2023年廣西中考數(shù)學(xué)試卷

2023年廣西中考數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項

中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂上。）

1.若零下2攝氏度記為-2℃,則零上2攝氏度記為（）

A.-2℃B.0℃C.+2℃D.+4℃

A.xW-1B.第卉0c.eD.xW2

4.如圖，點A,B,C,在。。上，ZC=40°.則NAO5的度數(shù)是（）

C.-1012345D.-1012345

6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，他們成績的平均數(shù)相同，方差如下：s曲=2.1，

5好3.5，s.=0.7，則成績最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，ZA=130°,那么NB的度數(shù)是

A.?3+a4=?7B.a3,?4=a7C.D.（a3）4—a7

9.將拋物線y=/先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）

A.y=（x-3）2+4B.y=（x+3）2+4C.y=（x-3）2-4D.y=（x+3）2-4

10.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱麻.如圖，主橋拱

呈圓弧形，跨度約為37〃?，拱高約為7%則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

A.20〃?B.28mC.35/72D.4（M

11.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022

年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人

均可支配收入的年平均增長率為x,依題意可列方程為（）

A.3.2（1-x）2=3.7B.3.2（1+x）2=3.7

C.3.7（1-x）2=3.2D.3.7（1+x）2=3.2

12.如圖，過y工_（x〉o）的圖象上點A，分別作X軸，y軸的平行線交y=」的圖象于B,

xx

。兩點，以AB,AO為鄰邊的矩形A8C。被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為Si,

二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。）

13.（2分）A/9=.

14.（2分）分解因式：a1+5a—.

15.（2分）函數(shù)y=fcx+3的圖象經(jīng)過點（2,5）,則％=.

16.（2分）某班開展“夢想未來、青春有我”主題班會，第一小組有2位男同學(xué)和3位女

同學(xué)，現(xiàn)從中隨機抽取1位同學(xué)分享個人感悟，則抽到男同學(xué)的概率

是.

17.（2分）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3根高的支柱，則

共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°-0.80,

tan37°七0.75）

18.（2分）如圖，在邊長為2的正方形A8CC中，E,F分別是BC,CQ上的動點，M,N

分別是EF,4尸的中點，則例N的最大值為

三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

19.（6分）計算：（-1）X（-4）+22+（7-5）.

20.（6分）解分式方程：

X-1X

21.（10分）如圖，在中，ZA=30°,ZB=90".

（1）在斜邊4c上求作線段AO,使AO=BC,連接。8；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖

痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）若OB=2,求A8的長.

22.（10分）4月24日是中國航天日，為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，航陽中學(xué)

開展了“航空航天”知識問答系列活動，為了解活動效果，從七、八年級學(xué)生的知識問

答成績中，各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析（6分及6分以上為合格）.數(shù)據(jù)整

理如圖表：

七年級學(xué)生成績統(tǒng)計圖八年級學(xué)生成績統(tǒng)計圖

20%A人數(shù)

15%

5分

10分

6分10%

15%

9分分

分7。

83?

成績/分

30%

學(xué)生成績統(tǒng)計表

七年級八年級

平均數(shù)7.557.55

中位數(shù)8C

眾數(shù)a7

合格率b85%

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）寫出統(tǒng)計表中a,b,c的值：

（2）若該校八年級有600名學(xué)生，請估計該校八年級學(xué)生成績合格的人數(shù)；

（3）從中位數(shù)和眾數(shù)中任選其一，說明其在本題中的實際意義.

23.（10分）如圖，PO平分/AP。，與OO相切于點A,延長AO交PO于點C,過點。

OBLPD,垂足為B.

（1）求證：P8是。。的切線；

（2）若。。的半徑為4,OC=5,求%的長.

o

P------------A

24.（10分）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點。，E,尸分別在邊A8,BC,CA

上運動，滿足ADuBEuCF

（1）求證：XMrFQXBED、

（2）設(shè)4。的長為x,aOE尸的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述△OEF的面積隨4。的增大如何變化.

C

E

---------D

25.（10分）【綜合與實踐】：有言道：”桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興

趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)

合實際進行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)，

【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤蛇可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：（機0+機）

”=M?（a+y）,其中秤盤質(zhì)量，"0克，重物質(zhì)量機克，秤坨質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平

距離為1厘米，秤組與零刻線的水平距離為〃厘米，秤坨與零刻線的水平距離為y厘米.

【方案設(shè)計】：目標(biāo)：設(shè)計簡易桿秤.設(shè)定〃"）=10,M=50,最大可稱重物質(zhì)量為1000

克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米.

