2023-2024學(xué)年河南省菁師聯(lián)盟高三8月質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省菁師聯(lián)盟高三8月質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.復(fù)數(shù)z=l-Ci,則以下為實數(shù)的是()

A.z2+2zB.z2—2zC.z2+3zD.z2—3z

2.全集/=R,M=42},N={%/og2%<2},則(C/M)nN=()

A.(-oo,2]B.(0,2]C.(2,4)D.(2,+oo)

3.函數(shù)八%)=盒(*<x<?的圖象是()

A.為奇函數(shù)B.7(x)為偶函數(shù)

C.f(x)圖象關(guān)于(0,§中心對稱D.7(x)圖象關(guān)于x=:軸對稱

5.f(x)=cos(a)x+(p),兩個相鄰的零點分別為：或兀，則以下是/(x)對稱軸的是()

A.-三B.4C.—D.平

6.高二1、2、3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為：1、3、3人，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人

來自不同班的選法種數(shù)為()

A.12B.15C.20D.21

7.圓臺。01軸截面面積為3，？，上下底面半徑之比為1:2,母線與底面所成角為60。，則圓臺

側(cè)面積為()

A.3V_3TTB.6y/~3nC.67rD.97r

8.正四棱柱ABC。-4/165中，AB=BC=2,二面角B-4加一D為60。，則直線為0與

直線力當(dāng)所成角的余弦值為（）

A.CB.蟲C.—DT

2335

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.教材便修一丿上有結(jié)論：對n6N*且九N2,cos-1-cos----F…+cos——=0,sin-----F

nnnn

"nf+-“+sin等=0,則（）

A27r.4TT,6TT,87r.

A.cos—+cos—+cos—+cos—=—1

n.2TT,.4TT,.67r,.8TT?

B.sin—+sin-4-sin—+sin—=—1

「27r47r1

C.cos—+cos-=--

n.2TT,.47r1

D.sin—+sin—=-

10.雙曲線E：%2-y2=4左右焦點分別為&,尸2,右支上有點M,AF1MF2的面積為4,則（）

A.雙曲線E的漸近線斜率為±1B.\MF1\-\MF2\=2

C.厶F[MF2=90°D.△F1MF2外接圓半徑為2/7

11.平面區(qū)域｛（%丫）[0<y<V4-32｝被直線厶丫=（%+2）tan0（O<6<兀）分成面積相等的

兩部分，則（）

A.6?=79>1C.sin20<7D.20+sin20

oo4L

12.0（2：0+1）2+（7—1）2=2與厶、=-%交于4民時為曲線丫=:（>>0）上的動點，則

（）

A.M到直線/距離最小值為。

B.AL4.MB>0

C.存在點M,使得國MAB為等邊三角形

D.雨?麗最小值為1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=acb2,C=CL2b2,則4、B、C大小關(guān)系是

14.拋物線y2=2px(p>0)焦點為F,準(zhǔn)線上有點M(一32「),Q是拋物線上一點，團MQF為

等邊三角形，則Q點坐標(biāo)為.

15.函數(shù)/'(%)=logax-2/oga+2%是(。，+8)上的增函數(shù)，貝b的取值范圍.

aaa

16.數(shù)列｛卽｝滿足：…n=n+i>i=2,%=log2an,則比+b2H--F6i0=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

數(shù)列｛的J，滿足：%=3,g=6,且數(shù)列｛an-九｝為等比數(shù)列，

(1)求｛an｝通項公式；

(2)設(shè)Sn=%+&+…+每，求Sn.

18.(本小題12.0分)

銳角國ABC中，cosA=%=8,a=5.

(1)求NB；

(2)團ABC內(nèi)有點M,4BMC=90°,^BMA=120°,求淺.

19.(本小題12.0分)

四棱錐P—力BCD中，底面4BCD是矩形，PD丄平面力BCD,PZ)=DC=2,E為BC中點,PELAC.

