2023-2024學(xué)年陜西省部分高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年陜西省部分高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)（理）模擬試題

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

22

1.橢圓C:上+匕=1的長(zhǎng)軸為（）

43

A.lB.2C.3D.4

π

2.在AZ8C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為α∕,c,若c=3,b=4,4=—,則α=O

3

A.√BB.2√3C.5D.6

3.已知p:Wx>0,χ2+3χ>0；q：3xeH,χ2+1=0.則下列命題中，真命題是（）

ALPAqqC.P人7D.P八q

4.如圖，在四面體產(chǎn)力8C中，E是ZC的中點(diǎn)，BF=3FP,設(shè)方=￡,而=2定="，

則匠=（）

P

232242

1-I1-2-I2-

C.-Q+—b7+—cD.—Q——7b+-c

343343

5.已知等比數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)乘積為北，若%則%=()

A.lB.2C.3D.4

6.已知雙曲線《一《=l(4>0,b>0)的一條漸近線方程為3x+4y=0,則該雙曲線的離

ab

心率是()

455√5

A.-B.-C.-D.—

3342

7.已知空間三點(diǎn)力(2,1,—1),80,0,2),C(0,3,-1),則C到直線48的距離為O

A.√5B.2√2C.√6D.√19

8.已知數(shù)列｛α,,｝滿足α,,=a“_1+d,〃..2,"eN,貝"一α.=2d"是"一〃=2”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

9.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四

棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P-ABCD中，PNJ.平面ABCD,底面ABCD是正方形，瓦/

分別為P0,P8的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段4P上，AC與BD交于點(diǎn)O,PA=AB=2,若OG//

平面瓦C,則ZG=O

243

I2

10.設(shè)同＜1,則——+——的最小值為()

1—a1+4

_33

A.√24—B.^?∕2C.1D.2

22

11.已知尸為拋物線C=一16y上一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)，過尸作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為“,

若△尸EH的周長(zhǎng)不小于30,則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的取值范圍是O

A.(-∞,-5]B.(-∞,-4]C.(-∞,-2]D.(-∞,-l]

12.如圖，平行六面體/8C。-4ZG2的體積為

48√Σ,∕4Z8=∕4ND,y44=6,N8=ZD=4,且NjCu8=分別為

A.MN〃APB.MP〃平面BDN

C.DN!.AgD.P到平面MVC的距離為生畫

19

第∏卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

2

13.已知雙曲線Cr:——/=15>0)的焦距為10,則α=.

a"

%÷?-1...0,

14.若Xj滿足約束條件<2x-y..0,則Z=N—x的最小值為.

X,1,

15.如圖，在直三棱柱/8。一4用G中，=2,EI分別為棱/8,4G的中點(diǎn)，則

EFBBy=.

16.已知橢圓C：、+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳,鳥,尸為橢圓C上的一點(diǎn)，若

CoSNEF工=貝"I尸耳HPEI=.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知拋物線C;y2=-2px(p>0),4(-6,%)是拋物線。上的點(diǎn)，且14目=10.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于",N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(-4,2),求直線/的方程.

18.(12分)

已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,,且S,,=〃(丁).

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)'=ff求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

19.(12分)

如圖，在長(zhǎng)方體Z8C。—44GD中，AB^AD=6,AAi=S.

(1)求異面直線/G與48所成角的余弦值；

(2)求直線/C與平面48。所成角的正弦值.

20.(12分)

△ABC的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知-=sinC-sin(/-8).

(1)求〃；

(2)設(shè)α=2,當(dāng)∕>+J5c的值最大時(shí)，求AZBC的面積.

21.（12分）

如圖，在四棱錐尸-48CZ)中，ZBC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且

NDAB=60°,PA=PD=M,PB=3√2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明：平面尸平面。EF.

(2)求二面角Z—PS—C的大小.

22.（12分）

已知雙曲線。：彳一捺=1（4>0/>0）的右焦點(diǎn)為（近,0）,漸近線方程為y=±3χ.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)。為雙曲線C的右頂點(diǎn)，直線/與雙曲線C交于不同于。的瓦口兩點(diǎn)，若以EF為

直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)0,且Z）GJ?跖于點(diǎn)G,證明：存在定點(diǎn)〃，使∣G"∣為定值.

答案和解析

LD橢圓C：工+匕=1的長(zhǎng)軸為4.

43

2.A由余弦定理可得/=〃+c2-2bccosZ=13，所以a=√Ii.

3.C由題意可得P為真命題，4為假命題.故P△為真命題.

4.B因?yàn)镋是ZC的中點(diǎn)，礪=3百，所以

厚=而+麗=」而+為力+定）=L-U+匕.

