5.5數(shù)學(xué)歸納法同步練習(xí)（含解析）人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)

第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)5.5數(shù)學(xué)歸納法同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為（）A． B． C． D．2．在正項(xiàng)數(shù)列中，，，則（）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減3．“”表示實(shí)數(shù)整除實(shí)數(shù)，例如：，已知數(shù)列滿(mǎn)足：，若，則，否則，那么下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．對(duì)任意，都有 D．存在4．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13505．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13506．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過(guò)程中，由到時(shí)，左邊增加了（

）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意的，”，第一步應(yīng)該驗(yàn)證的等式是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（多選題）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．存在，使得C． D．是單調(diào)遞增數(shù)列，{}是單調(diào)遞減數(shù)列10．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)B．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)C．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是11．已知數(shù)列中，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列12．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（

）A．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立三、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步需要驗(yàn)證的不等式為14．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是15．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足：.若數(shù)列單調(diào)遞減，則c的取值范圍是；若數(shù)列單調(diào)遞增，則c的取值范圍是.四、解答題16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：（是正整數(shù)）；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17．在數(shù)列{an}中，．(1)求出，猜想的通項(xiàng)公式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．(2)令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．18．?dāng)?shù)列有100項(xiàng)，，對(duì)任意，存在,若與前n項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱(chēng)具有性質(zhì)P．(1)若，寫(xiě)出所有可能的值；(2)若不是等差數(shù)列，求證：數(shù)列中存在某些項(xiàng)具有性質(zhì)P;(3)若中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)P，這三項(xiàng)和為，請(qǐng)用表示．19．已知函數(shù)，設(shè)，且任意的，有.(1)求的值；(2)試猜想的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.20．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù).(1)試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(2)當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿(mǎn)足的所有正整數(shù).答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．A【分析】根據(jù)和時(shí)，對(duì)比左邊的表達(dá)式，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】時(shí)，可得：時(shí)，可得：，故增加了項(xiàng).故選：A2．A【分析】先判斷大小關(guān)系，進(jìn)而假設(shè)數(shù)列單調(diào)性，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得結(jié)論.【詳解】由，且，顯然成立，假設(shè)，成立，當(dāng)時(shí)，則，所以，故為遞減數(shù)列.故選：A3．C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可計(jì)算，，故可判斷AB的正誤，利用數(shù)學(xué)歸納法可證：除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故可判斷CD的正誤.【詳解】因?yàn)?，故，故，而，故，故A錯(cuò)誤.但，故，此時(shí)，故B錯(cuò)誤.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).當(dāng)時(shí)，，此時(shí)除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).設(shè)當(dāng)時(shí)，除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).則當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，又與除3余數(shù)相同，故除3余1，故除3余2，故除3余2，由數(shù)學(xué)歸納法可得除3余1，除3余2，且，為奇數(shù)，為偶數(shù).故除3余1，除3余2，故除3余0，即，故C正確.由C的分析可得沒(méi)有項(xiàng)使得，否則除以3的余數(shù)為0，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于給定的數(shù)列的遞推關(guān)系，要研究數(shù)列的若干性質(zhì)，注意從而特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.4．D【分析】由已知條件寫(xiě)出數(shù)列的前若干項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，從而可求得答案.【詳解】依題意，若，等價(jià)于為偶數(shù)，若，等價(jià)于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應(yīng)用，考查了遞推關(guān)系求數(shù)列各項(xiàng)的和，利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)或求數(shù)列的和：（1）項(xiàng)的序號(hào)較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.5．C【分析】由已知條件寫(xiě)出數(shù)列的前若干項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，從而可求得答案.【詳解】依題意，若，等價(jià)于為偶數(shù)，若，等價(jià)于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應(yīng)用，考查了遞推關(guān)系求數(shù)列各項(xiàng)的和，利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)或求數(shù)列的和：（1）項(xiàng)的序號(hào)較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.6．D【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法，分別寫(xiě)出和的式子，作差能夠得到增加的項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，左邊增加的項(xiàng)為，共項(xiàng).故選：D7．B【分析】注意為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．【詳解】解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)正確，再推正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵8．B【分析】由數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)步驟可得答案.【詳解】因，則第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否成立.故選：B9．