任務(wù)一：確定/和a的值.

（1）當(dāng)秤盤不放重物，秤蛇在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于/,。的方程；

（2）當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤坨從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列

出關(guān)于/,〃的方程；

（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出/和a的值；

任務(wù)二：確定刻線的位置.

（4）根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于，〃的函數(shù)解析式；

（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離.

秤紐桿秤示意圖

，丫，『

（II'11fI1111I）

Ai1S

/\線秤花線

上r^L重物

秤盤

26.（10分）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)

探究，探索數(shù)學(xué)奧秘.

【動手操作】如圖1,將矩形紙片ABC。對折，使與BC重合，展平紙片，得到折痕

EF：折疊紙片，使點8落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A,得到折痕AM,點2,E的對應(yīng)

點分別為B',E'展平紙片，連接A8',BB',BE'.請完成：

(1)觀察圖1中N1,/2和N3,試猜想這三個角的大小關(guān)系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片A8CZ)的邊AO上的一點，連接BN,在48上取一

點P,折疊紙片，使B,P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B,P

分別落在E凡BN上,得到折痕/，點8,尸的對應(yīng)點分別為次，P1,展平紙片，連接

BB',P'B'.請完成：

(3)證明B8'是NNBC的一條三等分線.

2023年廣西中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項

中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂上。）

1.若零下2攝氏度記為-2℃,則零上2攝氏度記為（）

A.-2℃B.0℃C.+2℃D.+4℃

【分析】根據(jù)數(shù)的正負(fù)意義即可得出結(jié)論.

【解答】解：由零下2攝氏度記為-2C可知，零下記為"-"，零上記為“+”，

零上2攝氏度記為：+2C.

故選：C.

【點評】本題考查了有理數(shù)的正負(fù)意義，是比較基礎(chǔ)的題型.

【解答】解：A、圖形是中心對稱圖形，符合題意；

8、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意：

。、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，熟知把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

3.若分式」一有意義，則x的取值范圍是（）

x+1

A.xW-1B.C.xWlD.

【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答即可.

【解答】解：?.?分式二一有意義，

x+1

，x+l#0,

解得xW-1.

故選：A.

【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解

題的關(guān)鍵.

4.如圖，點4,B,C,在。。上，NC=40°.則NAOB的度數(shù)是（）

【分析】由圓周角定理即可得到答案.

【解答】解：：NC=L/AOB,ZC=40°,

2

.?.NAOB=80°.

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是掌握圓周角定理.

5.x<2在數(shù)軸上表示正確的是（）

——I——I——I..........——?——L_>

A.-1012345

B.-10I2345

iiiiii>

C.-1012345

D.-1012345

【分析】先在數(shù)軸上找到點2,再確定實心點還是空心點，根據(jù)大于往右畫，小于往左畫

得結(jié)論.

【解答】解：xW2在數(shù)軸上表示為：

??????>

-1012345

故選：C.

【點評】本題考查了數(shù)軸上表示解集，掌握表示解集的方法是解決本題的關(guān)鍵.

6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，他們成績的平均數(shù)相同，方差如下：=2.1，

S^=3.5,Sy=0.7'則成績最穩(wěn)定的是（)

A.甲B.乙C.丙D.T

【分析】根據(jù)方差的意義求解即可.

【解答】解：s第=2.1，S"3.5，S鋁9，S+=0.7,

.?.丁的方差最小，

成績最穩(wěn)定的是丁，

故選：D.

【點評】本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則

平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定

性越好.

7.如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向，/A=130。，那么NB的度數(shù)是

D.130°

【分析】由平行線的性質(zhì)，即可得到NB=NA=130°.

【解答】解：：公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向,

J.AC//BD,

，/8=乙4=130°.

故選：D.

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由題意得到AC〃8D

8.下列計算正確的是()

A.ai+a4—^B.a3,a4—a7C.?4-i-a3=?7D.(a3)4=J

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)幕的乘除法則、幕的乘方與積的乘方法則

對各選項進行逐一判斷即可.

【解答】解：A、滔與“4不是同類項，不能合并，原計算錯誤，不符合題意；

B、a3?a4=a7,正確，符合題意；

C、a4^a3=a,原計算錯誤，不符合題意；

D、(〃3)4=/2,原計算錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查的是同底數(shù)幕的乘除法，合并同類項，幕的乘方與積的乘方法則，熟

知以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.將拋物線y=/先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是()

A.y—(x-3)2+4B.y—(x+3)2+4C.y=(x-3)2-4D.y—(x+3)2-4

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解得即可.

