福建省2022-2023學年高二年級上冊11月期中數(shù)學試題

2022年秋季高二年期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.直線后+)'-2=°的傾斜角為()

A.工B.2C.生D.舁

6336

2.已知直線mx+2y+\=0,l2：x+(m+l)y+l=0,若，〃乙，則帆=()

A.0B.1C.2D.-2

3.如圖所示，在平行六面體ABCO-AgCQ中，M為AG與片2交點，若AB="，AD=b，44,=c，

則BM=()

____________c,

:

AB

A.口+cB.L+411,11

+cC.——a——b+cD.——a+—b1+c

22222222

4.若點尸(1,1)在圓f+/+元一丁+左=0外部，則實數(shù)攵的取值范圍是()

I"c11

A.(—2,+8)B.-2,--

L2j

cD.(-2,2)

5.在長方體A5c￡)—44G。］中,AB=BC=1，A4,=6,則異面直線AA與DBt所成角余弦

值為

A1B6C.gD.@

5652

6.在日常生活中，可以看見很多有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系的形象，如圖，某公園的一個窗戶就是長軸長

為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗板將長軸分為相等的四段，則該窗戶的最短的豎直窗標

的長度為（）

C.2D.3

7.設(shè)點尸為直線/：x+y-4=0上的動點，點4-2,0）,8（2,0）,則IEI+IP8I的最小值為

A.2V10B.V26C.2A/5D.VIo

8.設(shè)橢圓C:=l（a>b>0）的左、右焦點分別為6,工，點M,N在。上（/位于第一象限）,

且點M,N關(guān)于原點0對稱，若=|耳囚，加閭=2|叫|,則C的離心率為（）

A.—B.—C.正D.75

463

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對于直線/：x+y-1=0,下列說法正確的有（

A.直線/過點（0,1）B.直線/與直線y=尤垂直

C.直線/的一個方向向量為（1,1）D.直線/的傾斜角為45°

10.下列方程能夠表示圓的是（）

Ax2+y2=1B.x2-y2=2

C.x24-y24-2x=1D.X2+>2+孫-1=0

2

11.橢圓C:三+y2=i的左、右焦點分別為Z，B，o為坐標原點，以下說法正確的是（）

4

A.橢圓C的離心率為方

B.橢圓C上存在點P,使得=0

C.過點工的直線與橢圓C交于A，B兩點，則,ABF；的周長為8

D.若P為橢圓C:匕+丁=1上一點，。為圓V+y2=i上一點，則點尸，。的最大距離為2

4

12.在平面直角坐標系中，三點A(—l,0),B(l,0),C(0,7),動點尸滿足抬=及28,則以下結(jié)論正確

的是()

A.點P的軌跡方程為。-3)2+產(chǎn)=8B.△外8面積最大時，PA=2叵

C.乙陰8最大時，B4=2&D.P到直線AC距離最小值為警

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線4：3x+2y-3=O與4：6x+4y-l=0平行，則它們的距離是

14.已知點M(a/)在直線5%-12丁+26=0上，則而了至最小值為.

15.如圖所示，若正方形A8CD的邊長為1,QD_L平面ABC。，且PD=1，瓦/分別為4民8。的中

點，則點A到平面PEF的距離為.

16.如圖，橢圓的中心在坐標原點，4,4,B,,分別為橢圓的左、右、下、上頂點，入為其右焦點,

直線用鳥與&&交于點P,若N4P4為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17._ABC的三個頂點4(1,6)、8(-1,-2)、C(6,3),。為8c中點，求：

(1)BC邊上的高所在直線的方程;

(2)中線AO所在直線的方程.

18.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點4T,0),8(1,2).

(1)求圓C的標準方程；

(2)過點P((),2)的直線/與圓。相交于",N兩點，且|MN|=2jL求直線/的方程.

19.如圖，已知PAJ_平面ABCO,底面A8CO為正方形，M=AZ)=AB=2,M,N分別為AB,尸C的中點.

20.如圖所示，已知橢圓的兩焦點為耳(一1,0),6(LO),P為橢圓上一點，且2|百鳥|=(「用+|Pg

(1)求橢圓的標準方程；

⑵若點P在第二象限，/乙耳「=120。，求片鳥的面積.

21.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2PA=PB=PC=AC=4，。為AC的中點.

