2023-2024學(xué)年湖北省襄陽市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年湖北省襄陽市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)aeR,則“a=-3”是“直線4：or+2y-l=0與直線6：(a+l)x+ay-2=0垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.重要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)直線垂直求出。的值，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.

【詳解】直線4：ox+2y-l=0與直線4：(a+l)x+@一2=0垂直

則a(o+l)+2a=0,解得a=0或a=-3,

則％=-3”是“直線《：如+2k1=0與直線4：S+l)x+砂-2=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

2.若函數(shù)y=/G)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)為1,則1而"與2)："%+2.)=()

A3AX

A.2B.3C.-2D.-3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，1皿/&-，)-9+2以)=],即可得出答案.

——Ax-2Ax

【詳解】由已知可得，/'(/)=1.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，lim二/電I2-?=/,(4)=],

A-o-Ax-2Ax

即」lim/C%AX)一/(X(>+2AX)=],

3.->oAr

所以lim..2)一八212")=,g

ATTOAX

故選：D.

3.已知圓。?：x?+/=1與圓a:(x-2>+(y-2>=16,圓/與圓?、。2均相切，則圓/的

圓心/的軌跡中包含了哪條曲線()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【正確答案】B

【分析】根據(jù)兩圓方程可得出兩圓圓心以及半徑，求出圓心距.根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)

|。/=夫+。

系可得兩圓內(nèi)含，設(shè)圓/的半徑為R,結(jié)合圖象可得出,消去R可得

M=r2-R

\021\+\011\>^02\,即可得出答案.

【詳解】由圓a：x2+/=i可得，圓心a(o。，半徑11；

由圓。2：(x-2)2+(y-2)2=16可得，圓心。2(2,2),半徑々=4.

又|。。』=J(2-0『+(2-Of=26，且|o勾=20<3=々-八,

所以兩圓內(nèi)含，又4.

設(shè)圓/的半徑為R.

由題意結(jié)合圖象可得，圓/應(yīng)與圓。|外切，與圓。2內(nèi)切.

則有，所以+=6+4=5>,

根據(jù)橢圓的定義可得，圓/的圓心/的軌跡為橢圓.

故選：B.

()1111

4.已知等比數(shù)列｛4｝滿足：a2+a4+a6+a^=20,a2-a8=8,則一+—+—+—的值為()

的44。8

5

A.20B.10C.5D.-

2

【正確答案】D

1111

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4-a6=a2-a8=8,對一+—+—+—進(jìn)行化簡后求值

5%%>6

即可.

【詳解】在等比數(shù)列｛勺｝中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.4?。6=3?4=8

4+4_。2+。4+。6+_20

所以一+—+—+—=二-

82?

故選：D

5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不

知數(shù)''問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出

的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理''"中國剩余定理講的是一

個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被7除余4的數(shù)按

由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{4},則&=()

A.103B.107C.109D.105

【正確答案】C

【分析】根據(jù)正整數(shù)?！氨?除余1,且被7除余4,推出%-4是21的整數(shù)倍，推出

q,-4=2I(〃T)后可計算出心.

【詳解】顯然4=4,

因為正整數(shù)死被3除余1,所以4-4是3的整數(shù)倍，因為正整數(shù)?！氨?除余4,所以?！?4

是7的整數(shù)倍，

所以?！?4是21的整數(shù)倍,

又?！笆钦麛?shù)，且4=4,所以%-4=21(n-1),即%=21〃-17,

所以％=21x6-17=109.

故選：C

6.直三棱柱力8C-451G中，Z8C/=90。，N分別是4A，8C的中點，8C=C4=CC；,

則與/N所成角的余弦值為()

「儷

10

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求異面直線所成角的余弦.

【詳解】以C為原點，C4C8,CC1的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)8C=a=CC=2,則有/(2,0,0),N(0,l,2),5(0,2,0),

標(biāo)二(-2,1,2),SM=(1,-1,2),

c°s＜募疣=部聚口出

V9xV618-

則BM與AN所成角的余弦值為逅.

18

故選：D.

