2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一年級(jí)下冊(cè)期中模擬數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下冊(cè)期中模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知AB=“+5人，BC=-2a+Sh>CO=3。一39人貝U()

A.A,8,C共線B.A8,〃共線C.A,C,。共線D.8,C,。共線

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量共線定理可構(gòu)造方程組求滿足題意的實(shí)數(shù)4,由4是否有解可得結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,若48,C共線，則AB=28C，即七"T，方程組無(wú)解，則A錯(cuò)誤；

[oX=3

對(duì)于B,若48,。共線，則AB=MQ=〃8C+CD),即「二:,方程組無(wú)解，則B錯(cuò)

'7[-314=5

誤；

[3A=—11

對(duì)于C,若AC,O共線，貝|JAC=A8+BC=/IC3,即…解得：人-；，

[—39/1=133

??.ACZ)共線,c正確;

對(duì)于D,若8,C,。共線，則8c=2C3,即，：「。，方程組無(wú)解，則D錯(cuò)誤.

—39/1=8

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z/=&(cos^+isinS，Z2=g(cos.+isi吟)則必的代數(shù)形式是(

)

C.73-73/D.6+5

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，計(jì)算即可得解.

【詳解】z,z2=72^cos^+/sin

=>/6[cos(—+—)+/sin(—十—)]

126126

=V6(cos—+/sin—)

44

=G+Gi

故選:D.

本題考查了復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

3.已知向量“、b的夾角為牛，卜卜血，卜|=1，則忖」卜()

A.4B.5C.4夜D.5應(yīng)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得a為=-1，再根據(jù)|3a-b|=J(3a-6)2可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?丿=|。||6|COS,=&Xlx(-=)=-1,

所以13a-61=J(3d-6)2=yj<)a2-6ab+b2=J18+6+1=5.

故選：B

4.若向量a=(x,2),6=(2,3),c=(2,T),且。〃c,則a在6上的投影向量為()

Af-ABL^ll]c但為D佳-0

A，I13'13丿-I13'13丿[13'13丿[13'13丿

【正確答案】C

【分析】由“〃c得x=-1,進(jìn)而根投影向量的概念求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椤?(兌2),c=(2,-4),且a〃c,

所以-4x=4,解得％=—1.

所以a=(-l,2),

所以a在厶上的投影向量為,即聞二^^士譽(yù)星小卜和⑶嗚咼

故選：C

5.如圖，已知04=2,0B=3,0C=l,NAOB=60,NBOC=90,若O8=xOA+yOC,

,X

貝|」一=()

y

B

0A

A.6B.vC.昱D.-

233

【正確答案】C

【分析】如圖所示，以0C為x負(fù)半軸，。8為正半軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到

(0,2)=(&-y,x),解得答案.

【詳解】如圖所示：以oc為x負(fù)半軸，。8為y正半軸建立直角坐標(biāo)系，

則A(6R，8(0,2),C(-l,0),

OB=xOA+yOC,即(0,2)=x(K,l)+y(-l,0)=(6x-y,x),

解得x=2,y=2百，故二=

y3

故選：c.

,2tanl2°/l-cos44°

6.iSa=—cos7°-----sin7°,b=----；——，則有()

221+tan212°V-2-

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【正確答案】A

【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商數(shù)關(guān)系，對(duì)進(jìn)行化

簡(jiǎn)，再利用y=sinx的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

1萬(wàn)

【詳解】=-cos7°--sin7°=cos600cos7°-sin600sin7°=cos67°=sin23°,

22

2sinl2°

.2tanl20cosi?°2sinl20cosl2°..

b__________=4_______________—sin24。

1+tan212°?sin212°sin212°4-cos2120''

1+----------

cos212°

1—(1-2sin~22°)1.?.?比—.

l-cos44°―i---------------=sin22°>由y=sinx的性質(zhì)可知r，c<a<b,

22

故選：A.