(1)證明：尸。,平面A8C；

CM

⑵若點M在棱8C上，且二面角A7-BA-C為30。，求一的值.

22.已知橢圓C:[+[=1(。＞人＞0)經(jīng)過點(收,1),離心率為衛(wèi)

a-b-2

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)直線/：y=云+/?。())與橢圓。相交于人，B兩點，若以。4,08為鄰邊的平行四邊形。4PB的頂

點P在橢圓C上，求證：平行四邊形。4PB的面積為定值.

2022年秋季高二年期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.直線6x+y-2=°的傾斜角為()

A.-B.￡C.空D.工

6336

【答案】C

【解析】

【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角.

【詳解】I?直線Gx+y-2=0的斜率k=_JL設(shè)傾斜角為9,貝Ijtan8=-石

27r

直線百x+y-2=0傾斜角為y.

故選C.

【點睛】本題考查直線的傾斜角的求法，熟記斜率與傾斜角的關(guān)系是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

2.已知直線/1：如+2y+l=0,12：x+(m+l)y+l=0,若I、〃%,則〃?=()

A.OB.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由題意，直線平行，根據(jù)公式求參數(shù)，解方程并驗根，可得答案.

【詳解】由題意，一=-----*一，貝ijm(〃z+l)=2,^2+m-2=0,(m+2)(m-l)=0,

1m+117

19

解得：機=一2或1，當m=1時，-=——=1,故不符合題意，

11+1

-221

當〃2=-2時，—=-----=-2。-，符合題意.

1—2+11

故選：D.

3.如圖所示，在平行六面體ABCO-AgGA中，M為4C與耳。的交點，若AB=〃，

AD=b，AAj=c,則BM=()

U+cC117

A.兒」…B.C.——a——b+cD.

222222

11,

——a+—b+c

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用表示出3M即可.

【詳解】由題意，因為M為AC與與。的交點，所以M也為AC與片。的中點,

因此=+4G)+c=—A.BH—AD+c

122

11■

=——Q+—匕+C.

22

故選：D.

4.若點尸(1,1)在圓V+y2+x—y+左=。的外部，則實數(shù)攵的取值范圍是()

A.(—2,+oo)B.—2,

2

C.-2,；

D.(-2,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系及方程表示圓列出方程組，從而可得出答案.

【詳解】解：因為點在圓V+y+x—y+Z：。的外部,

1+1+1-1+攵>01

所以《，解得—2<k<一.

1+1—4左>()2

故選：C.

5.在長方體ABCD—4gGA中，AB=BC=1，A4,=6,則異面直線AD｝與

所成角的余弦值為

A.-B.@C.—D.—

5652

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：先建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根

據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

ZXO,0,0),A(l,0,0),4(1,1,百),。(0,0,6)，所以AD}=(-1,0,6),DB}=(1,1,6)，

AQ?DB]_一1+3手，所以異面直線AQ與。片所成角的余

|皿怛聞-2x75

弦值為好，選C.

5

點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)?/p>

空間直角坐標系;第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標;第三，破“求法向量關(guān)”，

求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.

6.在日常生活中，可以看見很多有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系的形象，如圖，某公園的一個

窗戶就是長軸長為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗根將長軸分為相等的四

段，則該窗戶的最短的豎直窗根的長度為()

A—B.y/3C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，建立坐標系得橢圓的標準方程為二+丁=1,再結(jié)合題意計算即可得

4-

答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標系，

因為窗戶就是長軸長為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，

V-2

所以橢圓的標準方程為二+y2=I,

因為其中三條豎直窗杈將長軸分為相等的四段,

所以當x=l時，)，=土走，所以最短窗板的長度為6.

故選：B

7.設(shè)點尸為直線/：x+y-4=0上的動點，點4-2,0),8(2,0),則IA4I+IP8I的最

小值為

A.2V10B.V26C.275D.而

【答案】A

【解析】

［分析】設(shè)點5(2,0)關(guān)于直線I的對稱點為B\a,b),利用對稱性列方程組求得線(4,2),

利用對稱性可得IPA|+|PB|=|PA|+1PBJ,結(jié)合圖像即可得當A,P,B,三點共線時，

IPAI+IPBI最大，問題得解.