7.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，準(zhǔn)線為/,直線，':缶-y+2=0,動點用在C上運(yùn)

動，記點M到直線/與廠的距離分別為4,4，。為坐標(biāo)原點，則當(dāng)4+”2最小時，SinZ.MFO=

()

A.正B.—C.—D.—

2346

【正確答案】C

【分析】由拋物線的定義可知4=|防|,設(shè)于點N,則4+%=恢陽+恢叫，當(dāng)

三點共線時，4+4取得最小值，再結(jié)合點到直線的距離公式，以及直角三角形的

余弦，即可求得結(jié)果.

【詳解】由拋物線的定義可知4=|防1,設(shè)例NJJ'于點N,則4+4=|四/|+|四時，

當(dāng)戶三點共線時，4+4取得最小值，

由拋物線C：/=4x得尸(1,0),

所以點F(l,0)到直線-:缶-y+2=0的距離為

公更專，

V7+1V8

設(shè)直線r:缶-y+2=0與x交于點。,

2

令尸0,得x=_/,

所以X=|FZ)|=1=-^=—?

7

在RtADNF中，COSZ-MFO=cosZNFD="尸,

\FD\78xV7+24

所以sinAMFO=Vl-cos2AMFO=

8.已知點力《,0）,3（3,0）,P為直線/:x+y—5=0上一動點，當(dāng)/4PB最大時，點尸的坐

標(biāo)是（）

A.（2,3）B.(3,2)D.(1,4)

【正確答案】B

【分析】過48作圓與直線/相切于P,在直線/上任取一點不，連接/兄交圓于。，由

NAP°B<NAQB=NAPB得產(chǎn)點即為所求點，利用幾何關(guān)系求P點坐標(biāo)即可.

【詳解】如圖所示過48作圓與直線/相切于P,在直線/上任取一點《，連接力兄交圓于。,

因為N4P°B<N4QB=NAPB,所以切點P即為所求點,

因為c點坐標(biāo)為（5,0）,所以由切割線定理|af=|c/i||C5|得|CP|=2V2,

又由直線/的傾斜角為135?？傻肸PCB=45°,且|CB|=2

由余弦定理可得|尸4=2.

所以PBLx軸，

所以P點橫坐標(biāo)為3,代入直線方程得P點坐標(biāo)為（3,2）,

故選：B

二、多選題

2o

9.已知方程上——Z_=l/eR）,則下列說法中正確的有（）

16+A9-k

A.方程一E——乙=1可表示圓

16+攵9-k

B.當(dāng)攵>9時，方程工——乙=1表示焦點在工軸上的橢圓

16+k9-k

C.當(dāng)-16<攵<9時，方程工——亡=1表示焦點在1軸上的雙曲線

16+Ar9-k

22

D.當(dāng)方程-r----匚v=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10

16+49-k

【正確答案】BCD

【分析】分別將人的值代入各個命題，根據(jù)圓錐曲線方程的特點即可作出判斷.

V2V2

【詳解】對于4當(dāng)方程-----0=1可表示圓時，16+%=〃-9>0,無解，故4錯誤.

16+A9-k

2222

對于8,當(dāng)人>9時，-----J=-^+E=i,16+%>&-9,表示焦點在x軸上的橢

16+左9—k16+%k—9

圓，故3正確.

f2

對于C,當(dāng)一16<%<9時-----匚v=1,16+*>0,9一左>0,表示焦點在％軸上的雙曲

16+左9-k

線，故。正確.

v-22

對于。，當(dāng)方程「-----匚=1表示雙曲線時，。2=16+%+9-上=25;當(dāng)方程

16+A9-k

戶V2

—.....匚=1表示橢圓時，，2=16+%-（笈-9）=25,所以焦距均為10,故。正確.

16+A-9-k

故選：BCD

10.如圖，在平行六面體NBC。-44GA中，以頂點/為端點的三條棱長都1,且

NO48=ZD//=NA44=6e，則下列說法中正確的有（）

A.AC1BD,

B.BD、=娓

C.8。/平面/CG

D.直線8。與/C所成角的余弦值為手

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)空間向量的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】以｛加：/6：/彳1為空間一組基底，

AC=AB+AD,BDi=AD^-AB=AD+AA,-AB,

??,、???，、,?―、??-v、??，、

AC,BD1=（N8+4O）（4O+N4-皿

=AB?AD+AB,Al、一AB?4B+AD?AD+AD?AA、一AD,AB

=lxlx—+lxlx--1+1+lxlx--IxlxLlwO,

2222

所以4。與5。不垂直，A選項錯誤；

▼▼▼八--TX▼▼▼▼八）

BD「=（AD+A^-AB^

▼▼畛▼▼vx▼▼八▼▼八

=AD++AB'+2ADAA,-244tAB-2ADAL

111

=l2+l2+l2+2xlxlx——2xlxlx——2xlxlx-=2,

222

所以忸A(yù)|=&,B選項錯誤.

