2022-2023學(xué)年山東省青島市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i5-2i）的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)虛部，實(shí)部定義可得答案.

【詳解】由題，z=2+ai,則a+2=0=a=—2.

故選：B

2.圓錐和圓柱的底面半徑、高都是R,則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為（）

A.（x/2+l）:4B.72:2C.1:2D.（五+1）:2

【答案】A

【分析】直接求出圓錐或圓柱的全面積，即可確定二者的比值.

【詳解】由題意圓錐的全面積為：加片+；X6RX2〃R=（1+近）乃R?

圓柱的全面積為：2%爐+乃x2RxR=4;rR2

所以，圓錐的全面積與圓柱的全面積之比為：葉正

4

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐、圓柱的全面積，正確應(yīng)用面積公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)

題.

3.中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺

功能、血管彈性、肌肉力量等.下圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上

C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙D.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙

【答案】B

【分析】對(duì)于A：直接求出中位數(shù)；

對(duì)于B：求出乙的星期三和星期四步數(shù)，計(jì)算可得；

對(duì)于C：分別計(jì)算出甲、乙平均數(shù)，即可判斷；

對(duì)于D：分別計(jì)算出甲、乙方差，即可判斷；

【詳解】對(duì)于A：甲的步數(shù)：16000,7965,12700,2435,16800,9500,11600.從小到大排列為：

2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800.中位數(shù)是11600.故A正確；

12970

對(duì)于B：乙的星期三步數(shù)7030,星期四步數(shù)12970.因?yàn)橛廊f(wàn)al.84<2,所以沒(méi)有增加1倍上.故B

不正確；

一1

對(duì)于C：所=y(16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000,

=1(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500.

所以與>%乙.故C正確；

對(duì)于D：

際2=g[(16000-11GOO?+(7965_00-11000)2+(2435-11000)2+(l6800-11000)2+(9500-11000)2+(l16

f,000^+Q27

sj=g[(14200-105OO)2+(12300-10500)2+(7030-105(X))2+(12970-1O5OO)2+(5340-10500)2+(11600-10500)2+(10

所以s『>s乙2.故D正確；

故選：B.

112

4.己知4、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，。是AABC的重心，點(diǎn)P滿足

663

則與[8CP面積比為()

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

【答案】B

【分析】利用三角形重心的性質(zhì)及平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示

A

。是的重心,

...OA+O8+OC=0,

:.OB+OC=-OA,

OP=-OB+-OC+-OA,

663

6OP=OB+OC+4OA,

6OP=3OA^即20P=04,

???點(diǎn)P為。4的中點(diǎn)，即點(diǎn)PQ為8c邊中線AD的兩個(gè)三等分點(diǎn),

-sACP=^sACD=^sABC,

SBcP=jsABC,

SACP=1x3=1

°BCP624

故選：B.

5.如圖，在圓錐SO中，AB,8為底面圓的兩條直徑，ABCD=O,且SO=OB=3,

SE=*異面直線SC與。E所成角的正切值為()

c￡

【答案】D

【分析】以O(shè)D,OB,OS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦

值，再得正弦值.

【詳解】由題意以O(shè)ROMOS為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

40,-3,0),8(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE'SB,

4

1139

OE=OS+S￡=OS+-SB=(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-).

4444

5C=(-3,0,-3),

OESC36

則cos<OE,SC>==

|o耶。「:Mx3近

設(shè)異面直線SC與OE所成角為6>,則cos<9=|cos<OE,SC>|=筆

8為銳角,

N/55

J55一，sin。inA/TT

sin@==^,所以tana=-----=--T=-=-.

10cos。3V53

10

6.己知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品全不

是次品“，F(xiàn)表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品“，則下列結(jié)

論正確的是()

A.尸與G互斥B.E與G互斥但不對(duì)立

C.E,F,G任意兩個(gè)事件均互斥D.E與G對(duì)立

【答案】D

【分析】列出基本事件，再結(jié)合互斥事件，對(duì)立事件的定義即可判斷.

【詳解】設(shè)1表示取到正品,0表示取到次品,所有事件。={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.

