2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊市高二年級(jí)下冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)開學(xué)摸底數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊市高二下冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)開學(xué)摸底

數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.數(shù)列-7」,T-T?-γ~?~~~7?L的通項(xiàng)公式為（）

2×12×22x32x4

1

B.(-?r

?-而可l%=H

(-1)"

C.a=?'xD.

n(n-l)"2n

【正確答案】D

【分析】由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式即可.

【詳解】解：數(shù)歹IJ--L=M,_L=IzD1,-L=Hl,_L=（Zl￡,

2χl2×12×22×22x32χ32×42×4

所以第〃項(xiàng)為HZ，所以通項(xiàng)公式為α=H工，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確.

In"2〃

故選：D

2.等比數(shù)列｛q｝中，已知q+g=3,%+4=12,則為+%=（）

A.15B.21C.27D.48

【正確答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為夕，由題意可得d=4,而生+6=3+4）整，代入計(jì)算

可得.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,

則%+%=q∕+/q2=（4+%）g2=3q2=12,解得d=4,

故里/+%/=3+g）/=12x4=48.

故選：D.

22

3.已知曲線C的方程為』-----=1（AreR）,若曲線C是焦點(diǎn)在V軸上的雙曲線，則

2-k2k-5

實(shí)數(shù)％的取值范圍是（）

A.-?<k<5B.k>-C.JtH-I或5D.2<Λ<∣

22

【正確答案】D

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的方程特征進(jìn)行求解即可.

f2?-5<05

【詳解】若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則C,c,解得2<x<]?

[2-?<02

故選：D.

4.已知直線/交橢圓1+：=1于A,2兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為(T1),則直線/的斜率

為()

A.-2B.—C.2D.—

22

【正確答案】D

【分析】設(shè)出A，B坐標(biāo)，列出坐標(biāo)所滿足的方程，將兩方程相減得到/的斜率與線段A8

中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，由此求解出直線/的斜率.

【詳解】設(shè)A(Xl,χ),B(x2,y2),因?yàn)锳,B都在橢圓上,

22

1+

?4l212

所以

?2

M

-

+

42

得上三Jx正三

Xl-X22y1+y2

又因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(T1),XI+X2=-1×2=-2,yi+y2=↑×2=2,

.y∣一必1—21

所以砥B=J~~==-7X-7=3,

xi-X2222

故選：D.

5.在數(shù)列｛叫中，4=1,?÷1=?+^-fy,則勺等于()

12n-?_n-?Cl

A.-B.-------C.-----D.—

nnn24

【正確答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得。向-4,=L--工，結(jié)合累加法，即可求解.

nn+1

111

【詳解】由題意可得凡M-%=E=T^Q,

,flfl

所以當(dāng)〃≥2時(shí),a2-a,=l-ir?-?44"^"-'=?4,

-a

上式累加可得,4[一〃]二(出βι)+(?-β2)÷??÷(?~n-?)

=1------1----------F…4-------------=1-----,

223n-lnn

—,LLt、ICl2/2—1

又q=11,所以〃“=2—=-------，

nn

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1滿足上式，

所以4=2.

n

故選：B.

6.若雙曲線W-I=I(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離

a"b

心率為

A.√5B.5C.√2D.2

【正確答案】A

【詳解】試題分析：本題已知：焦點(diǎn)坐標(biāo)(GO),漸近線方程為：y=±2χ,距離為:

a

化簡(jiǎn)得：b=2a,又：c2-b2+a2>得：/=5",(f)=5,e=-T5

雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離和方程思想.

7.在下列條件中，能使M與A,B,C一定共面的是()

A.OM=IOA-OB-OCB.OM=∣OA+∣OB+∣OC

C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論.

【詳解】解：空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共線，且A,B,

C,M共面，則其充要條件是χ+y+z=l;

對(duì)于A,因?yàn)?-l-l=0xl,所以不能得出A,B,C,"四點(diǎn)共面；

對(duì)于B,S?→→^=∣i≠∏所以不能得出A,B,C,M四點(diǎn)共面;

對(duì)于C,MA=-MB-MC，則MA，MB-MC為共面向量，所以M與A,B,C一定共

面；

對(duì)于D,因?yàn)镺M+OA+O8+OC=0,所以O(shè)Λ∕=-OA—O3—OC，因?yàn)?1-1-1=一3工1,

所以不能得出A,B,C,M四點(diǎn)共面.