依題意可知，四邊形力BCD是菱形，所以

AC]=AB+AD+AA1,BD=AD—AB,

■-一，、??，、?■，、-??，、??/、，、--▼、

AC.BD=(AB^AD+AA,)-(AD-AB)

=ABAD+ADAD+AACAD-ABAB-ADAB-AA}AB

1.1.11c

=1x1x-F14-1x1x1-1x1x1x1x—=0

2222

所以4G_LB。，

由于4G^C=A,Zq,ZCu平面ZCG,

所以平面4CG，C選項正確.

設(shè)直線8。與/C所成角為。,0494鼻，

AC=[AB+AD^=AB'+2AB-AD+AD=l+2xlxlX]+l=3,/C=5

\AC-BD\IJZ

所以cose=F可=廠廠=三,D選項正確.

明.陷|V3xV26

故選：CD

11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角

垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…設(shè)第〃層有4個球,

從上往下〃層球的總數(shù)為S.,則（）

蠹（Rwo

A.S$=35

B.%一%=n,n>2

/?（Z74-1）

C.

2

1111200

D.—i---1----1---1----=---

為a2a3400101

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)已知可得遞推公式f'T、,，根據(jù)累加法可得為=嗎紅).通過計算

[a?^a?_,+n,n>22

可判斷A項；根據(jù)遞推公式可得B項正確；由Sw-S“=”的即可判斷C項；化簡

—=2|二],相加即可判斷D項.

a?I"?+1>

【詳解】由題意可得q=1,

當(dāng)“22時，a2-at=2,a}-a2=3,L,an-n,

以上式子累加可得：a,-a,=2+3++〃=也羅-1,所以當(dāng)〃=1時，該式

也成“，所以a\?

對于A項，S5=%+4+%+4+%=1+3+6+10+15=35,故A正確;

對于B項，由前面分析可知：當(dāng)〃22時，an-an_}=n,故B正確;

對于C項，S,+LS.=a“M=（〃+、〃+2）,故c錯誤;

對于D項，因為'=（2八=2a一一二］,

所以L+'++-=2fI-^+2f^-1V+2

可生”io。v2）\23J

故選：ABD.

12.已知P為雙曲線3-/=1上一點，/(-2,0),8(2,0),令ZPAB=a,ZPBA=/3,下

列為定值的是()

B.tan4tan且

A.tanatanP

22

C.5PAIItan（a+^）D.SPABcos（a+^）

【正確答案】AC

【分析】設(shè)第二象限點「(〃?,〃)，由題設(shè)得加2-4=41且tana='二，tan^=d-,進(jìn)

加+22—777

而可判斷各選項是否為定值.

【詳解】

不妨設(shè)尸(見〃)在第二象限，可得仁-/=1,即,"2一4=4",而tana=二，tan夕=--

4〃2+22-m

**.tanatan(3=r——=--'=—為定值，A正確；

/_44/4

由倍角正切公式及0<彳,4<3,可得tan0=_@+tan2a+l,tan《無土

2222tana2tan/

tan5t一,=4(Jl+tarra+1)(J1+tan~/?—1)不為定值,B排除；

tdn+tdn

tan(a+/?)=--^-=-^-,而S尸檢=?〃x4=2〃，故S18tan(a+Q)=_g為定值,

1-tanatan/75n2''5

C正確；

Q

由C知：S4BCOs(a+￡)=-msin(a+P)不為定值，D排除；

故選：AC.

三、填空題

13.圓C:(X-1)2+Q+1)2=4上到直線/:x+y-應(yīng)=0的距離為1的點的個數(shù)為

【正確答案】3

【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑『，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線

的距離d,由半徑r-d=l,從而得到該圓上到直線x+y-萬=0的距離為1的點的個數(shù)即

可.