則E={(1,1,1)},F={(O,O,O)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0))

FCG=F,故尸與G不互斥，故A,C錯(cuò)

EcG=0,EuG=C，故E與G互斥且對(duì)立，故B錯(cuò)，D正確

故選：D

7.如圖，在“ABC中，BM=/c,NC=AAC，直線AM交BN于點(diǎn)、Q,若BQ=]N,則2=()

A

BMC

A.-B.-C.-D.-

5533

【答案】A

uuuuuuuu

【分析】由A",Q三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)，使得80=〃8M+（1-〃）8A,再由AMC三點(diǎn)共線可解

得〃=々，利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得NC=：AC,即義=：

【詳解】根據(jù)圖示可知，A,M,Q三點(diǎn)共線，由共線定理可知，

ULHlUUUUU

存在實(shí)數(shù)〃使得BQ=+（1-//）BA,

uuir1muuLin5uuu51uunuir

又BM=-BC,BQ=-BN,所以=5〃5C+（1—〃）R4,

514

又AN,C三點(diǎn)共線，所以,=5〃+1一〃，解得〃=

uim7uun?uiruiruuur2/"uuu、3uir

即可得=所以（z胡+四）x=《（胡+4。）+）&4,

7uuuuum7uu?uum3uum

所以AN=14C,^AC-NC=-AC,可得NC=《AC,

3

又NCKAC，即可得2=丁

故選：A

8.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)?商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖

所示的“塹堵”A8C?ANG中，AB=AC=AA]=2f/、N分別是叫和AG的中點(diǎn)，則平面截

“塹堵，，A8C-所得截面圖形的面積為

D,也

3

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)AN,與CG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,則Pe平面BBCC.連接PM,與耳G交于點(diǎn)E,連接

NE,可得截面圖形，然后計(jì)算其面積.

【詳解】延長(zhǎng)AN,與CG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，則Pe平面連接p例，與4G交于點(diǎn)E,連接

NE,得到的四邊形AMEN就是平面AMN截“塹堵”A8C-所得截面圖形.由已知可求得:

AM=AN=M+l=5

由△PC￡SZ\EB|M,可得用E==手,<7逐=半

22

MN=y]AlN+A]M=

【點(diǎn)睛】本題考查作出平面截空間立體幾何圖形的截面并計(jì)算其面積，屬于中檔題.

二、多選題

9.某團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如下表所示,

年齡28293032364045

人數(shù)1335431

有關(guān)這20人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說(shuō)法正確的有（）

A.眾數(shù)是32B.眾數(shù)是5C.極差是17D.25%分位數(shù)是30

【答案】ACD

【分析】根據(jù)人數(shù)最多確定眾數(shù)；最大值減去最小值為極差；利用分位數(shù)的定義求解25%分位數(shù).

【詳解】年齡為32的有5人，故眾數(shù)是32,A正確，B錯(cuò)誤；

45-28=17,極差為17,C正確；

因?yàn)?0x25%=5,所以（30+30）+2=30,故25%分位數(shù)是30,D正確.

故選：ACD

10.已知a,尸是兩個(gè)不重合的平面，機(jī)，”是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若mJ.”，mVa,nl/0,則

B.若加_La,n/la,則機(jī)_L〃

C.若相〃<?,，"〃”，則〃//a

D.若加〃*a〃尸，則，"與a所成的角和〃與尸所成的角相等

【答案】BD

【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系、等角定理，結(jié)合圖形，通過(guò)舉反例進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)已知條件，可得如下圖的反例：

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若能_La,則機(jī)垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，又〃//a,

由等角定理可知，mVn,故B正確；

對(duì)于C,根據(jù)己知條件，可得如下圖的反例，〃在面a內(nèi)：

tn

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加〃”，all13,根據(jù)等角定理以及線面角的定義可知,

機(jī)與a所成的角和”與夕所成的角相等，故D正確.

故選：BD.

