2024年中考數(shù)學(xué)專題提升20遇到中點(diǎn)如何添加輔助線

遇到中點(diǎn)如何添加輔助線方法一構(gòu)造中位線方法歸納情形1：圖形中出現(xiàn)兩個及以上的中點(diǎn)，考慮構(gòu)造中位線．如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)．【結(jié)論】DE∥BC；DE＝eq\f(1,2)BC；△ADE∽△ABC.情形2：圖形中出現(xiàn)一個中點(diǎn)時，考慮過中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)造中位線．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)．【結(jié)論】AE＝CE；DE＝eq\f(1,2)BC；△ADE∽△ABC.1.如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接AE，BD交于點(diǎn)F，則eq\f(DF,BD)的值為________．第1題圖2.如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，若E為DF的中點(diǎn)，BE＝3，則AE的長為________.第2題圖3.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝13，CD是△ABC的角平分線，E是AC邊上一點(diǎn)，連接BE，交CD于點(diǎn)F，若CE＝7，則eq\f(DF,CF)的值為________.第3題圖方法二構(gòu)造中線方法歸納情形1：遇等腰三角形底邊上的中點(diǎn)時，考慮作底邊上的中線，利用“三線合一”解題．如圖，D為等腰△ABC底邊BC的中點(diǎn)．【結(jié)論】AD⊥BC；AD平分∠BAC.情形2：遇直角三角形斜邊上的中點(diǎn)時，考慮作斜邊上的中線，利用“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”解題．如圖，D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)．【結(jié)論】CD＝eq\f(1,2)AB.4.如圖，將兩個含30°且大小不一樣的兩個直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°)擺放在一起，E為AB的中點(diǎn)，連接DE.若AC＝2，則DE的長為________．第4題圖5.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BM＝CM＝3，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的長為________．第5題圖6.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3eq\r(2)，則△DEF的周長為________．第6題圖方法三構(gòu)造倍長中線(類中線)方法歸納情形1：倍長中線如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線．輔助線作法一：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE.輔助線作法二：過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E.【結(jié)論】△ACD≌△EBD.情形2：倍長類中線如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.輔助線作法一：延長ED至點(diǎn)F，使DF＝ED，連接CF.輔助線作法二：過點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長線于點(diǎn)F.【結(jié)論】△BDE≌△CDF.7.如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，則BC的長為________．第7題圖8.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE.證法一(構(gòu)造倍長中線)：第8題圖基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D，E分別為AC，BC中點(diǎn)，連接AE，BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，則四邊形DFEG的面積為()A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2第1題圖2.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.AB＝AC.點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥DN分別交BA，AC的延長線于點(diǎn)M，N，若DM＝1，則DN的長為__________．第2題圖3.如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，連接CD，若∠ACB＝120°，∠DCB＝90°，BC＝2，則△ABC的面積為__________．第3題圖4.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，且EF⊥AB，連接DE，若AB＝4，BC＝8，則線段DE的長為__________．第4題圖5.如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在線段EC上取一點(diǎn)F，使EF＝AD，連接BF，DE.(1)如圖①，求證：DE＝BF；(2)如圖②，若AD＝2，BF的延長線恰好經(jīng)過DE的中點(diǎn)G，求BE的長．圖①圖②第5題圖遇到中點(diǎn)如何添加輔助線1.eq\f(1,3)【解析】如解圖，連接DE，∵D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(DE,BA)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(DF,BD)＝eq\f(1,3).第1題解圖2.9【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DG∥AB，交BC于點(diǎn)G，∵E為DF的中點(diǎn)，∴BE為△FGD的中位線，∵BE＝3，∴DG＝2BE＝6.∵D為AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∴AB＝2DG＝12，∴AE＝AB－BE＝12－3＝9.第2題解圖3.eq\f(3,7)【解析】∵AC＝BC，CD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD，∵AC＝BC＝13，CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如解圖，過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位線，∴DG＝eq\f(1,2)AE＝3.∵DG∥AC，∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(DG,CE)＝eq\f(3,7).第3題解圖4.eq\r(7)【解析】如解圖，連接CE，由題意，得∠ABC＝∠CBD＝30°，∠A＝∠DCB＝60°，∠ACB＝∠CDB＝90°，∵AC＝2，∴AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∴DC＝eq\r(3)，∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝2，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠DCB＝30°＋60°＝90°，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝eq\r(CE2＋DC2)＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7).