2023-2024學(xué)年銀川市一中高三數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期第二次月考卷附答案解析

2023-2024學(xué)年銀川市一中高三數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期第二次月考卷

時(shí)間120分鐘；滿分150分

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分6（）分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知集合4=卜6沖3"37},B={x\\<x<2},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.3D.8

2.己知iz=l+i,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

3.下列命題正確的是（）

A.命題“若/_3*+2=0,則x=2”的否命題為“若/一3工+2=0,則X/2”

22

B.若給定命題p：lreR,x+x-l<0）則~：VxwR,x+x-l>0

+l

C.已知0：-l<x<2,^:2'+log2（x+2）<10,則。是夕的充分必要條件

D.若夕"4為假命題，則。，夕都為假命題

4.若函數(shù)/（x）=e'（sinx+a）在點(diǎn)A（OJ（O））處的切線方程為y=3x+a,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

已知sina=咚，。為鈍角,tan（a_￡）=；,則tan〃=（）

5.

A.1B.-1C.2D.-2

已知〃=苗，/?=1°g2（ln7r）,c=（￡f，則。，b,C的大小關(guān)系為（）

6.

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

7.己知向量a=（G,l）,忖=2,且（2"+6）“a-2/4，則與方夾角為（

8.等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S,,已知。2%=2%，且4與2%的等差中項(xiàng)為：，則演=

A.29B.31C.33D.36

9.意大利畫家列奧納多?達(dá)?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與

她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重

力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋

物線，而是與解析式為丫=￡三二的"雙曲余弦函數(shù)''相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)''圖象的是（）

A.S”的最小值是弗B.S”的最小值是幾

c.s”的最大值是iD.s”的最大值是與

11.己知函數(shù)/(x)=Asin3+e)(A>0,3>0，m<5的圖象如圖所示，圖象與x軸的交點(diǎn)為

與N軸的交點(diǎn)為N,最高點(diǎn)P(LA),且滿足MWJ.NP.若將/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到的圖象

對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),則g(O)=()

12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子'’的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯

函數(shù)''為：設(shè)xeR,用㈤表示不超過x的最大整數(shù)，則丫=㈤稱為“高斯函數(shù)”，例如：[-2.5]=-3,

2

[2.7]=2.已知數(shù)列｛叫滿足q=l,g=3,an+2+2an=3an+l,若包=[log?4+』，5“為數(shù)列的

前〃項(xiàng)和，則S2023二()

2022「2024—2023>2025

A.------B.------C.------D.------

2023202320242024

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(sin，,cos。)，〃=(3/)，若“〃b，則sin?0+sin2。的值為.

14.函數(shù)〃x)定義如下表，數(shù)列｛怎｝(〃eN)滿足々=2,且對(duì)任意的自然數(shù)”均有七+1=/(%),則

?^2024=?

X12345

“X)51342

15.已知為等腰直角三角形，AB=AC=2,圓M為，IBC的外接圓，例E=：(M4+MB),若p為

圓M上的動(dòng)點(diǎn)，則PM-PE的最大值為.

16.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足〃x)=〃2r),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，”x)=d.則函數(shù)

g(x)=〃x)-(喘]的所有零點(diǎn)之和為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題

考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為臬，%+%=-2,53=57.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式％;

(2)求數(shù)列M|｝的前〃項(xiàng)和7；.

18.在ABC中，。是邊AC上一點(diǎn)，8=1,BD=2,AB=3,cosZBDC=~.

8

⑴求4。的長(zhǎng)；

⑵求A8C的面積.

3

19.已知數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和為S“，且2S“=3%-9.

⑴求｛“,』的通項(xiàng)公式；

(2)若勿=41幅3求數(shù)列也,｝的前?項(xiàng)和T?.

20.記銳角-A5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為aec,已知?jiǎng)t4二2=理組6.

cosBcosC

⑴求證：B=C；

⑵若asinC=l,求的最大值.

21.設(shè)函數(shù)〃x)=alnx,^(x)=1-x2

⑴若a>0,求〃(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若a=l,對(duì)任意的為>々>0,不等式“心(%)-8(々)］>%/(%)-工2/(工2)恒成立，求

的值.

