數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理方法

關(guān)于數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理方法曲線插值與擬合一維插值二維插值曲線擬合第2頁,共79頁，2024年2月25日，星期天一維插值對表格給出的函數(shù)，求出沒有給出的函數(shù)值。在實際工作中，經(jīng)常會遇到插值問題。下表是待加工零件下輪廓線的一組數(shù)據(jù)，現(xiàn)需要得到x坐標每改變0.1時所對應(yīng)的y的坐標.第3頁,共79頁，2024年2月25日，星期天一維插值下面是關(guān)于插值的兩條命令(專門用來解決這類問題)：y=interp1(x0,y0,x,’method’)分段線性插值y=spline(x0,y0,x)三次樣條插值x0,y0是已知的節(jié)點坐標，是同維向量。y對應(yīng)于x處的插值。y與x是同維向量。method可選’nearest’(最近鄰插值),’linear’(線性插值),’spline’(三次樣條插值),’cubic’(三次多項式插值)第4頁,共79頁，2024年2月25日，星期天一維插值解決上述問題,我們可分兩步:用原始數(shù)據(jù)繪圖作為選用插值方法的參考.確定插值方法進行插值計算第5頁,共79頁，2024年2月25日，星期天一維插值(px_lc11.m)對于上述問題,可鍵入以下的命令:x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'plot(x0,y0)%完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x');%用分段線性插值完成第二步工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x');plot(x,y)%用三次樣條插值完成第二步工作第6頁,共79頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)對y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）個節(jié)點（等分）作上述兩種插值，用m（=21）個插值點（等分）作圖，比較結(jié)果。(see:px_ex_lc1.m)

在某處測得海洋不同深度處水溫如下表：求深度為500、1000、1500米處的水溫。(see:px_ex_lc2.m)第7頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二維插值MATLAB中二維插值的命令是：z=interp2（x0,y0,z0,x,y,'meth'）第8頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二維插值在一個長為5個單位，寬為3個單位的金屬薄片上測得15個點的溫度值，試求出此薄片的溫度分布，并繪出等溫線圖。（數(shù)據(jù)如下表）第9頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二維插值(px_lc21.m)temps=[82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86];mesh(temps)%根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出溫度分布圖，可看到此圖的粗造度。第10頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二維插值%下面開始進行二維函數(shù)的三階插值。width=1:5;depth=1:3;di=1:0.2:3;wi=1:0.2:5;[WI,DI]=meshgrid(wi,di);%增加了節(jié)點數(shù)目ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,'cubic');%對數(shù)據(jù)（width,depth,temps）進%行三階插值擬合。surfc(WI,DI,ZI)contour(WI,DI,ZI)第11頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二維插值第12頁,共79頁，2024年2月25日，星期天曲線擬合假設(shè)一函數(shù)g(x)是以表格形式給出的，現(xiàn)要求一函數(shù)f(x)，使f(x)在某一準則下與表格函數(shù)（數(shù)據(jù)）最為接近。由于與插值的提法不同，所以在數(shù)學(xué)上理論根據(jù)不同，解決問題的方法也不同。此處，我們總假設(shè)f(x)是多項式。第13頁,共79頁，2024年2月25日，星期天曲線擬合問題：彈簧在力F的作用下伸長x厘米。F和x在一定的范圍內(nèi)服從虎克定律。試根據(jù)下列數(shù)據(jù)確定彈性系數(shù)k,并給出不服從虎克定律時的近似公式。第14頁,共79頁，2024年2月25日，星期天曲線擬合解題思路：可以用一階多項式擬合求出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令擬合多項式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先觀察原始數(shù)據(jù)的圖像，然后再確定擬和成什么曲線。第15頁,共79頁，2024年2月25日，星期天曲線擬合(px_lc31.m)對于上述問題,可鍵入以下的命令:x=[1,2,4,7,9,12,13,15,17]';F=[1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1]';plot(x,F,'.')從圖像上我們發(fā)現(xiàn):前5個數(shù)據(jù)應(yīng)與直線擬合,后5個數(shù)據(jù)應(yīng)與二次曲線擬合。于是鍵入:a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1);a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2)第16頁,共79頁，2024年2月25日，星期天曲線擬合注意：有時，面對一個實際問題，究竟是用插值還是用擬合不好確定，還需大家在實際中仔細區(qū)分。同時，大家（包括學(xué)過計算方法的同學(xué)）注意去掌握相應(yīng)的理論知識。第17頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分與積分數(shù)值積分

