2021-2022新教材蘇教版數(shù)學必修第一冊課時檢測8.2.1幾個函數(shù)模型的比較WORD版含解析

課時跟蹤檢測（四十四）幾個函數(shù)模型的比較[A級基礎鞏固]1．(2021·濟南高一月考)有一組試驗數(shù)據(jù)如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3解析：選B由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的解析式應該是指數(shù)函數(shù)類型、二次函數(shù)類型、冪函數(shù)類型，選項C不正確．取x＝2.01，代入A選項，得y＝2x＋1－1>7，代入B選項，得y＝x2－1≈3，代入D選項，得y＝x3>8；取x＝3，代入A選項，得y＝2x＋1－1＝15，代入B選項，得y＝x2－1＝8，代入D選項，得y＝x3＝27，故選B.2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()解析：選D設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.3．三個變量y1，y2，y3，隨著變量x的變化情況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2解析：選C通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度成倍增長，y2隨x的變化符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，y1隨x的變化符合此規(guī)律，故選C.4．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗易知選D.5．(2021·泰州月考)某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(單位：只)與引入時間x(單位：年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只解析：選A將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以當x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.6．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3，10.2)，則應選用________作為函數(shù)模型．解析：把x＝1，2，3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．答案：甲7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．答案：y＝x28．生活經(jīng)驗告訴我們，當水注入容器(設單位時間內(nèi)進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應______；B對應_____；C對應______；D對應______．解析：A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變化為：C容器水高度變化快，與(3)對應，D容器水高度變化慢，與(2)對應．答案：(4)(1)(3)(2)9．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．根據(jù)圖象易得：當0≤x＜4時，f(x)＞g(x)；當x＝4時，f(x)＝g(x)；當x＞4時，f(x)＜g(x)．10．已知甲、乙兩個工廠在今年1月份的利潤都是6萬元，且甲廠在2月份的利潤是14萬元，乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數(shù)關系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．(1)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；(2)在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并根據(jù)草圖比較今年甲、乙兩個工廠各月利潤的大小情況．解：(1)依題意：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝6，,f（2）＝14，))有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋b1＝0，,4a1＋2b1＝8，))解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）＝6，,g（2）＝8，))有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a2＋b2＝6，,9a2＋b2＝8，))解得a2＝eq\f(1,3)，b2＝5，∴g(x)＝eq\f(1,3)×3x＋5＝3x－1＋5.∴甲廠在今年5月份的利潤為f(5)＝86萬元，乙廠在今年5月份的利潤為g(5)＝86萬元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等．(2)作函數(shù)圖象如下：從圖中可以看出今年甲、乙兩個工廠的利潤情況：當x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)；當1<x<5時，有f(x)>g(x)；當5<x≤12時，有f(x)<g(x)．[B級綜合運用]11．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時間均為x小時，跑過的路程分別滿足關系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個小時以后跑在最前面的為()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選D法一：分別作出四個函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結合，知5個小時后丁車在最前面．法二：由于4個函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個小時后丁車在最前面，故選D.12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有()A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)C．f(bx)<f(cx) D．f(bx)，f(cx)大小不定解析：選B由f(1＋x)＝f(1－x)，知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以eq\f(b,2)＝1，即b＝2.由f(0)＝3，知c＝3.此時f(x)＝x2－2x＋3.當x<0時，3x<2x<1，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，所以f(bx)<f(cx)；當x＝0時，f(bx)＝f(cx)；當x>0時，3x>2x>1，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(bx)<f(cx)．綜上，f(bx)≤f(cx)．13.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩余量y與凈化時間t(月)的近似函數(shù)關系：y＝at(t≥0，a＞0，且a≠1)的圖象．有以下說法：①第4個月時，剩余量就會低于eq\f(1,5)；②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；③當剩余量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時，所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確說法的序號是________．解析：由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，故函數(shù)的關系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t).當t＝4時，y＝eq\f(16,81)＜eq\f(1,5)，故①正確；當t＝1時，y＝eq\f(2,3)，減少eq\f(1,3)，當t＝2時，y＝eq\f(4,9)，減少eq\f(2,9)，故每月減少有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故②不正確；分別令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,2)，t2＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,4)，t3＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正確．答案：①③14．已知函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3，設兩個函數(shù)的圖象相交于點A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由．解：依題意知，x1和x2是使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值．當x<x1時，2x>x3，即f(x)>g(x)；當x1<x<x2時，f(x)<g(x)；當x>x2時，f(x)>g(x)．因為f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，所以x1∈[1，2]，即a＝1.又因為f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)<g(8)，f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)<g(9)，f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9，10]，即b＝9.[C級拓展探究]15．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預測可知，進入21世紀以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2015年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a.(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2015年和2017年的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響，2021年的年產(chǎn)量比預計減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2021年的年產(chǎn)量．解：(1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a，則f(x)是減函數(shù)，與已知不符合．由已知得eq\b\lc\{(\a\