11.已知向量a=(cosa,sina),6=(2,1),則下列命題正確的是()

A.|a-》|的最大值為逐+1B.^\a+b\=\a-b\,則tana=g

C.若e是與人共線的單位向量，貝麋=(馬叵，@)D.當(dāng)，(a)=。/取得最大值時(shí)，tana=；

【答案】AD

【分析】設(shè)。4=a=(cosa,sina),0B=b=(2,1),利用向量的減法的幾何意義可判定A；利用向量

的數(shù)量積運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為a為=2cosa+sina=0,可判定B；根據(jù)與。共線的單位向量有兩個(gè)相反

的方向，可以否定C；利用向量的數(shù)量積等于一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在第一個(gè)向量上的投影的

乘積，轉(zhuǎn)化為求何時(shí)向量d=(cosa,sine)在向量b=(2,l)上的投影最大，利用向量共線且方向相同

的坐標(biāo)表示即可判定D.

【詳解】V|<rz|=A/COS2a+sin2a-\,；."=(cosa,sina)是單位向量，設(shè)。4=a=(cosa,sin(z),

OB=b=(2,l),則|a-b|=|A8|4|OA|+|O8|=1+逐，當(dāng)a=(cosa,sina),1=(2,1)方向相反,即

cose=2sine<0時(shí)取等號(hào)，|a-A|的最大值為石+1,故A正確;

|a+6|=|a-6|等價(jià)于(a+6)=(a-b)即J+b2+2a-b=a+b~-2a-b>即夕6=2cosa+sina=0，

tana=——,故B錯(cuò)誤;

2

b

與匕共線的單位向量為±M=,故C錯(cuò)誤;

f(a)=a-b最大,當(dāng)且僅當(dāng)向量a=(cosa,sina)在向量b=(2,l)上的投影最大，即向量

a=(cosa,sina)與〃=(2,1)同向，亦即cosa=2sina>0,此時(shí)tanau,,故D正確.

故選：AD

12.已知正方體ABCQ-A8GR的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A.OP〃平面A8Q

B.RP+CP的最小值為瓜7百

C.直線。尸與平面ABC。、平面。CGR、平面AOZ)M所成的角分別為a,￡,y,則

sin2a+sin2/7+sin2y=1

4

D.點(diǎn)C關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為例，則M到平面ABC。的距離為3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、

點(diǎn)到平面的距離，逐項(xiàng)盤點(diǎn)即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,如圖連接。

在正方體ABCD-AMGR中，因?yàn)锳B//￡>C，A8=〃G，所四邊形A8CQ為平行四邊形，所以

ADJg,又BGu平面BCQ,4。<2平面86。，所以A。//平面BQ。，

同理可得。4//。8,又DBu平面BCQ,。由(z平面B￡。，所以。百〃平面BCQ,由

A。C2用=。,A4,〃與u平面ABQ,所以平面BG?！ㄆ矫鍭B、D、,

因?yàn)椤?gt;Pu平面BCQ,所以DP“ABR,故A正確.

對(duì)于B,如圖將平面RGB和平面BGC展開(kāi)到同一個(gè)平面，連接。C

。尸+CP的最小值即為RC，在正方體可得RG，平面2GC,GBu平面8CC，所以。

且CC=BC，GC，3C,所以NBCC=；

則平面中N〃CC=^37r，由余弦定理得

22=2+應(yīng)，即℃=也+夜，故

DtC=+CtC-2DlClClCcosZDlClC=l+l-2xlxlx

B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,如圖，過(guò)p作PNLCC于N,PEJ.BC于E,P。工平面AQRA于。，連接