數(shù)值微分第18頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分先看一個例子：現(xiàn)要根據(jù)瑞士地圖計算其國土面積。于是對地圖作如下的測量：以西東方向為橫軸，以南北方向為縱軸。（選適當?shù)狞c為原點）將國土最西到最東邊界在x軸上的區(qū)間劃取足夠多的分點xi，在每個分點處可測出南北邊界點的對應(yīng)坐標y1，y2。用這樣的方法得到下表根據(jù)地圖比例知18mm相當于40km，試由上表計算瑞士國土的近似面積。（精確值為41288km2）。第19頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分第20頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分解題思路：數(shù)據(jù)實際上表示了兩條曲線，實際上我們要求由兩曲線所圍成的圖形的面積。解此問題的方法是數(shù)值積分的方法。具體解時我們遇到兩個問題：1。數(shù)據(jù)如何輸入；2。沒有現(xiàn)成的命令可用。第21頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分(px_wj11.m)對于第一個問題，我們可把數(shù)據(jù)拷貝成M文件（或純文本文件）。然后，利用數(shù)據(jù)繪制平面圖形。鍵入

loadmianji.txtA=mianji';plot(A(:,1),A(:,2),'r',A(:,1),A(:,3),'g')第22頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分第23頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分接下來可以計算面積。鍵入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d=a2-a1d=4.2414e+004第24頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分至此，問題可以說得到了解決。

之所以說還有問題，是我們覺得誤差較大。但計算方法的理論給了我們更精確計算方法。只是MATLAB沒有相應(yīng)的命令。

想得到更理想的結(jié)果，我們可以自己設(shè)計解決問題的方法。（可以編寫辛普森數(shù)值計算公式的程序，或用擬合的方法求出被積函數(shù)，再利用MATLAB的命令quad,quad8）第25頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分已知20世紀美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下，根據(jù)數(shù)據(jù)計算人口增長率。（其實還可以對于后十年人口進行預(yù)測）第26頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分解題思路：設(shè)人口是時間的函數(shù)x(t).于是人口的增長率就是x(t)對t的導(dǎo)數(shù).如果計算出人口的相關(guān)變化率。那么人口增長滿足，它在初始條件x(0)=x0下的解為.（用以檢查計算結(jié)果的正確性）第27頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分解：此問題的特點是以離散變量給出函數(shù)x(t),所以就要用差分來表示函數(shù)x(t)的導(dǎo)數(shù).常用后一個公式。（因為，它實際上是用二次插值函數(shù)來代替曲線x(t)）即常用三點公式來代替函數(shù)在各分點的導(dǎo)數(shù)值：第28頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分MATLAB用命令diff按兩點公式計算差分;此題自編程序用三點公式計算相關(guān)變化率.編程如下(diff3.m):fori=1:length(x)ifi==1r(1)=(-3*x(1)+4*x(1+1)-x(1+2))/(20*x(1));elseifi~=length(x)r(i)=(x(i+1)-x(i-1))/(20*x(i));elser(length(x))=(x(length(x)-2)-4*x(length(x)-1)+3*x(length(x)))/(20*x(length(x)));endendr=r;第29頁,共79頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值微分保存為diff3.m文件聽候調(diào)用.再在命令窗內(nèi)鍵入X=[1900,1910,1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990];x=[76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4];diff3;由于r以離散數(shù)據(jù)給出,所以要用數(shù)值積分計算.鍵入x(1,1)*exp(trapz(X(1,1:9),r(1:9)))數(shù)值積分命令：trapz(x),trapz(x,y),quad(‘fun’,a,b)等.第30頁,共79頁，2024年2月25日，星期天微分方程數(shù)值解(單擺問題)單擺問題的數(shù)學(xué)模型是在初始角度不大時,問題可以得到很好地解決,但如果初始角較大,此方程無法求出解析解.現(xiàn)問題是當初始角為100和300時,求出其解,畫出解的圖形進行比較。第31頁,共79頁，2024年2月25日，星期天微分方程數(shù)值解(單擺問題)解:若θ0較小,則原方程可用來近似.其解析解為θ(t)=θ0cosωt,.

