押題11 第15-17題 解三角形（六大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學考點押題模擬預測卷（新高考專用）含解

押題11第15-17題解三角形（六大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學考點押題模擬預測卷（新高考專用）押題11第15-17題解三角形（六大題型）1．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．2．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．4．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．5．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．6．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.押題10解三角形高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1求長度、角度問題1-5題型2求周長、面積問題6-9題型3求代數(shù)式10-13題型4最值問題14-16題型5取值范圍問題17-20題型6證明題21-23題型1：求長度、角度問題1．（2024·山東濰坊·一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，，為的中點，求．2．（2024·山東日照·一模）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知且，.(1)求角B及邊b的大?。?2)求的值．3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在中，分別為邊所對的角，且滿足.(1)求的大小；(2)的角平分線交邊于點，當時，求.4．（2024·全國·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．5．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．題型2：求周長、面積問題6．（2024·遼寧·一模）已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直線為的平分線，且與BC交于點M，若求的周長.7．（2024·江蘇·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的周長.8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.9．（2024·遼寧撫順·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，點為的重心，且，求的面積．題型3：求代數(shù)式10．（2024·四川成都·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．11．（2024·四川宜賓·二模）在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題.三個條件為：①；②；③.(1)求角A的大?。?2)若，求的值.12．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．13．（2024·廣東·一模）設銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若點在上（與不重合），且，求的值．題型4：最值問題14．（2024·山西呂梁·一模）設的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．15．（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.16．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．題型5：取值范圍問題17．（2024·四川德陽·模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.18．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在中，點分別為的中點，與交于點，．(1)若，求中線的長；(2)若是銳角三角形，求四邊形面積的取值范圍．19．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．20．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且滿足．(1)若，求的大??；(2)求的取值范圍．題型6：證明題21．（2022·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)若，求角C的大??；(2)求證：，，成等差數(shù)列.22．（2024·全國·模擬預測）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求C；(2)若，P為內(nèi)一點，且，，證明：為等腰三角形.23．（2023·浙江金華·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.押題11第15-17題解三角形（六大題型）1．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.2．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【解析】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【解析】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．4．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【解析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.5．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關系可求得整數(shù)的值.【解析】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故.6．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【解析】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.押題10解三角形高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1求長度、角度問題1-5題型2求周長、面積問題6-9題型3求代數(shù)式10-13題型4最值問題14-16題型5取值范圍問題17-20題型6證明題21-23題型1：求長度、角度問題1．（2024·山東濰坊·一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，，為的中點，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得解；（2）由余弦定理求出，再由，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【解析】（1）因為，由正弦定理得，在中，，則有，，，又，，，，又，；（2）根據(jù)余弦定理有，則有，解得或（舍去），為的中點，則，，．

2．（2024·山東日照·一模）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知且，.(1)求角B及邊b的大小；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角即可得，再利用余弦定理即可得；（2）利用余弦定理求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)關系和兩角和的正弦公式即可得到答案.【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在中，分別為邊所對的角，且滿足.(1)求的大?。?2)的角平分線交邊于點，當時，求.【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；（2）由余弦定理及角平分線定理求解即可.【解析】（1），，，，，，又，.（2）如圖，