【詳解】依據(jù)題意作出圖像如下：

設(shè)點8(2,0)關(guān)于直線/的對稱點為用,力)，

則它們的中點坐標為：且歸卻=歸用

b-0

x（T）=T

a-2

由對稱性可得:,解得：a=4,b=2

。+2

+--4=0

22

所以4(4,2)

因為|PA|+|PB|=|PA|+|P即，所以當AP用三點共線時，|PA|+|P3|最大

此時最大值為恒耳|=J(4+2p+(2-0『=2V10

故選A

【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線對稱的點的求法，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬于

中檔題.

22

8.設(shè)橢圓C:「+%=l(a>b>0)的左、右焦點分別為E，K,點N在。上(M位

ab~

于第一象限)，且點M,N關(guān)于原點0對稱，若|MN|=|K閭，|N閭=2可閭，則C的

離心率為()

A.正B.立C.BD.75

463

【答案】C

【解析】

【分析】由題意判斷四邊形町N6是矩形，設(shè)|咋|=加，結(jié)合橢圓定義表示出利,。之

間的關(guān)系，利用勾股定理列式，即可求得答案.

【詳解】依題意作圖，由于1MM=|耳月點M,N關(guān)于原點。對稱，

并且線段MN,耳巴互相平分，

7T

四邊形“耳”是矩形，其中g(shù)=],

由于|八碼=2|叫設(shè)|咋|=加，則|叫|=2加，即阿國=2根,

-2a,：.3m-2a,

222

根據(jù)勾股定理，\MF^+\MFy=\F.F21,.-.W+m=4c,

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對于直線/：x+y-l=O,下列說法正確有（）

A.直線/過點（0,1）B.直線/與直線y=x垂直

C.直線/的一個方向向量為（1,1）D.直線/的傾斜角為45°

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)直線的斜截式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系、直線方向向量的定義、互相垂

直兩直線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解析：直線/：x+y-l=0化成斜截式為y=-x+l,所以當x=0時，y=l,A

對；直線/的斜率為-1,傾斜角為135。，D錯；直線y=x的斜率為1,（-1）x1=-1,

所以兩直線垂直，8對?；直線/的一個方向向量為（1,-1）,c錯.

故選：AB.

10.下列方程能夠表示圓的是（）

A.x2+y2=1B.x2-y2=2

C.x2+y2+2x=\D.x2+y2+xy-1=0

【答案】AC

【解析】

【分析】依次判斷各個選項中方程所表示的曲線即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A,V+y2=1表示圓心為（0,0）,半徑為1的圓，A正確；

對于B,/一,2=2不符合圓的方程，B錯誤；

對于C,由％2+卜2+2%=1得：（x+lp+y2=2,則其表示圓心為（一1,0）,半徑為0的

圓，C正確；

對于D,f+>2+盯一1=。含孫項，不符合圓的方程，D錯誤.

故選：AC.

2

11.橢圓C:二+y2=i的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,。為坐標原點，以下說法正確的是（）

4

A.橢圓C的離心率為g

B.橢圓C上存在點P,使得產(chǎn)￡/6=0

C.過點入的直線與橢圓C交于A,8兩點，則工43月的周長為8

D.若尸為橢圓C:二+y2=1上一點，。為圓f+y2=i上一點，則點p,。的最大距離

4

為2

【答案】BC

【解析】

【分析】求得橢圓C的離心率判斷選項A；求得滿足條件的點尸判斷選項B；求得，A86的

周長判斷選項C；求得點P,。的最大距離判斷選項D.

【詳解】對于選項A,因為“2=4，b-=\,所以c?=4—1=3，即。=\/^，

所以橢圓C離心率e=￡=Y3,故A錯誤；

a2

2

對于選項B,設(shè)點P(x,)，)為橢圓C:￡+丁=1上任意一點，

則點尸的坐標滿足亍+丁=1,且-2W2,又小-點0),^(73,0),

所以Pf\—(~>/3—羽—y),PF?=(V3—x,—y),

2q2

因此尸耳/6=(-V3-x)(V3-x)+y2=X2+1-^--3=^-—2,

令尸/尸"=苧一2=0,可得x=±平e[—2,2]，故B正確；

對于選項C,由橢圓的定義可得|然|+|4閭=忸周+忸勾=2。=4,

因此A%的周長為|A￡|+忸用+|AB=|曲|+忸周+|伍|+怛閭=4a=8,

故C正確；

2

對于選項D,設(shè)點P(x,y)為橢圓C:—+/=1上任意一點，

4

由題意可得點P(x,y)到圓x2+y2=l的圓心的距離

|PO|=^jc+y1=74-4/+/=74-V-因為一IKyWL所以1尸。區(qū)2

則IPQL^POI+Jj^+JB，故D錯誤?

