2023-2024學(xué)年黑龍江省牡丹江市二中高三年級上冊第二次階段性考試數(shù)學(xué)試題及答案

牡丹江二中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三第二次階段性考試

數(shù)學(xué)

考生注意:

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3考生作答時，請將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)

題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑Q5毫米，黑色，墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4本卷命題范圍：集合與邏輯、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì).

一、選擇題：本大題共8小題；每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個

選項(xiàng)是符合題目要求的.

X|x2x60,Bx|x10,則4B（）

1.已知集合

A.3B.,2C.D.

311,2

J-9的定義域是（）

2.函數(shù)f1xxx

A.B.1C.RD.

1,0Q,0UQ

3冬季奧林匹克運(yùn)動會，是世界規(guī)模最大的冬奧綜合性運(yùn)動會，自1924年起，每四年舉辦一屆.第24屆

由中國2022年2月在北京舉辦，分北京賽區(qū)、延慶賽區(qū)、張家口賽區(qū)三個賽區(qū)共15個比賽項(xiàng)目.為了宣

傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲乙兩個社團(tuán)，利用一周的時間對外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制

成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下不正確的為（）

甲社團(tuán)

乙社團(tuán)

第1頁/共6頁

A.甲社團(tuán)眾數(shù)小于乙社團(tuán)眾數(shù)B.甲社團(tuán)的極差大于乙社團(tuán)的極差

C.甲社團(tuán)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)的平均數(shù)D.甲社團(tuán)的方差大于乙社團(tuán)的方差

4.玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.某

扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（）

160

A.1600cm2B.3200cm2C.3350cm-D.4800cm2

5.下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的25%分位數(shù)為

6若x0,y0,則“xy4”的一個必要不充分條件是（）

A.x2y28B.y/xJi_yC.xy4D.——1

*xy

7.數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)

家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個邊長為2的正三角形開始，把每條邊分成

三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①、②、③等）.反復(fù)進(jìn)行

這一過程，就得到雪花曲線.

第2頁/共6頁

①②③

不妨記第n(n1,2,a)ana)

個圖中的圖形的周長為，則(

5

256256512512

A.——B.——C.——D.

92727~81

的戶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐?，滿足f(x])2f(x)L且當(dāng)x[QD時,

f(x)x(lx).則不等式

4

5

f(x)/的解集是()

8

45

A.23)B.關(guān)［23C.23)D.一,一(23)

444433

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分,有選錯的得0分

9.下列命題正確的是

A.abR,|a2|(bI)20B.aR,xR，使得ax2

ab

c.ab0是a?b2的充要條件D.

oa>b1則a1b

Sa)

10.已知等差數(shù)列an

的前n項(xiàng)和為滿足a2a321S525

,下列說法正確的是(

A.an2n3B.Snrf

lOn

1

C.S的最大值為S5D.的前10項(xiàng)和為—

nanan199

已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?且0.若yfx4為偶函數(shù),

IL1y

Rf0fx2為奇函數(shù)，

則()

A.f40B.f8

0

C.f1f32D.f1f7

12對于三次函數(shù)fxax3bx2exda0,給出定乂:是函數(shù)yf

fXfxX

的導(dǎo)數(shù),

第3頁/共6頁

是函數(shù)fX的微，若方程0有實(shí)數(shù)解xo,則稱％,f%yfX

fX

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)'；任何一個三次函數(shù)都有對檄惆數(shù)且“拐點(diǎn)'就是姆林㈱同游

94Q

函數(shù)-x3x212x—,則下列說法正確的是（）

,“36

A.fx的極大值為一

6

B.有且僅有2個零點(diǎn)

fx

c-,2?

