重積分的計算法

一、利用直角坐標計算二重積分三、小結(jié)思考題第二節(jié)二重積分的計算法二、極坐標系下二重積分的計算1編輯ppt【復習與回顧】(2)回顧一元函數(shù)定積分的應用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點x處的平行截面的面積為

(1)上節(jié)思考題代替？不能用2編輯ppt其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分(1)［X－型域］【X—型區(qū)域的特點】

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.1.【預備知識】3編輯ppt(2)［Y－型域］【Y—型區(qū)域的特點】穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.4編輯ppt(3)［既非X－型域也非Y－型域］如圖在分割后的三個區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得5編輯ppt(1).若積分區(qū)域為X－型域：2.【二重積分公式推導】【方法】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法來求.6編輯ppt即得公式17編輯ppt3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】①畫出積分域的圖形，標出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。公式28編輯ppt【說明】(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是(2)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,

為計算方便,可選擇積分次序,必要時還可交換積分次序.則有(3)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域.Y－型域.9編輯ppt4.【例題部分】【例1】【解Ⅰ】看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx10編輯ppt【解Ⅱ】看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy1211編輯ppt【例2】【解】D既是X—型域又是—Y型域［法1］－111xoy=xDxy12編輯ppt［法2］注意到先對x的積分較繁，故應用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計算效果！13編輯ppt【例3】【解】D既是X—型域又是Y—型域先求交點14編輯ppt［法1］［法2］視為X—型域計算較繁本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！15編輯ppt【小結(jié)】以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)16編輯ppt5.【簡單應用】【例4】求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.【解】設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為17編輯ppt【例5】【解】據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）交點18編輯ppt6.【補充】改變二次積分的積分次序例題【補例1】交換下列積分順序【解】積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則19編輯ppt【解】20編輯ppt【補例3】【解】當被積函數(shù)中有絕對值時，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號。［分析］21編輯ppt二、極坐標系下二重積分的計算22編輯ppt從而得極坐標系下的面積元素為又由點的極坐標與直角坐標之間的關(guān)系，故在極坐標下，二重積分化為23編輯ppt則二重積分極坐標表達式【注意】極坐標系下的面積元素為直角坐標系下的面積元素為區(qū)別24編輯ppt2.二重積分化為二次積分的公式區(qū)域特征如圖（1）極點O在區(qū)域D的邊界曲線之外時25編輯ppt若區(qū)域特征如圖特別地26編輯ppt（2）極點O恰在區(qū)域D的邊界曲線之上時區(qū)域特征如圖（1）的特例27編輯ppt3.極坐標系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖（3）極點O在區(qū)域D的邊界曲線之內(nèi)時（2）的特例28編輯ppt【解】29編輯ppt【解】xyo的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法【注】1.由于用直角坐標計算.30編輯ppt【注】2.利用例2可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中以及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例2的結(jié)果,得①故①式成立.31編輯ppt【解】32編輯ppt二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）三、小結(jié)［Y－型］［X－型］【練習】課本P95習題9-233編輯ppt【思考題】【提示】交換積分順序后,x,y