2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)延安中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)延安中學(xué)高三(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

(9月份)

一、單選題(本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

11

1.若X,y為實(shí)數(shù)，則‘^<5”是“Iog2x>log2y”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

,1

A.y=InxB.y=tanxC.y=%3+xD.y=--

3.函數(shù)/(x)=sin2x圖象上存在兩點(diǎn)P(s,t),Q(r,t)(￡>0)滿足r-s=2則下列結(jié)論成立

的是()

A/s+*MB/S+5=?

C/sY)=TD./(sY)=-?

4.已知數(shù)列｛an｝滿足：對(duì)任意的neN*,總存在meN*,使得則稱｛5｝為“回旋

數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

①若%=2023n,則5｝為“回旋數(shù)列”；

②設(shè)｛aj為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則｛冊(cè)｝為“回旋數(shù)列”；

③設(shè)｛5｝為等差數(shù)列，當(dāng)即=1,d<0時(shí)，若｛冊(cè)｝為“回旋數(shù)列"，則d=-l；

④若｛即｝為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意neN*,總存在meN*,使得的,=5..

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(本大題共12小題，共54.0分)

5.集合M=｛x|x-4<l,x€N｝,則M中元素的個(gè)數(shù)為.

6.已知隨機(jī)變量X?N(l,4),若P(X<a+3)=P(X>2a-4),則實(shí)數(shù)a的值為.

7.若sing+a)=g,則sina+cosa=.

8.若，O9Q(2X)=4,則x=.

9.已知直線，i：2ax+y+1=0與直線(a-l)x-ay+2=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為

10.已知復(fù)數(shù)名=。+僅，其中QE｛-2,0,1｝,b€｛0,1,4,9｝,則復(fù)數(shù)z=Q+bi是純虛數(shù)的概

率為.

11.在(3%-3尸的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,則展開式中的常數(shù)

項(xiàng)為.

12.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名志愿者將分別安

排到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)地至少安排一名志愿者，且每名志愿

者只能去一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)，則甲、乙兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)的概率為.

13.在△ABC中，E為ZC的中點(diǎn)，D是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，若而=x^+y而，則的最小值

為.

14.已知雙曲線C：盤一，=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F「尸2.點(diǎn)4在C上，點(diǎn)B在y

軸上，F(xiàn)^A1F\B，F(xiàn)^A=一號(hào)布，則C的離心率為.

15.設(shè)數(shù)列滿足冊(cè)+1=2(|an|-l),neN*,若存在常數(shù)M>0,使得對(duì)于任意的nGN*,

恒有|dn|WM,則由的取值范圍是.

16.若xe*-1,Iny—^=1,則xy=.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

己知數(shù)歹(]｛與｝、｛%｝滿足4%i+i=3an-bn+t,4bn+1=3bn-an-t,teR,neN+，且a1=1,

瓦=0.

(1)求證:｛即+%｝是等比數(shù)列；

(2)若｛a.｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

18.(本小題14.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平

面PAD_L平面4BCD,AB1PD.

(1)求證：平行四邊形4BCD為矩形；

(2)若E為側(cè)棱P。的中點(diǎn)，且平面4CE與平面4BP所成角的余弦值為匚，求點(diǎn)B到平面4CE的

4

距離.

p

19.(本小題14.0分)

近年來，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的

生活，改變了我們的生活方式現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，

不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市M社區(qū)為了解該社區(qū)

市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計(jì)6040100

(1)是否有99.9?的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

(2)M社區(qū)的市民張無忌周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一從4,B兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一

個(gè)下單買菜.如果周一選擇4平臺(tái)買菜，那么周二選擇入平臺(tái)買菜的概率也如果周一選擇B平

臺(tái)買菜，那么周二選擇入平臺(tái)買菜的概率為5求張無忌周二選擇B平臺(tái)買菜的概率；

(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從M社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)

為X事件"X=k”的概率為P(X=k),求使P(X=k)取得最大值的k的值.

2

參考公式：心…黑■編…，其中…+b+c+d

P(K2>to)0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

20.(本小題18.0分)

已知公(一2,0),4(2,0)分別是橢圓C：卷+5=1(￡1>6>0)的左、右頂點(diǎn)，過必作兩條互

相垂直的直線A/,分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，△AM4面積的最大值為2/7.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線42M與4N交于點(diǎn)P,直線4"與交于點(diǎn)Q.