2fx

的對稱中心

1232023

D,f--ff——f絲士4046

2024202420242024

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.若sinx—，則cos(x方）

3

14將某射擊運(yùn)動員的十次射擊成績（環(huán)數(shù)）按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：&1,84,

11

84,87,X,y,9.3,9.4,9.8,9.9,已知總體的中位數(shù)為9,則一一的最小值為__________

Xy

15.已知f一2fx3x,XU

xfx

,則的解析式為---

1&若曲線yln（xa）的一條切線為yexbea,b為正實(shí)數(shù)，則一一的

（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中eab

取值范圍是

四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.已知在遞增的等差數(shù)列單，a3a755,a4&16.

n

（1）求a?和a

7

（2）求a。的通項(xiàng)公式.

1&2021年，為降低疫情傳播風(fēng)險，保障經(jīng)濟(jì)社會良好運(yùn)行，各地區(qū)鼓勵外來務(wù)工人員就地過節(jié)、過年.某

市統(tǒng)計(jì)了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人員數(shù)與就地過年的人員數(shù)，得到如下的表格：

A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)

第4頁/共6頁

x/3456

外來務(wù)工人員數(shù)萬人

就地過年的人員數(shù)y/萬人253445

(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程

八]A

ybxa

(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的人每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.若該市E區(qū)有2萬名外來

務(wù)工人員，根據(jù)(1)的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)選擇就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；

xiyinxyxxy"

參考公式：回歸方程ybx算中斜率和截距的公式分別為6V----------^―-----------

XInx-iX7'

i1i1

aybx.

2"1

19.已知cos----,—，一—,求:

~271222

(1)cos----?的值；

2

(2)tan的

值

20.設(shè)函數(shù)fxaxlnx、其中aR,曲線yfx在點(diǎn)Lf1

32

處的切線經(jīng)過點(diǎn)

(1)求函數(shù)fX的極值;

X2

(2)證明：fX———

exe

21.己知數(shù)列an的、，nSnS2n2a

前項(xiàng)和為，滿足?

nn

(1)證明：數(shù)列an2.比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

a

(2)若。log2an2，設(shè)%是數(shù)列一二nT

an2的前項(xiàng)和，求證：2

22已知f(x)exlax2b(x])e271828

2.其中常數(shù)

(1)當(dāng)2b4時，求f(x)在上的最大值；

(2)若對任意aQf(x)x,x,x,

均有兩個極值點(diǎn)x

(i)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；'12

第5頁/共6頁

(ii)當(dāng)ae12e.

fxfx

時，證明：

第6頁/共6頁

牡丹江二中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三第二次階段性考試

數(shù)學(xué)

考生注意:

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3考生作答時，請將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)

題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米，黑色，墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效

4本卷命題范圍：集合與邏輯、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)

一、選擇題：本大題共8小題;每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個

選項(xiàng)是符合題目要求的.

2

Axlxx60Bxx10

1.已知集合，則AB)

A.3B.,2C.31

1,2

【答案】CD.

【解析】

【分析】先解不等式求出兩集合,再求兩集合的交集

【詳解】由x2X60,得（x2)(x3)0,解得3x2

所以Ax3x2

得人所中

由X10,F

XX

所以AB1

x3x1

故選：C

L的定義域是（

)

2.函數(shù)fx1xX

A.B.1C.R

1,0Q,0UQ

【答案】AD.

【解析】

【分析】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零,分母不等于零，即可得解.

1

【詳解】解：由函數(shù)

fx1xx

第1頁/共19頁

1x0YI

得c，解得入?*■且X0

x0

所以函數(shù)J―L的定義域是

fX1Xx1,0Q

故選：A.