(1)求BC；

(2)求二面角4-PE-。的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固拓展脫貧攻堅成果，全面推進鄉(xiāng)村振興，在國家產(chǎn)業(yè)扶貧

政策的大力支持下，利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在山上發(fā)展果樹種植，現(xiàn)已開始大量結(jié)果，為了普

及果樹種植技術(shù)，該縣舉辦“果樹種植技術(shù)知識競賽”，競賽規(guī)則如下：先進行預(yù)賽，預(yù)賽

共進行四輪答題比賽，在每輪答題比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對得分，

答錯不得分，四輪答題中，易，中，難三類題中的每一類題最多選兩個，預(yù)賽的四輪答題比

賽得分不低于10分的進入決賽，某選手4答對各題相互獨立，答對每類題的概率及得分如下

表：

容易題中等題難題

答對概率313

5210

答對得分345

(1)若選手4前兩輪都選擇了中等難度題，且對了一題，錯了一題，請你為選手4計劃后兩輪

應(yīng)該怎樣選擇答題，使得進入決賽的可能性更大，并說明理由；

(2)選手A四輪答題中，選擇了一個容易題，兩個中等難度題，一個難題，已知容易題答對，

記選手4預(yù)賽四輪答題比賽得分總和為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本小題12.0分)

橢圓當(dāng)+弓=l(a>b>0)的左右頂點分別為是梢圓上一點，kMA-kMB=

abz

(1)求橢圓方程；

(2)動直線x=加交橢圓于P,Q兩點，求I2PQM面積取最大時的m的值.

22.(本小題12.0分)

f(%)=ln(e”+°+1)—[+號+b有兩個零點%V%2),

Z4

(l)a=0時,求b的范圍；

(2)6=一1且QV|時，求證：x2-xr<225-4a.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方和四則運算即可得到答案.

解：對力，z2+2z=(l-/3i)2+2(1-=-4y/~li.其不是實數(shù)，故A錯誤；

對8,z2-2z=(1->A3i)2-2(1-V~3i)=-4.則其為實數(shù)，故B正確；

對C,z2+3z=(1-v^i)2+3(1-yTli)=1-.其不是實數(shù)，故C錯誤；

對。，z2-3z=(1-yT3i)2-3(1-yT3i)=-5+Oi-其不是實數(shù)，故。錯誤.

故選：B.

2.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合N,進而根據(jù)集合間的運算求解.

解：令log2x<2=log24,解得0<x<4,所以N={x|0<x<4},

因為M={x\x<2},則=[x\x>2},

所以(C/M)nN=(2,4).

故選：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】利用特殊點法判斷即可.

解?：因為/(、)=急(一與<%<9，

所以f得)=工=讐>0,故排除C；

\37cos}3

_n

/(-7)=^n=-?<0,故排除8;

'3/cos(-q丿J

而/償)=工=等<與=/信)，

\6/COST0-93\3/

所以f(x)在(0,0不可能單調(diào)遞減，故排除D；

因為排除了BCD，而4又滿足上述性質(zhì)，故A正確.

故選：A.

4.【答案】C

【解析】【分析】對于選項A8：根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義對其判斷；對于選項8：根據(jù)函數(shù)中心

對稱或軸對稱定義對其判斷.

解：對于選項A：/(-x)=*_/(x),則/(%)不是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于選項B：/(-%)=烏=*/(x),則/(x)不是偶函數(shù)，故B錯誤；

對于選項C：f(x)+/(-x)=鳥+強9=港=1,

故f(x)的圖象關(guān)于點(0，)中心對稱，故C正確；

對于選項。：/(l-%)=—,則“為的圖象不關(guān)于直線x軸對稱，故。錯誤；

故選：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出3,屮，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸作答.

解：依題意，函數(shù)/'(X)的周期7=2(兀一今=寫，(0=y=|,于是/(x)=cos(|x+9),

由/(^)=0,得|xg+3=/OT+1,keZ，即S=/OT,k€Z,因此/(x)=cos(|x+kn),k&Z,

由|x+/CTT=ZOT,6Z,得％=(n-k)畳,k,n6Z,即/'(x)圖象的對稱軸是x=(n—k)?

與,k,n6Z,

當(dāng)/c,neZ,n-k=1時，尤=與，即》=當(dāng)是f(x)圖象的對稱軸，B是;

顯然一，稱，省都不可能化成年的整數(shù)倍，即ACD不是.

-5OOJ

故選：B

6.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.

解：依題意，選中高二1班的同學(xué)有1x6種方法，高二1班的同學(xué)沒選中有3x3,

所以2人來自不同班的選法種數(shù)為1x6+3x3=15.

故選：B

7.【答案】C

【解析】【分析】作出軸截面，利用等腰梯形面積公式求出上下底面半徑和母線長，再利用圓臺

側(cè)面積公式即可得到答案.

