2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）1 .2 常用邏輯用語

§1.2常用邏輯用語

【考試要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)

定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對

兩種命題進(jìn)行否定.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p臺q,則P是g的充分條件，。是〃的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q*p

p是q的必要不充分條件p令q且q=p

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件p#q且q4p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“工”表

示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中任意一個x,〃(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記xRM,為6例，〃(x)

否定p(x)RXRM,立〃(X)

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={而(切,B=[x\q(x)}.

(1)若p是4的充分條件，則4GB；

(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；

(3)若p是g的必要不充分條件，則8A；

(4)若p是q的充要條件，則人=5

2.含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題p與p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）

（l）p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件.（J）

（2）“三角形的內(nèi)角和為180。”是全稱量詞命題.（4）

（3）已知集合A,B,AUB=An8的充要條件是A=B.（V）

（4）命題“mxGR,sin5+coslug"是真命題.（X）

【教材改編題】

1.命題“Vx^R,e，—的否定是（）

A.e“一B.VxGR,e*—iWx

C.SxSR,ev-l<xD.Vx￡R,e'-l<r

答案C

解析由題意得命題“VxGR,e'—l'x”的否定是“mxGR,e'-l<rw.

2.（多選）下列命題中為真命題的是（）

A.VxGR,/>0B.VxGR,—iWsinxWl

C.BxSR,2'<0D.AWR,tanx=2

答案BD

解析當(dāng)x=0時，*=0,所以A選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)xGR時，一1WsinxWl,所以B選項(xiàng)正確；

因?yàn)?，>0,所以C選項(xiàng)錯誤；

因?yàn)楹訢選項(xiàng)正確.

3.若“x>3”是“心>機(jī)”的必要不充分條件，則加的取值范圍是.

答案（3,+8）

解析因?yàn)?%>3”是的必要不充分條件，

所以（瓶，+8）是（3,+8）的真子集，

由圖可知m>3.

3mx

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1（1）（2023?淮北模擬）是“1>1”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由4泌>0,得表1,反之不成立，

如4=—2,b=-l,滿足系>1,但是不滿足a>6>0,

故ua>b>On是“表1”的充分不必要條件.

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛?。墓葹閝,前〃項(xiàng)和為設(shè)甲：q>0,乙：｛*｝是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當(dāng)S<0,<?>1時，a?=aiq"'<0,此時數(shù)列｛，｝單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)

數(shù)列｛SJ單調(diào)遞增時，有&+i-S“=a“+i=a4>0,若0>0,則/>0(〃WN*),即q>0；若0<0,

則/y)(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)p=>q,進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?長春模擬)"力=|a|時'是飛與力共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因?yàn)?。b=|a||b|cos(a,b)=|a仙

所以cos〈a,b)—1,

因?yàn)椤碼,b〉G[0,it],

所以〈a,b)=0,

所以a與5共線，

當(dāng)a與5共線時，〈a,b)=0或〈a,b)—it,

所以a-b=|a||例cos〈a,b}=|a|步|或。/>=|a||61cos〈a,b)=—|a||/?|,

所以“a力=同網(wǎng)”是“a與B共線”的充分不必要條件.

(2)(多選)已知基函數(shù)/(x)=(4%—1)日，則下列選項(xiàng)中，能使得負(fù)a)次刀成立的一個充分不必要

條件是()

A.0<^<^B.a2>b2

C.Ina>\nhD.2a>2b

答案AC

解析由題設(shè)知4MJ—1=1,可得機(jī)=；,故於)=?

所以，要使負(fù)。)刁S),則即a>b》0.

o￡<^0a>b>O,A符合題意；

Ina>lnb^a>b>0,C符合題意；

B,D選項(xiàng)中a,人均有可能為負(fù)數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2在①AU8=B；②是的充分條件；③“XGRA”是“XG[RB”的必

要條件這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：己知集合A={M“Wx<q+2},B={x|(x+l)(x-3)<0}.

(1)當(dāng)a=2時，求ACB；

(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

解(1)由。+1)。-3)<0,

解得一la<3,

所以8={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-la<3},

當(dāng)a=2時，A={x|2WxW4},

所以An8={x[2Wx<3}.

(2)若選①AU8=B,則AGB,所以j,解得一1<質(zhì)1,即〃仁(一1,1)；

a+2<3,

\cf>—1,

若選②是“xGB”的充分條件，則A=B,所以,解得一

[a+2<3,

即a￡(—1,1);

a>—1,

若選③是的必要條件，則AGB,所以,.、解得一1<°<1,即

[a+2<3,

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢臉.