3.冬季奧林匹克運(yùn)動會，是世界規(guī)模最大的冬奧綜合性運(yùn)動會，自1924年起，每四年舉辦一屆.第24屆

由中國2022年2月在北京舉辦，分北京賽區(qū)、延慶賽區(qū)、張家口賽區(qū)三個賽區(qū)共15個比賽項(xiàng)目.為了宣

傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲乙兩個社團(tuán)，利用一周的時間對外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制

成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下不正確的為（）

甲社團(tuán)

乙社團(tuán)

A.甲社團(tuán)眾數(shù)小于乙社團(tuán)眾數(shù)B.甲社團(tuán)的極差大于乙社團(tuán)的極差

C.甲社團(tuán)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)的平均數(shù)D.甲社團(tuán)的方差大于乙社團(tuán)的方差

【答案】C

【解析】

【分析】分析兩社團(tuán)的眾數(shù)得大小，判斷A;計(jì)算出兩社團(tuán)的極差，判斷B；算出兩社團(tuán)的平均數(shù)，判斷C,

分析兩社團(tuán)頻數(shù)的波動性，判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)，甲社團(tuán)眾數(shù)為2,乙社團(tuán)眾數(shù)為3,所以A正確；

B選項(xiàng)，甲社團(tuán)極差為3,乙社團(tuán)的極差為2,所以B正確；

2232543

C選項(xiàng)，甲社團(tuán)平均數(shù)為-------y---------3,

99Q4334

乙社團(tuán)的平均數(shù)為z。1。。43,故兩社團(tuán)平均數(shù)相等，所以錯誤；

7

D選項(xiàng)，由圖可知，甲社團(tuán)的頻數(shù)的波動性較大，故其方差大于乙社團(tuán)方差，D正確，

故選：C.

第2頁/共19頁

4.玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.某

扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（）

16()

A.1600cm2B.3200cm'C.3350cm2D.4800cm2

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形的面積公式，大扇形面積減去小扇形面積即可求解

【詳解】易知該扇形玉雕壁畫可看作由一個大扇形剪去一個小扇形得到,設(shè)大、小扇形所在圓的半徑分別

160801

為r,：,相同的圓心角為,則一，得r2r,又因?yàn)閞r40,所以r80,40,

14r221：2

2

該扇形玉雕壁畫面積

S1160r180r1L80402

1160804800(cm

2222).

故選：D.

5.下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的25%分位數(shù)為

【答案】C

【解析】

【分析】直接按照頻率分布直方圖的百分位數(shù)求解即可.

第3頁/共19頁

【詳解】第一組的頻率為Q010100.1,前兩組的頻率之和為0010Q02010Q3,

知25%分位數(shù)在第二組60,706010———67.5.

內(nèi)，故25%分位數(shù)為0?2

故選：C

6若x0,y0,則“xy4”的一個必要不充分條件是（）

A.x2y28B.Jx.[4~yxy4D.——1

yC.xy

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式和充分條件，必要條件的判斷逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

2

【詳解】對于選項(xiàng)A：若x2y28,貝xy2x2y22xy82xy82上上，所以

2

16,又x0,0,所以0xy4,所以“x2y28"是'女y4”的充分條件，故選

xy

項(xiàng)A錯誤；

對于選項(xiàng)B：若JGJ4y,則

是“xy4”的充要條件，故選項(xiàng)B錯誤:

2

對于選項(xiàng)C：由Xy4得xy4,

2

另一方面取Xy8,滿足xy4,但xy4,

4

所以“xy4”是文y4

”的一個必要不充分條件，故選項(xiàng)C正確；

1

對于選項(xiàng)D：取xy3,滿足xy4,但L-,所以土i%不是“xy4

5xyxy”的必要條

件，故選項(xiàng)D錯誤.

故選：C.

7.數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)

家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個邊長為2的正三角形開始，把每條邊分成

三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①、②、③等）?反復(fù)進(jìn)行

這一過程，就得到雪花曲線.