解：作出軸截面ABCD,則四邊形4BCD為等腰梯形，乙ABC=60°,

過點A作AE丄BC,

設(shè)上底面半徑長為%,則下底面半徑長為2%，

則上底面直徑AD=2x,下底面直徑BC=4x,

則BE=—力。）=x,則AE=Ox,

則S載％BCD="（2x+4x）x>J~3x=30,解得x=1,

則上底面半徑巳=1,下底面半徑七=2,

母線I=2BE=2,則圓臺側(cè)面積S幽=加&1+上）=2TT（1+2）=6萬.

8.【答案】D

【解析】【分析】由二面角B-&C1-D的大小求出A2,再利用幾何法求出異面直線夾角的余

弦作答.

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線

的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形：

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,芻，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩

條異面直線所成的角.

解：在正四棱柱4BC0中，令A(yù)?=。，連接BO,DO,BO,如圖,

由BB]丄平面48傳1。1,厶住1u平面為B1C1C1,得AxCr1BBr,而AXCX1B]D1,

BB1n8也=Bi，BBiBDiu平面BB^D,則41G丄平面BBRD，又BO,DOu平

面BB1D1D,

于是B。丄46，。。丄&C1,即NB。。是二面角B-AC1一。的平面角，有NBOO=60。，

而四邊形BBRD是正四棱柱ABCD-的對角面，則四邊形BBRD為矩形,

令=a,由=2,得BD=AC=4G=/D1=2c,顯然BO=V2+a2=DO，

因此團BOD是正三角形，V2+a2=2y/-2＞解得a=＞/~6＞則厶/=CB】=V10,

由于四邊形4CC1為是矩形，則有4c〃&C】，從而NCABi是異面直線41cl與4B1所成的角,

，…訓(xùn)。SN

C0S^CAB1=-=7==--

9.【答案】AC

【解析】【分析】利用給定的結(jié)論計算判斷厶從利用誘導(dǎo)公式結(jié)合2選項計算判斷C：利用正弦函

數(shù)性質(zhì)判斷。作答.

解：依題意,取n=5,貝Ucos：+cos、^+cos等+cos奈+cos等=0,

.2n..4TT,.6TT,.8TT,.IOTT八

sin—+sin—+sin—+sin—4-sin-^-=0,

因此cos卷+cos?+cosy+cos=-cos27r=-1,A正確;

sin卷+sin今+sin^4-sing=-sin27r=0,B錯誤；

由選項A知，cos卷4-cosY+cos?+cos:=—1,因此cos爭+cos?=—pC正確;

顯然sin華+sing>sin*=sing>sing=。錯誤.

5555oZ

故選：AC

10.【答案】ACD

【解析】【分析】利用雙曲線的方程得到漸近線方程可判斷4利用雙曲線的定義可判斷B；利用

△"MF?的面積求得M的坐標(biāo)，從而利用向量垂直的坐標(biāo)表示判斷C；利用直角三角形的性質(zhì)可判

斷。.

解：因為雙曲線E:/-y2=4可化為1，

44

-

所以a=2,b=2,c=|F1F2|=2c=4V-2?Fx(-2A/2,0),F2(2y/~2,0),

則雙曲線E的漸近線方程為y=±x,即斜率為±1,故A正確；

由雙曲線的定義可得IMF/-IMF2I=2a=4,故8錯誤；

不妨設(shè)M(Xo，yo)(Xo，yo>0)，因為△F1MF2的面積為4,

所以S@&MFz=加舟-lyol=IX4V_2xy0=4,則%=7-2，

又詔一禿=4，則X。=\/~6<故時(,1^),

所以麗=(-27-2-/7>,-MK=(2<2->^6(-<7),

則麗?麗=(-27-2-<6)(27^-<6)+(-<^)2=0，

所以防耳丄祈冃，則N&MF2=90°,故C正確；

因為。為F1F2的中點，4居時尸2=90。，所以。為外接圓的圓心，

所以aFiMF?外接圓半徑為|。&|=c=2/2，故。正確.

故選：ACD.

11.【答案】BD

【解析】【分析】因為平面區(qū)域表示以。為圓心，半徑為2的上半圓與x軸組成的封閉區(qū)域，直線/表

示傾斜角為。，過定點4(一2,0)的直線，根據(jù)面積關(guān)系可得sin28+28-]=0,構(gòu)建函數(shù)/(x)=

sin2x+2x-=,xG(0,=),利用判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項分析判斷.

