湖北省重點高中智學聯盟2023-2024學年高三年級上冊10月聯考數學試題含答案

湖北省重點高中智學聯盟2023年秋季高三年級10月聯考

數學答案

l.B2.A3.B4.A5.B6.C7.D8.C9.ABDW.ACDW.AB12.BC湖北省重點高

中智學聯盟2023年秋季高三年級10月聯考

數學試題

命題學校：新洲一中(邦城校區(qū))命題人：黃宏斌審題人：陳雙雄

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一

項。

1.設集合M={x|x=,+eZ},N={x|x=：+eZ},則()

A.M=NB.MUN=NC.N曙MD.MCN=0

2.已知命題p：3x6[-1,3],/一。一3wo.若p為假命題，則a的取值范圍為()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(—8,6)D.(—8,0)

3.已知Q<bVc且a+2b+4c=0,則2的取值范圍是()

a

A.(-8,一》B.(一?1)C.(0,》D.&1)

4.已知函數/(%)滿足/(%)+2/(-%)=4%,則f(2)等于()

A.-8B.8C.-6D.6

5.已知角a終邊上一點P(—2,3),則"S(/a)sin(m+a)的值為()

cos(7r-a)sin(3zr+a)

6.設函數/"(x)=竺過+(x-a)2(xeR),若關于x的不等式/(x)＜尚有解，則實數a的值為()

1617

7.已知a,b,c分別為AABC三個內角A,B,C的對邊，且a?cosC+V3a-sinC-b-c=0,則A=()

7T7T2n

A.B.C.

263

8.己知定義在R上的函數/(x)的圖像關于直線x=l對稱，且關于點(2,0)中心對稱。設

g(x)=(x-l)/(x).若g(23)=88,￡管0。)=()

A.4040B.4044C.4048D.4052

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題有多項符合題目要求，全部選對的

得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.定義在實數集上的函數D(x)=fl'x為有理上數?稱為狄利克雷函數.該函數由19世紀德國數學家狄

為無理數

利克雷提出，在高等數學的研究中應用廣泛.下列有關狄利克雷函數。(乃的說法中正確的是()

A.D(x)的值域為{0,1}B.O(x)是偶函數

C.存在無理數",使D(x+to)=C(x)D.對任意有理數3有D(x+t)=D(x)

10.已知函數/(均=1211(3%一￡)(3>0),則下列說法正確的是()

A.若/'(X)的最小正周期是2兀，則3=g

B.當3=1時，f(x)的對稱中心的坐標為(/OT+9O)(kez)

C.當3=2時，f(d)>/'閨

D.若/(X)在區(qū)間卷，兀)上單調遞增，則0<3?|

11.設函數/(x)的定義域為。，如果對任意的右6。，存在X26。，使得曲等經2=c(c為常數)，

則稱函數y=/(x)在。上的均值為c,下列函數中在其定義域上的均值為2的有()

A.y=x3B.y=tanxC.y=2sinxD.y=V4—x2

12.已知函數/(%)=-久3+2/-3%,若過點P(-2,7n)(niEZ)可作曲線y=f(x)的三條切線，則？n

的值可以為()

A.3B.4C.21D.22

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知問1,8],則函數f(%)=%+：的最大值與最小值的和為.

14.函數y=2sin(一2x+習+1最小正周期為______.

15.若函數/(x)=loga(-/+ax+l)(a>0且a于1)在(2,3)是減函數，則實數a的取值范圍

是.

16.有這樣一個事實:函數y=log±x與y=(有三個交點為(；小,P?&；)，03在直線y=x上。一

般地，我們有結論:對于函數y=log。與/=標的圖像交點問題，當0<a<e-e時，有三個交點，

當e-e<a<1時有一個交點；借助導數可以推導：當1<a<?時有兩個交點，當a=?時有一個

交點，當a>?時沒有交點；先推導出？的值，并且求：關于x的方程/x-3nx=0在(0,+8)上只

有一個零點，t的取值范圍為_______.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

設(7=/?,A—{x\x2—4x+3<0},B={x|<0},C-{x|a<x<a+l,aGR}.

(1)分別求AnB,AU(CuB)；

(2)若BUC=B,求實數a的取值范圍.

