高中數(shù)學概率大題(經典一)

中學數(shù)學概率大題（經典一）一．解答題（共10小題）1．在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參與競賽．（1）假如隨機抽派5名隊員上場競賽，將主力隊員參與競賽的人數(shù)記為X，求隨機變量X的數(shù)學期望；（2）若主力隊員中有2名隊員在練習競賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；則為了場上參與競賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？2．某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如表：辦理業(yè)務所需的時間（分）12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客起先辦理業(yè)務時計時．（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務的概率；（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．3．某單位舉辦2010年上海世博會學問宣揚活動，進行現(xiàn)場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精致卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會祥瑞物）圖案；抽獎規(guī)則是：參與者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參與者接著重復進行．（1）有三人參與抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張？（2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，用ξ表示獲獎的人數(shù)，求ξ的分布列與Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）個紅球，3個黑球和2個白球，現(xiàn)從中任取2個球．（1）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；（2）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數(shù)，求ξ的概率分布與數(shù)學期望；（3）假如取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商場為促銷設計了一個抽獎模型，肯定數(shù)額的消費可以獲得一張抽獎券，每張抽獎券可以從一個裝有大小相同的4個白球和2個紅球的口袋中一次性摸出3個球，至少摸到一個紅球則中獎．（Ⅰ）求一次抽獎中獎的概率；（Ⅱ）若每次中獎可獲得10元的獎金，一位顧客獲得兩張抽獎券，求兩次抽獎所得的獎金額之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．將一枚硬幣連續(xù)拋擲15次，每次拋擲互不影響．記正面對上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為P1，正面對上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為P2．（Ⅰ）若該硬幣勻稱，試求P1與P2；（Ⅱ）若該硬幣有暇疵，且每次正面對上的概率為，試比較P1與P2的大?。?．某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，依據統(tǒng)計資料預料，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18（假設兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺大型設備正在該地工作，為了愛護設備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運走設備，此時需花費4000元；方案2：建一愛護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵擋一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；方案3：不實行措施，此時，當兩河流都發(fā)生洪水時損失達60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元．（1）試求方案3中損失費ξ（隨機變量）的分布列；（2）試比較哪一種方案好．8．2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國成立60周年，來自北京高校和清華高校的共計6名高校生志愿服務者被隨機平均安排到天安門廣場運輸?shù)V泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務，且運輸?shù)V泉水崗位至少有一名北京高校志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中來自北京高校、清華高校的各幾人；（2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京高校、清華高校人各一人的概率；（3）設隨機變量ζ為在維持秩序崗位服務的北京高校志愿者的人數(shù)，求ζ分布列與期望．9．在1，2，3，…9這9個自然數(shù)中，任取3個不同的數(shù)．（1）求這3個數(shù)中至少有1個是偶數(shù)的概率；（2）求這3個數(shù)和為18的概率；（3）設ξ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列與其數(shù)學期望Eξ．10．某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設各部門選擇每個景區(qū)是等可能的．（Ⅰ）求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；（Ⅱ）求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率．

參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2016?南通模擬）在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參與競賽．（1）假如隨機抽派5名隊員上場競賽，將主力隊員參與競賽的人數(shù)記為X，求隨機變量X的數(shù)學期望；（2）若主力隊員中有2名隊員在練習競賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；則為了場上參與競賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？【解答】解：（1）由題意知隨機變量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵當X=0時，表示主力隊員參與競賽的人數(shù)為0，以此類推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴隨機變量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由題意知①上場隊員有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（種）②上場隊員有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（種）③上場隊員有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（種）教練員組隊方案共有144+45+2=191種．2．（2012?陜西）某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如表：辦理業(yè)務所需的時間（分）12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客起先辦理業(yè)務時計時．（1）估計第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務的概率；（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．【解答】解：設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事務“第三個顧客恰好等待4分鐘起先辦理業(yè)務”，則時間A對應三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務所需時間為1分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X全部可能的取值為：0，1，2．