第4頁/共19頁

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題圖規(guī)律確定第n個圖邊的條數(shù)及其邊長,并寫出其通項(xiàng)公式，再求第5個圖的周長

【詳解】由圖知：第一個圖有3條邊，各邊長為2,故周長a32；

1

22

第二個圖有12條邊，各邊長為故周長a212-；

22

第三個圖有48條邊，各邊長為W，故周長a48-；

939

所以邊的條數(shù)是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列，則第n個圖的邊有34n1條，

邊長是首項(xiàng)為2,公比為5的等比數(shù)列，則第n個圖的邊長為2(L)nl,

33

故‘34』2(I)4—

飛327

故選：C

物發(fā)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)闈M足f(x1)2f(x)；，且當(dāng)x[Q1)時，f(x)x(lx),則不等式

f(x)2的解集是()

8

A.23)B.23)C.23)D.②3)

44334433

【答案】A

【解析】

【分析】分x[QD,x口2)和x曾3)進(jìn)行分類討論，即可求解

第5頁/共19頁

【詳解］當(dāng)jLU0,?L'X，AK15X

8,解得無實(shí)數(shù)解;

J/AD(2x)1

當(dāng)］，則由f(x1)2f(x)-f(x)2f(xD-2(x

[QI)'4可得4

1

令2(x1)(2x)整理得16x248X350,解得

48

57

解得已x

44

L可得

當(dāng)、/I?,則由f(x])2f(x)

4

5_27_

f(x)2f(xD-22(x2)(3x)-14(x2)(3x)-4x

444424

,所以f(x),恒成立,

因?yàn)閤[23),所以f(x)

448

5A7

綜上所述，不等式f(x)2的解柒足口3)

844

故選：A

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是

A.4bR,|a2|(bI)20B.aR,xR,使得ax2

ah

c.ab0是a2b20的充要條件Dr1—「r

-a口>b1■，則a1b

【答案】AD

【解析】

【分析】對A.當(dāng)&4。'時，可判斷真假，對B.當(dāng)a0時，°X—U乙當(dāng)

，可判斷真假，對C

aQb0時，可判斷真假，對D可用作差法判斷真假.

【詳解】A.當(dāng)a1時，不等式成立，所以A正確.

B.當(dāng)a0時，0x=02,不等式不成立，所以B不正確.

C.當(dāng)a0,b0時，a2b20成立，此時ab=0ab0

,推不出.所以C不正確

aba(1b)b(la)ab、ab

D-由LFT(1a)(lb)—(1a)(lb)'因?yàn)閍-bL貝J,，所以D正確.

故選：AD.

第6頁/共19頁

本題考查命題真假的判斷，充要條件的判斷，作差法比較大小，屬于中檔題

10.已知等差數(shù)列aSa)

nn91

的前n項(xiàng)和為，滿足a2a3,S525

?

A.an2n3BSnif,下列說法正確的是(

10n

110

C.Sn的最大值為SD.-

5anan1的前io項(xiàng)和為99

【答案】BCD

【解析】公眾號：高中試卷君

的通項(xiàng)公式，然后逐一分析每個選項(xiàng)即可.

【分析】先根據(jù)題干條件算出等差數(shù)列an

【詳解】根據(jù)等差中項(xiàng)，%a2a3213a2,解得a7

2

。25q%RRa,a5a2I5a3,解得a5a

53,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則da3a22,于是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：aa(n2)d112n,故A選項(xiàng)翱誤；

n2

n(aa)n(9112n)

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，S咐M—LR±uil,B選項(xiàng)正確;

n22

根據(jù)B選項(xiàng)可知，Sn2lOn(n5)22525-最大值在nR

11J取得，故C選項(xiàng)正確;

1111111

故------慚10項(xiàng)和為:

(112n)(92n)(2n11)(2n9)22n112n9aa

nn1

111111111110

—，D選項(xiàng)正確.