7.如圖，已知等腰AABC中，AB=AC=3,BC=4,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則APA8+AC

()

B.為定值6

C.最大值為18D.與P的位置有關(guān)

【正確答案】A

設(shè)82=28。(04/141),根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、

余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)8尸=28C(OW/141).

AP^AB+AC)=(AB+BP)(AB+AC)=AB2+ABAC+ABC(AB+ACy

2.2\

BA+AC).(A8+AC)=/l(AC-AB=0,

2ABAC2x3x39

所以AP(A8+AC)=A/+AB-AC=3。+3x3-cosA=10.

故選:A

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義，考查了平面向量的

加法的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

8.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知〃一2辰,$山A+c?=4,且a=2,

則△ABC面積的最大值是()

2+6

A.4-26B.6C.2+6

2

【正確答案】c

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可知乃ccosA=2屜csinA,可得A=^,由正弦定理可得

),利用三角

/?=4sinB,c=4sinC=4sin

恒等變換化簡(jiǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】由6—2G/?csinA+/=4,且。=2,得/一2百bcsin/=儲(chǔ),

即從+。2一巒=2瘋(sin4,由余弦定理可知2bccosA=2?csinA,

所以cosA=6sinA,可得tanA=且，由Ae(O,兀)，可得A==,

—二4

由正弦定理sin8sinCsinA1,可得6=4sin8,c=4sinC=4sin

2

所以SASC=—fecsinA=—/?c=—x4sinBx4sin

44

=4sinB—cos5+-2-sinB=2sinBcos^+2\/3sin2B

(22丿

=sin2B-^cos2B+5/3=2sin^2B-1^+>/3<2+73,

當(dāng)=即B=時(shí)等號(hào)成立，

3212

可得_A5C面積的最大值是2+石.

故選：C.

二、多選題

9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()

A.若復(fù)數(shù)z=；\i為虛數(shù)單位)，則z=i

B.若復(fù)數(shù)z滿足z2wR，則zeR

C.若復(fù)數(shù)z=a+Ai(a,AeR),則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0

D.若復(fù)數(shù)z滿足國(guó)=1,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑的圓

【正確答案】AD

【分析】A：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；B：設(shè)z="+齒(a,beR),根據(jù)z?€R求

出“、6的值即可判斷；C：根據(jù)純虛數(shù)的概念即可判斷；D：設(shè)z=a+5(a/eR),求出z

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(。，刀的軌跡方程即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,z=*.(1：：).、=?="故A正確；

1-1+2

對(duì)于B,設(shè)z=n+所，a、&wR,則z?+246i,

z2&R=>ab=O；當(dāng)。=0,以0時(shí)，z=/?i￡R,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,z=a+砥a,6eR),則z為純虛數(shù)的充要條件是a=0且厚0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)z=a+歷(a,beR),則|z|=1=>巒+層=],

則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，故D正確.

故選：AD.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(l,3),8(2,1),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

AB(2

A.E是與48平行的一個(gè)單位向量B.?，-譽(yù)舊是、與48垂直的一個(gè)單位向量

陷(55

C.A到08的距離為逐D.0A在08上的投影向量為08

【正確答案】ACD

AB\[5—2yf5A8A8

【詳解】對(duì)于A,AB=(l,-2),皿=(〒，=且J=1,所以向是與他平行的一

|A455卜4\AB\

個(gè)單位向量，故A正確，

對(duì)于B,記。=，且夕48=石H0,所以與AB不垂直，故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,因?yàn)?8=(2,1),AB=(l,-2),所以O(shè)8-A8=2xl+lx(-2)=0,所以O(shè)B丄AB,所

以4到08的距離為38卜石，故C正確，

對(duì)于D,因?yàn)?3丄A3,所以在OB上的投影向量為0B，故D正確.

故選：ACD.