18.(本小題12分)

已知函數/"(X)=盤雪①6R)為R上的奇函數，

(1)求實數a的值；

(2)判斷函數f(x)的單調性并證明；

(3)設函數g(x)=?x+b,b6R,若對任意的久16[0,1],總存在%26[0,1]，使得g(Xi)=3f(X2)成立，求

實數b的取值范圍。

19.(本小題12分)求值：

(l)sin40°(V3-tan10°)

(2)sin210o+cos240°+sinl00cos40°

20.(本小題12分)

現有大小相同的7個紅球和8個黑球，一次取出4個。

(1)求恰有一個黑球的概率；

(2)取出紅球的個數為X,求X的分布列和數學期望;

(3)取出4個球同色，求全為紅球的概率。

21.(本小題12分)

在AABC中，B=p點D在邊AB上，BD=2,且DA=DC.

(1)若ABCD的面積為2次，求邊CD的長；

(2)若AC=2倔求NDCA.

22.(本小題12分)

己知：函數/(x)=xlnx,(x>0)

(1)求f(x)的單調區(qū)間和極值；

(2)證明：ex-2x>x/(x)：(參考數據：e2?7.39,e3?20.09)

(3)若不等式/(x)S—/+5+1次-<1的解集中恰有三個整數解，求實數a的取值范圍。(第三問

直接寫出答案，不需要詳細解答，參考數據：ln270.6931,ln3,1.0986)

13.1614.n15.[1,4]16{t|-eKt<0勘=3

12.解法一://(x)=-3x2+4x-3,設切點為Qo,一瑞+2瑞-3x(j),

4

則切線方程為y+瑞-2%o+3x0=(-3%o+%0-3)(x-x0)>

將x=-2,y=?n代入得，m=2端+4詔-8x0+6,

令g(%)=2x3+4%2—8%+6,則g'(%)=6x2+8x-8=2(%4-2)(3%—2),

??.x>|或x<—2時，，(%)>0,當—2<x<|時,g'(x)<0,

故函數g(x)的單增區(qū)間為(一8,-2)和管,+oo),g(x)的單減區(qū)間為(-2,1),

?1.g(x)的極大值為g(-2)=22,極小值為g(|)=g,

由題意知，^<m<22,又小為整數，

：.m=4,5,......20,21

解法二：f'(x)--3x2+4x-3,/''(x)=-6x+4,.?.函數/(x)的對稱中心坐標為P(|,/(|))

=(|，-§).函數“X)在點p處切線方程為y-(-招)=/'?(■》即為y+罵=一沁_|)，再令

x=—2,得丫=畀又/(—2)=22,由題意知，g<m<22,又m為整數，

???m=4,5,...20,21

16.(1)當a>1時，先求？的值，有一個交點時，由題意可知切點在直線y=x上，設切點橫坐標為&，由

導數幾何意義可知就花=ax°Tna=1,二ax°=e,lna=a=《；

(2)由e'x=/nx,可得(e')x=logetx,令e，=a,則loga%=謨(0<a且a芋1),

由提供的信息可得，e-ewa=<1或a=et=￡，二｛t|"eWt<0或t=；｝

2

17.解：(1)vA={x\x—4%4-3<0},AA=(1,3),.................................(1分)

又由號W0，得Q-2)0-4)<0,且(x-4)H0B=[2,4),..................(3分)

：.AOB=[2,3),.................................(4分)

,-,C(jB=(-oo,2)U[4,+oo),

AU(CyB)=(-a>,3)U[4,+<?)；................(6分)

(2>BUC=B,???CUB,.............................(7分)

又?；C=[a,a+1],B=[2,4),

?'?I詈力解得2口<3,.............................(9分)

lQ+1V4,

???實數a的取值范圍為[2,3)..............................(10分)

18.解:(1)?.?函數f(x)是奇函數，=-/0).................................(1分)

即|^=一落，整理有對于Vx€R,(l+a)(2x+1)=(),.?.a=-1......................(4分)

(此處用-0)=0得出a=-1的如果沒有驗證函數/(x)是奇函數的扣2分)

(2)函數"X)在R上單調遞增，證明如下：............(5分)

.?"(》)=舒1一島，13=需急°，

???函數/'(X)在R上單調遞增..........(8分)