故選：BC.

12.在平面直角坐標系中，三點A(—1,0),8(1,0),C(0,7),動點P滿足以=母尸8,

則以下結(jié)論正確的是()

A.點P的軌跡方程為(x—3>+爐=8B.△以B面積最大時，PA=20

C.N%B最大時，％=2&D.P到直線4c距離最小值為逑

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)=可求得點尸軌跡方程為（x-3f+y2=8,A正確；

根據(jù)直線AB過圓心可知點尸到直線A3的距離最大值為2及，由此可確定面積最大時

尸（3,±2/），由此可確定B不正確；

當NPAB最大時，胡為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯誤：

求得AC方程后，利用圓上點到直線距離最值的求解方法可確定D正確.

【詳解】解：對于A：設(shè)尸（x,y）,由PA=y/^PB得:PA2=2PB2>即

（x+l）2+y2=2^（x-l）2+y2J,

化簡可得：（x—3『+y2=8,即點尸軌跡方程為（x—3）2+V=8,故A正確；

對于B：直線A3過圓（x—3）2+丁=8的圓心，，點p到直線A6的距離的最大值為圓

（萬一3）2+丁2=8的半徑r，即為20，

|AB|=2,.?一R45面積最大為:x2x20=2收，此時尸（3,±2五），

二|PA|=J（3+l/+（2可=2底,故B不正確；

對于C：當鉆最大時，則A4為圓（》一3）2+:/=8的切線，

|PA|=>/（3+1）2-8=2>/2,故C正確；

對于D：直線AC的方程為7x—y+7=0,則圓心（3,0）到直線AC的距離為

7x3+7_1472

々+15，

點P到直線AC距離最小值為此2-272=謔，D正確.

55

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線4:3x+2y—3=0與4：6x+4y—l=0平行，則它們的距離是

【答案］士叵

26

【解析】

【分析】根據(jù)兩個平行線之間的距離計算公式，計算得答案.

【詳解】直線/,：3x+2y-3=0可化為直線4:6x+4y-6=0,

又/2：6x+4y—l=0,且4〃4，

所以它們的距離d==卜：一（-口=/=獨3.

用/V5226

故答案為：之姮.

26

14.已知點加31）在直線5x-I2y+26=0上，則正壽的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】將，片+從的最小值轉(zhuǎn)化為原點到直線5x-12y+26=0的距離來求解即可.

【詳解】yla2+b2可以理解為點（°，°）到點M（。，毋的距離，

又?.?點M（a,b）在直線5x-12y+26=0上，

22

???y]a+h的最小值等于點（0,0）到直線5x-12y+26=0的距離，

|5x0-12x0+26|c

BaJ=------,---=2

V52+122

故答案為：2.

15.如圖所示，若正方形ABC。的邊長為1,PZ）_L平面48CO,且。。=1,瓦尸分別

為AB,BC的中點，則點A到平面PEF的距離為.

17

【解析】

【分析】設(shè)點A到平面P石廠距離為"，轉(zhuǎn)化為三棱錐D-PEb的高，結(jié)合

VA-PF：F=VP-AEF＞利用錐體的體積公式，列出方程，求得"的值，即可求解?

【詳解】如圖所示，連接。耳?！?

因為正方形ABC。的邊長為1,且E、F分別為AB、BC的中點，

ic1…，1111

可得SAEF=TAE-A=--X—X—=?—,

?w22228

又因為P￡)J_平面A5CZ),且PZ)=1，所以匕—AE/=/XS,xPA=^x^xl=,

33824

設(shè)點A到平面P石下的距離為d,即為三棱錐D-PEF的高，

因為PD1平面且DE,OFu平面ABC。，所以PD_L。尸，

由正方形ABC。的邊長為1，且P￡>=1，

在直角VADE中，可得?！?=4。？+AE?=2,^\PE=^PD2+DE2=-,

42

在直角uCDE中，可得OF?=。。2+。/2=3,則PF=《PD2+DF2=2

42

在直角ZX3石戶中，可得EF?=BE2+BF2=工,即4=立，

22

取￡產(chǎn)的中點M,因為PE=PF，所以PM_LEE，且PM=丁手

所以SPEF=*F.PM=%與義浮=誓,

又由匕_PFF=9_AFF，可得:xSpE/MuL，即_LX姮Xd=-L,解得［=姮,

3?24382417

即點A到平面PEF的距離為姮

17

故答案為：叵

17

16.如圖，橢圓的中心在坐標原點,A，A,B,,鳥分別為橢圓的左、右、下、上頂點,

寫為其右焦點，直線與居與4與交于點尸，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取

值范圍為.

