信號與系統(tǒng)：第21講 拉普拉斯變換

第二十一講拉普拉斯變換內(nèi)容提要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯反變換內(nèi)容提要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯反變換為什么要引入拉普拉斯變換傅里葉變換提供了在頻域表征系統(tǒng)和求解系統(tǒng)響應(yīng)的工具傅里葉變換提供了將信號描述為復(fù)指數(shù)信號的線性組合的方法傅里葉變換成功用于LTI系統(tǒng)的分析傅里葉變換的概念需要進(jìn)行推廣對有些系統(tǒng)不能使用傅里葉變換進(jìn)行分析內(nèi)容提要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯反變換拉普拉斯變換的定義幾點說明：1)2)拉普拉斯變換僅對某些s的取值才是收斂的

3)如果s=jw在ROC內(nèi)，則拉普拉斯變換舉例例1：傅里葉變換不存在當(dāng)時，上式收斂，且結(jié)果為：拉普拉斯變換舉例例2：當(dāng)時，上式收斂，且結(jié)果為：ROC的幾何表示有理變換很多信號的拉普拉斯變換都具有有理分式的形式：N(s)的根——X(s)的零點D(s)的根——X(s)的極點其中：只要x(t)是實指數(shù)或復(fù)指數(shù)信號的線性組合，那么X(s)就一定是有理的。有理變換Re{s}>2Re{s}>-1

該信號不存在傅里葉變換有理變換一階零點一階極點除了一個常數(shù)因子之外，一個有理拉普拉斯變換可以完全由其零極點圖和收斂域決定不存在拉普拉斯變換的例子例1：例2：X(s)只能定義在ROC內(nèi)，不允許在其表達(dá)式中存在沖激內(nèi)容提要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯反變換拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)1：X(s)的ROC由s平面內(nèi)平行于jw軸的帶狀區(qū)域所組成。只與s的實部有關(guān)使得拉普拉斯變換收斂的s應(yīng)滿足：拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)2：對有理拉普拉斯變換來說，ROC內(nèi)不包含任何極點。極點：

拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)3：如果x(t)具有有限持續(xù)期，并且是絕對可積的，那么ROC就是整個s平面。拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)4：如果x(t)是右邊信號，而且這條線在ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)5：如果x(t)是左邊信號，而且這條線在ROC內(nèi)，那么的全部s值都一定在ROC內(nèi)。拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)6：如果x(t)是雙邊信號，而且這條線在ROC內(nèi)，那么ROC就一定是由s平面內(nèi)的一個帶狀區(qū)域所組成，且直線位于帶中。+=

性質(zhì)6舉例可以將該信號分解為右邊信號與左邊信號之和，即：當(dāng)時，沒有公共的收斂域，因此拉普拉斯變換不存在；當(dāng)時，拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)7：如果x(t)的拉普拉斯變換X(s)是有理的，那么它的ROC是被極點所界定或者延伸到無窮遠(yuǎn)。另外，在ROC內(nèi)不包含X(s)的任何極點。拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)8：假設(shè)x(t)的拉普拉斯變換X(s)是有理的。若x(t)是右邊信號，則其ROC在s平面上位于最右邊極點的右邊；若x(t)是左邊信號，則其ROC在s平面上位于最左邊極點的左邊。拉普拉斯變換收斂域的性質(zhì)性質(zhì)9：如果x(t)的拉普拉斯變換X(s)的ROC包含jw軸，則x(t)的傅里葉變換存在。舉例已知x(t)的拉普拉斯變換X(s)為：問有多少種可能的x(t)？I:左邊信號II:雙邊信號III:右邊信號哪種情況傅里葉變換存在？舉例已知一個絕對可積的信號x(t)，其拉普拉斯變換是有理的，且有一個極點在s=2。a)x(t)可能是有限持續(xù)期的么？b)x(t)可能是左邊信號么？c)x(t)可能是右邊信號么？d)x(t)可能是雙邊信號么？×√√×內(nèi)容提要引言拉普拉斯變換拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換對于ROC內(nèi)的任意s=s+jw，根據(jù)傅里葉反變換公式，可得：

拉普拉斯反變換由于s=s+jw，因此對于給定的s，ds=jdw，故：

拉普拉斯反變換的公式表明，信號x(t)可以被分解為復(fù)振