【詳解】解：由圓的方程C:(x-l)2+(y+l)2=4,得到圓心坐標(biāo)為半徑,?=2,

二圓心到直線x+y—0=O的距離d=凡s

Vi+i

則圓上到直線/:x+_y-0=O的距離為1的點的個數(shù)為是3.

故3.

14.已知y=lnjx+l,

則y'=

Vx-1

【正確答案】-七

【分析】化簡可得y=g[ln(x+l)-ln(x-l)],然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式即可得出答案.

所以y=_Lx(x+l)’_Lx(x-l)'=]11

2x+12x—12(川)2(x7)

故答案為目

15.已知數(shù)列｛《,｝滿足4=3,%=9,且a“+2=4,+1-4“("€N*),則為)8=

【正確答案】9

【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列｛”“｝的前幾項，觀察可得，數(shù)列｛”“｝的周期7=6.根據(jù)周期

性即可得出答案.

【詳解】由已知當(dāng)m=1時,有。3=。2-4=9-3=6,

依次可求出能=-3,a5=-9,a6=-6,%=3,a8=9.

經(jīng)過觀察可得，數(shù)列具有周期性，其周期7=6.

又308=51x6+2,所以%)8=&=9.

故9.

一+/_

16.已知點P是橢圓C:l(a>b>0)上任意一點,C的離心率為e,若圓

0:/+『=/上存在點/,8,使得4P8=150。，則e?的最大值為

【正確答案】三巨

4

【分析】連接。尸，當(dāng)尸不為。的上、下頂點時，設(shè)直線PM,7W分別與圓。切于點

N,設(shè)ZOPM=。，連接OM,得l°PW胡運(yùn)，又|OP舄=a,得忘再訪即可解決.

【詳解】連接OP,當(dāng)尸不為C的上、下頂點時，

設(shè)直線PM,PN分別與圓。切于點M,N,

設(shè)NOPM=0,

由題意知NA/PNZ150。，即75工。<90。，

所以sinO'sin75°,

連接OA/,

所以sin8==工2#+二,

\OP\\OP\4

4b

所以1"盡而達(dá)’

又因為|OPJ=a,

所以有aW^、，即^士姐史，

76+72a4

結(jié)合/=/>2+c2得@2=]_14三巨.

a24

故三旦

四、解答題

17.已知圓C：x2+y2-2x-4y-20=0

(1)求圓C關(guān)于直線x-2y-2=0對稱的圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)Z取何值時，直線船-夕+34+1=0與圓C相交的弦長最短，并求出最短弦長.

【正確答案】(l)(*-3)2+(y+2『=25；

⑵k=-4,4^2.

【分析】(1)根據(jù)斜率公式和中點公式，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；

(2)先判斷直線過定點，利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）圓心C（l,2）,『=5,設(shè)。（嘰〃），因為圓心C與。關(guān)于直線對稱，所以

1±^_2X^-2=0

22

'_=>0（3,-2）,r=5

二-2

tn-\

所以圓。標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）2+（y+2>=25；

（2）直線/過定點”（-3,1）,當(dāng)CN，/時，弦長最短，

k°M=~k=-4

止匕時最短弦長為2^r2-|CA/|2=2725-（7（^3-1）2+（I-2）2=4五.

18.己知數(shù)列｛4“｝滿足。?=2,log2%+|=bg2a“+l.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐椆剑?/p>

⑵求｛（3〃-1）。,,｝的前"項和S”.

【正確答案】（1）勺=2"（〃€葉）；

⑵S“=8+（3〃_4）?2"”

【分析】（1）根據(jù)給定條件，變形等式，利用等比數(shù)列定義判斷作答.

（2）由（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求解作答.

【詳解】（1）在數(shù)列｛見｝中，Ea,=2,log2a,lt）=log2a?+l,則log?誓=log?”,向-log?勺=1,

于是得竽=2,因此數(shù)列｛應(yīng)｝是首項為％=2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4=2x2"T=2"（〃eN）

（2）由（1）知，（3n—=（3n—1）x2",

貝!=2x2+5x22+8x23++（3M-4）X2,,_|+（3n-l）x2",

于是得2S,=2x22+5x23+8x24++（3n-4）x2"+（3n-l）x2"+,,

兩式相減得：-S,,=4+3X(22+2，++2")-(3M-1)X2"+,

=-2+3x斗?-（3"-l）x2-i=-8+（4-3?）-2,,+|>

所以S“=8+（3〃-4）-2"+1

19.如圖，線段是圓柱。。的母線，/8C是圓柱下底面廠。的內(nèi)接正三角形,

(1)劣弧8c上是否存在點。，使得。?！ㄆ矫鎆/8?若存在，求出劣弧8。的長度；若不存

在，請說明理由.