QD,DE,DN,PC

由正方體易得尸'人平面。CGR,PE_L平面ABC。，又直線QP與平面ABC。、平面QCCQ1、平

面AORA所成的角分別為a,￡,y,

PFPNPO

所以sine=sinZP￡>￡=-^^,siny?=sinZ.PDN=,sin/=sinZ.PDQ=,

則sin?a+sin?+siry=（^\+j空丫+fM二>爐+一”+尸。，

{PDJ\PD）\PD）PD2

因?yàn)槭2平面4ORA，CQ_L平面則PQ〃8,且PQ=8,所以四邊形P0DC為平行

四邊形，所以O(shè)Q=PC,

2

又在矩形PNCE中可得「爐+pN2=pE?+EC2=pC2t所以PE。+PN。=DQ,

在Rt^PQf）中，DQ2+PQ2=PD2,所以PE?+PN?+PQ2=P》,即

sin2a+sin2/?+sin2y=1,故C正確；

對(duì)于D,連接AC,〃C,AG，連接AC交平面于尸，過(guò)F作“//AC交AC于H

在正方體中可得，AGJ.BR,CG，平面ABCQ，因?yàn)锽Qu平面ABCB，所以CG^BQ,

又CGCAG=G，CG，A6U平面AGC,所以片口，平面AGC,又ACU平面A￡C，所以

B,D,±AC.同理可得A。J.AC,

因?yàn)锳RcBQ=R,AR,BQu平面A8Q,所以A,C，平面A8Q,即4尸，平面A8Q,

因?yàn)檎叫蔚拿鎸?duì)角線的=4。=做=收，所以A4。為正三角形，又9T他,=1^曲，所以

XLXLXLXL

11sAHI).M^Jj

-SABDA,F=-SiBD-A4),則4,1=f=1.........................=v_

JJ3A5a-xV2xV2xsin-J

23

l1FHCF2

因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線4。=百，所以a歹=彳4。，因?yàn)榍?/AC，所以7T=:K=可，即

3ZXjZ*Zl|5

22

FH、,因?yàn)榈?，平面ABC。，所以尸到平面ABC。的距離為

、.4

由于點(diǎn)。關(guān)于平面ABQI的對(duì)稱點(diǎn)為“，則尸為CM中點(diǎn)，于是M到平面ABCQ的距離為故D

正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.已知向量a=(5,5),ft=(A,l),若〃+〃與a-b的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為

【答案】(—7,l)u(l,7)

【分析】利用(a+析?(a-〃)>0去掉同向的情形即得.

【詳解】由題意(。+1)(￡一〃)>0，即藍(lán)一片>o,524-52>A2+12,/.-7<2<7,

,3

5+2=^(5-2)K=—

a+b=k(a-b),貝U5+13),解得2,

2=1

綜上2的范圍是(―7,1)口(1,7).

故答案為：(-7,1)<J(1,7).

【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系，。力是兩個(gè)非零向量，則a,b夾角是銳角時(shí),

a-b>0>a,b夾角是鈍角時(shí)，a-/?<0>反之要注意a,6可能同向也可能反向.

四、雙空題

14.已知我國(guó)某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1:3:6.2022年3月份調(diào)查得知該省二、三、四線

城市房產(chǎn)均價(jià)為0.8萬(wàn)元/平方米，方差為11.其中三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為1萬(wàn)元/平方米，05

萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線城市房產(chǎn)均價(jià)為萬(wàn)元/平方米，

二線城市房?jī)r(jià)的方差為

【答案】229.9

【分析】根據(jù)平均值及方差的定義列方程求解即可.

【詳解】設(shè)二線城市房產(chǎn)均價(jià)為x,方差為y,

因?yàn)槎?、三、四線城市數(shù)量之比為1:3:6,二、三、四線城市房產(chǎn)均價(jià)為0.8萬(wàn)元/平方米，三、四線

城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為1萬(wàn)元/平方米，0.5萬(wàn)元/平方米，

所以—xHx1Hx0.5=0.8,

101010

解得x=2(萬(wàn)元/平方米)，

由題意可得11=，口+(2-0.8)2]+得[10+(1-0.8)2]+\[8+(0.5—0.8)2],

解得y=29.9,

故答案為：2；29.9.

五、填空題

15.A45c的內(nèi)角A氏。所對(duì)的邊分別為〃也c,已知36FCOSA=Z?8SC+CCOSB,A+C=3,則。的最

小值為.

【答案】G

【分析】先由正弦定理將3,zcosA=bcosC+ccosB化為3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sinA一可求

出cosA=-,再由余弦定理可得/=從+-28cosA=(b+cy~^bc>[b+cy--(b+cy,即可的a

的最小值.

