2024年雅安市高三數(shù)學(xué)（理科）第二次模擬考試卷附答案解析

2024年雅安市高三數(shù)學(xué)（理科）第二次模擬考試卷（考試時間120分鐘滿分150分）2024.03注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．2．某公司收集了某商品銷售收入（萬元）與相應(yīng)的廣告支出（萬元）共10組數(shù)據(jù)（），繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.若將圖中10個點中去掉點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（

）A．決定系數(shù)變小 B．殘差平方和變小C．相關(guān)系數(shù)的值變小 D．解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性變?nèi)?．的展開式中的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C．10 D．4．已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．25．已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．6．已知平面區(qū)域圓C：，若圓心，且圓C與y軸相切，則的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．07．某校甲、乙、丙、丁4個小組到A，B，C這3個勞動實踐基地參加實踐活動，每個小組選擇一個基地，則每個基地至少有1個小組的概率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（

）A．的最小值為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點對稱D．的圖象可由的圖象向右平移個單位得到9．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，EF是的中位線，AC與EF交于點G，已知是繞EF旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，且．給出下列結(jié)論：

①平面；②平面平面；③二面角的平面角是直線OP與平面ABCD所成角的2倍．其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③10．已知函數(shù)，給出下列4個圖象：其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與圓相切，與C在第一象限交于點P，且軸，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．12．已知a，b，c均為正數(shù)，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知集合，，，則．14．已知，則曲線在點處的切線方程為．15．已知等差數(shù)列的公差為，集合有且僅有兩個元素，則這兩個元素的積為．16．一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其側(cè)面積為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．某校在課外活動期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學(xué)生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計男100300400女50100150合計150400550(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？(2)“投壺”是中國古代宴飲時做的一種投擲游戲，也是一種禮儀．該校文化藝術(shù)類課外活動中，設(shè)置了一項“投壺”活動．已知甲、乙兩人參加投壺活動，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分數(shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，．18．如圖，在三棱錐中，M為AC邊上的一點，，，，．(1)證明：平面平面；(2)若直線PA與平面ABC所成角的正弦值為，且二面角為銳二面角，求二面角的正弦值．19．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．20．在直角坐標系中，設(shè)為拋物線：的焦點，為上位于第一象限內(nèi)一點．當時，的面積為1．(1)求的方程；(2)當時，如果直線與拋物線交于，兩點，直線，的斜率滿足，試探究點到直線的距離的最大值.21．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；(2)若，，求的取值范圍．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)設(shè)直線與軸相交于點，動點在上，點滿足，點的軌跡為，試判斷曲線與曲線是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.[選修4—5：不等式選講]（10分）23．已知，，均為正數(shù)，且.(1)是否存在，，，使得，說明理由；(2)證明：.1．D【分析】由復(fù)數(shù)的運算結(jié)合模長公式計算即可.【詳解】因為，所以，故選：D.2．B【分析】從圖中分析得到去掉點后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，殘差平方和，相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.【詳解】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，故去掉點后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會變大，更接近于1，殘差平方和變小，相關(guān)系數(shù)的絕對值，即會更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性變強，故A、C、D錯誤，B正確.故選：B.3．B【分析】根據(jù)題意，求得二項展開式的通項公式，結(jié)合通項確定的值，代入即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項公式為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：B.4．A【分析】列舉出數(shù)列的前幾項，即可找到規(guī)律，從而得解.【詳解】因為，，所以，，，，，又，所以故選：A5．A【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算，向量坐標與終點、始點的關(guān)系可解.【詳解】因為，分別為，的中點，所以，設(shè)，又，所以即，解得.故選：A

6．B【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用圓與y軸相切，得到在直線上運動，此時利用數(shù)形結(jié)合確定的取值即可得到結(jié)論【詳解】作出如圖所示的可行域（陰影部分），由于圓C與y軸相切，，所以，故在直線上運動，聯(lián)立得，即，，故當最大時，最大，故當圓心在時，此時最大時為3，故的最大值為4，故選：B7．C【分析】根據(jù)分組分配以及分步乘法技術(shù)原理即可求解個數(shù),由古典概型概率公式求解即可.【詳解】每個小組選擇一個基地，所有的選擇情況有種，每個基地至少有1個小組的情況有,故概率為，故選：C8．D【分析】根據(jù)輔助角公式得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解ABC，根據(jù)函數(shù)平移，以及誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】，的最小值為,故A錯誤，時，，所以函數(shù)在不單調(diào)，故B錯誤；，故的圖象關(guān)于對稱，C錯誤，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得，故D正確．故選：D．9．A【分析】借助線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理與二面角及線面角的定義逐項判斷即可得.【詳解】對①，由是的中位線，故，又平面，平面，故平面，故①正確；對②，連接、、，菱形ABCD中，，即，由折疊的性質(zhì)可知，，即，又、平面，，故平面，又平面，故平面平面，故②正確；對③，連接，由是的中位線，故為中點，故，即，，由，，故為二面角的平面角，由平面平面，故點在平面的投影必在線段上，故為直線OP與平面ABCD所成角，故③正確.

