高考數(shù)學(xué)柯西不等式知識點(diǎn)總結(jié)

高考數(shù)學(xué)柯西不等式知識點(diǎn)總結(jié)柯西不等式和排序不等式是兩個(gè)非常重要的不等式，它們在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很普遍。下面店鋪給大家?guī)砀呖紨?shù)學(xué)柯西不等式知識點(diǎn)，希望對你有幫助。高考數(shù)學(xué)柯西不等式知識點(diǎn)(一)所謂柯西不等式是指:設(shè)ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，則(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等號當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)成立?？挛鞑坏仁阶C法:柯西不等式的一般證法有以下幾種：(1)柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai，bi，則有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.我們令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)則我們知道恒有f(x)≥0.用二次函數(shù)無實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.于是移項(xiàng)得到結(jié)論。(2)用向量來證.m=(a1，a2......an)n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)這就證明了不等式.柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法.柯西不等式應(yīng)用:可在證明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)最值，解方程等問題的方面得到應(yīng)用。巧拆常數(shù)：例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a、b、c均為正數(shù)∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應(yīng)用的具體文獻(xiàn).柯西簡介:1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說，法國科學(xué)院''會刊''創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方?？挛髟诖鷶?shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。高考數(shù)學(xué)柯西不等式知識點(diǎn)(二)一、一般形式(∑(ai))(∑(bi))≥(∑ai·bi)等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均為零。一般形式的證明(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2證明：等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+....................共n2/2項(xiàng)等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2/2項(xiàng)用均值不等式容易證明等式左邊≥等式右邊得證二、向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等號成立條件：β為零向量，或α=λβ(λ∈R)。向量形式的證明令m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn)m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m，n>=√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)×cos<<b>m，n>∵cos<<b>m，n>≤1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)注：“√”表示平方根。高考數(shù)學(xué)得分技巧在三門主科中，只有數(shù)學(xué)最容易拉開距離，也最為同學(xué)、家長所關(guān)心。由于高考的特殊性，有些同學(xué)在考試開始的前5分鐘就已亂了方寸，導(dǎo)致誰都不希望的結(jié)果。1.做好前面5個(gè)小題。不要小看這幾個(gè)小題，對穩(wěn)定情緒，鼓舞士氣有很大作用。有些同學(xué)就是由于前面?zhèn)€別小題做得不順，影響整個(gè)考試情緒。而一旦前面發(fā)揮得好，會感到一路順手，所向披靡。2.認(rèn)真審題。由于前面題目簡單，想抓緊時(shí)間做完，以便騰出時(shí)間做后面的難題，結(jié)果把題目看錯(cuò)了，非?？上?。如2000年上海卷第1題就有不少同學(xué)犯這種低級錯(cuò)誤。3.確實(shí)遇到暫時(shí)不會做的題目，可以放一放，但很多同學(xué)做不到。擔(dān)心前面就有不會做，后面肯定更難，從而心慌手抖，頭腦一片空白。要知道難易對大家都一樣，你不會別人可能也不會。遇到暫時(shí)不會做的題目要敢于“合理放棄”，必要時(shí)你可以抬頭看看，周圍的人還在做這道難題，讓他們浪費(fèi)時(shí)間吧，我去做會做的題目。這種心理暗示會減少你的壓力，等會做的做