【詳解】因?yàn)?acosA=hcosC+ccosB,所以3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sinA,因?yàn)閟inAH0,

1Q?29

所以cosA=§,由余弦定理，得/=^+c2-2AosA=S+c)9——§/>c*e+c)--§e+c)=34|]awG

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，結(jié)合基本不等式即可求三角形邊的最值.

16.如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，球的半徑r=4,。2分別

為圓柱上、下底面的圓心，。為球心，EF為底面圓Q的一條直徑，若P為球面和圓柱側(cè)面的交線

上一動(dòng)點(diǎn)，線段PE與PF的和為PE+PF,則PE+P尸的取值范圍為.

E

【答案】[4+46,8g]

【分析】設(shè)P在底面的投影為P,連接PE,PF,PP,則尸產(chǎn)_L平面EFP',則PE_LP產(chǎn)，PFVPP,

在RjPP'E,放PPP中由勾股定理表示出PE和PF,^a(EP,)2+(FP,)2=64,設(shè)(砂午=fe[0,64],

得出(PE+PF)2,求出其范圍即可得出PE+PR的取值范圍.

【詳解】由題可知，點(diǎn)尸在過(guò)球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)尸在底面的投影為P，連接P'E,

PF,PP',則小_L平面“尸，PP=4,

又PE,PF<=平面EFP',

所以產(chǎn)EJ_尸產(chǎn)，PFLPP,

所以PE=/EP)2+(PP￥=?EP)2+16，PF="(FPH+(PP)2=J(Fpy+16，

(EP')2+(BP')?=EF2=82=64,

設(shè)(EP)2=te[0,64],

則PE+PF=Jr+16+j64-r+16=Vz+16+J80T,

(PE+PF)2=96+25/(r+16)(80-0=96+2j-(f-32了+2304,

因?yàn)閞e[0,64],

所以"-(-32)2+2304e[166,48]，

所以PE+PFe[4+4后,8g],

故答案為：[4+4石,84].

六、解答題

17.設(shè)向量4,6滿足向=1|=1,且k-2陷=近.

⑴求。與。的夾角；

⑵求|2“+3可的大小.

【答案】（I）專2兀

⑵"

【分析】（1）設(shè)d與b的夾角為。，利用卜-2。卜砂豆『即可求出答案；

（2）利用|2〃+34=,2。+3”即可求出答案

【詳解】（1）設(shè)a與人的夾角為。（0W64兀），

\a-2k^=^a-2b^=揚(yáng)-4〃++4/=布n同?-4回?陣0$7+4,1=7,

將向=網(wǎng)=1代入得l-4cosd+4=7,

八1八2兀

COSU———.

23

（2）忸+3+J（2&+3”=^cr+\2a-b+9h-=+12同陣0$61+9,

將向=1卜1代入得|2a+3々=j4+12x1_g）+9=近，

:.\2a+3b\=y/l.

18.某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段

［90,100）,［100,110）,…，［140,150）后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列

問(wèn)題：

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O90100110120130140150分?jǐn)?shù)

（1）求分?jǐn)?shù)在［120,130）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

⑵估計(jì)本次考試的第50百分位數(shù)；

（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為［110,130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總

體，從中任取2個(gè)，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段［120,130）內(nèi)的概率.

【答案】（1）0.3,直方圖見(jiàn)解析

【分析】（1）由頻率分布直方圖，能求出分?jǐn)?shù)在口20,130）內(nèi)的頻率，并能補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖：

（2）由頻率分布直方圖能估計(jì)本次考試的第50百分位數(shù)；

（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為010,13（））的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則分?jǐn)?shù)段為WO,

120）中抽取的學(xué)生數(shù)為2人，分?jǐn)?shù)段為口20,130）中抽取的學(xué)生數(shù)為4人，從中任取2個(gè)，利用列舉

法列舉出所有基本事件，再根據(jù)古典概型即可得解.

