第五章數(shù)列專題7有關(guān)數(shù)列求通項、周期性求和的問題 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

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有關(guān)數(shù)列求通項、周期性求和的問題【吉林地區(qū)普通高中2023-2024學(xué)年度高三年級第二次模擬考試】已知數(shù)列，（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和為，若，求.（1）設(shè)結(jié)合求出，進而由為等比數(shù)列得出通項公式；（2）記，由，，，得出，進而由周期性得出.（1）當時，得；當時，得設(shè)整理得又，解得又是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故的通項公式為（2）記，則.，，，其中因此，，是奇數(shù)，是奇數(shù)由得或.①當時，；②當時，.綜上，，或4048.（2019下·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？计谀?．小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng)，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為A． B． C． D．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）2．高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023由誘導(dǎo)公式得出，利用拼湊得出，從而由為等比數(shù)列得出通項.∵，∴，即，∴是以為首項，2為公比的等比數(shù)列∴，即.（2017·江西新余·校聯(lián)考一模）3．已知正項數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項和為．（2021上·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀?．已知數(shù)列滿足，，則.由證明為常數(shù)列，從而得出通項.解：由得∴為常數(shù)列，∴，∴.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）5．已知數(shù)列的前n項和為，若，，則．（2023下·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校?．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則.（2021下·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）7．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有甲、乙兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選甲種菜的，下星期一會有改選乙種菜；而選乙種菜的，下星期一會有改選甲種菜.用，分別表示在第個星期一選甲的人數(shù)和選乙的人數(shù)，如果，則（

）A．200 B．300 C．380 D．400（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）8．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖.記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，若，則（

）A．5 B．6 C． D．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）9．若數(shù)列滿足（且），則與的比值為（

）A． B． C．2 D．3（2023上·四川成都·高三成都七中?？计谥校?0．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．（2023上·重慶·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）11．數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則（

）A．1011 B．1013 C．2022 D．2023（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃?2．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數(shù)為（

）A．464 B．465 C．466 D．467答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項公式，從而得出的值，可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.設(shè)，得，對比得，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故選B.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，同時也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.2．B【分析】根據(jù)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列通項公式可得，利用累加法求，再對進行放縮求，最后由裂項相消法求出，根據(jù)高斯函數(shù)可得答案.【詳解】由得，又，所以數(shù)列是以4為首項和公比的等比數(shù)列，故，由累加法得，所以，∵，又，∴，令，，，∴，代入得.故選：B．【點睛】本題難點在于考察知識點多，解答過程曲折不易思考，每個知識點的考察難度不算太大，這就要求學(xué)生對數(shù)列知識掌握全面，并且對問題掌握一定的分析方法.3．【分析】根據(jù)題意可得，從而可求得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列前項和公式即可得出答案.【詳解】解：因為正項數(shù)列滿足，所以，令，則，解之得，即，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：．4．241【分析】利用遞推關(guān)系式推出數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】，，即又，是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，，故，.故答案為：241【點睛】方法點睛：求數(shù)列通項公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.5．123【分析】由已知，根據(jù)給的，通過，計算出，得到之間的關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式，然后求和即可.【詳解】由已知，，①，當時，，當時，②，①②得：，整理得：，即，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：123.6．【分析】由題意可得，數(shù)列構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求得，利用累加法求得，進而得，利用裂項相消法可求得.【詳解】由，得.又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.又，累加得，即，所以.又因為滿足上式，所以，所以.因為，所以，即，所以.故.所以.故答案為：.7．B【分析】由題意可得數(shù)列遞推公式為，，兩式聯(lián)立消去，得到的遞推公式，由可求得，從而可知的值【詳解】解：由題意可得，消去，得，由，得，從而可得，故選：B8．C【分析】根據(jù)條件，得出，代入初始值，利用遞推，即可求得的值.【詳解】已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個數(shù)，由于每個白圈產(chǎn)生下一行的1個白圈1個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈，所以，又，，，，，，，，，所以.故選:C.9．D【分析】由遞推關(guān)系，求證數(shù)列為等比數(shù)列，公比為即可得.【詳解】，由，則，在等式式兩邊同取倒數(shù)得，，在兩邊同加得，，又，則，則有，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.則與的比值為.故選：D.10．A【分析】根據(jù)已知的遞推公式得出數(shù)列為等比數(shù)列，寫出其通項公式，然后累加法求出數(shù)列的通項公式，從而求出的值即可.【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列以首項為，公比為4的等比數(shù)列，所以，，，，，累加得：，所以，所以，故選：A.11．B【分析】利用數(shù)列的遞推公式以及