【解析】

【分析】根據(jù)NBFA為鈍角轉(zhuǎn)化為B2A26B]<0,從而得到關(guān)于,c的不等式，即可

求解.

22

【詳解】設(shè)橢圓的標準方程為—+/=l(a>b>0),E(c,o).

由題意，得&(。,0),4(0,-3，e2(o,b),

則B2Ay=,F2Bi=(-c,一6).

因為/q尸&為向量為兒與的夾角，且/4P4為鈍角,

所以為4?64<0,所以〃一ac<0.

又。2=片一/,所以〃一QC-/v0,

即1一e—/<0,解得e<士詼或e>T+'，

22

因為ee(O,l),所以T；石<e<l，

故答案為：~~~A■

<27

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步

驟.

17._ABC的三個頂點4(1,6)、8(-1,-2)、C(6,3),。為BC中點,求：

(1)3C邊上的高所在直線的方程；

(2)中線AO所在直線的方程.

【答案】(l)7x+5y-37=0

(2)Ux+3y-29=0

【解析】

【分析】(1)求出直線的斜率，即可得到8C邊上的高線的斜率，利用直線方程的點斜

式，即可求解.

(2)求出BC的中點。坐標，求出中線所在直線的斜率，代點斜式即可求解.

【小問1詳解】

3-(-2)57

解：?.?8(-1,-2)、C(6,3),BC邊斜率=＞故BC邊上的高線的斜率--一，

6-(-1)75

7

故BC邊上的高線所在直線的方程為y-6=—g(x—1),即7x+5y-37=().

【小問2詳解】

6-1

解：BC的中點。(2,,)，中線4。所在直線的斜率為女=-2-=-^-,故BC邊上的中線

22t,53

2

所在直線的方程為＞一6=-段(*一1),即llx+3y—29=0.

18.已知圓知的圓心在x軸上,且經(jīng)過點A(-1,0),3(1,2).

(1)求圓C的標準方程；

⑵過點P(0,2)的直線/與圓C相交于M,N兩點，且|MN|=20,求直線/的方程.

［答案］(D(x—l)2+y2=4(2)%=0或3工+4,_8=0

【解析】

【分析】(D根據(jù)題意，設(shè)A5的中點為。，求出。的坐標，求出直線CD的斜率，由直線

的點斜式方程分析可得答案，設(shè)圓C的標準方程為*-。)2+丁=/，由圓心的位置分析

可得。的值，進而計算可得廣的值，據(jù)此分析可得答案；

(2)設(shè)F為MN的中點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線/的斜率是否存在兩種情況討論,

綜合即可得答案.

【詳解】解：(1)設(shè)的中點為》,則。(0,1),

由圓的性質(zhì)得a)_LA8,

所以KCDXKAB=一1,得KCD=-1,

所以線段AB的垂直平分線方程是y=-x+l,

設(shè)圓C的標準方程為(x-a)2+y2=/,其中C(a,0),半徑為r(r＞0),

由圓的性質(zhì)，圓心C(a,0)在直線CD上，化簡得。=1,

所以圓心C(l,0),r=|C4|=2,

所以圓C的標準方程為(XT)?+V=4；

⑵由（1）設(shè)尸為MN中點，則CF_L/，得|=|FN|=百，

圓心C到直線I的距離d=\CF\={4-（百年=1，

當直線/的斜率不存在時，/的方程x=0,此時IC尸1=1,符合題意；

當直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程丁=履+2,即H-y+2=0,

,味xl+2|3

由題意得^=l—，解得左=一；；

y/k2+l4

3

故直線/的方程為y=--x+2,

4

即3x+4y-8=0；

綜上直線/的方程為x=0或3x+4y-8=0.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應用，屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖，己知。4_L平面A8CO,底面A8C。為正方形，PA=AD=AB=2,M,N分別為

AB,PC的中點.