【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，得：

分?jǐn)?shù)在口20,130）內(nèi)的頻率為：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）x10=0.3,

片=0.03,補(bǔ)全后的直方圖如右圖所示:

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

°90100110120130140150分?jǐn)?shù)

(2)解：［90,120)的頻率為(0.010+0.015+0.015)x10=0.4,

[120,130）的頻率為：0.030x10=0.3,

二第50百分位數(shù)為：120+若/xlO=￥；

（3）解：用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為W0,130）的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,

則分?jǐn)?shù)段為[U。，⑵）中抽取的學(xué)生數(shù)為：而鬻麗X6=2人，設(shè)為A8,

分?jǐn)?shù)段為口2。，13。）中抽取的學(xué)生數(shù)沏而鬻麗x6=4人，設(shè)為她CH

從中任取2個(gè)，有AB,Aa,Ah,Ac,Ad,Ba,Bh,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd共15種,

其中符合題意得有AB,Aa,A仇Ac,Ad,劭,&,氏/共9種，

n□

所以至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130）內(nèi)的概率為1=].

7T

19.如圖，在五面體ABCDEF中，面ABCO是正方形，ADYDE,4）=4,DE=EF=2,且NEDC.

（1）求證：AD_L平面CDEF；

（2）求直線8。與平面AQE所成角的正弦值；

（3）設(shè)M是CF的中點(diǎn)，棱AB上是否存在點(diǎn)G,使得MG//平面AOE?若存在，求線段4G的長(zhǎng);

若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；（2）如；（3）存在，AG=3.

4

【解析】（1）由ADJ_DC和AOLOE,利用線面垂直的判定定理即證結(jié)論;

(2)先根據(jù)等體積法計(jì)算點(diǎn)B到平面ADE的距離d,再利用正弦等于"即得結(jié)果；

(3)先取￡>C,上點(diǎn)N,G使得CN=BG=\,證明平面MNGH平面ADE,即得〃平面ADE,AG=3.

【詳解】解：(1)證明：正方形45a>中，ADVDC,

又ADJ_OE,DCDE=D,￡>C,OEu平面COEF,所以4)，平面COEF；

(2)設(shè)直線8。與平面ADE所成角為。，點(diǎn)B到平面AOE的距離“，貝ljsin6=得.

依題意，8。=4血，由(1)知4)，平面CDEF,得平面ABCD工平面CDEF，故點(diǎn)E到平面ABCD

的距離％=￡>E-sin?=6,

RtAADE中,SADE=-ADDE=^X2X4=4,又S,g=[?A￡>-A8=gx4x4=8,故根據(jù)等體積法

%-m￡=匕-"。，得;SADE-d=；SABD-hi，即d==26,故Sill。==^=半，故直線

334BD4。24

BD與平面ADE所成角的正弦值是如；

4

(3)AB//DC,OCu平面CDEF,平面CDEF,〃平面CDEF,

又平面CDEF、平面ABEF=EF,46匚平面/1的/，，/3〃所〃8.

分別取OC,AB上點(diǎn)N,G,使得CN=BG=1,又CN〃5G,故四邊形CNGB是平行四邊形，BC//NG,

又NG在平面AOE外，BC在平面AZJE內(nèi)，.?.人心7/平面49￡,

取0c中點(diǎn)H,則DH=EF=2,又DHUEF,故四邊形EFDH是平行四邊形，.?.￡>￡〃”/,

又CN=l=、DC=LcH,M是CF的中點(diǎn)，故MN是中位線，〃”/〃政V,又MN在平面AOE

42

外，OE在平面AOE內(nèi)，.1MN//平面ADE,

因?yàn)槔齆,NG相交于平面MNG內(nèi)，所以平面例NG〃平面ADE,又MGu平面MNG,

故此時(shí)MG〃平面ACE,AG=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定、線面成角的求法和存在性問(wèn)題的探究，屬于中檔題.求空間中

直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；

(2)等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線線段長(zhǎng)的比值即線而成

角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.

20.如圖，四邊形中，ZDAB=ZDCB=^,AB=3,BC=2,5A=￥且/ABC為銳角.