解：因為y=74一.2,整理得/+y2=4(y20),表示以。為圓心，半徑為2的上半圓，

可知OWyW、4一/,表示以。為圓心，半徑為2的上半圓與工軸組成的封閉區(qū)域，

又因為直線Z:y=(無+2)tan8(0<。V〃)，表示傾斜角為。，過定點4(一2,0)的直線，

設(shè)直線2與半圓的另一個交點為。，8(2,0),

可知：厶DOB=2厶DAB=28,且。6(0,]),貝iJzOOA=兀-26,

可得直線/的下半部分的面積為:x2x2xsin4004+|x20x22=2sin20+48,

由題意可得：2sin29+49=yXirx22=n,

整理得sin28+28=*即sin2。+2。一]=0.

令/'(x)=sin2x+2x-^,xe(0,勻，則。為/"(x)的零點，

且/''(%)=2cos2x+2=2(cos2x+1)>0,所以/'(x)在(0,勻上單調(diào)遞增.

對于選項A：因為/圖=$也2*.+2義戸>?-戸0,即。嗎故于錯誤;

對于選項B：因為f償）=sin2x9+2xj—3=一3<°=f（。）,

\o/o0444

且/⑺在（0號上單調(diào)遞增，所以。>余故B正確；

對于選項C：因為sin20+28=*則5也2。=與-20,

由選項B可知：6e（2所以sin20>?-2x；泉故C錯誤;

\O厶丿厶OT1

對于選項。：因為sin2e+28=》故。正確；

故選：BD.

12.【答案】ABD

【解析】【分析】設(shè)M（x3）,x>0,利用點到直線的距離結(jié)合基本不等式即可判斷4,求出4B坐

標(biāo)，計算出M鼠而的表達式，利用換元法和配方法即可判斷BD,通過假設(shè)存在這樣的等邊三角

形，利用等邊三角形性質(zhì)求出點M的坐標(biāo)，再進行驗證即可.

本題的關(guān)鍵是利用設(shè)點再求出點4B坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量，利用點到

直線的距離公式、基本不等式以及換元法等進行求解相關(guān)最值.

解：設(shè)M（x*）,x>0,

對4則點M到直線啲距離受-x+1|=x+:一界=

當(dāng)且僅當(dāng)x=；,即x=l時等號成立，故A正確；

對B,D,聯(lián)立有｛空#+（yT）2=2,解得仁越二2.

則不妨假設(shè)4（一2,2）,8（0,0）,初=（一2—須2—以，而=（一%一：），

則詞.麗=（―2—幻.（r）+（2-目（一;）=/+9+2（x一今=（x-，+2+2，

%>0,

令％-：=3%>0,因為y=x,y=-:在（0,+8）上均為單調(diào)增函數(shù)，

則￡=%一%在（0,+8）上也為單調(diào)增函數(shù)，且％—0,x>0時，t->-co,

xr+8時，t4-oo,且函數(shù)圖象在（0,+8）上連續(xù)不間斷，則￡ER,

則加?麗=t2+2t+2=(￡+1)2+121,當(dāng)t=-l,即x—丄=一1,即％=爐或x=

匚尹(舍去)時取等，故正確.

對C,若要團為等邊三角形，則首先點M為線段48的垂直平分線和曲線y=；(x>0)的交點,

因為A(-2,2),B(0,0),則AB的中點坐標(biāo)為(一1,1),

則垂直平分線的所在直線的方程為y-1=x+1,即x—y+2=0,

1rx—y+2=oRY__1丄r~5二二吉(舍卻

將其與曲線y="x>0)聯(lián)立得解得或

此時\MB\=J(-1+>T2)2+(14-<2)2=

而|AB|=《(一2/+22=2<2，則|MB|\AB\,

則不存在點M,使得為等邊三角形，故C錯誤.

13.【答案】C>A>B

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用作差法結(jié)合不等式性判斷作答.

解：由a>b>c>0,得a?>ab,b2>be,因此C=a2+b2>ab+be=A,

顯然力-B=(ab+be)—(ac+b2)=(a—b)(b—c)>0,則A>B,

所以A'B、C大小關(guān)系是C>4>B.