故選：A.10．D【分析】對的情況進行分類討論，借助于導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進行分析即可判斷函數(shù)的大致圖象.【詳解】由題意知，定義域為，當時，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增，可對應(yīng)①；當時，，令可得：，所以當時，，當時，，所以，函數(shù)先減后增，且當時，，此時可對應(yīng)②；當時，，當時，當時，，當時，，所以，函數(shù)先增后減，當時，，且此時，所以可對應(yīng)③，當時，，此時，所以可對應(yīng)④.故選：D.11．D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)得到垂直關(guān)系求得，結(jié)合直角三角形中正切的定義得到關(guān)于的齊次式即可得解.【詳解】設(shè)圓心為，直線與圓相切于點，則故，由于，所以，故，因此在，由，故，即.故選：D12．A【分析】可將所給式子變形成、、，則可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點橫坐標，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.【詳解】由，可得，由，可得，由可得，令，，故在上單調(diào)遞增，令，，故在上單調(diào)遞增，令，，故在上單調(diào)遞減，令，則，則時，，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，，，，為函數(shù)與函數(shù)的交點橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)的交點橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)的交點橫坐標，結(jié)合函數(shù)圖象可得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于利用所給式子，將其變形成、、，從而可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點橫坐標，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.13．【分析】借助集合交并補的概念計算即可得.【詳解】由，，故，故.故答案為：.14．【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】，則，又，故切線方程為，即.故答案為：.15．##【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】，則，其周期為，而，即最多3個不同取值，集合有且僅有兩個元素，設(shè)，則在中，或，或，又，即，所以一定會有相鄰的兩項相等，設(shè)這兩項分別為,于是有，即有，解得，不相等的兩項為，故，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題關(guān)鍵是通過周期性分析得到相等的項為相鄰的兩項，不相等的兩項之間隔一項，從而求得答案.16．【分析】設(shè)圓錐高為，底面半徑為，推出，求出體積的表達式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值，即可根據(jù)側(cè)面積公式得到結(jié)果．【詳解】設(shè)圓錐高為，底面半徑為，則，，，，令得或（舍去），當時，，函數(shù)是增函數(shù)；當時，．函數(shù)是減函數(shù)，因此當，時函數(shù)取得極大值也最大值，此時圓錐體積最大．故側(cè)面積為故答案為：．17．(1)有90%的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算卡方，即可求解，（2）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式即可求解概率，進而可求解分布列以及期望.【詳解】（1）零假設(shè)沒有90%的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，，故有90%的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)，（2）的可能取值為，,，，，，故的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）結(jié)合題意，借助線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即可得.（2）借助題目所給線面角，可計算出各邊長度，建立適當空間直角坐標系后借助空間向量計算即可得.【詳解】（1）因為在中，，，，所以，又因為，所以，則，，在中，由余弦定理可得，所以，于是，，又，，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）因為二面角為銳二面角，平面平面，平面平面，過點作平面于點，則點必在線段上，連接，可知為與平面所成的角，在中，，，得，在中，，，得，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，則有，，，設(shè)平面、平面的法向量分別為，則有，，令，，可得，，設(shè)二面角的平面角為，所以，即，故二面角的正弦值為.19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．【詳解】（1）由可得故，進而，由于所以（2）由面積公式得，解得，，，即，，又，，．20．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意計算即可得；（2）設(shè)出點，由題意計算可得，設(shè)出直線聯(lián)立曲線，借助韋達定理計算可得直線恒過定點，則當時，點到直線的距離有最大值.【詳解】（1）由題意得，由，，即，從而的面積，則，所以，拋物線的方程為；（2）設(shè)（），則，，由，得，即，所以，此時，由題意可知，斜率必不等于0，于是可設(shè)：，由，可得，上述方程的判別式滿足，即，設(shè)，，根據(jù)韋達定理有：，，因為，所以，，于是，所以，，即，故直線的方程為，即，所以直線恒過定點，則當時，點到直線的距離有最大值，且最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．(1)(2)【分析】（1）對分類討論研究單調(diào)性后，結(jié)合極值的定義計算即可得；（2）設(shè)，原問題即為在時恒成立，多次求導(dǎo)后，對時及時分類討論，結(jié)合零點的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由，得，當時，，則單調(diào)遞增，不存在極值，當時，令，則，若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，所以是的極小值點，因為在區(qū)間存在極值，則，即，所以，在區(qū)間存在極值時，的取值范圍是；（2）由在時恒成立，即在時恒成立，設(shè)，則在時恒成立，則，令，則，令，