①求直線PQ的方程；

②記AMNAi，的面積分別為工，S2,求職的最大值.

21.(本小題18.0分)

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)/(%)構(gòu)成的集合：“①方程/(x)-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f(x)

的導(dǎo)數(shù)f'(x)滿足0<f'(x)<1".

(I)判斷函數(shù)f(x)=5+竿是否是集合M中的元素，并說明理由；

(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域?yàn)椤?，則對(duì)于任意[m,n]UD,都

存在&6使得等式/'(n)-/(?n)=(n-m)r(x())成立"，試用這一性質(zhì)證明：方程

/(X)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(III)設(shè)/是方程f(x)—x=0的實(shí)數(shù)根,求證:對(duì)于/"(X)定義域中任意的%2、%3,當(dāng)%-xj<1>

且|尤3—刈|<1時(shí)，l/(x3)-/(x2)|<2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：當(dāng)(<3時(shí)，則y<x<0或x>y>0,當(dāng)y<x<0時(shí)，％V0,y>0,log2%無意義,

故充分性不成立，

當(dāng)log?%>log2y時(shí)，則％>y>0,則;v；，則必要性成立，

xy

故“；<!”是，Og2X>10g2y”的必要不充分條件.

xy

故選:B.

根據(jù)充分條件、必要條件的定義，即可可解.

本題考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：y=1nx為對(duì)數(shù)函數(shù)，不為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

y=tanx為奇函數(shù)，在(卜兀一兀+1)(k6Z)內(nèi)為增函數(shù)，故8錯(cuò)誤；

、=爐+》為奇函數(shù)，且y'=3/+l>0,可得y=/+》為增函數(shù)，故C正確；

y=-［為奇函數(shù)，在(一8,0),(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

由常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得結(jié)論.

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由題知/(%)=sin2x,

???T=nfvP(s,t),Q(r,t)均在f(%)=sin2%上,

:.sin2s=sin2r=t>0,

7T,7TT

vr-s=76<-4=4

???0V2r—2sV

故有：2r+2s=Jr+2/CTT,kEZ9

2r+2s=TT+2kn

兩等式聯(lián)立冗，

r-s=-

解得2s=W+/C7T,k€Z,

???sin2s=t>0,

***2s=§+2k]T[,hEZ,

???f(s+勺=sin2(s+.)=sin(2s+勺=sin(g+g+2/CTT)=

ooooo乙

???f(s-弓)=sin2(s-3)=Sin(2s*)=sing+2kn-))=0,

綜上選項(xiàng)8正確.

故選：B.

根據(jù)P(s,t),Q(r,t)(t>0)在/(x)=sin2x上，可得出2r+2s=兀+2kn,keZ,再聯(lián)立r-s屋,

得到s的值，根據(jù)t>0縮小s的取值范圍，進(jìn)而代入f(s+9f(s-今求值即可.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：對(duì)于①：若廝=2023n,

可得%=2023(1+2+3+…+n)=2023x

由Sn=am,

可得2023x磅#=2023m,

取m=嗎工即可，

此時(shí)｛6｝為“回旋數(shù)列"，故①正確；

對(duì)于②：已知｛5｝為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，

’當(dāng)q—■1口寸，S九--71Q],Qm=Qj.，

由%=Q/n，

可得71al=

所以當(dāng)九=2時(shí)，九%=%明顯不成立，

故｛an｝不是“回旋數(shù)列"，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)椋矗堑炔顢?shù)列，

所以=1+(m—l)d,S九=n+

因?yàn)閿?shù)列｛即｝是“回旋數(shù)列”，

所以1+(m—l)d=n+則J】d,

整理得m=唾+迎m+i,

a2

因?yàn)楦刚筤為非負(fù)整數(shù)，

所以要保證守恒為整數(shù)，

故d為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且d<0,所以d=-L故③正確；

對(duì)于④：由①可得當(dāng)即=2023n時(shí)，{斯}為“回旋數(shù)列”，

可得=2023x2,Sm=2023x皿7),

顯然不存在m,使得叁=02=2023x2,故④錯(cuò)誤.

綜上得結(jié)論正確的有①③.

故選：B.

由題意，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合所給“回旋數(shù)列”的定義，對(duì)每

項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證，進(jìn)而可解.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理和分析問題解決問題的能力.