(3)記g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若不等式〃”)+28，(力4(4+3)%—(力在*中向上有解,求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.如圖，在極坐標(biāo)系。r中，圓。的半徑為2,半徑均為1的兩個(gè)半圓弧C，G所在圓的圓心分別為

臼，如，引，/是半圓弧G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是半圓弧a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

71

(I)若/。2。%=§,求點(diǎn)N的極坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)K是射線。=方(夕20)與圓。的交點(diǎn)，求MOK面積的取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知a,0,c￡R+,/+〃+。2=9,求證：

⑴abc<3百;

0、crb1c2a+h+c

(2)----+----+---->-------.

h+cc+aa+b3

4

1.A

【分析】首先根據(jù)指數(shù)不等式求解集合A,然后再根據(jù)集合交集的運(yùn)算定義求解AcB,根據(jù)AcB的

元素個(gè)數(shù)即可求出其子集個(gè)數(shù).

【詳解】由題可知4=卜€(wěn)中"37}={0,1,2,3},所以AcB={l},

其子集個(gè)數(shù)為2=2.

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得z,以及N,再求其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可判斷和選擇.

【詳解】由題意知z=H^=i-i,所以z=i+i,

1

故其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限.

故選：D.

3.D

【分析】根據(jù)否命題，命題的否定，充分必要條件的定義，復(fù)合命題真假判斷各選項(xiàng).

【詳解】命題“若f-3x+2=0,則x=2”的否命題為“若X2-3X+2RO,則XH2"，A錯(cuò)：

命題"HxwR,x2+x-l<0的否定是VxeR,x2+x-l>0,B錯(cuò)；

易知函數(shù)/@)=2川+1。8式》+2)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，/(-1)=1,/(2)=10,

所以一1<》<2時(shí)，1<2'"+Iog2(x+2)<10滿足2i+log2(x+2)<10,

但2川+142(X+2)<10時(shí)，-2<x<2不滿足-l<x<2,因此題中應(yīng)充分不必要條件，C錯(cuò)；

Pvg為假命題，則P,?都為假命題，若P，4中有一個(gè)為真，則Pvg為真命題，D正確.

故選：D.

4.B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出/(o)、r(o),從而求出切線方程，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)?(x)=e<(sinx+a),所以〃0)=e"(sin0+a)=a,

又r(x)=e*(sinx+a+cosx),所以/'(0)=e°(sin0+a+cos0)=l+a,

所以切線方程為y-a=(l+a)(x-0)，即y=(l+a)x+a,

所以1+4=3,解得a=2：

故選：B

5.B

【分析】首先求出cosa,從而求出tana,再根據(jù)tan￡=tan[a-(a-Q)]利用兩角差的正切公式計(jì)算可

得.

5

【詳解】解：因?yàn)閟ina=@，所以cosa=±Jl-sin2a=土冬叵,因?yàn)閍為鈍角,

55

所以cosa=-35,則tana=23=一1，

5cosa2

八r/八、tana-tan(a-Q)-

所以tan/=tana-(a-B\=---------------=----——/乙:—=-1

方〃LI?」i+tanatan(a—4)J+fJ_V

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得出答案.

【詳解】解：f7_eU>eo_p

因?yàn)镮n兀>1,所以匕=bg30n兀)<bg/=。，

所以力VcV〃.

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】依題意有(24+。卜(4-2%)=2/-3“力-給2=0,

：.a-b=0,(叱0=4-2x0+4=8,斗-可=2夜，

/\/\\d-b]'b.4J2

又一/?)./?=-4,/.cos(a-b,b)=->----=—廣=--—.

V7、/4近2

所以a-b與b的夾角為手?

4

故選:D.

8.B

《網(wǎng)闖4=2%q2_￡

【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)為4,公比為9,由題意知｛、c6c5,解得｛"=5,

a聞+2qq=2x-=16

所以S$=駕二0=31,故選民

1-4

考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式及求前”項(xiàng)和公式.

6

【一題多解】由%%=24,得4=2.又4+2%=|,所以%=；,所以q=g,所以q=16,所以

55=誓二?=3i,故選B

i-q

9.c

【分析】分析函數(shù))，=與二的奇偶性與最小值，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】令〃力=￡(二，則該函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃_力=土產(chǎn)=〃H，

所以，函數(shù)/(x)=W二為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).

由基本不等式可得f(x)zgx2必廠=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以，函數(shù)f(x)的最小值為/(力向=/(0)=1,排除AD選項(xiàng).