跟蹤訓(xùn)練2（2023?宜昌模擬）已知集合4={尤|一2令<3},B={x\x1-2mx+nr-\<0].

（1）若m=2,求集合AC8；

（2）己知p：x^A,q：xGB,是否存在實(shí)數(shù)〃3使p是q的必要不充分條件，若存在實(shí)數(shù)m,

求出，"的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解（1）由/n=2及『一2mx-\-nr—1<0,

得x2—4x+3<0,解得l<x<3,

所以B={x[l<r<3},

又A={M-2<rW3},

所以Ang={x|la<3}.

（2）由X2—2/nx+/M2—1<0,

得[x—（，"一l）][x_（/?+1）]<0,

所以tn—1<x<m-[-1,

所以B={x\m~\<x<m+1}.

由p是q的必要不充分條件，

得集合B是集合A的真子集，

所以,y今一1W〃?W2（兩端等號不會同時取得），

[，“十1W3

所以機(jī)的取值范圍為[—1,2].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點(diǎn)I含量詞命題的否定

例3（2022?漳州模擬）命題“VadR,/一如+i=o有實(shí)數(shù)解”的否定是（）

A.VaCR,小一6+1=0無實(shí)數(shù)解

B.B?eR,/一數(shù)+1=0無實(shí)數(shù)解

C.VaeR,f-or+lWO有實(shí)數(shù)解

D.BizeR,『一奴+1￥0有實(shí)數(shù)解

答案B

解析因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“kaWR,『一"+1=0有實(shí)數(shù)解”的否定是“madR,『一"+1=0無實(shí)數(shù)解”.

命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷

例4（多選）（2023?沈陽模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.

B.對于VxGR,〃6N*且〃>1,都有也=x

C.VxGR.ln(x-l)2>0

D.Inx^x—1

答案AD

解析當(dāng)x20時，0</Wl,故A項(xiàng)是真命題;

當(dāng)〃為偶數(shù)，且x<0時，正心-X,故B項(xiàng)是假命題；

當(dāng)x=l時，ln(x—1)2無意義，故C項(xiàng)是假命題；

當(dāng)x=l時，Inx>x-1,故D項(xiàng)是真命題.

命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用

TT7T

例5若“球外一爭斗sinx<m”是假命題，則實(shí)數(shù)小的最大值為()

A./B.-3。.坐D.一坐

答案D

冗7T

解析因?yàn)?一全外sinx<W是假命題，

TT7T

所以“Vxc—?§,mWsinx”是真命題，

兀兀_、

即mWsinx對于X/xW—y§恒成立，所以mW(sinx)min,

因?yàn)閥=sinx在［一，，上單調(diào)遞增，

所以工=一］時，y=sinx最小，其最小值為y=sin(11)=-sin：=一坐，

所以"，〈一乎，所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為一坐.

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個成立即可.當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：Sz?eN,〃222〃+5,則^〃為()

A.VneN,/22〃+5

B.〃2W2〃+5

C.VnGN,tr<2n+5

D.〃2=2〃+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，㈱/，為〃2<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

A.VxGR,一/一1<0

B.VnGZ,3wGZ,nm=m

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

3

-

D.存在實(shí)數(shù)x,使得3—2r+34

答案ABC

解析VxGR,—eWO,所以一/—1<0,故A項(xiàng)是真命題；

當(dāng)機(jī)=0時，〃機(jī)=〃?恒成立，故B項(xiàng)是真命題；

任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項(xiàng)是真命題；

因?yàn)閒-2x+3=(x-1A+2N2,

113

所以大+3號/故D項(xiàng)是假命題.

(3)若命題“mxGR,f+(a—l)x+l<0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

答案(一8,-1)U(3,+°0)

解析命題Ar+(a—l)x+l<On的否定是假命題，

則命題“mx6R,x2+(a-l)x+l<0”是真命題，

即/=(4-1)2—4>0,

解得a>3或a<—1,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,-1)U(3,+°°).

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.(2023?上饒模擬)“f>2021”是“片>2022”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若金>2022,因?yàn)?022>2021,故d>2021,

故“42022”可以推出"1>2021”,

<^=2021.5,則滿足『>2021,但x2>2022不成立，

所以“f>2021"不能推出”>2022”,

所以“f>2021”是3>2022”的必要不充分條件.