5.【答案】5

【解析】解：x<5.

又xeN,

M={0,1,2,3,4},所以M中元素的個(gè)數(shù)為5.

故答案為：5.

解不等式求出M={0,123,4},得到答案.

本題考查集合的含義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】1

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(l,4),若P(X<a+3)=P(X>2a-4),

則X=a+3與X=2a-4關(guān)于X=1對(duì)稱，

即a+3+2a—4=2,

則a=1.

故答案為：1.

根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可解.

本題考查正態(tài)分布對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】?

【解析】解：???sinC+a)=9，

???—y/~2cosa+,—<2si.na=1

???sina+cosa=—?

故答案為：?

直接利用兩角和的正弦公式求解.

本題主要考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】2

【解析】解：由己知得(C)4=2x,.?./=2x,

又Tx>0,x=2.

故答案為：2.

根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化公式建立方程，解方程即可.

本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】a=0或a=|

【解析】解：由于"_L12,所以2ax(a-1)+1x(-a)=0,

即：2a2—3a=a(2a—3)=0,解得a=0或a=|.

故答案為：a=0或a=|.

根據(jù)直線垂直列方程，由此求得a的值.

本題考查兩條直線垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【答案】

10.4j

【解析】解：在2=。+尻中,aw{—2,0,1},b6{0,1,4,9),

?.?復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，

???Q=0,b豐0,

131

X=

.??復(fù)數(shù)z=a+bi是純虛數(shù)的概率為:3-4-4-

故答案為：

4

由純虛數(shù)得出a,b的取值，即可求出復(fù)數(shù)z=a+bi是純虛數(shù)的概率.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】135

【解析】解：在(3x-/)"的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為2fl+2"=128,n=6,

則展開式中的通項(xiàng)公式為.+1=d-36-r-(-l)r-X6-T>

令6-與=0,求得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為*32=135,

故答案為：135.

由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式的常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】1

【解析】，解：根據(jù)題意，先將四人分為1,1,2三組共有廢=6種分法，

再將三組分到三個(gè)場(chǎng)地共有用=6種分法，

則四名志愿者去三個(gè)場(chǎng)地共有6X6=36種情況，

又甲、乙兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)共有廢?屬=6種情況，

則甲、乙兩名志愿者在同一個(gè)場(chǎng)地服務(wù)的概率為白=i

366

故答案為："

根據(jù)題意先將四人分為1,1,2三組，再計(jì)算出甲乙在同一個(gè)場(chǎng)地的情況，利用古典概型可解.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】9

【解析】解：因?yàn)镋為ZC的中點(diǎn)，。是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，

AD=xAB+y^AC=x^AB+2y荏，

由B,E,。三點(diǎn)共線可得x+2y=1,x>0,y>0,

則==5+=9,

已經(jīng)修改，謝謝當(dāng)且僅當(dāng)％=y=時(shí)取等號(hào).

故答案為：9.

由已知結(jié)合向量共線定理可求得x+2y=1,然后利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解.

本題主要考查了向量共線定理及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】T

【解析】解:(法一)如圖，設(shè)Fi(-c,O),F2(C,0),B(O,n),

設(shè)A(x,y),則F2G=(x—c,y),F2B=(-c,n)?

2

x-c=zcr

又引=一|竊，則2，可得/6c,一弓?n),

y=一”

又瓦彳J,瓦萬，且瓦？=?c,-|n),用耳=(c,7i),

22

則無？-F1B=|c—|n=0,化簡(jiǎn)得聲=4c2.

又點(diǎn)4在C上，

則學(xué)一部=1,整理可得答一駕=1,

a2b29a29V

代n2=4c2,可得與一塔=9,即25e2-袈=9,

解得e2=5或家舍去),

故e=等

(法二)由同="而，得鬻=],

設(shè)|碗|=2t,|取|=3t,由對(duì)稱性可得|窗|=3t，

則|甌|=2t+2a,\AB\=5t，

設(shè)“4尸2=。,則s仇0=卷=|,

所以cos8='=2t解得t=a,

所以|麗I=2t+2a=4a,\AF^\=2a，

在44F#2中，由余弦定理可得cos。=16a21笠4c2=4

16az5

即5c2=9a2,則6=等

故答案為：一.