【解答】解：將拋物線y=/先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線

是

y—(.x-3)2+4.

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的

法則是解決問題的關(guān)鍵.

10.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱

呈圓弧形，跨度約為37相，拱高約為7m則趙州橋主橋拱半徑R約為()

【分析】設(shè)主橋拱半徑凡根據(jù)垂徑定理得到再利用勾股定理列方程求解,

2

即可得到答案.

【解答】解：由題意可知，AB=37m,CD=lm,

設(shè)主橋拱半徑為Rm,

：.OD=OC-CD=(R-7)m,

：OC是半徑，OC_LAB,

.,.AD=BD=-AB=^-m,

22

在RfAOO中，AD2+OD2=OA2,

：.(或)2+(R-7)2=R2,

2

解得R=坦立心28.

56

故選：B.

【點評】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出

關(guān)于/?的方程解決問題.

11.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022

年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設(shè)2020年至2022年全國居民人

均可支配收入的年平均增長率為x,依題意可列方程為()

A.3.2(1-x)2=3.7B.3.2(1+x)2=3.7

C.3.7(1-x)2=3.2D.3.7(1+x)2=3.2

【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入X(1+年平均增長率)2=2022年的人均可支配

收入，列出一元二次方程即可.

【解答】解：由題意得：3.2(1+x)2=3.7,

故選：B.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一

元二次方程是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，過y」L(x〉0)的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交y=」的圖象于8,

xx

D兩點,以A8,AO為鄰邊的矩形A8C。被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為Si,

,則k的值為()

C.2D.1

-工中,令y=K得工=-m令九=〃?得了=-工，可得

mXmm

3(一旦K),D(m,-A),即得c(-m-1),故S2=S4=1,S3=A,根據(jù)

kmmmk

得i+A+i5,解方程并檢驗可得答案.

S2+S3+S42k2

【解答】解：設(shè)AGn,K),

m

在y=-」■中，令y=K得.x=一處，令x—m得y=-―,

xmkm

：.B(-螞,D(〃2,-1),

kmm

：.C(-典-1),

km

****S,2=S4=1,S3=

k

??5

?S2+S3+S4節(jié)'

1+-^-+1=,

k2

彳導(dǎo)k—2,

經(jīng)檢驗，&=2是方程的解，符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。）

13.（2分）3.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可得出結(jié)論.

【解答】解：；32=9,

***=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了算術(shù)平方根的知識，能正確區(qū)分算術(shù)平方根和平方根是解題的關(guān)鍵.

14.（2分）分解因式：a2+Sa—a（a+5）.

【分析】由提公因式“〃?+歷?=〃？（a+b）,可直接得出結(jié)論.

【解答】解：???J+5.公有因式為“，

二原式=a（a+5）,

故答案為：“（“+5）.

【點評】本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關(guān)鍵.

15.（2分）函數(shù)丫=h+3的圖象經(jīng)過點（2,5）,則％=1.

【分析】將點（2,5）代入函數(shù)關(guān)系式，計算可求解.

【解答】解：將點（2,5）代入丫=疆+3中，得5=2%+3,

解得k=\,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的特征，將點的坐標(biāo)代入關(guān)系式進行計算是解

題的關(guān)鍵.

16.（2分）某班開展“夢想未來、青春有我”主題班會，第一小組有2位男同學(xué)和3位女

同學(xué)，現(xiàn)從中隨機抽取1位同學(xué)分享個人感悟，則抽到男同學(xué)的概率是2.

一5一

【分析】根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：抽到男同學(xué)的概率是2,

5

故答案為：2.

5

【點評】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

17.（2分）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3〃?高的支柱，則

共需鋼材約21w（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°七0.60,cos37°?0.80,tan37°

~0.75）

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得4D=BD=」乂8,然后在Rtz^ACD中，利

2

用銳角三角函數(shù)的定義求出AC,的長，從而求出A8的長，最后進行計算即可解答.

【解答】解：；C4=CB,CDLAB,

：.AD=BD=^AB,

2

在Rtz^ACD中，NC4￡>=37°,C￡)=3〃?,

：.AC=—_?_=5(w),AD=—_二一。_=4(w),

sin3700.6tan37°0.75

：.CA=CB=5m,A8=2AO=8(/?),

，共需鋼材約=4C+CB+A8+C￡)=5+5+8+3=21(m),

故答案為：21.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)

的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(2分)如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，E,F分別是BC,8上的動點，M,N

分別是EF,A尸的中點，則MN的最大值為

【分析】首先證明出MN是△AEF的中位線，得出1^得他，然后由正方形的性質(zhì)和勾

股定理得到AE=7AB2+BE2=74+BE2,證明出當(dāng)BE最大時，AE最大，此時MN最

大，進而得到當(dāng)點E和點C重合時，BE最大,即BC的長度，最后代入求解即可.