⑴求08；

⑵求一ACD的面積.

【答案】(1)岑

3

【分析】(1)由三角形面積公式求得/ABC,利用余弦定理求得AC,分析可知B4是四邊形ABC。

外接圓的直徑，再利用正弦定理可求解；

(2)由面積公式即可得解.

【詳解】(1)由已知=LA8BC-sinNABC=^^,;.sin/A8C=X^

Zi/ioc222

jr

；/ABC是銳角，：.ZABC=-.

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=7,則AC=6.

TT

,：ZDAB=ZDCB=一，；.8。是四邊形ABCD外接圓的直徑，

2

.??8。是一43c外接圓的直徑，利用正弦定理知8。=二"=萬(wàn)、2=馬巨

ZABCV33

(2)由NZMB=NQCB=￥,80=冬旦，AB=3,BC=2,

23

則AO=@,CO=迪，

33

又NABCJ,則NAOC=&，

33

因此SAA8=TAO.CO-sinNADC=gx^x￥x^=等，

故二ACD的面積為更.

3

21.如圖(1),六邊形A3CDEF是由等腰梯形4)￡尸和直角梯形A8CZ)拼接而成，且

ZBAD=ZADC=90°，AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿AO進(jìn)行翻折，得到的圖形如圖(2)

所示，且NAEC=90".

⑴求二面角C—4E—。的余弦值：

(2)求四棱錐C-4￡>￡戶外接球的體積.

【答案】(1)日

c、6472

(2)------n

3

【分析】(1)作區(qū)M_LA￡>,連接AC,則AC=4夜，證得CDJ■平面相>防，得到CD_LAE再證

得4E_L平面CDE,得到A￡_LOE，進(jìn)而得到NCED就是二面角C-AE-。的平面角，在直角

中，即可求解；

(2)取A。的中點(diǎn)儲(chǔ)，連接。田,。尸，得到。|為等腰梯形AOEF的外心，取AC的中點(diǎn)。，連接

。4。。,。瓦。目，證得。OJL平面的>￡?尸，得到。為四棱錐C-AOEF外接球的球心，利用球的體積

公式，即可求解.

【詳解】(1)解：在等腰梯形AftE產(chǎn)中，作EM_LA￡>于M,

則DM=A。："/=1,4M=3,EM=6所以AE=^/^=2^/5,

連接AC,則AC=4V2>

因?yàn)镹AEC=90，所以EC=2石，所以ED?+OC?=石。?，所以C￡>_LE￡),

又因?yàn)镃D_LAO,且AOED=D,AQ,EQu平面A￡)EF,所以C￡>_L平面ADEF,

又由AEu平面ADEF,所以CD_LAE,

因?yàn)镃E_LAE且CEcC￡)=C,CE,COu平面COE,所以平面C￡)￡,

又因?yàn)锳Eu平面CDE,所以AE_LOE,

因?yàn)锳E_LCE,所以NCED就是二面角C-AE-O的平面角,

在直角C￡>￡'中，cosZCDE=—=^==—,

CE2V55

所以二面角C-AE-O的余弦值為日.

(2)解：取A。的中點(diǎn)Q,連接。也,0尸，可得證四邊形OQEF、QAFE均為平行四邊形,

所以4。=。儼=?！?0F=2,所以01為等腰梯形ADEF的外心,

取AC的中點(diǎn)0,連接。A,OD,OE,。。，可得OOJ/CD,

因?yàn)镃D_L平面所以。|。上平面4DEE,

又因?yàn)镺C=OA=OD=OE=OF=26,所以。為四棱錐C-AOEF外接球的球心,

所以球的半徑為R=20,所以丫=g7r*=g兀、(2&)3=等?兀.

22.如圖，在二ABC中，AB^f7iAC(meR),AO是角A的平分線，且相>=必C(&eR).

(1)若加=3,求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

(2)若8。=3,由22時(shí)，求4?C的面積的最大值及此時(shí)人的值.

【答案】(1)]。，￡);(2)當(dāng)％=平時(shí)，/1BC的面積取最大值3.