11.已知/(x)=2sinxcosx+2由cos2,下列說(shuō)法正確的有()

A./(x)的最小正周期是2萬(wàn)

B.f(x)最大值為2

C./(X)的圖象關(guān)于x=q對(duì)稱

D./(x)的圖象關(guān)于(-[,0)對(duì)稱

【正確答案】BD

【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式對(duì)/(x)化簡(jiǎn)整理，對(duì)于選項(xiàng)A：利用最小正周期公

式即可求出周期；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)/(x)解析式即可求解；對(duì)于選項(xiàng)CD：根據(jù)正弦型三角

函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)的特性即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=2sinxcosx+26cos2》-方=sin2x+yficos2x=2sin(2x+y),

所以f(x)的最小正周期為7=際=萬(wàn)，故A錯(cuò)誤；

由Ax)的解析式可知，〃x)最大值為2,故B正確；

因?yàn)?(勺=0*±2,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?(爭(zhēng)=。，所以/“)的圖象關(guān)于(4,0)對(duì)稱，故D正確.

故選：BD.

12.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，

(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”，奔馳定理：已知。是AABC

內(nèi)一點(diǎn)，ZiBOC,"OC,&40B的面積分別為名,SB，Sc,^SAOA+SBOB+SCOC=Q

。是銳角AABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABAC,ZABC,NACB分別是的AABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正

確的有()

A.若。4+208+300=0，則臬⑸：&■=1：2：3

B.若|OA|=|0Q=2,ZAOB=^-,20A+30B+40C=0，則S"c=g

_________兀

C.右。為AABC的內(nèi)心，30A+40B+50C=0，則NC=]

D.若。為AABC的垂心，30A+40B+50C=0，則cosNAOB=-亞

6

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)A,由奔馳定理即可判斷;

對(duì)B,由面積公式求出S,，結(jié)合奔馳定理即可求；

對(duì)C,由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得a/:c=3:4:5,即可得NC=，；

對(duì)D,由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得|。耳:網(wǎng):|oc|=cosZA:cosNB:cosZC,

結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得SA:SB:SC=tanNA:tanNB:tanNC=3:4:5,

如圖所示4E、F分別為垂足，可設(shè)=tanZA-3r(r>0),即可由幾何關(guān)系列式

=解出/=好，最后由正切求出余弦值COSNC=Y5,則由

56

cosZAOB=-cosZC可求

【詳解】對(duì)A,由奔馳定理可得，OA+2OB+3OC=SAOA+SBOB+SCOC=0,又

040A0C不共線，故SA：SS：SC=1：2：3,A對(duì)；

對(duì)B,Sc=1x2x2xsinZAOB=l,由2OA+3OB+4OC=0得梟：$?：%=2：3:4,故

99

S.C=工Sc=[,B錯(cuò)；

對(duì)C,若。為AABC的內(nèi)心，30A+40B+50C=0，則弟：:S。、=3:4:5,又

：5&:Sc=(r為內(nèi)切圓半徑)，三邊滿足勾股定律，故NC=],C

對(duì)；

對(duì)D,若。為AABC的垂心，則NBOC+NA=TI,

08-OC=|OB,McosNBOC=-|OB|-|OC|COSZA,

又O8-AC=OB-(OC-OA)=0=O8?OC=O8a=|oqcosZA="dcosNC,

同理|oc|cosNB=|Ofi|cosZC,10A|COSNB=|(?B|COSNA,

/.|QA|:|OB|:|(?C|=cosZA:cosZB:cosZ.C,

V30A+40B+50C=0,則當(dāng)：S?:S’=3:4:5,

且臬:Sp:Sc=kinNBOC:g網(wǎng)ZAOC:網(wǎng)sinZAOB

=cosZBcosZCsinZA:cosZAcosZCsinZB:cosZAcosZBsinZC

_sinNAsinNBsinZC

cosZAcosZBcosZC

tanZA:tanZB:tanZC

如圖，。、E、尸分別為垂足,

設(shè)AF—tn,tanZA=3f(f>0),則FC-3mt,BF=?tn,AB=(相，AC=也?+1?m,

BEBE

又AE:EC=5:3,故AE=*AC,BE=3tAE=—AC,

tanZAtanZC88

由AB.f'CuAC.BEoNmSwfu曳er+D/n?,解得"亞，

48''5

由tan2/C=―-------l=5ncosNC=逅，故cosNAO8=—cosNC=-"，D對(duì)故選:

cos2ZC66

ACD

三、填空題

13.若滿足NA8C=60,AC=12,8C=A的厶43c恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