2.已知命題p：mxGQ,使得KN,則㈱〃為（）

A.VKQ,都有依NB.使得xGN

C.X/xWQ,都有xGND.3xeQ,使得x@N

答案C

解析因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：BxGQ,使得依N,

得^p：VxGQ,都有x?N.

3.已知命題：“WxdR,方程/+4x+a=0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.“W4

C.a>4D.a24

答案B

解析“Vx￡R,方程*+4x+a=0有解”是真命題，

故/=16—4”20,解得“W4.

4.（2023?武漢模擬）已知a,b是兩條不重合的直線，a為一個平面，且“_1原則是

ua//b''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)b_La時，結(jié)合a_La,可得a〃匕，充分性滿足；

當(dāng)a〃人時，結(jié)合a_La,可得b_La,必要性滿足.

故ubLan是ua//bn的充要條件.

5.命題“X/lWxW2,/—“WO”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.B.a25

C.aW4D.aW5

答案B

解析因?yàn)槊}“\/1WXW2,f-aWO”是真命題，

所以恒成立，

所以a24,

結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個充分不必要條件是a25.

6.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)

B.有一個實(shí)數(shù)x,使f+2t+3=0

C."a=y是"sina=sin￡”成立的充分不必要條件

D.命題“mxeR,x+2W0”的否定是"VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一個素?cái)?shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

對于方程?+2》+3=0,其中/=2?-4X3=-8<0,

所以不存在實(shí)數(shù)，使得『+公+3=0成立，所以B是假命題；

由a=夕=sina=sin￡,但由sina=sin夕不能得到a='，故"a=H"是"sina=sin￡"成立

的充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“mx6R,x+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0",所以D是真命題.

7.（多選）若“三無《（0,2）,使得Zr2—a+1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)2可能的值是（）

A.1B.2巾C.3D.3^2

答案AB

解析由題意可知，命題“Vxe（0,2）,Zv2—&+1N0成立''是真命題，

所以ZrW2A2+1,可得%W2x+J,

當(dāng)xd（0,2）時，由基本不等式可得

當(dāng)且僅當(dāng)犬=乎時，等號成立,

所以

8.南北朝時期的偉大科學(xué)家祖迪在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖唯原理：''幕

勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為％,乙，被平行于這兩個平面

的任意平面截得的兩個截面面積分別為S，S2,則“Si，S2不總相等”是“山，%不相等”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題：如果“Si,S2不總相等”，那么“Vi,L不相等”的等價命題是：如果

匕相等”，那么“S”52總相等”.

根據(jù)祖曬原理，當(dāng)兩個截面的面積Si,S2總相等時，這兩個幾何體的體積％,L相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當(dāng)兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平面之間時，此時體積相等，但截得截面面積未必相等，

故是不充分條件，所以“S1,$2不總相等”是?不相等”的必要不充分條件.

9.命題“VxG（O,；）,sinx<cosx”的否定是.

答案三》8（0,；）,sinxNcosx

解析因?yàn)?sinx<cosx"的否定是"sinx》cosx”,

所以uVxS^O,京），sinx<cosx"的否定是泰），sinxNcosx",

10.使得“2*>4工”成立的一個充分條件是.

答案尤<一1（答案不唯一）

解析由于4*=2汽故2*>2左等價于x>2x,

解得x<0,

使得成立的一個充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.

11.已知命題“mxG{.v|-2々<3},使得等式2x-m=o成立”是假命題，則實(shí)數(shù)”的取值范

圍是?

答案（一8,-4]U[6,+8）

解析若原命題為真命題，則mxG{x|-2<x<3},

使得機(jī)=2x成立，貝！]—4</n<6；

故若原命題為假命題，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（一8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：—1或x>一，"，￡：x<2或無》4,若a是夕的必耍條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是.

答案（J+8）

解析設(shè)4={小<2加-1或x>一m},8={小<2或x24},

若a是￡的必要條件，則3GA,

當(dāng)2機(jī)一1>一機(jī)，即，時，此時A=R,8=A成立；

1\2m.-122,

當(dāng)2機(jī)一1〈一加，即加〈不時，若3QA,此時無解.

J[一〃7<4,

綜上，

應(yīng)綜合提升練

13.(多選)若“WxWM,|x|>x"為真命題，為假命題，則集合M可以是()

A.(一8,-5)B.(-3,-1]

C.(3,+8)D.[0,3]

答案AB

解析,/Bx^M,x>3為假命題，

尤<3為真命題，

可得M=(—8,3],

又VxCM,|x|>x為真命題，

可得MU(