ACD【分析】由整理得，令，得到，借助反比例函數(shù)和的單調(diào)性得到和的增減性，即可判斷D選項(xiàng)；根據(jù)求的范圍即可判斷C選項(xiàng)；利用數(shù)學(xué)歸納法證明，，即可得到，，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)，，可得，即可判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于D，由可得，令，則，又，則，，當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，在上單調(diào)遞增，∵，∴，傳遞下去，可得，同理可得，∴是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，又∵，在R上單調(diào)遞增，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確；對(duì)于C，由，得，，得，∴，即，∵，∴，，顯然，故C正確；對(duì)于A，先證：，當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，成立，綜上，成立，同理可得，∴，即，故A正確；對(duì)于B，要使，則，而，，所以，即，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：①證明當(dāng)時(shí)命題成立；②以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”，只要完成這兩個(gè)步驟，就可以判斷命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立.10．BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；即使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；兩式相減得：，所以推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC.11．ABC【分析】求出數(shù)列各項(xiàng)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；取，求出數(shù)列各項(xiàng)的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由可得，，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，且，則，猜想，，，當(dāng)時(shí)，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑒t，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的，，所以，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取，則且，則，，，，以此類(lèi)推可知，當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)，數(shù)列不是擺動(dòng)數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷數(shù)列單調(diào)性的方法有：（1）利用數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷；（2）對(duì)數(shù)列的前后項(xiàng)作差（或作商），利用比較法判斷.12．ABC【分析】根據(jù)題設(shè)結(jié)論逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，若成立，由題意只可得出當(dāng)時(shí)，均有成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若成立，則當(dāng)時(shí)均有成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椴粷M(mǎn)足題設(shè)條件，故不能得出相應(yīng)結(jié)論，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故D正確；故選：ABC.13．【分析】因，故第一步需要驗(yàn)證的是時(shí)的不等式，代入整理即得.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步需要驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，不等式，即成立，故答案為：.14．【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟計(jì)算即可.【詳解】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.故答案為：15．【分析】若數(shù)列單調(diào)遞減，則恒成立，可得恒成立，由此可得c的范圍.若數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，且母函數(shù).數(shù)列有極限，其值為其不動(dòng)點(diǎn).又在上單調(diào)增加，故，所.于是只需要證明時(shí)滿(mǎn)足條件，時(shí)不滿(mǎn)足條件即可.【詳解】①若數(shù)列單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，即，因此恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以c＜0.②數(shù)列單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈時(shí)，，則，即，因此由數(shù)學(xué)歸納法可得，即數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，即，有，，而，于是，即有，從而，則，令，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而在上單調(diào)遞減，∴，即，與題意矛盾.綜上，的取值范圍是.故答案為：；16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)題意得到之間的等式關(guān)系，再證明時(shí)，符合題意，而后假設(shè)時(shí)，所證成立，最后再根據(jù)之間的關(guān)系，推出時(shí)所證成立即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合，可得出當(dāng)時(shí)，的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證時(shí)，是否符合通項(xiàng)公式，最后寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可。【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)椋陨鲜娇苫?jiǎn)為，將帶入上式可得：，當(dāng)時(shí)，，符合，假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?所以,符合，故有成立；（2）由（1）可得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，故?7．(1)，，，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）代入計(jì)算即可得到，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；（2），再利用錯(cuò)位相減法即可.【詳解】（1）∵，∴因此可猜想:；當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，.（2），①②由①-②得：18．(1)3,5,7(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)定義式子代入即可求解；（2）通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明逆否命題為真命題；（3）分析去掉具有P性質(zhì)三項(xiàng)后，得到等差數(shù)列求和即可.【詳解】（1），；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，若，則；若，則；若，則（與時(shí)重復(fù)），或；所以的可能值有（2）假設(shè)中不存在滿(mǎn)足性質(zhì)的項(xiàng)，即對(duì)任意均有；下面數(shù)學(xué)歸納法證明，是等差數(shù)列；①當(dāng)時(shí)，成立；②設(shè)當(dāng)且時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴痪哂行再|(zhì)，故而又存在，故，即；綜上所述，當(dāng)中不存在滿(mǎn)足性質(zhì)的項(xiàng)時(shí)，時(shí)等差數(shù)列成立；故其逆否命題：當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，中存在滿(mǎn)足性質(zhì)的項(xiàng)成立.（3）將數(shù)列中具有性質(zhì)的三項(xiàng)去掉，得到一個(gè)新的數(shù)列，，，，且中沒(méi)有滿(mǎn)足性質(zhì)的項(xiàng)，由（2）可知，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又因?yàn)閿?shù)列中去掉的三項(xiàng)和為，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題屬于數(shù)列新定義問(wèn)題，重點(diǎn)考查新定義“性質(zhì)”的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力.處理