【正確答案】伙1。<4412或憶=8百}

【分析】根據(jù)正弦定理分析解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

ACBC3csinBZsin60。V3

【詳解】由正弦定理一,sinA=

sinBsinAAC

當(dāng)&=1,即左=8百時(shí)，A=g只有一解，

242

當(dāng)在％<1時(shí)，％<86，若12VA<86,則A>8=60。，A可為銳角也可為鈍角，有兩解,

24

當(dāng)0<ZK12時(shí)，A<B,A只能為銳角，只有一解.

*,.攵的范圍是伙|0<攵<12或厶=8A/3}.

故伙|0<E2或A=8用

本題考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形時(shí)，由于求出的是角的正弦值，因此可

能出現(xiàn)兩解的情形.像本題，如果12<%<86,則有兩解，主要原因是4>3=60。，A可為

銳角也可為鈍角.

14.化簡(jiǎn)———---2cos20°=.

2tan20°

【正確答案】y/0.5

【分析】利用三角恒等變換，先化切為弦，把亙1140。轉(zhuǎn)化為新(60。-20。)，利用差角公式化

簡(jiǎn)可得答案.

6

[詳解]———2cos20°=2sin20°一28s2()°

21an20。益前

73cos20°6cos20。-4sin2()。cos20。

-2cos20°

2sin20°2sin20。

V3cos200-2sin40°>/3cos200-2sin(600-200)

2sin20。-2sin20。

A/3COS20°-cos20°--sin20°)

2sin20。

sin2001

-2sin20o-2

故答案為：

15.已知函數(shù)/")=癡2天一8$(2%一專),若a是銳角,且/6+；)=|,則sina=.

【正確答案】邁a

10

【分析】先由條件/[界力=]推出sin(a+》|,結(jié)合a是銳角可以推出

0<2+“<三，從而得到cos[a+』>0,最后利用sina=sin(a+?-與進(jìn)行求解.

6416丿(66丿

【詳解】由題意/(^■+：)='j=sin(a+])-cos(a+g),即

cosa-cos(a+A=3=8sa」cosa+gina」8sa+gina=sin|a+A

I3丿52222I6丿

而sina=sin|a+m_m|=sin|a+m]cos[_cos|a+mkinm，注意到&是銳角，則

\oo7\o)o\6丿6

71712兀

—<—+a<—,

663

而sin(a+.=1＜孝，故。+或當(dāng)＜《+”＜兀（后者情況不符合巳+

舍去）.

于是cos(a+[J>0,即

于曰..(兀、兀(兀、.兀36413\/3-4

十是sina=sina+—cos----cosa+—sin—=—x---------x—=----------.

I6丿6I6丿6525210

故邁a

10

四、雙空題

3

16.如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC=6,AD=ABC,AD-AB=,

則實(shí)數(shù)2的值為,若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|VN|=1,則。DN的最小

【分析】可得NBA。=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得4的值，然后以點(diǎn)8為坐標(biāo)原

點(diǎn),3C所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（x,0）,則點(diǎn)N（x+l,0）（其中（）VxV5）,

得出DM-DN關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得。M.DN的最小值.

【詳解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120-

AB-AD=ABCAB=A\BC\-|Afi|cos120

=Ax6x3x[-g）=-92=-5,

解得2=

o

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

AD

MN

8c=6,..C（6,0）,

?.?又?.?AO=：BC,則。。，羋，設(shè)M(x,O),貝iJN(x+l,。)(其中0<x<5),

DMDN

所以，當(dāng)x=2時(shí)，OA/.DV取得最小值了.

M113

故土T-

本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力,

屬于中等題.

五、解答題

17.已知向量：=(1,2),]=(—3,k).