故選：C.

8.公園中有一塊如圖所示的五邊形荒地，公園管理部門計(jì)劃在該荒地種植126棵觀賞樹，

若1至6六個(gè)區(qū)域種植的觀賞樹棵數(shù)成等比數(shù)列，且前3個(gè)區(qū)域共種植14棵，則第5個(gè)區(qū)

域種植的觀賞樹棵數(shù)為（）

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的求和公式，列出方程組，求得4,4,進(jìn)而求得第5個(gè)區(qū)

域種植觀賞樹的棵數(shù)，得到答案.

【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列｛%｝首項(xiàng)為4,公比為4,

可得4（lr）=[4且“'Of）=]26,所以戶】=1+/=等=9，

Ir?-q1-014

解得4=2,4=2,則%=2x2"=32,即第5個(gè)區(qū)域種植32棵.

故選：C.

9.已知拋物線V=8x,定點(diǎn)44,2）,尸為焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則∣PF∣+IE的最小

值為（）

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義把P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離即可得.

【詳解】如圖，作PQ，AN與準(zhǔn)線X=一2垂直，垂足分別為Q,N,則IPQI=IPF

?PF?+?P^=?PQ?+?P^≥?AN?=6,當(dāng)且僅當(dāng)0,RA三點(diǎn)共線即P到M重合時(shí)等號(hào)成立.

故選：B.

22

10.己知橢圓C*?=l(α>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,工，點(diǎn)P在橢圓C上，若離心

?PF?

率e=島i，則橢圓C的離心率的取值范圍為()

?PF2?

A.(θ,√2-l)B.0*C.D.[√2-l,l)

【正確答案】D

【分析】由題意可知e=制，結(jié)合橢圓的定義解得IP用=言，再由α-cM∣Pg∣≤α+c求

解.

【詳解】因?yàn)閑=扁,所以∣P∕=J∣=e∣P園,

由橢圓的定義得：?PFl?+?PF2?=2a,解得IP周=3,

e+1

因?yàn)椤?c≤∣PR∣<α+c,所以。一c<2^?≤o+c,

2L

兩邊同除以α得l-e≤-----≤?+e9解得e≥?∣2-?，

e+?

因?yàn)镺vevl,所以√Σ-l≤e<l,

所以該離心率e的取值范圍是[0-1,1)

故選：D.

二、多選題

11.設(shè)拋物線E：∕=4χ的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A,8是拋物線E上不同的兩點(diǎn)，且IA目+忸打=8,

則（）

A.線段A8的中點(diǎn)到E的準(zhǔn)線距離為4

B.直線A8過(guò)原點(diǎn)時(shí)，∣A3∣=60

C.直線48的傾斜角的取值范圍為與受

D.線段A8的垂直平分線過(guò)某一定點(diǎn)

【正確答案】AD

【分析】先求出演+々=6,可判斷A與B,設(shè)直線AB的方程為y="+/，，聯(lián)立拋物線，結(jié)

合韋達(dá)定理與判別式可判斷C,化簡(jiǎn)AB的垂直平分線方程可判斷D.

【詳解】設(shè)Aa,盼,3（孫力）,拋物線E：y2=4x,得p=2

Λ所以

∣AF∣÷∣BF∣=I÷x2+p=8,x∣+∕=6

線段AB的中點(diǎn)到E的準(zhǔn)線距離為近愛+2=4,則A正確；

若直線AB過(guò)原點(diǎn)，設(shè)占=0,則9=6,所以4（0,0）,網(wǎng)6,±2?）

所以IA3∣=j36+24=2√ILB錯(cuò)；

設(shè)直線48的方程為y=fcr+%

由｛，一：+人得&2f+（2妙_4）X+》2=0,

4-2Z√J2o

貝IJx+x=2-=6，得b=3k,又A=（2A?-4）~-4?2?2>0

12kk

得2—3公<0,故k>旦或k<∕,故C錯(cuò)；

33

線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,3%+。）

所以線段AB的垂直平分線方程為y-（3k+3=-J（x-3）

K

又b=*-3k,故化為6+x—5=0,過(guò)定點(diǎn)（5,0）

K

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)也成立，故D正確.