42、,242

5.A因?yàn)椤?4，所以=1?因?yàn)?4：，所以%=L

22

6.C因?yàn)椤敢?=10>0,6>0）的漸近線方程為區(qū)±?=0,所以

a~h

7.B

—,i

刀=(—1,7,3),而=(1,—3,3),麻I=M,cosNZBC=∣"；EfI=-r?==%,

''','1網(wǎng)|詞而XM√19

SinNZ6C=第,C到直線48的距離為|前ISin/N8C=2√Σ.

√1911

8.C因?yàn)?-%=(〃?-〃”=2d,所以〃?一〃=2或d=0,故"%-%=2d”是

“/〃-〃=2”的必要不充分條件.

9.C以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，五瓦赤,萬的方向分別為x,%z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

(圖略)，則O(LLo),C(2,2,0),E(0,1,1),尸(1,0,1),而=(1,-1,0),EC=(2,1-1).

—..[x-y=0,—..

設(shè)平面MC的法向量為加=(“,z),則(-令X=I,得〃?=(1,1,3).

2x+y—z—0,

設(shè)G(0,0,α),則礪=(—1,—l,α).因?yàn)镺G〃平面瓦C,所以南,而，則南晶=O,

22

即一IXI-IXI+3。=0,解得。=—,故/G=—.

33

1+Q2(1—4)

10.A1i2J11i2](j+")=工"…√∑+∣,當(dāng)且僅

1—Q1+42\1-Q1+(7J

當(dāng)匕￡=2(Ij),即α=3-2j5時(shí)，等號(hào)成立.

?-al+a

ILA如圖，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（他,〃），準(zhǔn)線y=4與丁軸的交點(diǎn)為/,則

?PF?=?PH?=4-n,?FH?=J?AF∣2Λ?AH∣2=√82+m2=√64-16n=4√4≡H,所以

的周長(zhǎng)為4"二+2(4設(shè)函數(shù)/(M)=4√4≡√+2(4-W)(Λ,,0),則/(〃)

為減函數(shù)，因?yàn)?(-5)=30,所以/(〃)..30的解為4-5.

TT

121)因?yàn)?6="。=4,且/0/8=—,所以四邊形Z8CZ)的面積為

3

4x4XSin工=8下).

3

因?yàn)槠叫辛骟w/88-4gGQ的體積為48族，所以平行六面體/8Cr)-48∣C?2的

高為"在=2√6.因?yàn)?//5=/Z/0,所以《在底面的投影在AC上.設(shè)4在底面的

8√3

222

投影為O,則A1O=2八，因?yàn)?&=6,所以。/=AA^-Ap=√6-(2√6)=2√3.

因?yàn)镹C=4√J=2O/，所以。為4C的中點(diǎn).以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀,礪,西的方向分別

為x,N,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

^(2√3,0,0),c(-2√3,0,0),β(0,2,0),Z5(0,-2,0),M(^1,0),

4(0,0,2時(shí),N卜36,0,√6^),P(-36,-1,2志).加=(T血-1,6)臚=(-5次-1

2√6),4C=(-2λ6^,0,-2Λ^^),MP=(-4yj3,-2,2y∣β),DN=(-32,耳嬴=卜3a-1,0)

麗=(0,4,0),麗=(-3^^,-2,√6^).

因?yàn)辂悺?萬，所以MN與ZP不平行，故N錯(cuò)誤.

設(shè)平面BON的法向量為加=(XI,必,zj,

［削BN-m=-3Λ∕3XI-2y∣+?/ez,=0,

DB?m=4γ1=0,

令玉=J5,則而=(J5,O,3).因?yàn)槌?言=—4j§xJ，+0+2#x3=2JZH0,所以

兒。與平面8。N不平行，故5錯(cuò)誤.

因?yàn)辂?布=(-3√i)x(-2√J)+O+Wxt2")=6≠0,

所以麗與丞不垂直，故C錯(cuò)誤.

設(shè)平面MNC的法向量為I=(X2,%,Z2)，

n?MN=一4JJx,-V,+?/ez,=0,--,--、

222rrl

則_____r-令W=及，得〃=.

v

n-MC=-3yβx2-y2=0,^'

∣3（）∣

Λ77'/?|4-73×V2+―2×??/ej+2?χ∕β生畫，所以P到平面MVC的距離

因?yàn)?/p>

∣Λ∣一√5719

為生晝，故D正確.

19

13.2√6a2+l=25）解得a=2指或α=-2指（舍去）.

14.—1作出可行域(圖略)，當(dāng)直線V=x+z經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，z=y-x取最小值，最小值

為一1.

15.4取的中點(diǎn)G,連接FG,EG而.南=回+岳)岳=宙,=4.