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；

(2)從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(3)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(5)函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

10.A

【分析】利用等差數(shù)列求和公式可化簡(jiǎn)己知不等式得到數(shù)列｛%｝為遞增的等差數(shù)列；結(jié)合組<T可確

ai7

定當(dāng)〃417且〃eN*時(shí)，a?<0,當(dāng)〃218且〃eN*時(shí)，??>0,由此可得結(jié)論.

qq〃(4+《)J"+l)(4+4,+J

【詳解】由得:即%<。用，

nn+12n2(〃+1)

二.數(shù)列｛為｝為遞增的等差數(shù)歹U，

—<~^t.二的<°，

a!7

?.?當(dāng)拉417且〃EN*時(shí)，/<。；當(dāng)〃N18且〃cN*時(shí)，勺>0;

??.S,有最小值，最小值為5”.

故選：A.

11.D

7

【分析】根據(jù)題意得7=6,0=￡,進(jìn)而得再根據(jù)M0LNP結(jié)合向量垂直關(guān)系的表示解得

A=布，進(jìn)而得〃力=//出($+￡],再根據(jù)平移變換得g(x)=Vi6cos；x,最后求函數(shù)值即可.

T<3

【詳解】解：由題知，函數(shù)”X)的周期T滿足:=XM-Xp=1-l=q,解得7=6,

所以。=§=弓，

63

由圖象與X軸的交點(diǎn)為例($0)得Wx|+S=E(keZ),

因?yàn)?勿<9，所以9=三，即/(x)=Asin(fx+m],

26

所以，f(x)圖象與y軸的交點(diǎn)為N(0,￡|，

因?yàn)镹MLNP,所以NM-NP=(|,-?)K[=|-+=0,解得4=9(負(fù)舍)，

所以“X)=Ji^sin(￥+J

所以若將/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)

g(x)=A/iOsin^yX+yj=-v/iOcosyX,

所以g(0)=廂.

故選：D

12.C

【分析】運(yùn)用構(gòu)造法可得為等比數(shù)列，再運(yùn)用累加法可得｛%｝通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得｛〃｝通項(xiàng)公

式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.

【詳解】由%+2+24=3%.],得4,+2-q+1=2(4什|一4).又%-4=2,所以數(shù)列｛--?！保龢?gòu)成以2為首

項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以4,「勺=2、

2rt-1

又〃2-4=2,a3-a2=2,an-an_x=2,

疊加可得(4一%)+(々3一〃2)+…+(4]-4i)=21+22H--\-T~\n>2),

即4一%=2i+2?+…+2”、

1-2x2

所以a“=2°+2i+22+-+2"T=2=2"-l(n>2).

又因?yàn)?=1滿足上式，所以a,=2"-1(w€N)

8

所以巧用=2向-1.

,,+n+,

因?yàn)?"<2'-1<，所以1暇2"<log2（2-l）<log22向，

+,

即〃<log2（2"-l）<n+l,所以2=[log,1』=[log,（2""一1）卜〃.

1111

故----=-------=-------

她+1?-（?+1）”"+「

所以%23=（1一+…+（蔡一擊）=]一擊=黑?

故選：C.

13.3

2

【分析】根據(jù)題目條件可得sin6=3cos6,代入sin2?+sin2e=必上當(dāng)化簡(jiǎn)即可.

sirre+cos-。

【詳解】已知向量（sin。,cos。），Z?=（3,l）,若〃〃/?,則有sine=3cos。，

..n?“sin?夕+2sin0cos09cos20+6cos20153

.?sin一2夕+sin20=------------；----=-----；---------=—=—?

sin*'+cos299cos+cos?。102

、.,3

故答案為：—

14.5

【分析】利用表格中數(shù)據(jù)可分別求得芭=1，%=5,馬=2…，可得數(shù)列｛x.｝（〃￡N）是周期數(shù)列，即可

得X2024="2=5.

【詳解】根據(jù)表格表示的函數(shù)可知石=/（不）=/（2）=1,

則％=/（苔）=/（1）=5,刃=>（/）=〃5）=2,X4=/（^）=/（2）=1,…

易知數(shù)列｛x,J（〃￡N）是以3為一個(gè)周期的周期數(shù)列，

X

所以X2024=2=5.

故答案為：5

15.2+V2

【分析】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量數(shù)量積的運(yùn)算

【詳解】如圖，以圓心M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳HC為等腰直角三角形，且AB=AC=2,所以圓M為f+丁=2,

設(shè)P（0cos。,應(yīng)sin。），

又M（0,0）,￡（0,—l）,所以PM=（-缶os一缶in，），PE=（-V2cos/9,-1->/2sin<9）,

故PM?PE=2cos冶+血sin<9（1+忘in0）=2+V2sin0,

9

又sineq-1,1],所以的最大值為2+四，

故答案為：2+&-

16.18

【分析】判斷出“X)的對(duì)稱性、周期性，畫出y=〃x),y=(若]的圖象，結(jié)合圖象求得g(x)的所有

零點(diǎn)之和.