【解答】解：如圖所示，連接4E,

,M,N分別是EF,AF的中點,

.MN是△AEF的中位線，

?MN=yAE>

?四邊呼A8C￡>是正為形，NB=90。,

?AE=VAB2+BE2=V4+BE2'

.當(dāng)BE最大時，4E最大，此時何N最大,

?點E是8c上的動點,

.當(dāng)點E和點C重合時,BE最大,即BC的長度,

?此時AE=V4+22=272)

MN=yAE=V2'

的最大值為&.

故答案為：

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，靈活運用這

些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

19.(6分)計算：(-1)X(-4)+22-?(7-5).

【分析】先算括號里面的，再算乘方，乘除，最后算加減即可.

【解答】解：原式=（-1）X（-4）+44-2

=4+2

=6.

【點評】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，熟知有理數(shù)混合運算的順序是解題的關(guān)鍵.

20.（6分）解分式方程：-2_=A.

x-1X

【分析】將分式方程兩邊同乘X（X-1）轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可得出結(jié)論.

【解答［解：

x-1X

方程兩邊同乘x（X-1）得：2x=x-1,

移項解得：x=-1.

將x=-1代入x（%-1）#0,

；.x=-1是原分式方程的解.

【點評】本題考查了分式方程的解法，其中確定最簡公分母是解題關(guān)鍵.

21.（10分）如圖，在△ABC中，/A=30°,ZB=90°.

（1）在斜邊AC上求作線段AO,使AO=8C,連接OB；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖

痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）若08=2,求AB的長.

【分析】（1）以A為圓心，BC長為半徑畫弧，交4c于點O,則問題可求解；

（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得AC=2BC,則有OC=A。，進而問題可求解.

【解答】解：（1）所作線段40如圖所示：

（2）?.?/A=30°,NA8C=90°,

：.AC=2BC,

"：AO=BC,

：.AC^2AO,

：.OC=AO,即點。為AC的中點，

；O8=2,

.,.AC=2O8=4,

BC=2,________

A8=JAC2-BC2=2V3.

【點評】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理,

熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）4月24日是中國航天日，為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，航陽中學(xué)

開展了“航空航天”知識問答系列活動，為了解活動效果，從七、八年級學(xué)生的知識問

答成績中，各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析（6分及6分以上為合格）.數(shù)據(jù)整

理如圖表：

八年級學(xué)生成績統(tǒng)計圖

人數(shù)

6

5

4

3

2

1

-

O5

七年級八年級

平均數(shù)7.557.55

中位數(shù)8C

眾數(shù)a7

合格率b85%

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)寫出統(tǒng)計表中a,b,c的值；

(2)若該校八年級有600名學(xué)生，請估計該校八年級學(xué)生成績合格的人數(shù)；

(3)從中位數(shù)和眾數(shù)中任選其一，說明其在本題中的實際意義.

【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以寫出。的值，計算出氏c的值；

(2)根據(jù)八年級抽取的人數(shù)的合格率進行求解即可；

(3)根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義解答即可.

【解答】解：(1)由扇形統(tǒng)計圖可得，

a=8,匕=1-20%=80%,

由頻數(shù)分布直方圖可得，

八年級成績中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有

3人，

故中位數(shù)是c=(7+8)+2=7.5,

由上可得，a=8,0=80%,c=7.5；

(2)600X85%=510(人),

答：估計該校八年級學(xué)生成績合格的人數(shù)大約為510人；

(3)根據(jù)中位數(shù)的特征可知七、八年級學(xué)生成績的集中趨勢一樣(答案不唯一).

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)、扇形統(tǒng)計圖，掌握平均數(shù)、中位

數(shù)的計算方法是正確解答的前提.

23.(10分)如圖，P。平分/AP。，%與。0相切于點A,延長A。交尸。于點C,過點。

作垂足為B.

(1)求證：P8是。。的切線；

(2)若。。的半徑為4,OC=5,求用的長.