若不用線性方程來近似,那么有兩個模型:第32頁,共79頁，2024年2月25日，星期天微分方程數(shù)值解(單擺問題)取g=9.8,l=25,100=0.1745,300=0.5236.用MATLAB求這兩個模型的數(shù)值解,先要作如下的處理:令x1=θ,x2=θ’,則模型變?yōu)榈?3頁,共79頁，2024年2月25日，星期天微分方程數(shù)值解(單擺問題)再編函數(shù)文件(danbai.m)functionxdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1));第34頁,共79頁，2024年2月25日，星期天微分方程數(shù)值解(單擺問題)在命令窗口鍵入()[t,x]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.1745,0]);[t,y]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.5236,0]);plot(t,x(:,1),’r’,t,y(:,1),’k’);第35頁,共79頁，2024年2月25日，星期天優(yōu)化問題線性規(guī)劃有約束極小問題

非線性規(guī)劃有約束極小問題

非線性無約束極小問題

非線性最小二乘問題二次規(guī)劃第36頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題模型

用命令[x,fval]=linprog(f,A,b,A1,b1,lb,ub)第37頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題Findxthatminimizesf(x)=-5x1-4x2-6x3subjecttox1-x2+x3≦203x1+2x2+4x3≦423x1+2x2≦300≦x1,0≦x2,0≦x3第38頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題第39頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題解問題把問題極小化并將約束標準化第40頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題鍵入c=[-2,-3,5];a=[-2,5,-1];b=-10;a1=[1,1,1];b1=7;LB=[0,0,0];[x,y]=linprog(c,a,b,a1,b1,LB)得當X=(6.4286,0.5714,0.0000)時,z=-14.5714最大.第41頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題解問題第42頁,共79頁，2024年2月25日，星期天線性規(guī)劃有約束極小問題解:鍵入c=[-2,-1,1];a=[1,4,-1;2,-2,1];b=[4;12];a1=[1,1,2];b1=6;lb=[0;0;-inf];ub=[inf;inf;5];[x,z]=linprog(c,a,b,a1,b1,lb,ub)得當X=(4.6667,0.0000,0.6667)時,z=-8.6667最小.第43頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性規(guī)劃有約束極小問題模型：MATLAB求解此問題的命令是：[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(‘fun’,x0,A,b,A1,b1,LB,UB,’nonlcon’,options,p1,p2,…)fun是目標函數(shù)的m_文件名.nonlcon是約束函數(shù)C(x)和C1(x)的m_文件名.文件輸出為[C,C1].第44頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性規(guī)劃有約束極小問題求解最優(yōu)化問題第45頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性規(guī)劃有約束極小問題第1步:建立目標函數(shù)和非線性約束的m_文件.functiony=e1511(x)%目標函數(shù)的m_文件y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

