【數學】平面課件-2023-2024學年高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

8.4.1平面第八章立體幾何初步課程目標

1.正確理解平面的概念；2.能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系；3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實,理解三個基本事實和三個推論的地位與作用.一、平面的概念：

課桌面、黑板面、平靜的水面等都是我們熟悉的平面形象，幾何中的平面就是從這樣的一些物體中抽象抽象出來的一種幾何元素.平面在空間是向四周無限延伸的，平面沒有大小、厚薄和寬窄。平面的特征：(1)平展性(2)無限延展性(3)沒有厚度海面、湖面、桌面、黑板面、墻面在立體幾何中，常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面。平面通常畫成一個平行四邊形.（1）當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向，（通常將平行四邊形的銳角化成45°，且使橫邊長等于其鄰邊長的2倍）；（2）當平面豎直放置時，通常將平行四邊形的一邊畫成豎向.二、平面的畫法：（3）在畫兩個相交平面時，如果一個平面被另一個平面遮擋，那么被遮擋部分一般用虛線畫出或者不畫.1.通常用平行四邊形來表示平面.有時候也會用其他圖形來表示平面，如三角形，矩形，梯形，圓等等.

②用大寫英文字母表示平面，如對角線字母表

示平面，比如平面AC，平面BD等等.③用平行四邊形的四個頂點字母來表示平面，

如平面ABCD④用平面內不共線的三個點來表示平面,如平面ABC

三、平面的表示DCAB平面AC或平面BD平面記作：平面ABCD2.ABC基礎練習√√××5、一個平面長4米，寬2米；()6、平面有邊界；()7、一個平面的面積是25cm2；()8、菱形的面積是4cm2；()9、一個平面可以把空間分成兩部分.()√√×××

文字語言符號語言圖形語言

四、點、線、面之間的關系及符號表示A

文字語言符號語言圖形語言

四、點、線、面之間的關系及符號表示

文字語言符號語言圖形語言

四、點、線、面之間的關系及符號表示思考1：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面？五、平面的基本事實圖形語言——

(1)基本事實①的條件為“過不在一條直線上的三點”，如果改為“過三個點”，則可能存在無數個平面基本事實①過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面應用——確定平面；判定兩平面是否重合；證明點線共面對基本事實①的理解(2)基本事實①的結論為“有且只有一個平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性ACB五、平面的基本事實思考2：如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？如果直線l與平面α有兩個公共點呢？在實際生活中，我們有這樣的經驗：如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，那么直尺的整個邊緣就落在了桌面上。而一個點是不可以確定的。AlABl直線l在平面外．直線l在平面內．平面經過直線l．五、平面的基本事實圖形語言——

(1)直線是平面的真子集基本事實②如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.應用——判斷直線是否在平面內；判斷點是否在平面內，證明線在面內對基本事實②的理解(2)整條直線在平面內，則直線上的所有點都在平面內ABl五、平面的基本事實思考3：把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去“穿透”課桌面，可以想象，兩個平面相交于一條直線.教室里相鄰的墻面在地面的墻角處有一個公共點，這兩個墻面相交于過這個點的一條直線.由此我們又得到一個基本事實五、平面的基本事實圖形語言——

基本事實③如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線應用——

①若兩個相交平面有兩個公共點，則過這兩

點的直線就是相交平面的交線；對基本事實③的理解：②若兩個相交平面有三個公共點，則這三點

共線；③若兩個平面相交，則一個平面內的直線與

另一平面的交點必在兩平面的交線上；④若兩個不重合的平面有一個公共點，則這

兩個平面相交.五、平面的基本事實lP①判斷兩個平面相交的依據．②判斷點在直線上．證明點共線、線共點的依據。圖形語言——

推論①經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面應用——確定一個平面.

六、基本事實①和基本事實②的三個推論圖形語言—

推論②經過兩條相交直線，有且只有一個平面應用——確定一個平面.六、基本事實①和基本事實②的三個推論圖形語言——

推論③經過兩條平行直線，有且只有一個平面六、基本事實①和基本事實②的三個推論應用——確定一個平面.例1:用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系．alABalPb(1)(2)七、3個基本事實的應用（重合法）解題技巧(證明點線共面問題的常用方法)練習練習1：已知直線b∥c，且直線a與b，c都相交，求證：直線a，b，c共面．證明∵b∥c，∴不妨設b，c共面于平面α，設a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b?α，∴A∈α，同理B∈α，即a?α，∴三線共面．（納入法）（重合法）(1)證明三線共點常用的方法:先證明兩條直線相交于一點,然后證明這個點在兩個平面內,第三條線是這兩個平面的交線,于是該點在第三條直線上,從而得到三線共點.也可以先證明a,b相交于一點A,b與c相交于一點B,再證明A,B是同一點,從而得到a,b,c三線共點.(2)類比線共點的證明方法,可得到三點共線的證明方法:①首先找出兩個平面的交線,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,根據公理3,可推知這些點都在交線上,即三點共線.②選擇其中兩點確定一條直線,然后證明第三個點也在這條直線上.解題技巧(證明多點共線、多線共點的常用方法)【練習】解析

連接A1C1,AC,則A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四點共面.所以A1C?平面ACC1A1.因為M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點共線.故選A.答案

A2.如圖，已知△ABC的三個頂點都不在平面α內，它的三邊AB，BC，AC延長后分別交平面α于點P，Q，R.求證：P，Q，R三點在同一條直線上．證明：由已知AB的延長線交平面α于點P，根據基本事實3，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設為l.∵P∈直線AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC與平面α的公共點．∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三點在同一條直線l上．4.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點．證明：如圖，連接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ//B1