故答案為：C>4>B

14.【答案】(3,2/3)

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推理論證QM與拋物線準(zhǔn)線垂直，再借助拋物線定義求解作答.

解：拋物線y2=2px(p>0)焦點為八點在準(zhǔn)線“.上，

在等邊回MQF中，|QM|=|QF|,因此QM長等于點Q到準(zhǔn)線的距離，即有QM與拋物線準(zhǔn)線垂直,

令拋物線準(zhǔn)線與x軸交于點N,則|MN|=2，3，由QM//X軸，得4MFN="MF=60°,

于是P=尸川=翳=丄|QM|=四用=請=4,

令Q(殉，2，3)，則*4,解得殉=3,

所以Q點坐標(biāo)為(3,2，飛).

故答案為：(3,2門)

15.【答案】(1,2)

【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意分析可得尸(x)20在(0,+8)上恒成立，進而可得靑>氤氣,

分a>1和0<a<1兩種情況，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

解:由題意可得:/(*)=Tina-xln(a+2)xLinaln(a+2)J

因為函數(shù)/(久)=logax-2/0%+2%是(0,+8)上的增函數(shù)，

則「(工)>。在(0,+8)上恒成立，且;>0，

121?

可得嬴一兩方>°，即而>兩百

當(dāng)a>1時，則Ina>0,ln(a+2)>0,可得ln(a+2)>21na=Ina?,

且y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a+2>a2,解得1<a<2；

當(dāng)0<a<l時，則Ina<0,ln(a+2)>0,可得ln(a+2)<21na=Ina?,

且y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，KiJa+2<a2,無解；

綜上所述：a的取值范圍為(1,2).

故答案為：(1,2).

16.【答案】512

【解析】【分析】根據(jù)題意可得an+i=WS22),進而可得%+i=2bn(7iN2),故從第二項開

始，數(shù)列｛b｝是以公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解.

解：當(dāng)n=1時，則瓦=log2a1=log22=1；

aa

當(dāng)n>2時，可得a2=?i=2,且a；t+i=aya2…=(%。2…n-i)n=W，

aaa

則%+1=^O92n+l-^°92n=2/o^zn=2bn,

可得：從第二項開始，數(shù)列｛g｝是以公比為2的等比數(shù)列，

9

綜上所述：bl+b2+…+瓦0=1+1+2+22+...+28=1+g=2=512.

故答案為：512.

2=4

17.【答案】解：（1）由題意可得：％-

?2

所以數(shù)列｛an-n｝為等比數(shù)列是以首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

則冊—n=2x2nt=2n,可得=2n+n.

n

(2)因為an=2+n,

則S九=%+旳+…+a?i=(2+1)+(22+2)+…+(2"+n)

=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2c)+2^2=2n+1-2+2^12,

1—ZLL

所以Sn=2n+1-2+竺手2.

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列｛即-n｝為等比數(shù)列是以首項為2,公比為2的等比

數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式運算求解；

（2）根據(jù)題意利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.

222

18.【答案】解：（1）在銳角目48c中，由余弦定理得標(biāo)=ft+c-2bccosAf即25=b4-64一亍b.

整理得7b2-88b+7x39=0,解得b=7或b=y,

222222

a+6-c25+49-641na+c-b25+64-491

當(dāng)匕=7時,-------------------------------=-,cosH=----------------=--------=—，

2ab2x5x882ac2x5x82

此時NB,乙4/C都是銳角，符合題意，4B=60。,

當(dāng)時，a2+b2-C2<52+62-82<0,即cosC<0,“是鈍角，不符合題意，

所以NB=60°.

(2)由(1)知N4BC=60。，設(shè)4MBe=6(0°<0<60。)，

由z_BMC=90°,得BM=5cos0,CM=5sin。，sin乙48M=sin(60°—。)=?cos。一gsin。，

c

在團48M中，Z-BMA=120°,由正弦定理得4M=歿當(dāng)響=8cos。一名sin。，

smz.BMAV3

顯然乙4MC=150°,由S⑦BMC+S團BMA+^^AMC=S團加。

得:BM?CM4M.BMsinl20°+24M-CMsinl50°=1acsin60°,

即25sin6cose+號(8cos0--^=sin0)-5cos6+1(8cos0——^=sin0)?5sin0=20A/-3,

整理得25sin6cos。+2OV~~3cos20—^=sin20=20\/-3,即25sin6cos。=-y=sin20,

顯然sin。>0,因此絵=黑=焙，

sin。51315

所以處=些=電3

MCsine15

【解析】【分析】(1)利用余弦定理求出邊b,再利用余弦定理求出NB作答.