中，由余弦定理，可得，解得.是角平分線，，設，則，在中，由余弦定理可得：，即，整理得，解得，4．（2024·全國·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知條件利用正弦定理角化邊，化簡后由余弦定理求出，得角A；（2）由，，得，有，得，有，再由即，解出的值.【解析】（1）中，，由正弦定理，有，即，得，由余弦定理，，由，得.（2），，解得，則都為銳角，有，得，銳角中，，則有，，由，則，又，得，由，得，即，，，解得.5．（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對的邊，點在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長度關系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關系求.【解析】（1）如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因為，所以，則①，由，則，因為，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．（2）因為，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因為，所以，則，由（1）知，，所以，在中，由余弦定理知，所以．題型2：求周長、面積問題6．（2024·遼寧·一模）已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直線為的平分線，且與BC交于點M，若求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到關于的方程組，結(jié)合整體法即可得解.【解析】（1）根據(jù)題意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，則，因為，所以.（2）因為，所以，又平分，所以，所以，則，即由余弦定理得，即，所以，解得（負值舍去），故的周長為.7．（2024·江蘇·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的周長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合角范圍可證；（2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得【解析】（1）因為或（舍），.（2）由，結(jié)合（1）知，則，得，，，由正弦定理得的周長為.8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中，將已知條件化簡為，化簡后再根據(jù)求解；（2）由（1）結(jié)果結(jié)合已知條件，根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求解.【解析】（1）因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以由，得.因為，所以.（2）由余弦定理知.因為，所以，所以，故的面積.9．（2024·遼寧撫順·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，點為的重心，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解，（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進而根據(jù)余弦定理可得，由面積公式即可求解.【解析】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因為，所以．（2）設的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，又因為，所以．在中，由和，可得．在和中，有，由余弦定理可得故，所以，所以的面積為．題型3：求代數(shù)式10．（2024·四川成都·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)；(2)20.【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.（2）由同角三角函數(shù)的基本關系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.【解析】（1）由題意可知，，由，得，由正弦定理可知，，由，得，即（或由正弦定理可知：，因為，所以.）（2）由，可知角為銳角，所以，得，，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理，得11．（2024·四川宜賓·二模）在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題.三個條件為：①；②；③.(1)求角A的大??；(2)若，求的值.【答案】(1)所選條件見解析，；(2)3.【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【解析】（1）若選①：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因為，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，即，解得.12．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）對已知進行化簡，然后利用兩角和的正切公式及誘導公式進行計算可得答案；（2）方法一：根據(jù)正弦定理求出，再由余弦定理可得答案；方法二：根據(jù)正弦定理求出，對兩邊平方計算可得答案.【解析】（1）由題意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根據(jù)正弦定理，得，所以．由，知是邊的中點，在中，由余弦定理，得；方法二：根據(jù)正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．

13．（2024·廣東·一模）設銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若點在上（與不重合），且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題設得到，進而可求得，，再利用，即可求出結(jié)果.【解析】（1）由，得到，又，所以，又三角形為銳角三角形，所以，得到，即.（2）因為，又，所以，則，所以，由（1）知，，則，，則，又，所以.

題型4：最值問題14．（2024·山西呂梁·一模）設的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)設的角平分線交于點，求的最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理將邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換，即可求解；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，求得，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9.15．（2024·湖北·模擬預測）在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和差及誘導公式結(jié)條件計算即可；（2）應用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出最大值.【解析】（1），，即，，即.或，當時，，由，有，即時.當時，（舍）..（2）設，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當且僅當時等號成立.由D為邊的中點有，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.的最大值為.16．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡可得，再由同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式得解；（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【解析】（1）因為，因為，所以，由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，所以，即，所以.（2）因為，所以，由余弦定理，，當且僅當時，等號成立，此時的最小值為，所以c的最小值為.題型5：取值范圍問題17．（2024·四川德陽·模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）設的外接圓半徑為，得到，再由求解.【解析】（1）因為，，所以，因為，所以，則，因為，所以，又，則，所以.（2）設的外接圓半徑為，則，所以，，，，，因為為銳角三角形，所以，解得，則，則，所以，所以的面積范圍.18．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在中，點分別為的中點，與交于點，．(1)若，求中線的長；(2)若是銳角三角形，求四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對兩邊同時平方可得，再由平面向量的運算法則得，對其兩邊同時平方即可得出答案.（2）由分析知，再分別討論為銳角，由數(shù)量積的定義求出的范圍，即可得出答案.【解析】（1）因為點為的中點，所以，則，即，即，解得：或（舍去），又因為，，即，所以.

（2）,,因為是銳角三角形，所以是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，所以，綜上：，所以.19．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.20．（2024·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且滿足．(1)若，求的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)題中已知條件利用正切函數(shù)化簡或逆用余弦函數(shù)兩角和差公式從而可求解.（2）由（1）及正弦定理把邊化成角，再利用輔助角公式及函數(shù)求導求出范圍從而求解.【解析】（1）方法一：，由為銳角三角形且，所以．方法二：．由為銳角三角形