【詳解】解：依題意，定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足〃x)=/(2-x),

〃l-x)=〃2—(l—x))=〃l+x),所以“X)關(guān)于x=l對(duì)稱，

/(x+4)=/(l+(x+3))=/(l-(x+3))=/(-2-x)=-/(2+x)

=—f(2—(—=x)=〃x),所以〃x)是周期為4的周期函數(shù).

/(2+X)=/(1+(1+X))=/(1-(1+X))=/(-X)=-/W=-/(2-X),

所以關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱.

由于函數(shù)夕=―匕關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，'=1三匚丫=9辿-圖象可以由夕=上圖象向右平移2個(gè)單位得

1000I10J10001000

到，

所以函數(shù)y=(若J關(guān)于一(2,0)對(duì)稱，

畫出y=f(x),y=(常J的圖象如下圖所示，

由圖可知，y=/(x),y=有9個(gè)公共點(diǎn)，

所以g(x)的所有零點(diǎn)和為9x2=18.

故答案為：18

10

[25n-2n2,(nV6,"wN')

17.(1)4=27-4〃；(2)T?3/-25"+156,("N7,"eN，)

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,根據(jù)已知條件列方程組求4、d,寫出通項(xiàng)公式?！?；

（2）由（1）可知“27時(shí)，。“<0,而14〃46,??>0,分別求出1?〃46、”27時(shí)數(shù)列｛同｝的前"項(xiàng)

和Z,即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d，

J%+%=2q+12d=_2Ja,=23

[S3=3a｝+3d=57[d=-4

an=%+(n—])d=27-4〃.

27

⑵由⑴知…<。，則27-4”。，得〃>彳，又“E

I.〃27時(shí)、<0,ffi]l<n<6,?！?gt;。，

a,+...十〃“,(〃W6,〃eN')6x5

，數(shù)歹U｛|a.|｝的前〃項(xiàng)和Z,jf056=6x23+-^x(-4)=78,

a,+...+a-(%+...+aa),(〃N7,〃￡N')

{6

2

Sn=25n-2nf

25〃-2〃2,(〃W6,nwN')

a-j+...+a=S-S=25〃-2n2-78,故騫

ntl62n2-25〃+156,527,〃wN‘)

18.(1)2

⑵場(chǎng)

8

【分析】（1）△AB。中，根據(jù)余弦定理求A。的長(zhǎng);

（2）△ARD中，根據(jù)余弦定理求cosA,即可求sinA,再根據(jù)三角形的面積公式求解.

【詳解】（1）因?yàn)閏osNBDC=J,

8

=-cosNBDC=-L

則cosZADB=cos(7i-NBDC)BD=2,AB=3

89

11

ZXABD中，AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosAADB,

EP9=AD2+4-2X2XADX,解得:A￡>=2或(舍)，

2

所以45=2；

AB2-VAD2-BD29+4-43

(2)cosA=

2-AB-AD2x3x2-4

因?yàn)椤?lt;AV7T,

所以sinA=V1-cos2A=>AC=AD+DC=2+1=3,

所以SA，c=LxA2xACxsinA=1x3x3x^=^.

ABC2248

19.(1)??=3n+1；

2/1+3

(2)(,=x3，，+2

4-T

【分析】(1)利用4,5,，關(guān)系及等比數(shù)列的定義求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可得a=(〃+2)3向，應(yīng)用錯(cuò)位相減法求人

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2，=2q=3q-9,解得％=9.

當(dāng)〃22時(shí)-，2??=25?-2S,i=3??-3a,一，整理得%=,

所以｛為｝是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故4=9X3"T=3")

(2)由(1)知,〃,=(〃+2)3叫則7；=3x32+4x3?+,+(n+2)3向①，

所以37；,=3x3?+4x3"++(n+2)3"+20,

34n+l+2+2+2

①-②得：-27；=27+3+3++3-(?+2)3"=27+'J"，?_(?+2)3"=y-x3"

故7＞誓^3川號(hào).