(2)設(shè)NMBC=0,利用sin。,cos。表示線段CM,BM,再利用正弦定理求出AM,然后利用三角形面

積公式求解作答.

19.【答案】解：⑴四棱錐P-4BCO中，底面4BCD是矩形，P。丄平面4BCD,則。4。。。尸兩兩

垂直，

以點。為原點，射線。4DC,DP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)BC=2t,由PD=DC=2,得4(2t,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),BC中點E(t,2,0),

則方=(t,2,-2),而=(-2t,2,0).由PE14C,得兩.AC=-2f2+4=0,而t>0,解得t=

所以BC=2<7.

(2)由(1)知，A(2>J~2,0,0),E(V1,2,0)，則荏=(-<7,2,0),DE=2,0),~PE=(C,2,-2).

設(shè)平面4PE的法向量記=(Xi，yi，zj,則，,竺一二￡^久1+2為一0,令丫［=1，得記=

(Jn-PE=<1%1+2y1-2zi=0

(C,l,2)，

設(shè)平面OPE的法向量元=(X2，V2，Z2)，則竺一+2乃°,令曠2=1,得元=

in-PE=<7X2+2y2-2z2=0

(-V-2,l,0),

令二面角4一PE-。的夾角為。，則cos。=|cos<沅，五>|=髙==晨T'sin9=

V1-cos20=2V2；一,

所以二面角力-PE-。的正弦值為紋理.

【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂

直的坐標(biāo)表示求解作答.

(2)利用(1)中的坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的正弦作答.

20.【答案】解：(1)依題意，選手4前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4,于是選手厶后

兩輪的選擇有3種方案，

方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率％=|x卜割

方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進入決賽的概率P2=為又得=鳥

方案三：容易題、難題各選1道，則必須都答正確，于是進入決賽的概率P34X,=￡，

顯然Pl>p2>p3,所以后兩輪都選擇容易題進行答題，進入決賽的可能性更大.

(2)依題意，X的可能值為：3,7,8,11,12,16,

則P(X=3)=：x"卷=看P(X=7)=GXH5=《；

P(X=8)="上訐糸P(X=11)=H紀(jì)卷

P(X=12)=C；X*"得=券P(X=16)=|xlxA=^

所以X的分布列為:

X378111216

773733

p

402040402040

數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x^4-7x^+8x^+llx^+12x^4-16x^=y.

【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨立事件的概率公式計

算比較作答.

（2）求出X的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望作答.

21.【答案】解：⑴在橢圓務(wù)，=l(a>b>0)中，4(-a,0),B(a,0),而叭，之1)在橢圓上,

且々MA*=-p

因此±.宀=-4,解得。2=4,顯然￡+?=1，則爐=2,

V2+QV2-a2Kb

所以橢圓方程為1+4=1.

(2)直線工=m與橢圓3+1=1交于P,Q兩點，則一2<m<2,

把％=小代入方程5+1=1得：丫2=苧，由橢圓的對稱性知|PQ|=2|y|4—二打

點M(，21)到直線％=m的距離d=\y[~2-m\,

當(dāng)mW時，得團PQM的面積S圖PQM=1\PQ\,d=??V4—m2?\\T-2—m\=

(4-7712)(7-2-m)2?

令f(m)=(4—m2)(V-2—m)2,-2<m<2,

求導(dǎo)得f'(zn)=-2m(V-2—m)2—2(4——m)=-2(m—\/^)(2m2--/~2m-4),

，

由尸(m)=0,得Tn1=：「,m2=<7,m3=。丁

當(dāng)一2<m<恤或<m<g時，r（m）>0,當(dāng)啊<m<或gVMV2時，//（m）<0,

因此函數(shù)/'（m）在（一2,漢1）,（/2m3）上遞增，在（61，/2）,（巾3,2）上遞減，

而〃恤）=[4-罵氷n_=居2=號M

cr、r.，吃+<35、2i,fC+\TJ?、271-17<T7

f(62)=[4—(---)]?2--------------)=——g------顯然/(61)>/(m2),

于是當(dāng)7n