(2)求平面CBO、和平面B4Al夾角的余弦值.

【正確答案】(1)存在，劣弧80的長度為我

6

⑵普

【分析】(1)利用面面平行得到線面平行即可求得點。位置，再根據(jù)/8C是廠。的內(nèi)接正

三角形及/B=3,即可求得N8OD以及廠。的半徑，從而可得劣弧8〃的長度；

(2)分別求得平面C2Q和平面加4的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【詳解】(1)如圖過點。作43的平行線0。交劣弧BC于點。，連接。。，0Q,

因為oq〃/14，44匚平面448,001二平面/48,則oq〃平面”//

同理可證。?！ㄆ矫?45,。。10D=0,且。Qu平面0aD,0。匚平面。《。

所以平面44田〃平面OQQ,又因為QDu平面。QQ,所以O(shè)Q〃平面

故存在點。滿足題意.

因為j8C為底面廠。的內(nèi)接正三角形，

■JT77"

所以N8ZC=—，即ZABO=NBOD=一，

36

又因為"=3,

3.R

所以「。的半徑為。.萬一7，

2sin—

3

71

所以劣弧8。的長度為工*2分石=叵.

2乃6

（2）如圖取BC的中點為"，連接版1,以MB為x軸，為J軸，過河作OQ平行線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又因為力4="8=3,設(shè)N8中點為N.

1/il/

41/11//

勺

故”（0,0,0）,4*0，。]，A0,乎,0）,（o（o,*,o],。/（）淮,3

I2J12J，2,

C3A、T

N=，乎，°，易知平面448的法向量。N=

[44J（44J

設(shè)平面C8。的法向量為；：（x,y,z）,

又因為〃a=[o,號,3,A/B=[5,O,OJ

優(yōu)茯=0[爭+3z=。

故（xT即｛2,令夕=2百德U=（0,273,-1）

|〃加0，=0

12

易知平面CBO、和平面夾角為銳角,

3

2_二回

所以平面C8。和平面A44夾角的余弦值為

/TT13

20.已知函數(shù)/(x)=e'T+Q,函數(shù)g(x)=ox+lnx,QER.

⑴若曲線夕=/(x)與直線y=x相切，求。的值;

(2)若a=0,證明：/(x)>g(x)+l；

【正確答案】(l)a=0；

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)曲線y=/(x)在。(X”M)點處切線y=x代入解方程即可求

則H

出答案；

(2)令尸(x)=/(x)—g(x)=e、T-lnx,F'(x)=e、T-L(x>0),求出尸(x)的單調(diào)性，即可證

X

明.

%=再

【詳解】(1)設(shè)曲線y=/(x)在。(西,必)點處切線y=x則

小)=1'

由于ra)=e*T,所以/=1,弘=1,

由題意知：y{=e'-'+a,于是。=0；

(2)令尸(x)=/(x)-g(x)=e*T-Inx,F'(x)=er-'--(x>0),

X

當(dāng)xe(0,l)時，0<ei<i,所以0<e、T<i<L即9(x)=尸-4<0,

XX

當(dāng)xe(l,+a>)時，1<L，所以e->l>L

X

即尸'a)=ei-L>0,

X

于是F(x)=/(x)-g(x)=-Inx在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增,

其最小值是尸⑴=1,所以F(x)=/(x)-g(x)21,于是原不等式成立；

21.已知橢圓C:1+g=l(a>6>0)的左、右焦點分別為6(-c,0)和心(c,0),離心率是也,

直線X=C被橢圓截得的弦長等于2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若直線/：x+2y-2=0與橢圓相交于48兩點，。為坐標(biāo)原點，求048的面積.

【正確答案】⑴巨&I

(2)77

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得6,從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)聯(lián)立直線/的方程和橢圓C的方程，求得48兩點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得|/卻，結(jié)合。到

直線的距離求得0/8的面積.

【詳解】⑴由令x=c得捺+/=1,解得'=±[,所以/=2,

結(jié)