x)+0—0+

F'(x)+0—0+

F(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

當x=xo時，尸。)有極大值尸(珀,當x=l時，F(%)有極小值F⑴,

又尸(1)=3,尸弓)=、<尸(1),且當<->+8時,FQ)T+8,

所以F⑴<-a<尸(&),可得一F(&)<fl<一尸(1)時,

直線y=-a與函數y=F(%)的圖象至少有兩個公共點，

所以a的最大值為-3.

【解析】(I)求出函數/。)的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；

(II)由函數的零點與方程的根的關系可得方程)工+/+。％+2=0至少有兩個相異實數根，分離

參數可得一a=^+x+j設尸(x)=?+x+j利用導數求出F(x)的單調性與極值，從而可求

得a的最大值.

本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數零點問題，考查分類討論思想與運算求解能

力，屬于難題.

21.【答案】解：(1)/'(乃=1一?=?，...(1分)

當Q<。時，X>0,???f'(%)>0恒成立，

???/(%)