(1)若；〃族，求”的值；

(2)若;丄求實(shí)數(shù)厶的值；

(3)若；與]的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【正確答案】(1)3逐；

Q)k=7；

4

3

(3)&V—且原一6.

【分析】(1)解方程lxk-2x(-3)=0即得解；

(2)解方程lx(-5)+2x(2+2幻=0即得解；

(3)解不等式1x(—3)+2x%V0且存—6,即得解.

【詳解】⑴解：因?yàn)橄蛄?=(1,2),"(―3,&),且］〃I，

所以lx%—2x(-3)=0,解得《=-6,

所以卜二J(-3)2+(-6)2=3后.

(2)解：因?yàn)?+2族=(-5,2+2外，且;丄日+2小，

所以1x(-5)+2x(2+2Q=0,解得k=丄.

4

(3)解：因?yàn)?；與了的夾角是鈍角，則且；;與了不共線.

3

即1x(-3)+2x%V0且厚一6,所以ZV—且厚一6.

2

7

18.已知z是復(fù)數(shù)，z+i和丁一都是實(shí)數(shù)，

1-1

(1)求復(fù)數(shù)Z;

(2)設(shè)關(guān)于*的方程x2+x(l+Z)-(3m-l)i=0有實(shí)根,求純虛數(shù)加.

【正確答案】(1)z=l-i:(2)m=-\.

【分析】(1)設(shè)z=a+歷(a,AeR),根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法、加法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)z+i和六，

若為實(shí)數(shù)，則虛部為零，即可得到方程組，解得即可；

(2)設(shè)機(jī)=%(〃eR),根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)方程，即可得到方程組，解得即

可.

【詳解】(1)設(shè)z=a+/?i(a,/，cR),則z+i=a+Z?i+i=a+(b+l)i,

za+bi_(a+Z?i)(l+i)a—ba+b.

1-i-(l-i)(l+i)+

4+1=0

因?yàn)閦+i和『J都是實(shí)數(shù)，則，a+6,解得a=l,b=-1,

1-1------=0

2

所以z=1—i.

(2)設(shè)m=$(〃￡/?),則方程為f+x(2—i)—(3di—l)i=0,即f+2x+3d+(l—x)i=0,若

x2+2x+3d=0

方程有實(shí)數(shù)根，則解得x=1d=-1,

l-x=O

所以純虛數(shù)機(jī)=-i.

19.如圖，在.A3C中，已知AB=4,AC=6,點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。，F(xiàn)在邊8C,AC

上，且AC=6AF，BC=3BD，EF交AD于點(diǎn)P.

（2）AP=xAB+yAC,求x+y的值.

【正確答案】（1）一厶叵；（2）義.

3710

【分析】（1）建立合適平面直角坐標(biāo)系，表示出A2瓦尸的坐標(biāo)，由此可求與EF的坐

標(biāo)表示，結(jié)合夾角余弦值的計(jì)算公式可求解出結(jié)果；

（2）根據(jù)AP=zUO得到關(guān)于AP的一個(gè)線性表示，再根據(jù)RE，P三點(diǎn)共線得到關(guān)于4P的

另一個(gè)線性表示，由平面向量的基本定理求解出參數(shù)值，由此可求》+丫的值.

【詳解】（1）法一（坐標(biāo)法）：以月C所在直線為x軸，過(guò)8且垂直于AC的直線為y軸建立

平面直角坐標(biāo)系，如圖，

■:乙BAC=gAB=4,AO=ABcos60°=2,B0=AOsin60°=2G,

則A(-2,0),尸(-1,0),網(wǎng)-1,冋,

(10

()

...AD=7‘亍’EF=0,-73.