用單調性定義證明的同樣給分。

（3）設人={y|y=g（x1）,xie[0,1]},B={y|y=3/（x2）,x2e[0,1]）,

有條件可知，AcB（9分）

由（2）問可知,y=3/（x2）在不6[0,1]時單調遞增，=[0,1],..........（10分）

,1（b>0i

又???A=[r叱+b],；.,+bv,0WbW5..........（12分）

19.解：（1）sin40°（V3-tan10°）=sin40°（V3-..........（1分）

?.ozV3cosl0o-sinl0\..2sin（60°-10°）2cos400sin80°（4、

=sin4A℃―—）=9口40no。Msl。。=smA40ao7^7=-=1..........（6分）

（2）方法一：sm210°+cos240°+sml0°cos40o=lc^s20++-snisojs,nso...（8分）

cos80°-cos200+sinS00cos80°-cos200+sin500

22

3,cos650o+30°；-cos（50°-30。）+sin50。33

-+------------------------------------------------------=—4-0=-.....（12分）

4244

方法二：構造對偶式

2222

設m=sin100+cos40°4-sinl0°cos40°/n=cos100+sin400+cosl0°sin40°,貝！J...（8分）

m+n=2+s譏50°,n—m=cos20°—cos800+s譏30°,則

2m=2-i+sin500-cos20°+cos800=m=-.....（12分）

224/

方法三：構造三角形，令外接圓半徑為右則由正弦定理可得

則a=sml0°,b=cos40°=sm50°,c=sinl20°，再由余弦定理，

O

c2=a2+h2-2abcosC=sm210°+sm250°—2sml00sin500cosl20°=sin2120°=-

4

……（12分）

20.解：（1）記事件A="求恰有一個黑球〃，則由古典概型公式可得

PG4）=^=*.....（3分）

（2）X的可能取值為0,1,2,3,4,.....（4分）

P（x=0）=4=--P（X=1）=,P（x=2）=^=里，

'，第539'7臉195,臉195

P（X=3）=警=P（x=4）=導=*,X的分布列如下：.....（7分）

c

G153V15J?

（概率對了一個給1分，不超過7分，此處沒有約分的不扣分）

X01234

P2568481

391951953939

「八7、-2-56_84_8136428/c八\

E（X）=0x—+1x——i-2x—+3x—+4x—=—=—.....（9分）

',39195195393919515

（此處沒有約分的扣1分）

（3）記事件B=”取出4個球同色，求全為紅球”，則由條件概率公式有

p⑻=扁=4...........(12分)

21.解：(1)

在ABCD中，SABCD=|BD-BC-sin/DBC=2K，且BD=2,zDBC=1,可得BC=4(2分)

在ABCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2-2DB-BGCOSNDBC=12,

??.DC=2V3.......(5分)

(2)記NDCA=6(0,勃，貝!|NBDC=2。,，NDAC=a/BCD=與一20,

ZADC=n—20；（6分）

記AD=DC=m/BC=a,

BCBDCD2

在ABCD中，由正弦定理有嬴玄（7分）

Si/lZ-DUC.sinzBCDsin/DBC'sin20-sin(普-29)15譏為

ACAD

26m

在AACD中，由正弦定理有嬴嬴（8分）

一sinzACDsin26siW

2

'''msin28=2於sinS=a嗚a=4sin0,即有鬻=2（分）

sm(羊一26)cose'9

???5in(y-20)=cos0=sin^+g),J.NDCA=。哥或《（12分）

（掉了一個解扣2分）

22.解：(1)???/(x)=xlnx,(x>0)/Q)=inx+1,

令/(x)=0,可得x=5列表如下：..........(1分)

X1

G)e

八乃—0+

f(x)極小值一工t

e

...........（2分）

???/（無）的單調遞減區(qū)間為（0,》，單調遞增區(qū)間為C，+8），極小值為-%無極大值。

（“無極大值”掉了的扣1分）……（4分）

（2）解法1：要證e*-2x>%,x/nx,只需證‘Inx（對數靠邊走）.....（5分）

X2

設g（x）=三手-Inx,則g（x）=1-X管-2）,易知［/>x+1>x，令g（x）=0,可得x=2，列表如

下：……（6分）

X(0,2)2(2,+oo)

—0+

g'(x)