高中數(shù)學同步講義（人教A版必修二）第10講 6.4.3 第1課時 余弦定理（教師版）

第10講6.4.3第1課時余弦定理課程標準學習目標①掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法。②會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。1.通過閱讀課本知識的學習弄懂余弦定理的形式與證明方法，提升公式變形技巧，靈活掌握余弦定理；2.在熟練學習基礎知識的基礎上，會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，并能夠靈活應用；知識點01：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：；【即學即練1】（2023上·全國·高三專題練習）在中，，，，則（

）A． B．5 C．10 D．【答案】B【詳解】由余弦定理得，即，解得（負值已舍去）.故選：B.（2）余弦定理的推論；；【即學即練2】（2023上·全國·高三專題練習）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，則．【答案】//【詳解】在中，由余弦定理知，又，所以，又，所以.故答案為：.知識點02：解三角形（1）解三角形一般地,三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.【即學即練3】（2023·全國·高一課堂例題）根據(jù)下列條件解三角形（邊長精確到0.01，角度精確到0.1°，）：(1)已知，，，求a；(2)已知，，，求A．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，得，所以．（2）由余弦定理，得，所以．（2）余弦定理在解三角形中的應用①已知三角形的三邊解三角形連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.②已知兩邊和它們的夾角解三角形用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.③已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例如已知及角,可以根據(jù)余弦定理列出以邊為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊,然后應用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理,求出其他兩個角.題型01已知三邊解三角形【典例1】（2023上·新疆·高二學業(yè)考試）在中，已知，，，則.【答案】/【詳解】已知，，，由余弦定理得，，解得.故答案為：.【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知的三邊分別為，和，試求最大內(nèi)角的度數(shù)．【答案】【詳解】根據(jù)三角形中大邊對大角的原理可知，是的最大內(nèi)角．由余弦定理得．因為是三角形的內(nèi)角，所以．因此的最大內(nèi)角為．【變式1】（2023上·上海寶山·高三校考期中）已知的角A、B、C對應邊長分別為a、b、c，，，，則【答案】/【詳解】由余弦定理可得，，又，.故答案為：.【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）的三邊之比為．求這個三角形的最大角．【答案】【詳解】的三邊之比為，不妨設的三邊長為，由于大邊對大角，設長度為的邊所對角為最大角，設最大角為，則，因為，所以，故這個三角形的最大角為題型02已知兩邊及一角解三角形【典例1】（2023上·新疆·高二學業(yè)考試）在中，角的對邊分別是，已知，，，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理，將，，，代入得，則有，且，解得.故選：B.【典例2】（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由余弦定理，，因為，所以，即，解得（舍），所以，.故選：D【典例3】6．（2021上·廣東·高二）在中，已知.(1)求的長(2)求的值【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由余弦定理可得，,所以.（2）因為，所以，又，所以，則.【變式1】（2023上·湖南常德·高二校聯(lián)考期中）在△ABC中，，，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【詳解】因為△ABC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化簡整理得，解得或（舍去）.故選：C【變式2】（2023上·全國·高三專題練習）在銳角中，，的面積為，則=．【答案】【詳解】因為，所以的面積為，解得，又因為為銳角三角形，所以，由余弦定理得．故答案為：.【變式3】（2023上·上海長寧·高三上海市延安中學?？计谥校┰谥校?，則.【答案】【詳解】.故答案為：題型03判斷三角形的形狀【典例1】（2023下·河北保定·高一保定一中校考階段練習）在中，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【詳解】因為，所以由余弦定理得，所以，所以，所以為等腰三角形.故選：A.【典例2】（2023下·海南海口·高一海南中學?？计谥校┰谥?，，，所對的邊分別為，，，若，，，則是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不對【答案】B【詳解】由，而，所以，即為鈍角，故為鈍角三角形.故選：B【典例3】（2023上·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，，．是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求；若不存在，說明理由．【答案】存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形【詳解】由題意，知，要使為鈍角三角形，需，得．因為為正整數(shù)，所以或．當時，，，此時不能構(gòu)成三角形；當時，，，滿足題意．綜上，存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形．【變式1】（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D【變式2】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第三十二中學校?？计谥校┰谥?，若，，則的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【詳解】由余弦定理知，因為，，所以，所以，所以，因此，所以，即是等邊三角形，故選：D.【變式3】（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高級中學?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c(1)若，求∠B；(2)若，試判斷△ABC的形狀．【答案】(1)(2)△ABC是等腰三角形【詳解】（1）由，而，故，又，故.（2），故，即，所以△ABC是等腰三角形.題型04求三角形中邊長（周長）取值范圍【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）設是鈍角三角形的三邊長，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于是鈍角三角形的三邊長，所以，且，所以.設最長邊對的角為，則，解得.故選：B【典例2】（2023下·四川成都·高一樹德中學?？计谀┮阎g角的角，，所對的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，又有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：C【典例3】（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，，則b＋c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，當且僅當時取等號，又，因此b＋c的取值范圍是.故選：B【典例4】（2023下·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC是鈍角三角形，角A，B，C的對邊依次是a，b，c，且，，則邊c的取值范圍是．【答案】【詳解】當角C為最大角時，由題意，，即，解得，又三角形兩邊和大于第三邊，故，故；當角C不是最大角時，則角B為最大角，由題意，，即，解得，又三角形兩邊差小于第三邊，故，故；所以邊c的取值范圍是.故答案為：【典例5】（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習）在中，，在邊上，且.(1)若，求的周長;(2)求周長的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若，則，又，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，故，故的周長為；（2）由（1）知，，設，則，由三邊關(guān)系可得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得故，所以的周長為，令，，則，當時，，，單調(diào)遞增，當時，，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，最大值為.【變式1】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┰阝g角中，角所對的邊分別為，若，則最大邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是鈍角三角形，，且是最大邊，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以邊的取值范圍是.故選：D【變式2】（2023下·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）已知銳角三角形邊長分別為1，2，x，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．不確定【答案】C【詳解】由題意，設三角形為，由三角形的幾何性質(zhì)，∴，∵三角形是銳角三角形，，∴只需要為銳角，∵，即，，即，聯(lián)立解得：，故選：C.【變式3】（多選）（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則最大的邊c的取值可能是（