⑴求證：用/V_L平面PCQ；

（2）求PD與平面PMC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵巨

3

【解析】

【分析】（1）取尸。的中點E，連接AE,NE,證明平面PC。，原題即得證；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求出PD與平面PMC所成角的正弦值.

【小問1詳解】

取的中點E,連接AE,NE,

,:N,E分別為PC,PO的中點，

:.NEHCD且NE=、CD,又M為A6的中點，底面ABCD為正方形,

2

，AM//C。且AM」C。,

2

:.NE/1AMANE=AM,故四邊形AA/VE為平行四邊形，，MN//AE.

PA=AD,PE=DE,AE±PD.

因為Q4,平面ABC，8在面A8C￡>內(nèi)，所以Q4，C0.

又CD_LAD,弘門⑷^二人叢淵0匚平面必。，

所以CD_L平面/W),AE在面出。內(nèi)，所以COLAE.

又PDcCD=￡>,PD,CDu平面PCD,

所以AE_L平面PC。，

所以MN，平面PCD.

由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，：e4=AD=AB=2,

所以C(2,2,0),M(1,0,0),P(0,0,2),0(0,2,0),

故尸。=(0,2,-2),PC=(2,2,-2),/C=(1,2,0),

PC-n=0[2x+2y-2z=0

設(shè)平面PMC的法向量〃=?y,z),則<=>-八，得〃=(2,-1,1),

MCn=0Ix+2y=0

設(shè)尸o與平面PMC所成角為e,則sine=卜os(皿〃)|=上月==更,

I\/I2V2.V63

故P。與平面PMC所成角的正弦值為且

3

20.如圖所示，己知橢圓的兩焦點為耳(一1,0),6(1,0),P為橢圓上一點，且

2\FtF2\=\PFt\+\PF2\-

(1)求橢圓的標準方程；

⑵若點P在第二象限，/乙耳2=120。，求的面積.

22

【答案】(1)上+匯=1

43

5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)2|斗名|=|母;|+|依"，求出。，結(jié)合焦點坐標求出c,從而可求力，即可

得出橢圓方程；

(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得P的坐標，利用三角形的面積公式，可求的面

積.

【小問1詳解】

解：依題意得16Kl=2,

又2|百心|=|尸耳|+|尸乙|,

.[PF}|+|PF21=4=2a,:.a=2,

,.c=L/.b1=a2-c2=3.

22

二所求橢圓的方程為0+J=1.

43

【小問2詳解】

解：設(shè)P點坐標為(*,y),

ZF2FtP=\2Q0,

Pf；所在直線的方程為y=tanl20°-(x+l),即y=—6。+1).

8

y=-月(*+1)x=——

5

解方程組《%2y2,并注意到x<0,y>0,可得，

3石

143y=----

5

21.如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=2&PA=P8=PC=AC=4,。為AC

的中點.

(1)證明：P。，平面ABC；

CM

⑵若點M在棱8c上，且二面角C為30°,求——的值.

CB

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形三線合一得到P0,AC，由勾股定理逆定理得到30,尸。,

從而證明出線面垂直;

CM

(2)建立空間直角坐標系，求出點的坐標，設(shè)——=丸，利用空間向量及二面角列出方程,

CB

求出答案.

【小問1詳解】

在4c中，E4=PC=4,O為AC的中點.

則中線尸O_LAC，且AO=CO=2,OP=26；

同理在中有AB2+BC2=AC2,則AB16C；

因為AB=BC=2近，。為AC的中點?

所以B01AC且B0=2；

在匕POB中有PO?+BO?=BP?，則5O_LPO，

因為ACcBO=O,AC,30u平面ABC,

所以POL平面ABC.

【小問2詳解】

由(1)得POL平面A8C,故建立如圖所示空間直角坐標系。一肛z,

則B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,—2,0),尸(0,0,2石),

CM

設(shè)忘=幾，則CM=/ICB，

Cn

而C3=(2,-2,0),PA=(0,-2,-25/3),PC=(0,2,-273),

CM=A,CB=(22,-22,0),

PM=PC+CM=(0,2,-2>/3)+(22,-22,0)=(2A,2-22,-2^),

設(shè)平面fiAM的一個法向量為機=(x,y,