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文檔簡介
13.1兩個基本計數(shù)原理多媒體教學課目的1.掌握分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題;2.通過對分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的理解和運用,提高學生分析問題和解決問題的能力,開發(fā)學生的邏輯思維能力.3.提高比較分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的異同,培養(yǎng)學生學習比較、類比、歸納等數(shù)學思想方法和靈活應(yīng)用的能力.4.通過對兩個原理的學習,培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好學習習慣.引入1概念概念1引入2問題1.從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車還可以乘輪船.一天中,火車有4班,汽車有2班,輪船有3班.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:從甲地到乙地有3類方法,
第一類方法:乘火車,有4種方法;
第二類方法:乘汽車,有2種方法;
第三類方法:乘輪船,有3種方法;
所以,從甲地到乙地共有:4+2+3=9種方法概念2概念1引入1引入2概念分類記數(shù)原理:
做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有
N=m1+m2+…+mn種不同的方法.概念2要點:(1)分類;(2)相互獨立;(3)N=m1+m2+…+mn(各類方法之和)問題2引入2概念概念1引入1問題2.由A村去B村的道路有3條,由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去C村,共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南
分析:從A村經(jīng)B村去C村有2步,
第一步:由A村去B村,有3種方法,
第二步:由B村去C村,有2種方法,
所以,從A村經(jīng)B村去C村共有:3×2=6種不同的方法概念2概念概念2引入1引入2概念1
分步記數(shù)原理:
做一件事情,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有
N=m1×m2×…×mn種不同的方法.要點:(1)分步;(2)每步缺一不可,依次完成;(3)N=m1×m2×…×mn
(各步方法之積)例1.某班級有男三好學生5人,女三好學生4人.(1)從中任選一人去領(lǐng)獎,有多少種不同的選法?
(2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法?分析:(1)完成從三好學生中任選一人去領(lǐng)獎這件事,共有2類辦法,
第一類:從男三好學生中任選一人,共有m1=5種不同的方法;
第二類:從女三好學生中任選一人,共有m2=4種不同的方法;
所以,根據(jù)分類記數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5+4=9種。舉例例1例2例3分析:(2)完成從三好學生中任選男、女各一人去參加座談會這件事,需分2步完成,
第一步:選一名男三好學生,有m1=
5種方法;
第二步:選一名女三好學生,有m2=4種方法;
所以,根據(jù)分步記數(shù)原理,得到不同選法種數(shù)共有N=5×4=20種.點評:
解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”?!胺诸愅瓿伞庇谩胺诸愑洈?shù)原理”;“分步完成”用“分步記數(shù)原理”。例1.某班級有男三好學生5人,女三好學生4人.(1)從中任選一人去領(lǐng)獎,有多少種不同的選法?
(2)從中任選男、女三好學生各一人去參加座談會,有多少種不同的選法?舉例問題1在某同學的桌上共有語文5本,數(shù)學書6本,(1)要求該同學拿出一本書給老師,要是你是該同學,你有多少種拿法?分析:(1)從桌上任取一本書給老師,可分為拿數(shù)學,拿語文兩類辦法:第一類辦法是從桌上取數(shù)學書,可以從6本書中任取一本,有6種方法;第二類辦法是從桌上取語文書,可以從5本書中任取一本,有5種方法;解:不同的取法種數(shù)為:
N=6+5=11答:從桌上取一本書給老師有11種不同的取法。分析:(2)從桌上任取數(shù)學書語文書各1本,可以分成兩個步驟完成。第一步,取1本數(shù)學書有6種方法。第二步,取1本語文書有5種方法。(2)要求學生拿兩本不同學科的書給老師,要是你是該同學,你有多少種拿法?在某同學的桌上共有數(shù)學書6本,語文書5本,解:不同的取法種數(shù)為:
N=6×5=30答:從桌上任取數(shù)學書語文書各1本給老師有30種不同的取法。問題2分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理完成一件事,共有n類辦法,關(guān)鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事,共分n個步驟,關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別2區(qū)別3每類辦法都能獨立地完成這件事情,它是獨立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)果,只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即:類類獨立,步步關(guān)聯(lián)。例1.書架的第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?(3)從書架上任取2種不同類型的書各1本,有多少種不同的取法?解:(1)4+3+2=9(2)4×3×2=24(3)4×3+4×2+3×2=26
注意:有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的,而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運用.一般是先“分類”,然后再在每一類中“分步”,綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.例2.在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?
分析1:按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是
1個,2個,3個,4個,5個,6個,7個,8個.
則根據(jù)分類記數(shù)原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).分析2:按十位數(shù)字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是
8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.
則根據(jù)分類記數(shù)原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個)枚舉精神!例3.某藝術(shù)組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法?解:由題意可知,在藝術(shù)組9人中,有且僅有一人既會鋼琴又會小號(把該人稱為“多面手”),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人,把會鋼琴、小號各1人的選法分為兩類:第一類:多面手入選,另一人只需從其他8人中任選一個,故這類選法共有8種.第二類:多面手不入選,則會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出,會小號的1人也只能從只會小號的2人中選出,放這類選法共有6×2=12種,故共有20種不同的選法.找準分類依據(jù)不重不漏例4.五名學生報名參加四項體育比賽,每人限報一項,報名方法的種數(shù)為多少?又他們爭奪這四項比賽的冠軍,獲得冠軍的可能性有多少種?
解:(1)5名學生中任一名均可報其中的任一項,因此每個學生都有4種報名方法,5名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.(2)每個項目只有一個冠軍,每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍,因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×5×5×5=種.抓確定性因素課堂練習1解:按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,
第一步:m1=3種第二步:m2=2種第三步:m3=1種第四步:m4=1種所以根據(jù)分步記數(shù)原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種.(如圖)要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上紅、黃、藍3種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種?
3.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電?AB課堂練習2所以,根據(jù)分類原理,從A到B共有
N=3+1+4=8
條不同的線路可通電。在解題有時既要分類又要分步。解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=2×2=4,條給程序模塊命名,需要用3個字符,其中首個字符要求用字母A~G或U~Z,后兩個要求用數(shù)字1~9,問最多可以給多少個程序命名?分析:要給一個程序模塊命名,可以分三個步驟:第一步,選首字符;第二步,先中間字符;第三步,選末位字符。解:首字符共有7+6=13種不同的選法,答:最多可以給1053個程序命名。
中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計數(shù)原理,最多可以有13×9×9=1053種不同的選法課堂練習3隨著人們生活水平的提高,某城市家庭汽車擁有量迅速增長,汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法,每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯數(shù)字,并且3個字母必須合成一組出現(xiàn),3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn),那么這種辦法共能
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