16.3因?yàn)?/p>

C°S∕FPF-te∣??<-（IP耳|+|尸周）l2∣W∣?颶|_12_2_1

'2附HP&2pκ∣?M∣P平陀I3

，所以IPEH咋∣=3.

17.解：（1）因?yàn)镸A=6+g=10,

所以P=8,

故拋物線C的方程為V=T6x.

(2)易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為左,"(X,M),N(X2,8),

則產(chǎn)=-?

Vf=-g,

???V-v?Io

兩式相減得乂一貨=一16(z王一工2)，整理1得=--------

XIr2凹+為

16

因?yàn)锳/N的中點(diǎn)為(T,2),所以左=-4,

玉f4

所以直線/的方程為y—2=-4（x+4）,即4x+y+14=0.

1χQ

18.解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，%=￡=---=4.

112

當(dāng)*2時(shí)，SL（〃T）（"6）,

n^l2

所以丁-*^=〃+3,

因?yàn)椤?1也滿足，所以通項(xiàng)公式為4=”+3.

1_1_11

(2)因?yàn)椤?/p>

al,an+l（〃+3）（〃+4）n+3〃+4

11_〃

4/7+44/7+16

19.解：以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，/民4。,441所在直線分別為X軸，y軸，Z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，則

8(6,0,0),0(0,6,0),C(6,6,0),4(0,0,8),C∣(6,6,8),Z∣=4,6,8)宓=￡6,0)麗=(-6,6,0)

,4?=(6,0,-8).

設(shè)平面46。的法向量為〃=(X,y,z),

n?BD=—6x+6y=0,、

則｛______，令z=3,得〃=z(4,4,3.

n?AlB=6x-8z=0,

(I)設(shè)異面直線NG與48所成的角為a，

ACi-AlB287√34

則cosa=ICoS(Ze],4=

碼印10×2√34170

即異面直線ZC與A}B所成角的余弦值為Z叵.

170

(2)設(shè)直線ZC與平面48。所成的角為夕,

則si*=∣cos(jc,4=就=思南=?

即直線/c與平面43。所成角的正弦值為拽2.

41

20.解：(1)由三角形的性質(zhì)和正弦定理可知

—=Si胃=sinC-Sin(4-B)=sin(4+8)-sin(4-B)=2cos/Sins,

其中SirLSwO,所以2sirL4co》=sin24=1,

因?yàn)閆∈(0∕),所以2∕∈(0,2τr),故2力=1,4=(.

2b+2?∣2c2si∏β+2y∣2smC

(2)由正弦定理有b+J5c=2>∕2sin5+4sinC>

aSiM

且

2V2sin5+4sinC=2λ∕2sin5+4sin(YT=2√∑(2sin5+cosB)=2VΓθsin(5+^?),

其中tanφ=—,

所以當(dāng)Sin(B+9)=l時(shí)，b+√‰，有最大值，此時(shí)sin5C孚W手,

所以SinC=Sin(4+8)=Sin^—+5sinβ+CGSB)=---------，

2、710

由正弦定理有一L="_,故6=±叵，

SinJsιn55

所以C1A1?4√103√1012

助以3=-β?smC=—×2×-------X-------=一?

“8C225105

21.(1)證明：取ZD的中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD.

因?yàn)镻Z=尸￡>,所以尸G_L4。.

在A∕8Z)中，AB=AD=2,NDAB=60°,

所以A∕BD為等邊三角形，

所以8G?L4Z).因?yàn)锽GCPG=G,所以ZD_L平面08G.

因?yàn)橥呤謩e是BC,PC的中點(diǎn)，

所以PB〃EF,DE〃GB,

所以平面PBG〃平面。EE,所以ZO_L平面Z)EE.

因?yàn)閆Z)U平面尸40,所以平面PZ。，平面。E/L

(2)解：由(1)知ZOL平面尸8G.因?yàn)槭?=PO=Jid,PB=3近，所以可求得四棱

錐。一488的高為Jd

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，擊,亂的方向分別為ZN軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

P(θ,-√3,√6),^(l,θ,0),5(0,√3,0),C(-2,Λ0).

AP=(-l,-√3,√6),5P=(θ,-2√5^,y∕β),BC=(-2,0,0).

記平面P48的法向量為〃=(XI,M,zJ,

n?AP--X1-v?p?+述ZI=0,

n?BP=—2VJy1+√6z∣=0,

令必=√Σ,得7=1瓜6,2).

記平面尸BC的法向量為加=(X2,8/2),

m?BC=-2X9=0,―/L\

則《____tr-令力=6，得加=0,√∑,2.

,

m-BP=-2√3y2+√6z2=0,'

n`m6當(dāng)且二面角Z-鈍角,

因?yàn)镃oS("加

∣∕7∣∣W∣2y∣3×y[β

3

所以二面角Z-PB-C為一九.

4

2