）A．4.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】CD【詳解】由題意可得，所以，所以，因為在三角形中兩邊之和大于第三邊，所以，所以，所以選項AB錯誤，CD正確，故選：CD【變式4】（2023下·江蘇南京·高一南京外國語學校?？茧A段練習）在中，角為鈍角，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍是．【答案】【詳解】依題意，由為鈍角可得，所以，由，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.【變式5】（2023上·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）在①，②D是邊的中點且，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)選①，的最大值是8；選②，的最大值是【詳解】（1）因為，所以，所以，則．因為，所以．（2）選①,由余弦定理可得，即，則．因為，所以．因為，所以，當且僅當時，等號成立，則，解得，即的最大值是8．選②,因為D是邊的中點，所以，所以，因為，且，所以，即．因為，所以，當且僅當時，等號成立，則，解得，即的最大值是．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023下·吉林通化·高一校考階段練習）在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由及余弦定理的推論，得，因為，所以.故選：B.2．（2023上·浙江金華·高二浙江省東陽市外國語學校?？奸_學考試）在中，角所對的邊分別為，若，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，，即，所以，所以為銳角，所以.故選：B3．（2023下·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┰谥?，，，，則最長邊（

）A． B． C．或 D．【答案】B【詳解】在中，，，，由余弦定理得，，化簡得，解得或，因為是最長的邊，所以，故選：B4．（2023下·貴州黔西·高一校考期中）在中，已知，則角A等于（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】C【詳解】因為，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故選：C.5．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如1周角等于6000密位，寫成“”，578密位寫成“”．若在中，分別是角所對的邊，且有．則角用密位制表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，又，所以，由題知，密位，所以密位，依題意，1000密位表示為.故選：C6．（2023·山東·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，面積為S，且，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，則，所以，又，則.故選：A7．（2023上·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）在公元前500年左右的畢達哥拉斯學派的數(shù)學家們堅信，“萬物皆（整）數(shù)與（整）數(shù)之比”，但后來的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機.下圖是公元前400年古希臘數(shù)學家泰特拖斯用來構(gòu)造無理數(shù)、、，……的圖形，此圖形中的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在中，，在中，.故選:D.8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校聯(lián)考期中）三角形中，，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】由余弦定理得，，所以.故選：A.二、多選題9．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學?？计谥校┮阎校?，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】AB【詳解】，，，由余弦定理，有，得，即，解得或.故選：AB10．（2023下·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則可能的取值有（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】BD【詳解】在中，，，，則由余弦定理得，，整理得，解得或，故選：BD三、填空題11．（2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為．（寫出一個符合題意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）【詳解】由余弦定理可得，因為角A為銳角，則，可得，所以的周長.故答案為：9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）.12．（2023上·福建福州·高二?？茧A段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，則的值為.【答案】3【詳解】，即，解得.故答案為：3四、解答題13．（2023上·福建泉州·高二統(tǒng)考階段練習）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)若，求；(2)若，當最大時，求的周長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，故，又，,由于，所以；（2），當且僅當時等號成立，由于，，故最大為，此時，，故周長為.14．（2023上·河南·高三校聯(lián)考期中）在銳角中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求周長的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由，所以，得，得，因為為銳角三角形，所以為銳角，所以，所以，即，又因為，可得．（2）解：由余弦定理知，所以，即，所以，解得，當且僅當時，等號成立，所以，即周長的最大值為．B能力提升1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預測）的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)若，求的周長最小值．【答案】(1)(2)9【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，當且僅當時，等號成立，則，即，可得，所以的周長最小值.2．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，由余弦定理，又，所以；（2）因為，所以，設，則，整理得，解得或（舍去），所以，則.3．（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）在梯形中，，是上一點，滿足，是上一動點，.

(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，，，且，，三條直線交于同一點，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因為，所以，則，解得（2）如圖，設與交于點，連接并延長交于點，

由于，知相似于，且點滿足，則在中，由余弦定理得，又，故，所以C綜合素養(yǎng)1．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久?源遠流長，音域?qū)拸V?音色柔美清澈，表現(xiàn)力強.如圖是箜篌的一種常見的形制，對其進行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個端點A，B處分別作切線相交于點C，測得切線，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為（

）

A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62【答案】A【詳解】如圖，設弧對應圓心是，根據(jù)題意，，，

則，因為，則在中，，所以.故選：A.2．（2023上·江蘇南