故選：AD

12.下列命題正確的是（）

A.給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

B.若等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,則｛4｝是遞增數(shù)列

C.若α,b,c成等差數(shù)列，則』，?［可能成等差數(shù)列

abc

D.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)歹∣j｛q+2q+J不一定是等差數(shù)列

【正確答案】BC

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)的正誤.

【詳解】A選項(xiàng)：給出數(shù)列的有限項(xiàng)不一定可以確定通項(xiàng)公式，故A不正確；

B選項(xiàng)：由等差數(shù)列性質(zhì)知d>0,｛q｝必是遞增數(shù)列，故B正確；

C選項(xiàng)：α=6=C=I時(shí)，4=:=1=1是等差數(shù)列，而a=l,b=2,c=3時(shí)不成立，故C

abc

正確；

D選項(xiàng)：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列公差為d,所以

an+2an+l=al+(n-↑)d+2al+2nd=3αl+(3n-V)d也是等差數(shù)列,故D不正確；

故選：BC.

三、填空題

13.設(shè)x,ywR,向量a=(3,2,l),b=(l,x,l),c=(y,4,2),且q_L/?,a〃c,則

卜+q=.

【正確答案】√62

【分析】根據(jù)空間向量的垂直及平行的坐標(biāo)表示求出χ,y,再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)

表示求解.

【詳解】因?yàn)?,匕，所以3+2x+l=0,解得χ=-2,則6=(1,-2,1).

因?yàn)閍〃c，所以1=3=：，解得>'=6,則c=(6,4,2).

Λ?+C=(7,2,3),∣?+C∣=√62.

故答案為:辰.

14.過(guò)拋物線y2=4χ的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(X/,y∣),B(X2,”)兩點(diǎn)，如果x∕+x2=6,

則IA陰=.

【正確答案】8

【分析】先確定拋物線中P=2,焦點(diǎn)Rl,0),再利用定義計(jì)算∣A8∣=X∣+Λ2+P,即得結(jié)

果.

【詳解】拋物線y2=4x中，p=2,焦點(diǎn)F(l,0),而直線AB過(guò)焦點(diǎn)F(l,0),

故根據(jù)拋物線定義可知M=M+陷=(玉+9+(x2++x2+p=6+2=8.

故8.

15.等差數(shù)列｛α,,｝,他｝的前n項(xiàng)和分別為S,,和Tr,,若/=懸則戶.

【正確答案】?Q.

14

4+為9(4+%)

【詳解】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由令=資廠=麗三κ=2W?T?

?54+%丸4+2)T93×9÷114

2T~

等差數(shù)列的性質(zhì).

16.過(guò)橢圓C：《+f=1的右焦點(diǎn)且傾斜角為g的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為

【正確答案】—##776

【分析】設(shè)此直線的與橢圓相交于點(diǎn)A(χ∣,y),8優(yōu),必)?直線方程為：y=√5(χ-2)與橢圓

方程聯(lián)立化為：5√-18x+15=O,利用IABI=14。+X2)2-4%p]即可求解?

【詳解】解：由橢圓C：二+反=1,可得右焦點(diǎn)尸(2,0).

62

設(shè)此直線與橢圓相交于點(diǎn)A(??yJ,B(x1,y2).

直線方程為.y=G(χ-2)

聯(lián)立嗎？，

X+3y=6

可得5χ2-i8x+15=O,

18C

xx

..x1÷X2=,?2=3.

22

AB∣=^4[(,vl+X2)-4XIX2]=2^(y)-4×3=.

故答案為.垃

5

四、解答題

17.記S“是公差不為O的等差數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和，若4=S5,%%=S4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式冊(cè);

(2)求使S,,>為成立的"的最小值.

【正確答案】(IM=2〃-6；(2)7.

【分析】(1)由題意首先求得知的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公

式；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：$5=5《，則：%=5%,，。3=0，

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：4%=3-4)3+")=-

S&=q+%+%+%=(4—2<7)+(q—d)+4+(4+d)=~λd,

從而：-d」2d,由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為.4,=6+(〃-3)d=2"-6

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：?,=2-6=-4,則：s,,="χ(-4)+"dχ2="-5",

則不等式S,,>。,即：6,整理可得：6)>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃為正整數(shù)，故"的最小值為7.

等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等

差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.

18.如圖所示，在平行六面體ABCD-AIBlCTDl中，。為AC的中點(diǎn).設(shè)AB=ayAD=fe,A41=c.

