2024年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷05（新高考新題型專用）

絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷05數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）全國陸續(xù)有多個(gè)省份官宣布在2024年的高考數(shù)學(xué)中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對(duì)得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識(shí)材料為主來考察考生的數(shù)學(xué)思維能力，難度較大從2024屆九省聯(lián)考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學(xué)習(xí)套路，現(xiàn)在主要是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的靈活，對(duì)三角函數(shù)喝數(shù)列的考察更加注重技巧的應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)概率結(jié)合生活情景來考查考生數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導(dǎo)性質(zhì)，考查考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探索能力，這就要求考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重定理、公式的推導(dǎo)證明，才能培養(yǎng)數(shù)學(xué)解決這類問題的思維素養(yǎng)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由可得，解得，所以或，故選:.2．甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．，互斥 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槊看沃蝗∫磺?，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤.故選：C.3．某中學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽選拔考試，，，，，共5名同學(xué)參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對(duì)說：“你和都沒有得到冠軍．”對(duì)說：“你不是最后一名.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種【答案】A【解析】根據(jù)題意可知和都沒有得到冠軍，且不是最后一名，分兩種情況：①是最后一名，則可以為第二、三、四名，即有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有種.故選A．4．古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn).已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接.依題意，在中，，設(shè)，由余弦定理得，所以為鈍角，所以，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D5．如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，則，對(duì)于A項(xiàng)，顯然與方向不一致，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由圖知是鈍角，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則易得：,即得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由，而與顯然不共線，故．即項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．6．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．7．已知四點(diǎn)均在半徑為（為常數(shù)）的球的球面上運(yùn)動(dòng)，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因取BC中點(diǎn)為N，則，又，平面，，則平面，面，則平面平面，要使四面體的體積最大，則有平面，且球心O在DN上.設(shè)球體半徑為R，則，則，又注意到，，則.注意到.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又四面體的體積的最大值為，則.則球的表面積為.故選：D.8．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，，，，則，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則（

）

A．B．C．點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ABC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，正確；對(duì)于B：依題意為線段的中點(diǎn)，則，則，又，所以，正確；對(duì)于C：為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，正確；對(duì)于D：，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，錯(cuò)誤.故選：ABC.10．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說法正確的是（

）A．（其中） B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，所以，故A正確.二次函數(shù)有兩個(gè)不等式實(shí)根，，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為：，令，則，因?yàn)樗?，即：所以為公比?，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.所以故BC錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，，得故D正確.故選：AD11．定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足①；②當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．為偶函數(shù)C．存在，使得D．對(duì)任意【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，令，則，即，又，，即，可知，即，得即，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可得，又令得，解得，，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又滿足上式，，，令，則，所以存在，使得，故C正確；對(duì)于D，令，則，即，即是以1為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且與異號(hào)時(shí)等號(hào)成立，但，故與2同號(hào)，故等號(hào)不成立，故結(jié)合周期性可知對(duì)任意，均有，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，若存在使得，則k的最大值為．【答案】1011【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，所以，，若，則有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，即，則，可得，又因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最大值為1011；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，不合題意；綜上所述：的最大值為1011.故答案為：1011.13．已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為．【答案】【解析】所求的雙曲線方程為，則漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)到的兩條浙近線的距離之積為，解得：，故雙曲線方程為：，故，故雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為．故答案為：．14．某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則；若，則的值為.【答案】；/5.75【解析】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設(shè)，則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以,故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，令，解得：，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題可知，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，∴，即，故的取值范圍為.16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍遥郧?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則,所以，則可得，所以，則點(diǎn)到直線的距離為.（3）解：由（2）中的空間直角坐標(biāo)系，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與軸相切，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過的直線與相切于點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，所以，化簡得，所以的方程為；（2）設(shè)，由，則點(diǎn)處的切線斜率為，所以直線方程為，整理為，令，則，所以，易知直線斜率為，所以直線，整理為，與聯(lián)立可得，有，解得，即的橫坐標(biāo)為，所以，，所以面積為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積最小值為.18．（17分）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識(shí)＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級(jí)學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件，乙命中為事件，，相互獨(dú)立．由題意，，甲的得分的可能取值為，0，1．，．，∴的分布列為：01．（2）①由（1），．經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．∴，②∵規(guī)定，且有，∴代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，∴．∴．19．（17分）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).【解析】（1）對(duì)于集合A：因?yàn)椋约螦不是規(guī)范數(shù)集；對(duì)于集合B：因?yàn)?，又，，，，，，所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；綜上所述：.（3）法一：不妨設(shè)，因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)