(法一)設(shè)Fi(-c,0),『2(60)，B(0,n),根據(jù)題意可得點(diǎn)4的坐標(biāo),進(jìn)一步得到瓦了=(1c,-|n),^=

(c,n),再由瓦五,瓦后，可得M=4C2.結(jié)合點(diǎn)4在雙曲線上，可得解；

(法二)易知黑=|,設(shè)|而|=2t,|荻|=3t，"和=0,解三角形可知5c2=9a2,進(jìn)而得

解.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】[一2,2]

【解析】【分析】

本題考查數(shù)列遞推式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

由題意，存在常數(shù)M>0,使得對(duì)于任意的n6N*,恒有l(wèi)a"<M,可得一M<an<M,得—M<

WM,即可得出結(jié)果.

【解答】

解：由題意，存在常數(shù)M>0,使得對(duì)于任意的zieN*,恒有

所以—MSanWM,①

?1'lan+ll—M,

.,.得-M<an+1<M,

又M+i=2(|On|-1)

所以一M式2(|即|-1)WM；

即一2+1W|斯|W?+1,②

由①②，可得：M=2,

又應(yīng)|<M

所以％的取值范圍是[-2,2].

故答案為：[—2,2].

16.【答案】e

【解析】解：由xe*=l,兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，得無+伍%=》1=0,

由/ny_]=l,令;=t,則y=(,

所以"y-]=\n^-t=l-lnt-t=l,即一Mt-t=0,

所以1nt+t=0,設(shè)/(x)=x+/nx,則/''(x)=1+：>0,

所以/(%)=%+仇工在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由％+Inx=0以及bit+t=0,則％=3

由y=(即y=:，貝ky=e.

故答案為：e.

由xex=l,兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，得x+mx=O,由，ny-j=l,令1=t,則y=：,從而可得

—Int—t=0,則％=3從而得出答案.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

17.【答案】證明：(1)由題可知：4bH+i=3bn—an—t,4an+1=3an—bn+3

故可得瑪+i+bn+1=1(an+bn),又知+瓦=1W0,.??Qn+8nH0,

???"1:產(chǎn)=所以｛斯+為｝是首項(xiàng)為1,公比為:的等比數(shù)列.

(2)解：方法一：

???｛%J是遞增數(shù)列，

an+1-an>。對(duì)任意riGN+恒成立，

??,4冊(cè)+i=3an-bn+3???4(an+1-an)=-(an+bn)+3

則一(a九+bn)4-1>。對(duì)任意九EN+恒成立，

即t>Qn+匕對(duì)任意riGN+恒成立，

由⑴知即+%=(獷T,

t>C)n-i對(duì)任意ne%恒成立，

因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)取得最大值，且最大值為1,

所以t>l,即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(1,+8).

方法二：

心刎-吃一熬；得4(限1-4+1)=4(an-%)+23

-5an-"n十0

b

即-n+!=an-bn+^t,又如一瓦=1,

故數(shù)列｛即-bn｝為首項(xiàng)1,公差齊的等差數(shù)列，

所以與一匕=1+鋁3

又由(1)知％j+bn=G)f所以an=弓)"+g+1(n_1),

因?yàn)椋矗沁f增數(shù)列，所以即+i>的對(duì)任意nGN+恒成立.

所以w)"+1+^+>(：)n+1+^(n-l),

所以一弓尸+1+3>0,所以t>?尸t,

因?yàn)楫?dāng)71=1時(shí)弓)吁1取得最大值，且最大值為1,

所以t>l,即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(1,+8).

【解析】(1)根據(jù)已知條件，求得an+i+%+i與0n+%的關(guān)系,即可證明;

(2)方法一：由｛即｝的單調(diào)性可判斷即+1-即>0,結(jié)合已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為t>an+b"對(duì)任

意neN+恒成立，由(1)中所求冊(cè)+垢，即可求得參數(shù)范圍；

方法二：對(duì)已知條件中的兩個(gè)遞推公式作差，求得an-bn,結(jié)合(1)中所求an+bn,即可求得出；

再根據(jù)其單調(diào)性，即可求得參數(shù)范圍.