(1)用〃也C表示Ao；

一2

⑵設(shè)E是棱OR上的點(diǎn)，且。E=IoA,用db,c表示EO.

【正確答案】(I)Ao=匕-C

(2)EO=^a-^b--c

【分析】(1)由。為AC的中點(diǎn)，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)可得AO=；(。+勿，然后利用向量

的加法法則可求得結(jié)果，

(2)根據(jù)向量的加減法法則結(jié)合已知條件求解.

【詳解】(1)因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，AB=4,AD=b,A41=c,

所以A。,AC=J(AB+A0,(〃+/?,

222

所以AO=AA+AO=-c+gα+=+-C

.2

(2)因?yàn)镈E=-OR,

3

所以Eo=Ef>+D4+AO

=-∣f>D,-Af>+∣(<a+Z?)

21

=——c-b+-(a+h)

32

22

19.已知雙曲線S-3=l(4>O,b>O)中，c-.a=y[5,虛軸長(zhǎng)為4?

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(()/)，傾斜角為45的直線/與雙曲線交于A、8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求2?AO8的

面積.

【正確答案】Md=I

⑵々

【分析】(I)由已知條件可得出關(guān)于“、b、C的方程組，解出這三個(gè)量的值，可求得雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、8的橫坐標(biāo)，即可求得AAOB的面

積.

c=?∣5aa-?

【詳解】(1)解：由己知條件可得?2bE解得＜〃=2

c2=a2+b2c=√5

因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V—￠=1.

4

(2)解：由題意可知，直線/的方程為y=x+l,設(shè)點(diǎn)A(X2J、B(Λ?,%),

y=x+l5

聯(lián)立；',一可得3f-2x-5=0,解得玉=T,?=",

[4x-γ-=43

因此，5ΔΛOS=^×l×∣x1-X2?=~?

20.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,”,田=2S,,+1,其中S,,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

(I)求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

(Il)設(shè)L是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

n

【正確答案】(I)αn=3-'(II)(,=(g1)?3"+1

【分析】(I)由”“與5”的關(guān)系得出α,z=3q,,再由等比數(shù)列的定義得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式；

(II)先求出｛2｝的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】(I)由〃∣=1,an+x=2?+l,當(dāng)〃=1時(shí)，可得生=24+1=3.

當(dāng)"≥2時(shí)，α,,=2S,ι+l,兩式相減得：4什[一〃“=2可，即為+]=3%，且〃2=3q.

故僅“｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以為=3"T

(Il)去=l+2("-l)=2--l,即r=(2"-l)?3"τ

7；,=l×30+3×3'+5×32++(2n-3)?3n^2+(2n-l)?3n^'

37；,=1×3I+3×32+5×33++(2n-3)?3,,^l+(2n-l)?3,,

兩式相減得

(-37；=l+2*3+2x3?++2×3"-,-(2n-l)?3π

-27；,=1+2(3+32++3"T)-(2"-l)?3"

3(l-3n^l)

π,

=l+2×?——i-(2n-l)?3=(2-2n)?3'-2

即(=("-l)?3"+l

方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法

(1)公式法：①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，S=Mq+/)=““+≤fL?

22

nal,q=?

②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S,,=4(1-力；

H--------.<7≠∣

I"q

(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再

求解.

(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的

推廣.

(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成

的，則這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.

21.如圖，在正方體ABCE>-ABg。中，E為8片的中點(diǎn).

A

1B1

（I）求證：BG〃平面ARE；

（Il）求直線AA與平面AQE所成角的正弦值.

?

【正確答案】（I）證明見解析；（II）j.

【分析】（1）證明出四邊形ABG。為平行四邊形，可得出BC√∕4R,然后利用線面平行的

判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；

（H）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用兒何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.

【詳解】（I）［方法一］：幾何法

在正方體ABCD-48CA中，4B∕∕Ag且AB=A用，A∕"G。且A4=CQ,

.?.48〃（；。且48=&2,所以，四邊形ABGR為平行四邊形，則BCJ/AQ,

8G<X平面ARE,AAU平面AREBG〃平面ARE；

［方法二］:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB.AA所在直線分別為x、y、Z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-型,

設(shè)正方體4BC。-ABCa的棱長(zhǎng)為2,則A(0,0,0)?A(0,0,2)、D1(2,0,2),￡(0,2,1),

AA=(2,0,2),AE=(0,2,1).