I9775nf9-17

故選：BCD

IL己知函數(shù)的定義域?yàn)?，?.若yf23■為奇函數(shù)，yfx4為偶函數(shù),

fxRf0

則()

A.f40B.f8

0

C.f1f32D.f1f7

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到fx2fx220,fx4

fx4

x1,x3代入計(jì)算得到答案.，取x2,x4,

第7頁/共19頁

1

1為奇函數(shù)，故IX4-L*乙L即fx2x22

【詳解】yfx2o

yfx4為偶函數(shù)，即fx4fx4

取x2得到f22f2220,故

f4

錯誤;

取x4得到f44f44f00,B正確;A

1

取X得到f12f1220f312C

，即,錯誤;

取qf，即f17,D正確.

XJ得到f3434

故選：BD

12對于三次函數(shù)fxax3bx2exda0,給出定義：是函數(shù)yf

fxfxx

q的導(dǎo)數(shù)，

是函數(shù)fX抽，若方程0有實(shí)數(shù)解X0,則稱為f/yfx丁奴，

fX

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)'；任何一個三次函數(shù)都有對衲的數(shù)且“拐點(diǎn)'就是姬林曲函卷

949

函數(shù)-X3X212x—,則下列說法正確的是()

fx36

137

A.fx的極大值為衛(wèi)

6

B.有且僅有2個零點(diǎn)

fx

C.點(diǎn)(，2是

2fx

的對稱中心

1932023

D.f――ff-^―f絲二4046

2024202420242024

【答案】ACD

【解析】

【分析】求得,得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，可判定A正確；根據(jù)極大值為

fx2(x3)(x2)

f2o,極小值f30進(jìn)而得到函數(shù)看3年零點(diǎn)，可判定B錯誤；求得f,X4x2

令o,求得X得出f(l)

2xf(lx)4

F22

IX,可判定C正確；根據(jù)對稱性，得到,結(jié)

合倒序相加法，可判定D正確.

949

【詳解】由函數(shù)一X?X212x

fx36,可得fx2x22x122(x3)(x2),

第8頁/共19頁

令f"(x)》O,解得x<2或x3fx0,解得2x3

；令，

所以函數(shù)fx在（，2）上單調(diào)遞增，在（23）上單調(diào)遞減，在（3）

單調(diào)遞增,

1N

當(dāng)入乙時，fx取得極大值，極大值為f2—,所以A正確；

6

又由極小值—0,且當(dāng)xfx

f36時，，

當(dāng)x時，f,所以函數(shù)f褥3個零點(diǎn)，所以B錯誤;

由22x12,可得fX4x2,令0XL

fx2xfx，可得2

又由f(L)2(L)3(L)2121—2,所以點(diǎn)-.2

2322262fx

是函數(shù)的對稱中心,

所以C正確；

1

9的對稱中心，所以fxf（lx）4

因?yàn)?,乙是函數(shù)

fx，

1公2「3「2023

令Sff-----f-----f-----

2024202420242024'

202320222021_i_

可得sffff

2024202420242024'

所以

—Lf2023[f2f2°22][f3f2021]

2S[f2024」

20242024202420242024

2023「11

[ff-----142023,

20242024

1232023

所以S4046,即f-----f-----f-----f-----4046,

2024202420242024

所以D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分

13.若sinx—，貝!|cos(x

3

【答案】|

第9頁/共19頁

【解析】

【分析】

由題意利用利用誘導(dǎo)公式化簡要求的式子，可得結(jié)果.

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得cos（x—）sinxL

故答案為：!

14.將某射擊運(yùn)動員的十次射擊成績（環(huán)數(shù)）按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：8.1,&4,

1口一

&4,&7,X,y,9.3,9.4,9.8,9.9,已知總體的中位數(shù)為9,則一的最小值為

xy

9

【答案】g

【解析】

【分析】由中位數(shù)的概念結(jié)合基本不等式可得

【詳解】因?yàn)榭傮w的中位數(shù)為9.所以xy18,則

x

LL_LLLxy9

xy18xy18y9,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

AYJv

2

故答案為：|-

以已知f32fX3x,x0f

x,則的解析式為—

【答案】2x-

x

【解析】

【分析】將9代入條件中，得到f13