【分析】(1)由切線的性質(zhì)得B4_LOA,而尸。平分NAP。，OB±PD,所以。8=OA,

則點B在O。上，即可證明PB是。。的切線；

(2)由0A=0B=4,0C=5,得AC=0A+0C=9,BC=>/oC2-OB2=3,由”=坐

ACBC

=tanZACP=A,得以=&c=i2,所以南的長是12.

33

【解答】(1)證明：：以與。。相切于點A,且0A是。0的半徑，

J.PALOA,

；尸0平分/APO,OBLPD于點、B,0Al.%于點A,

OB=OA,

.?.點B在。。上，

是。。的半徑，且PB_L08,

是。。的切線.

(2)解：,：OA=OB=4,0C=5,

：.AC=OA+OC=4+5=9,

VZ6)BC=90°,______

BC=Voc2-OB2=VB2-42=3，

VZA=90°,

ZA=jQ5_=tanN4cp=生

ACBC3

：.PA=^AC=^X9=n,

33

：.PA的長是12.

【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與

解直角三角形等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明08=。4是解題的關(guān)鍵.

24.（10分）如圖，ZVIBC是邊長為4的等邊三角形，點。，E,F分別在邊AB,BC,CA

上運動，滿足AD=BE=CF.

（1）求證：AADFmABED；

（2）設(shè)4。的長為x,的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述AOE尸的面積隨A。的增大如何變化.

【分析】（1）由題意易得AF=B。，NA=NB=60°,然后根據(jù)SAS可進行求證;

（2）分別過點C,尸作FG1AB,垂足分別為點”、G,根據(jù)題意可得SaABC

=4M，AF=4-x,然后可得FG=?（4-x）,由（1）易得△49F絲△8EO絲△CFE,

2

則有SAA￡>F=SABE￡>=SACFE=Y^X（4-x）,進而問題可求解；

4

（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解.

【解答】（1）證明：:△ABC是等邊三角形，

.*.ZA=ZB=60°,AB=AC,

"：AD=CF,

：.AF=BD,

在△AOF和△BED中,

'AD=BE

-ZA=ZB-

AF=BD

:.AADF0/\BED（SAS）；

(2)解：分別過點C、F作FGVAB,垂足分別為點4、G,

在等邊△ABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=4,

.,.CW=AC?sin60o=2百，SAABC=」WCH=4E.

2

YA。的長為x,貝I」AO=8E=b=x,AF=4-x,

二產(chǎn)G=A尸sin60°=近（4-x）,

2

：.S^ADF^^AD*FG^J^C（4-x）,

24

由（1）可知△AOF也△△BED,

同理可證，△BED94CFE,

SMDF=S,\BDE=S&CFE=^^X（4-x）,

4

?.?△。底尸的面積為），__

?'?y=SMBC-35AADF=4A/3-x（4-x）=W-3-\[3x+4y[3^

44

(3)由(2)可知：尸時設(shè)2—3Mx+4百,

_4

?.?。=苴叵>0,對稱軸為直線x=--3迎二2,

42X平

4

...當(dāng)x>2時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小,

即當(dāng)2<尤<4時，△DE尸的面積隨4。的增大而增大，當(dāng)0<x<2時，△/)￡：尸的面積隨

AD的增大而減小.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形面積，

學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

25.(10分)【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興

趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)

合實際進行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)，

【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤坨可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：(，加+，*)

?/=M?a+y),其中秤盤質(zhì)量制)克，重物質(zhì)量相克，秤蛇質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平

距離為1厘米，秤組與零刻線的水平距離為a厘米，秤蛇與零刻線的水平距離為y厘米.

【方案設(shè)計】：目標(biāo)：設(shè)計簡易桿秤.設(shè)定“0=10,M=50,最大可稱重物質(zhì)量為1000

克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米.

任務(wù)一：確定/和a的值.

(1)當(dāng)秤盤不放重物，秤蛇在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于/,。的方程；

(2)當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤坨從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列

出關(guān)于/,4的方程；

(3)根據(jù)(1)和(2)所列方程，求出/和a的值；

任務(wù)二：確定刻線的位置.

(4)根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于根的函數(shù)解析式；

(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離.

秤紐桿秤示意圖

秤盤

【分析】(1)根據(jù)題意可直接進行求解；

(2)根據(jù)題意可直接代值求解；

(3)由(1)(2)可建立二元一次方程組進行求解；

(4)根據(jù)(3)可進行求解；

(5)分別把m=0,加=100,機=200,加=300,機=400,機=500,加=600,加=700,

m=800,"7=900,母=1000代入求解，以此即可求解.

【解答】解：(