X=0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且其次個顧客辦理業(yè)務所需時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列為X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012?海安縣校級模擬）某單位舉辦2010年上海世博會學問宣揚活動，進行現(xiàn)場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精致卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會祥瑞物）圖案；抽獎規(guī)則是：參與者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參與者接著重復進行．（1）有三人參與抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張？（2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎，用ξ表示獲獎的人數(shù)，求ξ的分布列與Eξ的值．【解答】解：（1）記至少一人獲獎事務為A，則都不獲獎的事務，設“海寶”卡n張，則任一人獲獎的概率，∴，由題意：，∴n≥7．至少7張“海寶”卡，（2）ξ～的分布列為；，．4．（2011?江蘇模擬）一袋中有m（m∈N*）個紅球，3個黑球和2個白球，現(xiàn)從中任取2個球．（1）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；（2）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數(shù)，求ξ的概率分布與數(shù)學期望；（3）假如取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事務的概率，∵試驗發(fā)生包含的事務是從9個球中任取2個，共有C92=36種結果，滿意條件的事務是取出的2個球的顏色相同，包括三種狀況，共有C42+C32+C22=10設“取出的2個球顏色相同”為事務A，∴P（A）==．（2）由題意知黑球的個數(shù)可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由題意知本題是一個等可能事務的概率，事務發(fā)生所包含的事務數(shù)Cx+52，滿意條件的事務是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，設“取出的2個球中顏色不相同”為事務B，則P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值為6．5．（2010?鼓樓區(qū)校級模擬）某商場為促銷設計了一個抽獎模型，肯定數(shù)額的消費可以獲得一張抽獎券，每張抽獎券可以從一個裝有大小相同的4個白球和2個紅球的口袋中一次性摸出3個球，至少摸到一個紅球則中獎．（Ⅰ）求一次抽獎中獎的概率；（Ⅱ）若每次中獎可獲得10元的獎金，一位顧客獲得兩張抽獎券，求兩次抽獎所得的獎金額之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事務的概率，試驗發(fā)生的全部事務是從6個球中取三個，共有C63種結果，而滿意條件的事務是摸到一個紅球或摸到兩個紅球，共有C21C42+C22C41設“一次抽獎中獎”為事務A，∴即一次抽獎中獎的概率為；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列為∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010?鹽城三模）將一枚硬幣連續(xù)拋擲15次，每次拋擲互不影響．記正面對上的次數(shù)為奇數(shù)的概率為P1，正面對上的次數(shù)為偶數(shù)的概率為P2．（Ⅰ）若該硬幣勻稱，試求P1與P2；（Ⅱ）若該硬幣有暇疵，且每次正面對上的概率為，試比較P1與P2的大?。窘獯稹拷猓海á瘢佊矌乓淮握鎸ι系母怕蕿椋嗾鎸ι系拇螖?shù)為奇數(shù)次的概率為P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1則P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15=[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010?南通模擬）某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，依據統(tǒng)計資料預料，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18（假設兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺大型設備正在該地工作，為了愛護設備，施工部門提出以下三種方案：方案1：運走設備，此時需花費4000元；方案2：建一愛護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵擋一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；方案3：不實行措施，此時，當兩河流都發(fā)生洪水時損失達60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元．（1）試求方案3中損失費ξ（隨機變量）的分布列；（2）試比較哪一種方案好．【解答】解：（1）在方案3中，記“甲河流發(fā)生洪水”為事務A，“乙河流發(fā)生洪水”為事務B，則P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P（A?+?B）=P（A）?P（）+P（）?P（B）=0.34，兩河流同時發(fā)生洪水的概率為P（A?B）=0.045，都不發(fā)生洪水的概率為P（?）=0.75×0.82=0.615，設損失費為隨機變量ξ，則ξ的分布列為：ξ10000600000P0.340.0450.615（2）對方案1來說，花費4000元；對方案2來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵擋一條河流的洪水，但當兩河流都發(fā)生洪水時，損失約56000元，而兩河流同時發(fā)生洪水的概率為P=0.25×0.18=0.045．所以，該方案中可能的花費為：1000+56000×0.045=3520（元）．對于方案來說，損失費的數(shù)學期望為：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010?海安縣校級模擬）2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國成立60周年，來自北京高校和清華高校的共計6名高校生志愿服務者被隨機平均安排到天安門廣場運輸?shù)V泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務，且運輸?shù)V泉水崗位至少有一名北京高校志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中來自北京高校、清華高校的各幾人；（2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京高校、清華高校人各一人的概率；（3）設隨機變量ζ為在維持秩序崗位服務的北京高校志愿者的人數(shù)，求ζ分布列與期望．【解答】解：（1）記“至少一名北京高校志愿者被分到運輸?shù)V泉水崗位”為事務A，則A的對立事務為“沒有北京高校志愿者被分到運輸?shù)V泉水崗位”設有北京高校志愿者x個，1≤x＜6，則P（A）=，解得x=2，即來自北京高校的志愿者有2人，來自清華高校志愿者4人；（2）記“清掃衛(wèi)生崗位恰好北京高校、清華高校志愿者各有一人”為事務E，則P（E）=，所以清掃衛(wèi)生崗位恰好北京高校、清華高校志愿者各一人的概率是；（3）ξ的全部可能值為0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列為Eξ=9．（2010?蘇州模擬）在1，2，3，…9這9個自然數(shù)中，任取3個不同的數(shù)．（1）求這3個數(shù)中至少有1個是偶數(shù)的概率；（2）求這3個數(shù)和為18的概率；（3）設ξ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列與其數(shù)學期望Eξ．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事務的概率，試驗發(fā)生所包含的事務數(shù)C93，滿意條件的事務3個數(shù)中至少有1個是偶數(shù)，包含三種狀況一個偶數(shù)，兩個偶數(shù)