本題主要考查數(shù)列遞推式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：取4D中點(diǎn)M,并連接PM,由APAD為正三角形，可知PM14D,

又平面PAD，平面4BCD,平面PADn平面4BCD=AD,PMu平面PAC,

PM，平面ABCD,

vABu平面4BC0,PM1AB,

XvABLPD,PM,PDu平面PAD,PMCPD=P,

???ABI平面PAD,又ADu平面P/W,AB1.4。，

二平行四邊形力BCD為矩形.

(2)如圖，以4為原點(diǎn)，4B為x軸，40為y軸，過4點(diǎn)所在直線與平面4BCD垂直的直線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=t>0,

則4(0,0,0),B(t,0,0),C(t,2,0),P(0,l,73).E(0,|,?)，

AB=(t,0,0),而=(0,1,0,AC=(t,2,0),荏=(0,1,^).

設(shè)平面ACE的法向量記=

(n-A^C=txr+2yl=0

則L-T7?3y/~3c，?。?=2,則元=(2,-

(n-AE=-y1+—z1=O

設(shè)平面48P的法向量沅=(》2，y2，Z2)，

則m=g=禽取Z2=l,則沅=(O,-C1),

(n-AP=丫2+V3Z2=0

.—一1.mn..2ct?V-6

由|cos<m,n>|=|而而|=丁,解得t=i,

則平面4CE的法向量記=(2,—AB=(1,0,0).

???點(diǎn)B到平面4CE的距離為嗜1=-L=￡2.

|n|V82

【解析】⑴取4D中點(diǎn)M，連接PM,由正三角形、面面垂直的性質(zhì)易得PM1面4BCD,再由線面

垂直的性質(zhì)及判定證4B即可得結(jié)論；

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=t>0并求面ACE、面4BP的法向量，結(jié)合面面角的余弦值求參

數(shù)，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距.

本題考查了利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)假設(shè)/：M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關(guān)，

由題竟可得K2-100(40x30-10x20)2_10°?1A￡7、1CA2a

田超意‘借'長(zhǎng)一(40+10)x(20+30)x(40+20)x(10+30)-T?白⑨>私828,

則假設(shè)不成立，

所以有99.9%的把握認(rèn)為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).

(2)記事件4張無忌周一選擇4平臺(tái)買菜；事件B：張無忌周二選擇B平臺(tái)買菜，

則P(4)=P口)=：,P(BH)=1-1=|,P(B|Z)=W，

由全概率公式可得P(B)=P⑷?P(B⑷+戶/)-P(B|1)=Jx1+|x|=^,

乙0LtoJU

因此，張無忌周二選擇B平臺(tái)買菜的概率為差.

(3)由題意可知，抽取的20名市民，喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

且喜歡上網(wǎng)買菜的頻率為盤；=0.6,則X?8(20,0.6)，

且P(X=k)=C%-0.6k?(1-0.6)2°-fc=C^,-0.6k-0.420-k,k=0,1,2…，20,

語,=P(X=k)=%0.6〃9.420-"=砥鼠X。6"T.060.42。-〃

以一P(X=A-1)-C2o-O.6fc-1O.421-A—湍6k-10.420-ft0.4

320—k60—3/c.

=--：—=—,k=n0,1,2o???,20,

若t>l,即P(X=k)>P(X=k-1),即^^一1=^^>0,解得0<k<12,

Z.KZ.K

若t<1,即P(X=k)>P(X=I{-1),即當(dāng)薩-1=笥薩<0,解得k<0或k>12,所以當(dāng)k=

12時(shí)，P(X=k)最大，故k的值為12.

【解析】(1)根據(jù)題意，計(jì)算K2,即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由全概率公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得到P(X=k)的表達(dá)式，然后計(jì)算，即可得到結(jié)果.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查條件概率，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可得a=2,且ab=2/7,

解得Q=2,b=\T~2,

所以橢圓C的方程為1+4=1.

42

(2)①設(shè)MQi，yi),N(無2，丫2)，則直線42M的方程為y=含0-2),

因?yàn)橹本€4N與直線41M垂直，

所以直線4N的方程為y=-羅。+2),

又因?yàn)楸?里=1，

42

所以莊=一單_=-學(xué)1=工

x-2x1-4xj-42

所以％=-6,

所以直線PQ的方程為％=-6.

②設(shè)直線4M：x=ty—2,

（x=ty-2

聯(lián)立/y2得（嚴(yán)+2）y2-4ty=0,

-+---1

U2

所以％=彘,

同理，可得為