設(shè)AD與EF所成角為，,

AD-EF2y/m

回.冋|37

_2——2—2__21

法二(基底法)：AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-AB——AC=-AB+-AC

33333f

EF=AF-AE=-AC--AB,

62

：K=|AB+/=源+押./+*喈,?屮*

v|EF|2=-AC--AB=—AC2--ABAC+-AB2=3,，怛/|=百,

62366411

1211

3B+；A匕A"A"--AB+-AC--ABAC

ADEF

cos，=。31818

WM1Aq?同

_-4_

=叵6"一*;

3

(2)?:A,P,。三點(diǎn)共線,

可設(shè)AP=/lAO=；l(AC+CD)=；l(AC+gcB|=?AC+|A3—|AC)=,48+gAC,

由P,E,產(chǎn)三點(diǎn)共線，可設(shè)尸產(chǎn)=小七，??.FA+AP=fE4+fAE，

AP=tAE4-(1-t)AF=^AB+^ACf

22_￡

2=—

3-210

由平面向量基本定理可得；，解得

2_1-r2

t=-

3~~6~5

113

：.AP=-AB+—AC,x+y=-H—=—

51051010

故x+y的值為需

20.已知向量加=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函數(shù)/(幻=力幾十己.

(1)若/(3=1,xs(O,乃),求tan(x+?)的值：

(2)若/(a)=—記，sin/7=-^^,/?e(O,y),求2a+汽的值..

【正確答案】(1)-2-73;(2)2a+p-.

4

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解出/(x)的解析式，再運(yùn)用三角函數(shù)的關(guān)系求解

即可；

(2)根據(jù)三角函數(shù)和差公式，由已知的三角函數(shù)值求解角度即可.

【詳解】解：(1)/(x)=cos2x—sin2xH—=：cos2x+—

22

由/(，小，可得cosx=g,由xe(0,O,得x=(,;.tanx=G，

則tan(x+△)=&%=3￥=-2-6

41-tanxl->/3

(2)由")=-1可得8s2a==,由aw?,當(dāng)可得2aw(肛當(dāng)),

105242

則sin2a=-^1-cos22a=一扌,

由sin〃=、^,SEO,]),可得COS/?>0,cos/?=Jl—sin?.

“a、_oA?o?々_37A/2_V2

cos(2of+p)—cos2acosp—sin2asinp——x--—i-—x--——2

74

由2a+Qe(肛2萬(wàn))，可得2a+〃=—.

4

21..ABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為,若asinB=V§/xx)sA.

⑴求A；

⑵若c=3,一ABC的面積為九3.

2

(i)求。；

14

(ii).ABC邊3C上一點(diǎn)。，記△M￡)面積為R,,AC￡＞面積為邑，當(dāng)3+不達(dá)到最小值

502

時(shí)，求AO的長(zhǎng).

7T

【正確答案】(1)§

(2)(i)a=幣；(ii)

3

【分析】（1）由正弦定理可得sinAsinB=6sin8cosA,進(jìn)而得出tanA=G，即可得出答案;

（2）根據(jù)面積公式可推得八2，然后根據(jù)余弦定理可求得a=出；設(shè)BD=価m,CD=#in,

推得!=羽，!=攣匸代入［+《，根據(jù)“1”的代換，即可根據(jù)基本不等式得出取最

￡9/nS29〃5~

小值時(shí)利”的值，進(jìn)而得出。。=厶自.根據(jù)余弦定理，在MC中，求出cosC=^.然后在

314

/CO中，根據(jù)余弦定理，即可求出AO的長(zhǎng).

【詳解】（1）由正弦定理以及asinB=J56cosA可得，sinAsinB=JIsinBcosA.

因?yàn)閟inB^O,所以tanA=JL

又Ae(O,7i),所以A=1.

(2)(i)由已知可得，SV4BC=—/>csin/A=—/?x3x—=,所以匕=2.

v.c2222

222

由余弦定理可知，a=b+c-2bccoSA=4+9-2-2-3-^=J,

所以，a=x/7.

(ii)設(shè)BD=5n,CD=V7n,則m+〃=l.

當(dāng)且僅當(dāng)丑=%，即〃=],，"=!時(shí)取等號(hào).

mn3-3

所以，CD=".

3

又在ABC中，有cosC="+"J==7+4農(nóng)=也,

2ab2x27714