20.⑴見解析;

【分析】(1)運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得asinC=2Rsin4==8sinA=l,然后等量代換出二+",再運(yùn)

2Ra2

用降次公式化簡(jiǎn)，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

12

__」口八sin(A-B)sin(/4-C)

【詳解】(1)證明：由題知“-

cosBcosC

所以sin(A-B)cosC=sin(A-C)cosB,

所以sinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因?yàn)锳為銳角，即cosAwO,

所以sinBcosC=sinCeosB,

所以tan3=tanC,

所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,

所以sin3=sinC,

因?yàn)閍sinC=l,

所以，=sinC,

a

因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫骸?2RsinA,sin8=g,

2R

所以asinC=2Rsin4會(huì)=A=1,

所以:=sinA,

b

因?yàn)?=萬一3—。=萬一2c,

所以1=sinA=sin2C,

b

所以

11

------1------

a2b2

=sin2C+sin22C

l-cos2C

+(l-cos22C)

2

[3

=—cos-2c—cos2cH—

22

因?yàn)橐籄BC是銳角三角形，且3=C,

所以?<c/,

所以受2C。,

所以一1vcos2c<0,

13

當(dāng)cos2c=-1時(shí)，4+g取最大值為g,

4ab16

所以士1+士1最大值為：2孑5.

abz16

21.⑴函數(shù)力⑴在(。，布)單調(diào)遞增，在(右收)單調(diào)遞減

(2)m=1

(3)弓什。0)

【分析】(1)求導(dǎo)得/?力=三二(》>0),求解計(jì)算即可;

(2)根據(jù)題意得加8(與)-3/(與)>叫(工2)-天/(*2)，設(shè)，》)=手尸一xlnx(x>0),

證明函數(shù)在xw(O,4w)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為機(jī)匣里),求解即可；

\X/max

/1\

12

-X-X

(3)根據(jù)題意得―即可滿足題意，求最值即可.

x-inx

\/min

【詳解】(1)根據(jù)題意得，〃(x)=alnx—gd(x>0),

所以/?x)=2-x=￡^￡(x>0),因?yàn)?>0,所以令〃(x)>0,解得0<x<6,

令〃(x)<0,解得x>&,所以函數(shù)〃(x)在位,6)單調(diào)遞增，在(&,+8)單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=lnx,由研g(shù)(3)-g(N)]>%/(%)一刀/(々)恒成立,即

加g(不)一玉/(王)>mg(工2)—Z/(N),

設(shè)f(x)=mg(x)-4(x)=￡x2_x]nx(x>0),由題意%>x2>0,故當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

所以f'(x)=〃a-lnx-120恒成立，即機(jī)2叱口恒成立等價(jià)于〃?2(曲山)，

X、X)max

、rlnx+1llz/Inx.,Inx八口八*,Inx八

設(shè)丁=-----,所以y=---廠，令,=---->0,解得Ovxvl,令丫=----<0,

XXXX

解得x>l,所以函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。，叱)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)>=@必在x=l處取得極大

值，

同時(shí)也是函數(shù)的最大值，所以丫=也四41,故加之/,結(jié)合條件，所以加=1.

X

14

(3)不等式/(%)+2g，(x)K(a+3)工一g(x)在x￡[1,e]上有解,

即t/lnx+2x<(?+3)x-^x2,整理得a(x-Inx)2；/一%在“￡[l,e]上有解，

令Mx)=x-lnx,x?Le],所以加(力=1一,=匚3()恒成立，

所以〃z(x)在x?l,e]上單調(diào)遞增，所以〃z(x)2〃7⑴=1,

(1\

-X2-%

所以〃>2工一工等價(jià)于QN,

a之-----x-lnx

x-\nx

\/min

_1丫2_丫(%—x+l-lnx|i

設(shè)心)=2一，所以%，(x)=12_________7,再令〃(x)=jx+l-Inn,xe[l,e],

x-lnx(x-lnx)2

ii_o

所以〃。)=；-：=r黃，所以函數(shù)”(x)在［1,2)單調(diào)遞減，在(2,e］單調(diào)遞增，

所以〃(x)2〃(2)=2-ln2>0,即當(dāng)xe［l,e］時(shí)，^x+l-lnx>0,

(x-l)f—x+1-lnx|

又因?yàn)閤—l>0,所以在xe［l,e］時(shí)，《⑴.'A2_________2>o恒成立，

(x-lnx)2

所以Z(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，所以Z(x)“(1)=-即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：-；,+8

【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面:

(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；

(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式；

(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,

解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

⑵回

【分析】(1)根據(jù)圖形關(guān)系可確定。=1,極角。==，由此可得點(diǎn)N的極坐標(biāo)；

O

(2)利用e表示出|0M|和4/OK,代入三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可