第4題解圖5.eq\f(12,5)【解析】如解圖，連接AM，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，根據(jù)勾股定理得，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝eq\r(52－32)＝4.又∵S△AMC＝eq\f(1,2)AC·MN＝eq\f(1,2)AM·MC，∴MN＝eq\f(AM·CM,AC)＝eq\f(12,5).第5題解圖6.6＋3eq\r(2)【解析】如解圖，連接BD，在等腰Rt△ABC中，∵D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A＝∠DBF，AD＝BD，∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.在Rt△DEF中，DE＝DF，∴EF＝eq\r(2)DE，∴DE＝DF＝eq\f(EF,\r(2))＝eq\f(3\r(2),\r(2))＝3，∴△DEF的周長為DE＋DF＋EF＝3＋3＋3eq\r(2)＝6＋3eq\r(2).第6題解圖7.6【解析】如解圖，延長BD至點(diǎn)E，使DE＝BD，連接AE，∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠AED＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.第7題解圖8.證法一：證明：如解圖①，延長AD至點(diǎn)G，使AD＝DG，連接BG，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.在△ACD和△GBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝GD,∠ADC＝∠GDB,CD＝BD))，∴△ACD≌△GBD(SAS)，∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE.第8題解圖①證法二：證明：如解圖②，延長ED至點(diǎn)H，使ED＝DH，連接CH，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD,∠BDE＝∠CDH,ED＝HD))，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠CHD＝∠EAF，∴CH＝AC，∴AC＝BE.第8題解圖②基礎(chǔ)過關(guān)1.B【解析】如解圖，連接DE，∵D，E分別為AC，BC中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB＝3cm，∴∠ABD＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF，∴△ABF∽△EDF，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(DE,BA)＝eq\f(1,2).∵BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝4cm，DE⊥BC，∴S△BDE＝S△CDE＝eq\f(1,2)BE·DE＝eq\f(1,2)×4×3＝6cm2，∴S△DFE＝eq\f(1,3)S△BDE＝2cm2.∵DG∶GC＝1∶2，∴S△DGE＝eq\f(1,3)S△CDE＝2cm2，∴S四邊形DFEG＝S△DFE＋S△DGE＝4cm2.第1題解圖2.1【解析】如解圖，連接AD，∵∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝∠BAD＝45°.∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∠MDC＋∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN.∵∠MAD＝180°－∠BAD＝135°，∠NCD＝∠180°－∠ACD＝135°，∴∠MAD＝∠NCD.∴在△AMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADM＝∠CDN,AD＝CD,∠MAD＝∠NCD))，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴DN＝DM＝1.第2題解圖3.2eq\r(3)【解析】如解圖，延長CD至點(diǎn)H，使DH＝CD，連接AH，∵在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴△BCD≌△AHD(SAS)，∴∠BCD＝∠AHD＝90°，BC＝AH，∴S△BCD＝S△AHD，S△ABC＝S△ACH.∵BC＝2，∴AH＝2.∵∠ACB＝120°，∴∠ACH＝120°－90°＝30°，∴AC＝2AH＝2×2＝4.在Rt△ACH中，CH＝eq\r(AC2－AH2)＝2eq\r(3).∴S△ACH＝eq\f(1,2)AH·CH＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝2eq\r(3).第3題解圖4.2eq\r(21)【解析】如解圖①，延長EF至點(diǎn)G，使EF＝GF，連接CG，∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF＝4，在△BFE和△CFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CF,∠BFE＝∠CFG,EF＝GF))，∴△BFE≌△CFG(SAS)，∴∠B＝∠BCG.∵∠B＋∠BCD＝180°，∴∠BCG＋∠BCD＝180°，即D，C，G三點(diǎn)共線．∵AB＝4，∴BE＝AE＝2.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝eq\r(BF2－BE2)＝2eq\r(3)，∴EG＝2EF＝4eq\r(3).∵CG＝BE＝2，DC＝AB＝4，∴DG＝DC＋CG＝6.∵∠G＝∠BEF＝90°，在Rt△DGE中，由勾股定理得，DE＝eq\r(EG2＋DG2)＝2eq\r(21).【一題多解】如解圖②，延長DE至點(diǎn)H，使DE＝HE，連接BH，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝2.∵∠AED＝∠BEH，DE＝HE，∴△AED≌△BEH(SAS)，∴AD＝BH＝8，∠A＝∠EBH.∵∠A＋∠ABC＝180°，∴∠EBH＋∠ABC＝180°，即C，B，H三點(diǎn)共線．∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝FC＝4.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝eq\r(BF2－BE2)＝2eq\r(3)，∴S△BEF＝eq\f(1,2)BE·EF＝eq\f(1,2)BF·EM，即eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×4×EM，∴EM＝eq\r(3).在Rt△BEM中，由勾股定理得，BM＝eq\r(BE2－EM2)＝1，∴HM＝8＋1＝9，∴HE＝eq\r(HM2＋EM2)＝2eq\r(21)，∴DE＝HE＝2eq\r(21).圖①圖②第4題解圖5.(1)證明：∵△ACD和△BCE分別是以AC，BC為底邊的等腰三角形，∴AD＝CD，CE＝BE，∴∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE，∴CD∥BE，∴∠DCE＝∠FEB.∵EF＝A