function[c1,c2]=e1511b(x)%非線性約束的m_文件c1=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];c2=0;第46頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性規(guī)劃有約束極小問題第2步:運行程序.鍵入x0=[-1,1];a1=[1,1];b1=0;[x,f,exitflab,output]=fmincon(‘e1511’,x0,[],[],a1,b1,[],[],’e1511b’)得結(jié)果.輸出結(jié)果的意義:經(jīng)過4次迭代(iterations:4)收斂到了(exitfag=1)最優(yōu)解x(1)=-1.2247,x(2)=1.2247,目標函數(shù)最優(yōu)值為1.8951.第47頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性無約束極小問題用命令x=fmin('f',x0)。或用命令x=fminu('f',x0)，或用命令x=fmins('f',x0)。第48頁,共79頁，2024年2月25日，星期天非線性最小二乘問題用命令x=leastsq('f',x0)，或用命令x=curvefit('f',x0)。第49頁,共79頁，2024年2月25日，星期天二次規(guī)劃用命令x=qp(H,c,A,b)。關(guān)于這些命令的詳細使用規(guī)則和例子，用借助help進行查閱。第50頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析前面我們曾學(xué)過擬合。但從統(tǒng)計的觀點看，對擬合問題還需作回歸分析。例如：有描述問題甲和問題乙的兩組數(shù)據(jù)(x,y)和(x,z)。設(shè)x=[1，2，3，4]；y=[1.0，1.3，1.5,2.02.3];z=[0.6,1.95,0.9,2.85,1.8]。如果在平面上畫出散點圖，那么問題甲的四個點基本在一條直線上而問題乙的四個點卻很散亂。如果都用命令polyfit(x,y,1)，polyfit(x,z,1)來擬合，將得到同一條直線。第51頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析自然對問題甲的信任程度會高于對問題乙的信任程度。所以有必要對所得結(jié)果作科學(xué)的評價分析?；貧w分析就是解決這種問題的科學(xué)方法。下面結(jié)合三個具體的例子介紹MATLAB實現(xiàn)回歸分析的命令。第52頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析合金強度y與其中含碳量x有密切關(guān)系，如下表根據(jù)此表建立y(x)。并對結(jié)果作可信度進行檢驗、判斷x對y影響是否顯著、檢查數(shù)據(jù)中有無異常點、由x的取值對y作出預(yù)測。第53頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析解：在x-y平面上畫散點圖，直觀地知道y與x大致為線性關(guān)系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回歸分析用命令[b,bint,r,rint,ststs]=regress(y,x,alpha)可用help查閱此命令的具體用法殘差及置信區(qū)間可以用rcoplot(r,rint)畫圖第54頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析設(shè)回歸模型為y=β0+β1x,在MATLAB命令窗口中鍵入下列命令進行回歸分析(px_reg11.m)x=0.1:0.01:0.18;x=[x,0.2,0.21,0.23]';y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5]';X=[ones(12,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第55頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析得結(jié)果和圖b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.00003.1095第56頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析結(jié)果含義為β0=27.0269β1=140.6194β0的置信區(qū)間是[22.3226,31.7313]β1的置信區(qū)間是[111.7842,169.4546]第57頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析R2=0.9219F=118.0670,p<10-4.R是衡量y與x的相關(guān)程度的指標，稱為相關(guān)系數(shù)。R越大，x與y關(guān)系越密切。通常R大于0.9才認為相關(guān)關(guān)系成立。F是一統(tǒng)計指標p是與F對應(yīng)的概率，當p<0.05時，回歸模型成立。此例中p=0<10-4<0.05，所以，所得回歸模型成立。第58頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析觀察所得殘差分布圖，看到第8個數(shù)據(jù)的殘差置信區(qū)間不含零點，此點視為異常點，剔除后重新計算。第59頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析此時鍵入:(px_reg12.m)X(8,:)=[];y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第60頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析b=27.0992137.8085bint=23.856330.3421117.8534157.7636stats=0.9644244.05710.00001.4332

可以看到：置信區(qū)間縮??；R2、F變大，所以應(yīng)采用修改后的結(jié)果。第61頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析將17至19歲的運動員每兩歲一組分為7組，每組兩人測量其旋轉(zhuǎn)定向能力，以考察年齡(x)對這種運動能力(y)的影響?，F(xiàn)得到一組數(shù)據(jù)如下表試建立關(guān)系y(x)，并作必要的統(tǒng)計分析。第62頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析在x-y平面上畫散點圖，直觀地知道y與x大致為二次函數(shù)關(guān)系。設(shè)模型為y=a1x2+a2x+a3此問題可以利用命令polyfit(x,y,2)來解，也可以像上題一樣求解。下面介紹用命令polytool來解。第63頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析首先在命令窗口鍵入(px_reg21.m)x=17:2:29;x=[x,x];y=[20.48,25.13,26.1530,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];polytool（x,y,2）得到一個交互式窗口第64頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析第65頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析窗口中綠線為擬合曲線、紅線為y的置信區(qū)間、可通過移動鼠標的十字線或通過在窗口下方輸入來設(shè)定x值，窗口左邊則輸出與x對應(yīng)的y值及y的置信區(qū)間。通過左下方的Export下拉菜單可輸出回歸系數(shù)等。更詳細的解釋可通過help查閱。第66頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析某廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的銷售量與競爭對手的價格x1和本廠的價格x2有關(guān)。下表是該產(chǎn)品在10個城市的銷售記錄。試建立關(guān)系y(x1，x2)，對結(jié)果進行檢驗。若某城市本廠產(chǎn)品售價160（元），對手售價170（元），預(yù)測此產(chǎn)品在該城市的銷售量。第67頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析這是一個多元回歸問題。若設(shè)回歸模型是線性的，即設(shè)y=β0+β1x1+β2x2那么依然用regress(y,x,alpha)求回歸系數(shù)。第68頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析鍵入(px_reg31.m)x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150];x2=[100,110,90,150,210,150,250,270,300,250];y=[102,100,120,77,46,93,26,69,65,85]';x=[ones(10,1),x1',x2'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,第69頁,共79頁，2024年2月25日，星期天回歸分析b=66.51760.4139-