.、n?AD.=0［2x+2z=0

設(shè)平面AnE的法向量為〃=(χ,y,z),由，得kC，

令z=-2,則χ=2,y=l,則n=(2,1,-2).

又「向量8G=(2,0,2),8CM=2X2+0X1+2X(-2)=0,

又，BG(Z平面ARE,二BG〃平面AjE；

(II)［方法一］：幾何法

延長(zhǎng)CG到F,使得Gf=BE,連接EF,交Bc于G,

又「G尸〃BE,.?.四邊形BEFa為平行四邊形，.?.8CJ∕EF,

又?.?BC1//AD,,：.AR//",所以平面ARE即平面ARFE,

連接DG,作C//，"G,垂足為H,連接用，

?；FCl1平面A1B1C1D1,D1GU平面ΛtB,ClD,,ΛFC11D1G,

又?.?FC∣cC”=G,直線AG_L平面G/7/,

又,/直線D1GU平面D1GF,.?.平面DfiF1平面CtFH,

.?.G在平面RGF中的射影在直線FH上直線FH為直線FG在平面RGF中的射影,

ZC1FH為直線FC1與平面D1GF所成的角，

根據(jù)直線FCl//直線AA,可知NGFH為直線AA與平面ADtG所成的角.

2×ι2

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則ClG=GF=1,RG=石,.?.￠4=/=不,

3

.^.FH=飛'

.,.SinNCFH=旭=M

FH3

即直線AA與平面ARE所成角的正弦值為I.

［方法二］：向量法

接續(xù)(I)的向量方法，求得平面平面A。E的法向量”=(2,1,-2),

H?M42

又S=(0A2),??.c-麗丁一寸-5，

.?.直線AA與平面ARE所成角的正弦值為,.

［方法三］：幾何法+體積法

如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為B延長(zhǎng)Aq,AE,O/,易證三線交于一點(diǎn)P.

因?yàn)锽B"A4l,E尸〃AZ)I,

所以直線AA與平面ARE所成的角，即直線BE與平面P所所成的角.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在！PE廠中，易得PE=PF=君,EF=6,

3

可得SPM=5.

13?1

由V:棱排4-陽(yáng)=V三棱錐尸.用防,得1X2?5]∕∕=]X]Xlxlx2,

整理得線"=；0.

所以SinNBIEH=瞿=；.

L>1LLJ

所以直線AA與平面AnE所成角的正弦值為:.

[方法四]：純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)A到平面AER的距離為h,

在aAER中，AE=√5,AD,=2√2,D1E=3,

*2+A爐-AZ）：9+5-86

ZAED-

cosx-

2DxEAE^2×3×√55

所以，易得=

sinZAED1=~~~SAEDI?.

114

由4-A4lp=匕I-AEDl，得尹ADiAl?A『sAEDJh,解得〃=§,

.Ch2

設(shè)直線AA與平面AED所成的角為θ,所以SIne=7=不

1/l/τl?5

【整體點(diǎn)評(píng)】(I)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

進(jìn)行證明；

(II)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)

生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算

論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；

方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論

證，不失為一種優(yōu)美的方法.

22.已知橢圓「：二+L=I(W>0,/〃X6).

m3

(1)若加=2,求橢圓「的離心率；

⑵設(shè)AM為橢圓r的左右頂點(diǎn)，若橢圓「上一點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,且EVE42=-2,求加

的值；

(3)若尸為橢圓「上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作一條斜率為√3的直線與雙曲線￡一蘭=1僅有一個(gè)公共

5"5

點(diǎn)，求m的取值范圍.

【正確答案】(I)/

(2)3

(3)(√3,3]

【分析】(1)由橢圓的離心率定義即可得出答案;

(2)設(shè)4(-m,0),4(a,0),求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出EVE42,由數(shù)量積的定義求出

EA1?EA2,即可求出，"的值；

22

(3)設(shè)該直線為直線/與雙曲線上:-二=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)，討論直線/與

5rn5

雙曲線W-《=1的漸近線平行和直線/與雙曲線E-《=1的漸近線不平行結(jié)合尸為橢

5tn55"廠5

圓r上一點(diǎn)即可得出答案.

9?5

【詳解】(1)當(dāng)〃2=2時(shí)，橢圓廣工十上=1,焦點(diǎn)在丸上，

43